Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

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1 Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Institut Elie Cartan de Lorraine Avril /12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

2 Sommaire Risque de défaut des emprunteurs 1 Risque de défaut des emprunteurs 2 3 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

3 Contexte Risque de défaut des emprunteurs Garantie considérée Banque Une assurance doit indemniser une banque suite aux défauts de paiement de ses emprunteurs, Emprunteur 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

4 Contexte Risque de défaut des emprunteurs Garantie considérée Banque Emprunteur Assurance Une assurance doit indemniser une banque suite aux défauts de paiement de ses emprunteurs, En cas de défaut de paiement de l emprunteur, la banque a la possibilité de récupérer et de revendre le bien immobilier financé par le prêt (= recours). 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

5 Contexte Risque de défaut des emprunteurs Garantie considérée Banque Emprunteur Assurance Une assurance doit indemniser une banque suite aux défauts de paiement de ses emprunteurs, En cas de défaut de paiement de l emprunteur, la banque a la possibilité de récupérer et de revendre le bien immobilier financé par le prêt (= recours). Utilisation de la garantie : Souscription 5 ans Défaut = Sinistre 25 ans Fin du prêt Montant du sinistre = Montant dû par l emprunteur - Montant du bien 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

6 Objectif pour la compagnie d assurance Objectif La compagnie d assurance doit évaluer à une date t 0 le montant des sinistres potentiels à venir (=provision) provenant des emprunteurs : 1 Dont le prêt a commencé le mois 0, 2 Et qui n ont pas eu de défaut avant la date t 0. Souscriptions 0 Date d analyse Sinistres potentiels t 0 Estimation de la provision D 2/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

7 Objectif pour la compagnie d assurance Objectif La compagnie d assurance doit évaluer à une date t 0 le montant des sinistres potentiels à venir (=provision) provenant des emprunteurs : 1 Dont le prêt a commencé le mois 0, 2 Et qui n ont pas eu de défaut avant la date t 0. Souscriptions 0 Date d analyse Sinistres potentiels t 0 Estimation de la provision D Modèle individuel : Provision = Sinistre 1 + Sinistre /12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

8 Bibliographie Risque de défaut des emprunteurs Méthodes traditionnellement utilisées en assurance non vie : 1 Méthode collective déterministe / stochastique du type Chain Ladder / Mack : Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, T.Mack (1993). C 0,0 C 0,1.. C 0,t0 C 1,0 C 1,1.... C 1,t0 1 C t0,0 /12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

9 Bibliographie Risque de défaut des emprunteurs Méthodes traditionnellement utilisées en assurance non vie : 1 Méthode collective déterministe / stochastique du type Chain Ladder / Mack : Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, T.Mack (1993). C 0,0 C 0,1.. C 0,t0 C 0,0 C 0,1.. C 0,t0 C 1,0 C 1,1. C 1,t C t0,0 C 1,0 C 1,1.. C 1,t0... C t0,0 C t0,1.. C t0,t 0 3/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

10 Bibliographie Risque de défaut des emprunteurs Méthodes traditionnellement utilisées en assurance non vie : 1 Méthode collective déterministe / stochastique du type Chain Ladder / Mack : Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, T.Mack (1993). C 0,0 C 0,1.. C 0,t0 C 0,0 C 0,1.. C 0,t0 C 1,0 C 1,1. C 1,t C t0,0 C 1,0 C 1,1.. C 1,t0... C t0,0 C t0,1.. C t0,t 0 2 Méthode individuelle issus de la théorie de la ruine (Cramer - Lundberg) : Stochastic processes for insurance and finance, Rolski et al. (1999). N t S j, j=1 0 < t < +, où (N t) t>0 est un processus de Poisson homogène, les v.a. S j, représentant le montant du j-ème sinistre, sont positives, i.i.d et indépendantes de (N t) t>0. 3/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

12 Modélisation du montant d un sinistre Notons : M j (resp. D j ) le montant (resp. la durée) du prêt de l emprunteur j, T j la date de fin du prêt de l emprunteur j, 4/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

13 Modélisation du montant d un sinistre Notons : M j (resp. D j ) le montant (resp. la durée) du prêt de l emprunteur j, T j la date de fin du prêt de l emprunteur j, φ(t j, D j, M j ) le montant dû par l emprunteur j à la date T j, ψ(m j, R T j ) le montant de la revente du bien à la date T j, où R T j est la variation des prix de l immobilier entre les dates 0 et T j. 4/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

14 Modélisation du montant d un sinistre Notons : M j (resp. D j ) le montant (resp. la durée) du prêt de l emprunteur j, T j la date de fin du prêt de l emprunteur j, φ(t j, D j, M j ) le montant dû par l emprunteur j à la date T j, ψ(m j, R T j ) le montant de la revente du bien à la date T j, où R T j est la variation des prix de l immobilier entre les dates 0 et T j. Modélisation du montant d un sinistre Le montant du sinistre pour la compagnie d assurance est modélisé par : { 0, si T j = D j S j := max [ φ(t j, D j, M j ) ψ(m j, R T j ), 0 ], si T j < D j. (1) S j dépend de T j, D j, M j et R T j. 4/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

15 Modélisation de la provision Modèle - Provision pour le mois 0 La provision pour les prêts souscrits à la date 0, calculée à la date t 0, est notée P t0 et définie par : P t0 := 1 {t0 < T j < D j ; D j D} Sj, (2) j 1 [ où S j := max φ(t j, D j, M j ) ψ(m j, R T j ); 0 ] si T j < D j. S j et S j ne sont pas indépendant. 5/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

17 Hypothèses - 1 Nuage de points (Durée du prêt, Date de fin du prêt) t t=d D+ 0 + D d { T j D j, D j D. Nous supposons que (T j, D j ) j 1 est un processus ponctuel de Poisson d intensité Λ. 6/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

18 Hypothèses - 1 Nuage de points (Durée du prêt, Date de fin du prêt) t t=d D+ 0 B A + D d { T j D j, D j D. Nous supposons que (T j, D j ) j 1 est un processus ponctuel de Poisson d intensité Λ : Λ = λ 1 Leb B + λ 2 Leb A, où λ 1 et λ 2 sont deux paramètres réels et strictement positifs, Leb B (resp. Leb A ) est la restriction de la mesure de Lebesgue sur R (resp. sur R 2 ) à l ensemble B (resp. A). 6/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

19 Hypothèses - 2 Hypothèses Nous supposons que : 1 (R t) t 0 est le mouvement Brownien géométrique de paramètres µ et σ tel que R 0 = 1, i.e. : R t = exp ( σb t + µt ), où (B t) t 0 est un mouvement Brownien standard. 7/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

20 Hypothèses - 2 Hypothèses Nous supposons que : 1 (R t) t 0 est le mouvement Brownien géométrique de paramètres µ et σ tel que R 0 = 1, i.e. : R t = exp ( σb t + µt ), où (B t) t 0 est un mouvement Brownien standard. 2 (T j, D j ) j 1, (M j ) j 1 et (R t) t 0 sont indépendants, 7/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

21 Hypothèses - 2 Hypothèses Nous supposons que : 1 (R t) t 0 est le mouvement Brownien géométrique de paramètres µ et σ tel que R 0 = 1, i.e. : R t = exp ( σb t + µt ), où (B t) t 0 est un mouvement Brownien standard. 2 (T j, D j ) j 1, (M j ) j 1 et (R t) t 0 sont indépendants, ( 3 Les variables M j) sont i.i.d.. j 1 7/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

22 Indicateur de risques - 1 Espérance / Variance 1 Espérance : ] [ ] E [P t0 = E M 1 1 f (t, x, θ)dtdx, (3) {t0 < t x; x D} (R +) 2 où f est une fonction déterministe dépendante de t, x et θ. Ceci est un résultat classique des processus de Poisson composés. /12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

23 Indicateur de risques - 1 Espérance / Variance 1 Espérance : ] [ ] E [P t0 = E M 1 1 f (t, x, θ)dtdx, (3) {t0 < t x; x D} (R +) 2 où f est une fonction déterministe dépendante de t, x et θ. Ceci est un résultat classique des processus de Poisson composés. 2 Variance : formule explicite pour la variance de la provision mais différente de celle des processus de Poisson composés car nous devons tenir compte de plusieurs dépendances. 8/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

24 Indicateur de risques - 1 Espérance / Variance 1 Espérance : ] [ ] E [P t0 = E M 1 1 f (t, x, θ)dtdx, (3) {t0 < t x; x D} (R +) 2 où f est une fonction déterministe dépendante de t, x et θ. Ceci est un résultat classique des processus de Poisson composés. 2 Variance : formule explicite pour la variance de la provision mais différente de celle des processus de Poisson composés car nous devons tenir compte de plusieurs dépendances. Formule programmable : lorsque les paramètres, θ, prennent des valeurs fixes il est possible de calculer numériquement l espérance et la variance de la provision avec Matlab ou R par exemple. 8/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

25 Indicateur de risques - 2 Notons N t0 le nombre de sinistres sur l intervalle de temps ]t 0, D]. 1 Rappelons que : ] [ L [N t0 = P Λ(α) ], où α = ( D t 0 ) La loi conditionnelle de P t0 sachant le nombre de sinistres N t0 est donnée par : [ ] ( )] L P t0 N t0 = n = L [f n (T j ) 1 j n, (D j ) 1 j n, (M j ) 1 j n, (G j ) 1 j n, θ, (4) où f n est une fonction explicite et (G j ) 1 j n est une suite de gaussienne i.d.d.. 9/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

26 Indicateur de risques - 2 Notons N t0 le nombre de sinistres sur l intervalle de temps ]t 0, D]. 1 Rappelons que : ] [ L [N t0 = P Λ(α) ], où α = ( D t 0 ) La loi conditionnelle de P t0 sachant le nombre de sinistres N t0 est donnée par : [ ] ( )] L P t0 N t0 = n = L [f n (T j ) 1 j n, (D j ) 1 j n, (M j ) 1 j n, (G j ) 1 j n, θ, (4) où f n est une fonction explicite et (G j ) 1 j n est une suite de gaussienne i.d.d.. Formule programmable : lorsque les paramètres, θ, prennent des valeurs fixes il est possible de programmer un algorithme de simulation de la provision et d approximer ses quantiles (réforme européenne Solvabilité 2). 9/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

27 Indicateur de risques - 3 Notons qu en réalité : P t0 = P t0 ( D). (5) 0/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

28 Indicateur de risques - 3 Notons qu en réalité : P t0 = P t0 ( D). (5) Convergence en loi de la provision Supposons que µ < 0. Il vient alors que la provision converge en loi vers une gaussienne : P t0 ( D) ( D) 2 C 1 (θ) L G, (6) D C 2 (θ) D + où G est une gaussienne centrée, réduite et C 1 (θ), C 2 (θ) sont des constantes réelles. Formule programmable : lorsque les paramètres, θ, prennent des valeurs fixes il est possible d approximer les quantiles de la provision. 0/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

29 Idée de preuve Nous noterons : X k( ) [ ] [ k D, (Rt) t 0 := E (M 1 ) k S(t, d, R t)] dλ(t, d), k = 1, 2. A( D) 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

30 Idée de preuve Nous noterons : X k( ) [ ] [ k D, (Rt) t 0 := E (M 1 ) k S(t, d, R t)] dλ(t, d), k = 1, 2. A( D) 1 Etape 1 : P t0 ( D, (rt) t 0 ) = D Alors : ɛ k + X 1( D, (rt) t 0 ), k=1 D Corollaire de Lindeberg : [ ɛ E k 2+δ] = o k=1 P t0 ( D, (r t) t 0 ) X 1 ( D, (r t) t 0 ) X 2( D, (rt) t 0 ) ([ D k=1 V (ɛ k ) ] 2+δ ) L G. D +. 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

31 Idée de preuve Nous noterons : X k( ) [ ] [ k D, (Rt) t 0 := E (M 1 ) k S(t, d, R t)] dλ(t, d), k = 1, 2. A( D) 1 Etape 1 : P t0 ( D, (rt) t 0 ) = D Alors : ɛ k + X 1( D, (rt) t 0 ), k=1 D Corollaire de Lindeberg : [ ɛ E k 2+δ] = o k=1 P t0 ( D, (r t) t 0 ) X 1 ( D, (r t) t 0 ) X 2( D, (rt) t 0 ) ([ D k=1 V (ɛ k ) ] 2+δ ) L G. D +. 2 Etape 2 : µ < 0 X k( ) D, (R t) t 0 L ( D) C 2 k (θ), k = 1, 2. D + 1/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

32 Idée de preuve Nous noterons : X k( ) [ ] [ k D, (Rt) t 0 := E (M 1 ) k S(t, d, R t)] dλ(t, d), k = 1, 2. A( D) 1 Etape 1 : P t0 ( D, (rt) t 0 ) = D Alors : ɛ k + X 1( D, (rt) t 0 ), k=1 D Corollaire de Lindeberg : [ ɛ E k 2+δ] = o k=1 P t0 ( D, (r t) t 0 ) X 1 ( D, (r t) t 0 ) X 2( D, (rt) t 0 ) ([ D k=1 V (ɛ k ) ] 2+δ ) L G. D +. 2 Etape 2 : µ < 0 X k( ) D, (R t) t 0 L ( D) C 2 k (θ), k = 1, 2. D /12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

33 Estimation et perspective Estimation : Un grand nombre de données pour estimer : les montants empruntés, le processus de fluctuation des prix de l immobilier : µ et σ, les paramètres λ 1 et λ 2 présents dans Λ. 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

34 Estimation et perspective Estimation : Un grand nombre de données pour estimer : les montants empruntés, le processus de fluctuation des prix de l immobilier : µ et σ, les paramètres λ 1 et λ 2 présents dans Λ. = Données publiques et privées. 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

35 Estimation et perspective Estimation : Un grand nombre de données pour estimer : les montants empruntés, le processus de fluctuation des prix de l immobilier : µ et σ, les paramètres λ 1 et λ 2 présents dans Λ. = Données publiques et privées. Perspective : Problème lorsque l horizon d analyse est restreinte à un an (Solvabilité 2), Couverture de la provision de sinistres. 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

36 Références Risque de défaut des emprunteurs T. Mack. Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates. Dans : Astin Bulletin (1993) M.V. Wüthrich et M. Merz. Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance. Dans : The Wiley Finance Series (2008) T. Rolski et al. Stochastic processes for insurance and finance. Dans : Wiley Series in Probability and Statistics (1999) M. Pigeon, K. Antonio et M. Denuit. Individual loss reserving with the multivariate skew normal distribution. Dans : (2012) C.R. Larsen. An individual claims reserving model. Dans : Astin Bulletin (2007) E. Ohlsson et J. Lauzeningks. The one-year non-life insurance risk. Dans : Insurance : Mathematics and Economics (2009) P. Vallois et G. Nichil. Provisioning against borrowers default risk. Dans : Soumis à Insurance : mathematics and economics (2014) 2/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

37 Merci 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

38 1 R t représente la variation de la valeur du bien financé due au cours de l immobilier. Nous pourrions penser que, par exemple, une forte variation de la valeur du bien indiquerait un effondrement du marché de l immobilier. Ce qui pourrait signifier, ou traduire, un risque plus important de déclaration des sinistres : un effondrement du marché de l immobilier pourrait être synonyme d une crise plus large touchant toute la population (crise systémique). Nous supposerons qu un tel lien, difficilement mesurable, n existe pas et donc que le processus ponctuel de Poisson est indépendant de la variation de l immobilier. 2 Nous pourrions également penser que le cours de l immobilier varie de façon différente selon la valeur des biens considérés. Par exemple il pourrait exister : Une forte variation de l immobilier pour les biens à faible valeur, Et une faible variation de l immobilier pour les biens à forte valeur. Cette différence de variation est significative sur une gamme de biens très large. Chez l assureur en question le montant des biens est relativement concentré. 3 D autre part le montant emprunté ne joue aucun rôle sur la déclaration d un sinistre : un sinistre est causé par un changement dans la situation personnel d un emprunteur et non dans les caractéristiques du prêt. 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

39 Mesure aléatoire de Poisson Propriétés Rappelons deux propriétés des mesures aléatoires de Poisson : 1 Pour tout borélien A tel que Λ(A) <, N(A) suit une loi de Poisson de paramètres Λ(A), i.e. : P [ ] Λ(A) Λ(A)k N(A) = k = e k!, k 0. 2 Pour tout A 1,..., A n ensemble deux à deux disjoints, les v.a. indépendantes. ( ) N(A k ) sont 1 k n 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

40 Temps continu Hypothèse L unité de temps est le mois, i.e. T j prend des valeurs discrètes : T j = 0, 1, 2,.... Dans la pratique un défaut peut avoir lieu à nimporte quel temps T j R + tel que 0 T j < D j. Nous supposerons que le temps est continu de la manière suivante : si un défaut a lieu à la date T j + dt [T j, T j + 1[, alors nous supposerons qu il a lieu à la date T j. Ainsi nous noterons : { S 1,j t = S 1,j [t], t 0, S 2,j t = S 2,j [t], t 0, où [t] est la partie entière de t. Donc les processus (S 1,i t ) t 0 et (S 2,i t ) t 0 sont constants par morceaux. 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs

41 Algorithme de simulation Simulation Le précédent théorème nous permet de simuler la provision avec l algorithme suivant : 1 Simuler une v.a. N P( λ Lebesgue(At0 )) : n. 2 Simuler n v.a. (T i, D i )i.i.d U(A t0 ) : (t i, d i ) 1 i n. 3 Simuler n v.a. G i i.i.d. N (0, 1) : (g i ) 1 i n. 4 Calculer : p 1 := i=1 où rt [ σ i := exp ] tg i + µt. n i m i g {t i, d i, r 1t1 rt l l t l 1 }, 5 Exécuter les étapes (1) (5) k fois, nous obtenons un échantillon (p 1,..., p k ). On peut déduire de l échantillon (p 1,..., p k ) différents résultats tel que : moyenne, variance et quantile. l=2 12/12 Geoffrey Nichil et Pierre Vallois Provisionnement face au risque de défaut des emprunteurs