Corrigé de l examen de mathématique Janvier 2011

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1 Corrigé de l examen de mathématique Janvier Combien vaut le reste de la division du polynôme P(x) =(x + 1) 4 par le monôme (2x + 1)? a. 1/16 b. 1.5 x² x c. le reste est nul car la division est exacte d. 2x - 1 e. 3/8 f. Aucune des réponses proposées. La première chose à constater est que le polynôme P(x) ne se divise de manière exacte que par (x + 1) ou par une puissance (inférieure à 5) de (x + 1), ce qui permet déjà d exclure la possibilité (c). De plus, comme l ordre du reste est inférieur à l ordre du diviseur, qui est 1 ici, le reste est nécessairement une constante, ce qui élimine les réponses (b) et (d). Développons à présent le calcul. Si on écrit l opération sous la forme P(x) = Q(x) * D(x) + R(x) où D(x) = (2x + 1), Q(x) est le quotient de la division de P(x) par D(x) et R(x) = R est le reste, on peut déduire que Q(x) est nécessairement du troisième degré (puisque son produit par D(x), un terme du premier degré, donne P(x) qui est du quatrième degré), ce qu on écrit : Q(x) = Ax³ + Bx² + Cx + D Réécrivons l expression ci-dessus en développant : (x + 1) 4 = x 4 + 4x³ + 6x² + 4x +1 (on peut utiliser le triangle de Pascal) = Q(x)*D(x) + R = (Ax³ + Bx² + Cx + D)*(2x + 1) + R = 2Ax 4 + (A + 2B)x³ + (B + 2C)x² + (C + 2D)x + (D + R) En identifiant les paramètres entre la première et la quatrième ligne, on obtient : 2A = 1 => A = 1/2 A + 2B = 4 => B = 7/4 B + 2C = 6 => C = 17/8 C + 2D = 4 => D = 15/16 D + R = 1 => R = 1/16 La bonne réponse est donc la réponse (a).

2 2. Combien vaut la dérivée de f(x) = x² * ln(x² + 1)? a. f (x) = 2x * ln(x² + 1) b. f (x) = x² * (2x + 1)*ln(x² + 1) c. f (x) = x²/(x² + 1) d. f (x) = 2x*ln(x² + 1) + x²/(x² + 1) e. f (x) = 2x*(ln(x² + 1) + x²/(x² + 1)) f. Aucune des réponses proposées. f(x) est un produit de deux fonctions, que nous noterons a(x) = x² et b(x) = ln(x² + 1) On sait qu alors, f (x) = a (x)*b(x) + a(x)*b (x) a (x) = 2x b (x) = [ln(x² + 1)] est la dérivée d une fonction d une fonction p(q(x)), avec p(.) = ln(.) et q(x) = x² + 1. La dérivée d une telle fonction vaut [p(q(x))] = q (x)*p (q(x)). Par conséquent : [ln(x² + 1)] = 2x*1/(x² + 1) Calculons à présent f (x) : f (x) = 2x*ln(x² + 1) + x² * 2x/(x² + 1) = 2x*[ln(x² + 1) + x²/(x²+1)] La bonne réponse est donc (e).

3 3. Combien vaut la dérivée de f(x) = exp (tg(x)) où exp(x) = e x? a. f (x) = 1/exp(cos²(x)) b. f (x) = exp(tg(x)) c. f (x) = exp(1/cos²(x)) d. f (x) = exp(tg(x))/cos²(x) e. f (x) = exp(1/cos²(x))/cos²(x) f. Aucune des réponses proposées Ici aussi, on doit traiter une dérivée d une fonction de fonction. Le raisonnement est donc similaire à celui de la question 2, avec f(g) = exp(.) et g(x) = tg(x). On obtient donc : df/dx = df/dg * dg/dx = exp(g)*1/cos²(x) = exp(tg(x))/cos²(x) Cette réponse correspond à la réponse (d).

4 4. A une constante près, combien vaut la primitive de f(x) = x² * e x? On procède par partie, en posant u = x² et dv = e x dx, ce qui implique que : du = 2x*dx v = e x. La formule d intégration par partie étant : u dv = u v - v du, on peut écrire ici : x² e x dx = x² e x 2 x* e x dx Cette dernière primitive se résout par partie également, en posant cette fois u = x et dv = e x dx, ce qui implique que : du = dx v = e x. Par conséquent, on peut écrire : x* e x dx = x*e x - e x dx = e x *(x 1) Rassemblant les résultats, on obtient finalement que : x² e x dx = x² e x 2 x* e x dx = x² e x 2*( e x *(x 1)) = e x *(x² - 2x + 2) La primitive de f(x), à une constante près, vaut donc : e x (x² - 2x + 2)

5 5. Combien vaut l intégrale I de sin²(x) pour x compris entre 0 et π? a. I = 1 b. I = 0 c. I = -1 d. I = π e. I = π/2 f. Aucune des réponses proposées Calculons la primitive sin²(x) de la manière suivante : P(x) = sin²(x) dx = sin(x)*sin(x) dx On peut procéder par parties, en posant u(x) = sin(x) et dv(x) = sin(x)*dx. Ceci conduit à du(x) = cos(x)*dx et v(x) = -cos(x) Réécrivons la primitive pour obtenir : P(x) = -sin(x)*cos(x) + cos²(x) dx = -sin(x)*cos(x) + (1 - sin²(x)) dx = -sin(x)*cos(x) + x P(x) On en déduit que: P(x) = ½ * (x sin(x)*cos(x)) L intégrale vaut donc : I = P(π) P(0) = π/2 La réponse correcte est donc (e).

6 6. Combien vaut la pente de la droite qui coupe l axe horizontal en x = 3, et qui coupe la droite y = 0.5x + 1 en un point d ordonnée y = 3. a. Plusieurs droites sont possibles b. Pas assez d éléments pour calculer la pente c. m = 0.5 d. m = 0 e. m = 3 f. Aucune des réponses proposées Commençons par calculer le point d intersection des deux droites. Comme ce point appartient à la droite y = 0.5x + 1 et qu il a un ordonnée y = 3, on peut en déduire que son abscisse vaut : 3 = 0.5 x + 1 => x = 4 La droite qui nous intéresse passe donc par les points (4, 3) et (3, 0). Sa pente vaut par conséquent : m = (y 2 y 1 ) / (x 2 x 1 ) = (0 3) / (3 4) = 3, qui est la réponse (e).

7 7. Le ressort : une masse est attachée à un ressort. Ce dernier est caractérisé par le fait qu il exerce une force sur la masse qui lui est attachée, force qui est dirigée vers le point de repos O du ressort et qui est proportionnelle à l élongation (ou à la compression du ressort) y, comme indiqué sur le schéma. Notez que la force de la pesanteur sera négligée pour simplifier, et que, vu la manière dont le ressort agit, la force F est dirigée vers le haut quand la position y de la masse est négative, et vers le bas quand y est positive). On peut donc écrire la troisième loi de Newton sous la forme : F = ma => -k*y = m*y où la dérivée est prise par rapport au temps. Si on libère le système en position y = h au temps t = 0, quelle est la fonction du temps qui décrit le mouvement? a. y(t) = h*cos(ω*t) où ω² = k/m b. y(t) = h*sin(ω*t) c. y(t) = tg (ω*t) d. y(t) = h (le système est immobile) e. y(t) = h*(sin(ω*t)+cos(ω*t)) f. Aucune des équations proposées L équation m*y + k*y = 0 est une équation différentielle. L inconnue, dans ce type d équations, est une fonction, notée y ici. La résolution de ce genre d équations n est pas simple en général, mais comme des solutions sont proposées pour le problème, on peut tester si une de ces solutions satisfait l équation. En fait, la solution (a) est la bonne. En effet, calculons les deux premières dérivées de cette fonction, on obtient : y (t) = -h*ω*sin(ω*t) y (t) = -h*ω²*cos(ω*t) On vérifie bien que : k*y = -k*h*cos(ω*t) m*y = -m*h*ω²*cos(ω*t) = -k*h*cos(ω*t) De plus, on obtient la position correcte en t = 0 : y(0) = h*cos(ω*0) = h (ce qui ne serait pas le cas, par exemple, avec la seconde proposition)

8 8. Le ressort : la trajectoire de la masse sera : a. linéaire b. elliptique c. hyperbolique d. parabolique e. circulaire f. Aucune des réponses proposées Il est assez évident que la masse va osciller entre y = -h et y = h, sur une droite verticale. sa trajectoire est donc linéaire (réponse (a)).

9 9. Calculer la valeur du paramètre x pour que a * b = a^b si a et b sont deux vecteurs de coordonnées respectives (1, 1, 1) et (1, x, 2). a. x = -3 b. x = 0 c. Aucune valeur n est possible d. Une infinité de valeurs sont possibles e. Deux valeurs de x sont possibles f. Aucune des réponses proposées On peut commencer en calculant les coordonnées du vecteur a^b. On obtient : a^b = (2-x, -1, x-1) Pour vérifier, on peut facilement voir que ce vecteur est perpendiculaire aux deux autres (les produits scalaires sont nuls). Ecrivons à présent l expression faisant intervenir le produit des modules : a = (1² +1² +1²) = 3 b = (1² + x² + 2²) = (x² + 5) a^b = ((2-x)² + (-1)² + (x-1)²) = (2x² - 6x + 6) Par conséquent, on cherche les valeurs de x qui satisfont : 3* (x² + 5) = (2x² - 6x + 6) Rien n interdit de supprimer les racines (si a = b, alors a = b), ce qui fournit l équation : 3*(x² + 5) = 2x² -6x +6 => x² + 6x +9 = 0 Le terme de gauche de l équation est un carré parfait : x² +6x + 9 = (x + 3)², ce qui permet d écrire : (x+3)² = 0 => x = -3 La bonne solution est donc (a).

10 10. Les deux paraboles y 1 = x² - 4x -2k (k est un paramètre) et y 2 =4x x² ont le même axe de symétrie (en x = -b/2a =2) et par conséquent, comme montré sur le schéma, les abscisses des intersections entre les deux paraboles sont symétriques par rapport à cet axe. On peut donc les écrire comme x 1 = 2 t et x 2 = 2 + t, où t est une valeur qui va varier en fonction de la valeur du paramètre k. On demande la valeur de k pour que t soit égal à 3. a. k = -1 b. k = 1 c. k = 5 d. k = -5 e. Aucune de valeur de k ne conduit à t = 3 f. Aucune des réponses proposées Les deux paraboles se coupent quand, pour une même valeur de x, y 1 = y 2, soit : x² - 4x 2k = 4x x² => 2x² - 8x -2k = 0 => x² - 4x k = 0 Il suffit de résoudre cette equation pour trouver les valeurs de x qui satisfont le critère. On obtient : x 1 = (4 - (16 + 4k))/2 et x 2 = (4 + (16 + 4k))/2 Ces deux expressions se simplifient en : x 1 = 2 (4+k) et x 2 = 2 + (4+k) Ceci montre que t = (4 + k). si on veut que t = 3, on a donc : 3 = (4 + k) => k = 5 La bonne réponse est donc (c).

11 11. Quelle est la valeur maximale de P(x) = -x 4 /4 +x 3 /3-2*x² +4*x + 4 entre x=0 et x = 10? a. P(x) = - b. P(x) = -21/12 c. P(x) = 0 d. P(x) = 1 e. P(x) = 73/12 f. P(x) = + g. Aucune des réponses proposées On obtient les extrema de la fonction en annulant sa dérivée. La dérivée vaut : P (x) = -x³ + x² -4x + 4 La symétrie entre les 2 premiers termes et les deux suivants permet de voir qu on peut réécrire cette dérivée : P (x) = x²*(1 - x) + 4*(1 - x) = (1 x) *(x² + 4) Il est alors facile d annuler cette dérivée : P (x) = 0 => (1 x)*(x2 + 4) = 0 Comme le second facteur est toujours positif, on peut diviser par ce facteur pour obtenir : (1 x ) = 0 => x = 1 La fonction est donc maximale ou minimale en x = 1, et c est le seul extrémum. La dérivée seconde vaut : P (x) = -3x² + 2x 4 et P (1) = -5 Comme la dérivée seconde en x = 1 est négative, on peut en conclure que x = 1 est un maximum. La fonction vaut, en ce maximum : P(1) = -1/4 +1/ = 73/12, ce qui correspond à la réponse (e).

12 12. Montrer que : sin(3*x) = 3*sin(x) - 4*sin³(x) (Truc : 3x = 2x + x) sin(3x) = sin(2x + x) = sin(2x)*cos(x) + sin(x)*cos(2x) = 2*sin(x)*cos(x)*cos(x) + sin(x)*[cos²(x) sin²(x)] = 3*sin(x)*cos²(x) - sin³(x) = 3*sin(x)*(1-sin²(x)) sin³(x) = 3*sin(x) 4*sin³(x)

13 13. Quelle est la valeur maximale M de x pour que f(x) = λ *exp(-λ*x) soit une densité de probabilité entre 0 et M (λ est un paramètre)? (Truc : si f(x) est une densité de probabilité sur [A ;B], son intégrale entre A et B vaut 1). a. M = 1 b. M = 0 c. M = 1 d. M = π e. M = + f. Aucune des réponses proposées. La primitive P de f(x) = exp(-λ*x)* λ est P(x) = - exp(-λ*x). Par conséquent, l intégrale I de f(x) entre x = 0 et x = M vaut : I = P(M) P(0) = 1 exp(-λ*m) Mais, par définition, l intégrale d une densité de probabilité f(x) sur l ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire, comme c est le cas ici, vaut 1. Par conséquent, on a que : exp(-λ*m) = 0 => M = + La réponse correcte est donc la réponse (e).

14 14. Combien vaut le développement en série de f(x) = cos(x² + 1) autour de x = 0 (arrêter après deux termes non nuls)? a. f(x) cos(1) b. f(x) -2*sin(1)* x² c. f(x) cos(1)*x -2*sin(1)* x² d. f(x) cos(1) sin(1)*x² e. f(x) cos(1) 2*sin(1)*x² f. Aucune des réponses proposées En utilisant le développement en série de Mac-Laurin, on peut écrire : f(x) = f(0) + x*f (0)/1! + x²*f (0)/2! + x³*f (0)/3! + Calculons donc les dérivées successives de f(x) : f(x) = cos(x² + 1) => f(0) = cos(1) f (x) = -2x*sin(x² + 1) => f (0) = 0 f (x) = -2*sin(x²+1)- 4x²*cos(x²+1) => f (0) = -2*sin(1) Remplaçant ces expressions dans la formule de Mac-Laurin, on obtient : f(x) = cos(1) sin(1)*x² + L expression correcte est donc la réponse d.

15 15. Quel graphique correspond à la dérivée (en pointillés) de la fonction f(x) (en continu)? a. b. c. d.

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