TRIGONOMETRIE Le radian Angles orientés Cosinus et Sinus

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1 Situation : TRIGONOMETRIE Le radian Angles orientés Cosinus et Sinus 1 Une course de cyclistes a lieu sur une piste circulaire, représentée par le cercle de centre O ci-contre. D est le point de départ de la course et A le point d arrivée. Quels sont les éléments géométriques intervenant et dont les mesures intéressent les coureurs? I. Introduction d une nouvelle mesure d angle : le radian A. Définition du radian Compléter le tableau en notant dans chaque case la longueur L de l arc DA, c est-à-dire la longueur du chemin parcouru par le cycliste, connaissant R le rayon de la piste et une mesure de l angle DOA. Mesure de l angle DOA en degré Nombre de tours Représentation Dans chaque cas, indiquer la position du point d arrivée et dessiner en couleur le chemin parcouru Valeur eacte de la longueur L pour R = 1 (en km) Valeur eacte de la longueur L pour R = (en km) Valeur eacte de la longueur L pour R quelconque (en km) 18 B. Différentes mesures d un même angle Nombre de tours Mesure de l angle en degré 5 L pour R = 1 L pour R quelconque Mesure de l angle en radian Représentation Placer les points d arrivée, A 1, A, A, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru en couleur. 5 75

2 9 5 Placer les points d arrivée, B 1, B, B, et dessiner dans chaque cas le chemin parcouru dans une couleur. 81 Comment obtient-on toutes les mesures de l angle en degré à partir d une mesure de l angle en degrés? De même, comment obtient-on toutes les mesures en radian à partir d une mesure α de l angle en radians? C. Applications 1. Longueur d un arc de cercle C est un cercle de centre O et de rayon R. AB est un arc de C, L sa longueur et α la mesure en radian de l angle AOB. Eprimer L en fonction de R lorsque : α = α = α = L = L = L = A retenir :. Conversions Compléter le tableau suivant : Mesure en degrés Mesure 5 5 en radians α. Le rapporteur a) Placer, en bleu, sur le cercle ci-dessous les points correspondants à un angle au centre de, 5,, 9, 1, 15, 15, 18, 1, 5,, 7,, 15,,. b) Placer, en rouge, sur le rapporteur circulaire ci-dessus les mesures correspondantes en radians. c) Placer, à l aide d un rapporteur, les points M et N correspondants respectivement à un angle au centre de rad et 5 rad.

3 A retenir : II. Orientation sur le cercle A. Orientation du cercle et angles orientés Problème : La règle du jeu consiste pour les coureurs à parcourir km en partant du point de départ «D», sur une piste circulaire de périmètre km. Où peut-on planter le poteau d arrivée A? Angle orienté : On note ( OD, OA ) l angle décrit par le coureur lorsqu il va de D à A. Eercices : On considère le cercle de rayon 1 d origine A. Compléter les tableau suivants : Point de départ A A B C E Longueur du chemin parcouru en mètres Sens du parcours Point d arrivée Notation une mesure en tours une mesure en radians E ( OA, OE ) ( OA, ) ( OB, O ) ( O, O ) ( O, O )

4 Point de départ F F E B D Longueur du chemin parcouru en mètres 7 Sens du parcours Point d arrivée Notation une mesure en tours une mesure en radians ( OF, ) ( OF, ) (, ) (, ) (, ) III. Cosinus et sinus d un angle quelconque Définition : dans un repère orthonormé ( O ; OI, OJ), on appelle cercle trigonométrique, le cercle C de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct. Eprimer les coordonnées du point M ci-contre en fonction de : M a pour coordonnées (. ; ) sin J M Nouvelle définition du sinus et du cosinus : Dans le cercle trigonométrique C muni du repère orthonormé ( O ; OI, OJ ), étant un réel quelconque, M est un point de C associé à. Le cosinus de, noté cos est l abscisse de M Le sinus de, noté sin est l ordonnée de M O cos I Propriétés immédiate : pour tout de IR: - 1 cos 1 et - 1 sin 1 cos ² + sin ² = 1 rad cos sin IV. Fonctions trigonométriques Définition On appelle fonction cosinus la fonction, notée cos, qui à tout nombre réel associe cos : On appelle fonction sinus la fonction, notée sin, qui à tout nombre réel associe sin : cos sin

5 5 cos 1 sin / / V. Résolution d équations 1. sin = a ( recherche de en radians) si a < -1 ou si 1 < a alors il n y a pas de solution si a = 1 alors il y a une seule solution : = + k avec k Z si a = -1 alors il y a une seule solution : = - + k avec k Z si 1 < a < 1 alors il y a deu solutions. On utilise la propriété suivante : sin = sin β = β + k ou k = β + k Méthode : trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III. si la valeur est négative, on utilise la propriété : sin ( - ) = -sin on écrit les deu égalités puis on les résout si besoin.

6 Eemple : a) sin = 1 ( -1 < 1 < 1 ) On sait que = convient On peuvent donc s écrire : = + k avec k Z ou = - soit = 5 + k avec k Z + k b) sin = - 1 sin = 1 donc sin ( - ) = - 1 On peuvent donc s écrire : = - + k avec k Z ou = - ( - ) + k avec k Z = + soit = 7 + k + k c) sin ( - ) = 1 On peuvent donc s écrire : - = + k avec k Z = + k ou - = - = + k = + k + k avec k Z = + k. cos = a si a < -1 ou si 1 < a alors il n y a pas de solution si a = 1 alors il y a une seule solution : = k avec k Z si a = -1 alors il y a une seule solution : = + k avec k Z si 1 < a < 1 alors il y a deu solutions. On utilise la propriété suivante : = α + k cos = cos α ou k = α + k Méthode : trouver un angle connu dans le tableau de valeurs du III. si la valeur est négative, on utilise la propriété : cos ( - ) = - cos on écrit les deu égalités puis on les résout si besoin. Eemple : a) cos = 1 ( -1 < 1 < 1 ) On sait que = convient

7 On peuvent donc s écrire : = + k avec k Z ou = - + k avec k Z 7 b) cos = - 1 cos = 1 donc cos ( ) = - 1 On peuvent donc s écrire : = = + k avec k Z ou = - + k avec k Z c) cos ( - ) = 1 On peuvent donc s écrire : - = = = + k avec k Z + k + k ou - = - = k = k + k avec k Z VI. Formules : Les formules ci-dessous sont vraies pour tout réel, mais pour faciliter la mémorisation, on place entre et. cos ( ) = cos cos ( ) = cos cos ( + ) = cos cos ( ) = sin cos ( + ) = sin sin ( ) = sin sin ( ) = sin sin ( + ) = sin sin ( ) = cos sin ( + ) = cos Application : Résoudre cos = sin : Méthode : on transforme une epression, sin par eemple : cos = cos ( - ) que l on sait résoudre.

8 8 Formules d addition, de duplication : ( application du produit scalaire ) cos ( a + b ) = cos a cos b sin a sin b cos ( a - b ) = cos a cos b + sin a sin b sin ( a + b) = sin a cos b + sin b cos a sin ( a - b) = sin a cos b - sin b cos a cos a = cos ² a 1 cos a = 1 sin ² a sin a = sin a cos a Application : Calcul de valeur eacte : cos ( 1 ) = cos ( 1-1 ) = cos ( - ) = cos cos + sin sin = 1 + = ( 1 + )