La méthode PHI2 ou comment prendre en compte la dépendance du temps dans une analyse en Þabilité

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1 La méthode PHI2 ou comment prendre en compte la dépendance du temps dans une analyse en Þabilité mécanique C. Andrieu-Renaud a,m.lemaire a,b.sudret b a LaRAMA, Campus de Clermont-Ferrand / les Cézeaux, BP 265, F Aubière cedex celine.andrieu@ifma.fr b EDF RD, MMC, Site des Renardière, F Moret-sur-Loing cedex bruno.sudret@edf.fr Résumé La maîtrise de la sûreté et des coûts de maintenance des structures industrielles passe par un calcul Þable de leur durée de vie ; ce qui implique de prendre en compte la variabilité de leur environnement naturel ou de service et de leur dégradation. Certaines méthodes permettent de faire un tel calcul notamment la méthode PHI2 présentée dans cet article et appliquée à un cas simple dont l intérêt est de raccrocher le raisonnement proposé, qui n est pas trivial, à une situation élémentaire connue des mécaniciens des structures. 1 Introduction La maîtrise de la sûreté et des coûts de maintenance des structures industrielles passe par un calcul de leur durée de vie. Cette dernière dépend à la fois de leur environnement naturel ou de service et de leur dégradation. L un comme l autre pouvant présenter de fortes variabilités, une évaluation probabiliste de la durée de vie est nécessaire. Le vieillissement d une structure est souvent étudié pas à pas grâce à des analyses probabilistes instantanées et indépendantes. Le temps est en fait considéré comme un simple paramètre et ne joue pas un rôle actif. Les structures étudiées ne sont pas non plus isolées : elles fonctionnent dans un environnement incertain ; sont soumises à des sollicitations extérieures. L obtention d une information plus précise et plus réaliste nécessite en toute rigueur l utilisation d une théorie de la Þabilité introduisant toute la dépendance nécessaire par rapport au temps. La dépendance envers le temps peut être de deux types : les propriétés des matériaux peuvent se dégrader dans le temps. Les mécanismes de dégradation présentent habituellement une phase d initiation et une phase de propagation.

2 La durée d initiation ainsi que les cinétiques de propagation peuvent être considérées comme aléatoires dans les analyses. le chargement peut être aléatoire dans le temps : les processus stochastiques sont alors introduits dans l analyse. Ces deux types de dépendance nécessitent différentes méthodes d analyse. La première section de cet article expose les concepts nécessaires intervenant dans un problème de Þabilité fonction du temps. Des méthodes permettant de traiter de tels problèmes existent. La première qui est la plus connue et qui semble la plus aboutie à ce jour, se nomme Approche Asymptotique. Elle peut s avérer d utilisation délicate. La seconde, dite méthode PHI2 est celle que nous avons développée et qui est présentée dans la seconde section de cet article. Elle est appliquée dans une troisième section au cas d une poutre sur deux appuis supportant son poids propre et une action ponctuelle dont la date d occurence et l intensité sont aléatoires. 2 Les concepts de la Þabilité fonction du temps Une déþnition du mot Þabilité est donnée par le texte retenu par l AFNOR [1] : «aptitude d un dispositif à accomplir une fonction requise dans des conditions données, pendant une durée donnée... le terme est aussi utilisé comme caractéristique désignant une probabilité de succès ou un pourcentage de succès». La Þabilité des structures concerne donc la prédiction de la probabilité de dépassement d un état-limite, à chaque instant, tout au long de la durée de vie en service. La probabilité d occurrence d un tel événement la violation de l état-limite est une mesure numérique de la (mal)chance d occurrence. La violation de cet état-limite peut être déþnie comme l atteinte d une condition non désirable dans le comportement de la structure, comme une exigence non satisfaite. Une exigence à satisfaire est représentée par une règle, ou un ensemble de règles, issue de scénarios de défaillance dépendant du problème mécanique considéré. L exemple le plus simple est le modèle R S oùr désigne une résistance et S une sollicitation, dont l état-limite associé est R S =0. Plus généralement, une fonction de performance est associée à une règle de fonctionnement, elle est notée G(t, X(t, ω)) où X(t, ω) est le vecteur des variables de conception, t le temps et ω l aléa. Le vecteur X (t, ω) de dimension p + q est composé, dans cet article, de variables aléatoires R j (ω), j =1,...,p et de processus stochastiques scalaires indépendants S j (t, ω), j =1,...,q. La probabilité d occurrence peut être déterminée à une date donnée, supposée indépendante des états précédents (non conditionnée par rapport aux instants précédents). La probabilité instantanée de défaillance P f,i (t) est alors calculée. Elle est déþnie par (Eq. (1)) : P f,i (t) =Prob (G(t, X(t, ω)) 0) (1) P f,i (t) est la probabilité que la structure soit défaillante à l instant t. OnpeutalorsdéÞnir l indice de Þabilité β (t) par : β (t) = Φ 1 (P f,i (t))

3 où Φ est la fonction de répartition Gaussienne. L événement : E = { τ [t 0,t],tq.G(τ, X(t, ω) 0} traduit un franchissement de l état-limite G (τ, X(t, ω)) = 0 vers le domaine de défaillance D f et c est le premier franchissement qui est recherché (Þrst outcrossing). t 0 est la date de mise en service de la structure. Il y a défaillance dès qu un franchissement entrant dans D f est observé. Une hypothèse importante à vériþer est que, sur un intervalle de temps [τ, τ + h], h sufþsamment petit, il ne peut y avoir qu un seul franchissement. La première déþnition du taux de franchissements, noté ν (τ), vient de la formule de Rice publiée en 1944 [9], [10]. Elle est basée sur l hypothèse que les trajectoires sont continûment dérivables. Elle est rappelée par Ditlevsen et Madsen [5] dans le contexte de la Þabilité mécanique. Le taux est déþni par : A = {système fonctionnant à τ} {G(τ, X(t, ω)) > 0} B = {système défaillant à τ + τ} {G(τ + τ, X(t + τ, ω)) 0} Prob (A B) ν (τ) = lim τ 0 τ = lim τ 0 Prob ({G(τ, X(t, ω)) > 0} {G(τ + τ, X(t + τ, ω)) 0}) τ (2) u 2 A : le système fonctionne à τ B : le système est défaillant à τ+ τ β(τ) Prob( A B) β(τ+ τ) iso densités Φ 2 FIG. 1 : illustration du calcul de P f,c par intersection des événements. La probabilité, Prob(E), de l événement E = A B (FIG. 1) estalorslaprobabilité cumuléededéfaillance(time variant): Prob (E) =P f,c (t 0,t)=Prob ( τ [t 0,t],tq.G(τ, X(t, ω)) 0) Il s agit de la probabilité que la structure soit défaillante avant l instant t. Elle est en général très difþcile à déterminer, c est pourquoi on calcule plutôt une borne supérieure de P f,c (t 0,t) déþnie par : P f,c (t 0,t) P f,i (t 0 )+ ν (τ) étant ici le taux de franchissements global. Z t u 1 t 0 ν (τ) dτ (3)

4 3 Calcul du taux de franchissements La méthode classiquement appelée approche asymptotique (Rackwitz et al. [11], [4]) utilise la théorie des franchissements et des résultats analytiques (intégration asymptotique) pour la résolution. Elle permet de traiter des problèmes faisant intervenir des chargements aléatoires. Une borne supérieure de la probabilité cumulée de défaillance est ainsi déterminée. Des outils spéciþques doivent alors être implémentés, par exemple les formules d intégration asymptotique [8]. Hagen et Tvedt [6] ont suggéré une autre approche basée sur une formulation en Þabilité selon un système de composants mis en parallèle pour déterminer le taux de franchissements. Cette idée a été utilisée par Li et Der Kiureghian [7] dans le cadre de la dynamique des structures. La Þabilité système intervient au niveau du calcul de ν (τ) τ qui est déþnie comme la probabilité de l intersection des deux événements A et B déþnis en (2). La méthode PHI2 [3] est inspirée de cette approche du problème. La démarche de calcul est illustrée ici lorsque l approximation FORM est utilisée : L indicedeþabilité β (τ) associé à {G (τ, X (τ, ω)) 0} est calculé après avoir gelé le temps (qui devient un simple paramètre) dans toutes les fonctions dépendantes du tempsetenayantremplacélesprocessusaléatoiress j (t, ω) par les variables aléatoires correspondantes S (1) j (ω). Une approximation de premier ordre FORM (First Order Reliability Method) correspond à remplacer la surface d état-limite par l hyperplan tangent à l état-limite au point de conception, soit α(τ) u + β(τ) =0dans l espace standard. Par conséquent, l indice de Þabilité associé à {G (τ, X (τ, ω)) > 0} est β(τ)(a 0 : α(τ) u β(τ) 0). L indicedeþabilité β (τ + τ) associé à {G (τ + τ, X (τ + τ, ω)) 0} est calculé par une seconde analyse FORM. Les processus aléatoires S j (t, ω) sont remplacés par un autre jeu de variables aléatoires S (2) j (ω) différentes de S (1) j (ω) mais corrélées avec ces dernières. Le coefþcient de corrélation est donné par : ³ ρ S (1) j (ω),s (2) j (ω) = ρ Sj (τ, τ + τ) où ρ Sj (τ, τ + τ) correspond à la fonction de covariance normalisée du processus S j (t, ω). La surface d état-limite en approximation FORM est donnée par α(τ + τ) u + β(τ + τ) 0 dans l espace standard. L indice de Þabilité correspondant à {G (τ + τ, X (τ + τ, ω)) 0}estalorsβ(τ + τ). La corrélation entre les états-limites représentant les deux événements A et B est : ρ G (τ, τ + τ) = α(τ) α(τ + dτ) La probabilité de A B est alors, en approximation FORM : Prob (A B) =Φ 2 (β (τ), β (τ + τ) ;ρ G (τ, τ + τ)) où Φ 2 est la fonction de répartition de la loi binormale. En reportant cette expression dans la relation (2), on obtient le taux de franchissements en première approximation : ν (τ) PHI2 = Φ 2 (β (τ), β (τ + τ) ;ρ G (τ, τ + τ)) τ (4)

5 où τ doit être sélectionné correctement via une étude de convergence. La fonction de répartition binormale est implémentée avec le logiciel MATHCAD sous la forme d une procédure. Cette procédure est fonction du temps τ et de l intervalle τ. Ce dernier doit être choisi correctement. Il doit être sufþsament faible pour assurer la validité de l écriture en différence Þnie mais pas trop pour ne pas entraîner de problème de stabilité. Cette méthode est valable quel que soit le type de défaillance. En effet, elle peut se produire à cause d une réalisation particulièrement sévère de l environnement ou bien à cause d une dégradation excessive des matériaux. Le principal avantage, comparé à l approche asymptotique, est que cette méthode nécessite l utilisation uniquement d outils de la Þabilité classique indépendante du temps (time-invariant). 4 Cas d application La méthode PHI2 est appliquée à un exemple concernant une poutre sur deux appuis supportant son poids propre et une action ponctuelle dont la date d occurrence et l intensité sont aléatoires. Cet exemple peut sembler simple, voire simpliste, mais il présente l intérêt de raccrocher le raisonnement proposé, qui n est pas trivial, à une situation élémentaire connue des mécaniciens des structures. Une analyse plus Þne montre que ce schéma est assez général et peut être appliqué à des situations diverses. De telles situations se trouvent dans des systèmes mécaniques placés dans des environnements pouvant présenter un caractère exceptionnel. Trois études peuvent être menées. La première est classique, le temps ne joue pas un rôle actif, la seconde est dépendante du temps de part la modélisation de la force ponctuelle mais la date d application de l effort est déterministe. Ces deux premières études ne sont pas développées ici mais peuvent être consultées dans [2]. La troisième étude, présentée ici, utilise un modèle plus afþné dans le sens où la date d application de l effort est aléatoire. 4.1 Structure étudiée L exemple que nous étudions est celui d une poutre de section rectangulaire sur deux appuis simples, en béton armé. Elle est de longueur L =10m et de section rectangulaire (largeur b =0, 2 m, hauteur h =0, 2 m et inertie I = bh 3 /12). La résistance à 28 jours est f c28 =30MPa. Le module d Young instantané est E 28 = p f c28 = MPa. La poutre est soumise à son poids propre p (en notant ρ =2500kg/m 3 la masse volumique du béton, cette action est égale à p = ρ bh =1000N/m) et à un effort ponctuel S en milieu de travée, dont l occurence est aléatoire. En utilisant un modèle visco-élastique linéaire non vieillissant, la ßèche sous poids propre à l instant t s écrit : δ W (t) = 5 pl 4 t 384 E 28 I (1 + ϕ (t, t tc c)) où ϕ (t, t c )=ϕ t tc + K Pour l étude, nous prenons ϕ = 2. Les valeurs des différents paramètres en jeu sont : t c =28jours et K =15, 8 cm calculé à partir des dimensions de la section de la poutre.

6 Le chargement extérieur est un effort ponctuel S appliqué en milieu de travée sur une durée d un an commençant à t d. Cette durée est modélisée via un échelon H (t t d ) H (t t f ) où t f = t d +1an. La ßèche δ S (t) due à cet effort, si la durée d application est courte, est : δ S (t) = SL3 48 E 28 I (H (t t d) H (t t f )) 4.2 Analyse probabiliste Variable Loi Moyenne cv p Lognormale 1000 N/m 10 % ϕ Lognormale 2 20 % K Lognormale 15,8 cm 30 % S Normale 5000 N 20 % TAB. 1: données probabilistes de l étude de la poutre sous ßuage. Nous étudions la défaillance de cette poutre par dépassement d une ßèche limite δ lim = 10 cm. La fonction de performance s écrit : G (t, X (t, ω)) = δ lim δ W (t) δ S (t) Les variables aléatoires en jeu sont données tableau 1. L application est faite sur l intervalle de temps [0, 50 ans]. La force appliquée en milieu de travée S est modélisée par un processus aléatoire Gaussien stationnaire appliqué à t d pendant un an. La fonction de covariance normalisée de ce processus est : Ã µ 2! t2 t 1 ρ S (t 1,t 2 )=exp avec l =18jours (5) l La date d application t d suit une loi uniforme sur [0, 49 ans]. 4.3 Etude Calcul des indices de Þabilité β (t) et β (t + t) : la méthode classique FORM ne peut pas être appliquée pour calculer l indice de Þabilité en fonction du temps en raison de la discontinuité sur le temps. La simulation de Monte-Carlo a donc été retenue pour obtenir β (t) et β (t + t). Pour calculer ces indices, on effectue une analyse instantanée, ce qui signiþe que le processus S est remplacé pour l analyse dans la fonction de performance par une variable aléatoire appropriée. Plus précisément, on note S t la variable aléatoire associée au processus à t, S t+ t la variable aléatoire associée au processus à t + t, non corrélée à S t et St+ t la variable aléatoire associée au processus à t + t,corréléeàs t.

7 Sachant que le processus est Gaussien, la relation liant la réalisation du processus à t -S t - à celle à t + t - S t+ t - fait intervenir la fonction de covariance normalisée ρ S (t, t + t) du processus et utilise la relation de corrélation de variables Gaussiennes : q S t+ t = ρ S (t, t + t) S t + 1 ρ 2 S (t, t + t)s t+ t Cette relation nous permet de simuler correctement les réalisations corrélées à partir de réalisations indépendantes. Un nombre total de simulations a été utlisé à chaque pas de temps t. Ce nombre élevé est nécessaire pour avoir un coefþcient de variation (cov) inférieur à 5%. L indice de Þabilité obtenu est représenté en fonction du temps à la FIG. 2, le coefþcient de variation de la simulation est représenté à la FIG β(t) Temps (ans) 5 4,5 4 3,5 3 2,5 cov (%) 2 1,5 1 0, Temps (ans) FIG.2:indicedeÞabilité en fonction du temps. FIG 3 : coefþcient de variation de la simulation. Calcul de la corrélation ρ G (t, t + t) : La corrélation entre les états-limites peut être obtenue grâce à une régression linéaire de G (t + t, X (t + t, ω)) en fonction de G (t, X (t, ω)). La Þgure FIG. 4 illustre la méthode à t =10ans. Calcul du taux de franchissements et de la probabilité cumulée de défaillance : Une fois que les indices de Þabilité β (t) et β (t + t) et la corrélation ρ G (t, t + t) ont été calculés comme indiqué ci-dessus, il est possible d appliquer l équation (4) pour obtenir le taux de franchissements. Il est ensuite intégré par la méthode de Simpson. La borne supérieure de la probabilité cumulée de défaillance (Eq. (3)) obtenue est représentée à la FIG.5. Couple G (t ) et G (t + t ) à t =10 ans 0,2 0,1 0 G (t + t -0,4 ) -0,3-0,2-0,1 0-0,1 0,1 0,2-0,2-0,3-0,4 G (t ) FIG. 4 : couples pour obtenir ρ G (t, t + t). 4,5E-01 4,0E-01 3,5E-01 3,0E-01 2,5E-01 P f,c 2,0E-01 1,5E-01 1,0E-01 5,0E-02 0,0E+00 Borne sup. de la probabilité cumulée Borne inf. de la probabilité cumulée Temps (ans) FIG.5:P f,c (0,t) en fonction du temps.

8 5 Conclusion La méthode PHI2 permet de traiter des cas dont la dépendance envers le temps peut provenir aussi bien du chargement que de la dégradation des matériaux et n exige pas d hypothèses au-delà de la connaissance de la fonction d autocorrélation. Son second avantage est d utiliser les outils de la Þabilité classique, elle ne demande pas de logiciel spéciþque. EnÞn, elle peut prendre en compte un événement exceptionnel dans un mode de fonctionnement ordinaire. 5.1 Remerciements Les auteurs tiennent à remercier particulièrement Electricité de France (EDF) qui a soutenu cette rechreche par l intermédiaire d un accord de coopération conclu entre EDF R&D/MMC et IFMA/LaRAMA. Références [1] AFNOR, NF X (1988). [2] ANDRIEU-RENAUD C., Fiabilité mécanique des structures soumises à des phénomènes physiques dépendant du temps. Université Blaise Pascal - Clermont II (déc. 2002) [3] ANDRIEU, C.AND LEMAIRE, M.AND SUDRET, B. The PHI2 method : a way to assess time-variant reliability using time-invariant reliability tools. Proc. European Safety and Reliability Conference ESREL 02, ISDF, (2002). [4] BRYLA, P., FABER, M.H., RACKWITZ, R. Second Order Methods in Time Variant Reliability Problems. Proc. OMAE 91, II, (1991). [5] DITLEVSEN, O., MADSEN, H.O. Structural Reliability Methods. John Wiley and Sons (1996). [6] HAGEN, O., TVEDT, L. Vector Process Out-Crossing as Parallel System Sensitivity Measure. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 121(10), (1991). [7] LI, C.C., DER KIUREGHIAN, A. Mean Out-Crossing Rate of Nonlinear Response to Stochastic Input. In proc. 7th Int. Conf. on Applications of Statistics and Probability (ICASP) in Civil Engineering Reliability and Risk Analysis, Ed. M. Lemaire, J-L. Favre, et A. Mébarki, Balkema, (1995). [8] RACKWITZ, R. Computational techniques in stationary and non-stationary load combination A review and some extensions. J. Struct. Eng, 25(1), 1 20 (1998). [9] S.O. RICE. Mathematical analysis of random noise, part I and II. Bell System Tech. J., 32, (1944). [10] S.O. RICE. Mathematical analysis of random noise, part III and IV. Bell System Tech. J., pages , (1944). [11] SCHALL, G., FABER, M.H., RACKWITZ, R. The Ergodicity Assumption for Sea States in the Reliability Estimation of Offshore Structures. Journal of Offshore Mechanics and Arctic Engineering, 113, (1991).