Méthodes de Monte Carlo pour les options Américaines

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1 Méthodes de Monte Carlo pour les options Américaines Jérôme Lelong Vendredi 23 octobre 2009 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

2 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

3 Introduction Le modèle de marché Le modèle de marché On considère un modèle de Black Scholes d dimensionnel. Soit S t := ( St 1 ),...,Sd t le vecteur des cours des actifs. ( W 1 t,...,wt d ) t 0 d M.B. standard de matrice de corrélation Γ, on note L sa racine carrée (obtenue par factorisation de Cholesky par exemple). r > 0 le taux d intérêt sans risque (supposé constant). δ 1,...,δ d > 0 les taux de dividende des actifs S 1 t,...,sd t, supposés déterministes et constants. σ := (σ 1,...,σ d ) le vecteur des volatilités des actifs. S 0 := ( S 1 0,...,Sd 0 ) le vecteur des valeurs initiales des actifs (supposées déterministes). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

4 Introduction Le modèle de marché Le modèle de marché (cont.) La dynamique du court de l actif i est donnée par De manière équivalente ds i t = Si t ( ) r dt + σ i dwt i. ds i t = Si t (r dt + σ i L i db t ), avec B un M.B d dimensionnel et L i la i eme ligne de la matrice L. ( ) ) 1 St i = Si 0 ( t exp 2 σ2 i r + δ i + σ i L i B t, J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

5 Introduction Options Bermuda Rappel sur les options Européennes Une option Européenne de maturité T et de payoff φ(s T ) ne peut être exercée qu à l instant T et paye à cette date φ(s T ). Son prix à l instant t est donné par la valeur à l instant t du portefeuille de couverture V t permettant à l émetteur de l option de se couvrir (i.e. V T = φ(s T )) V t = H 0 t ert +H t S t. V est auto-financé, Ṽ t = V 0 + t 0 H u d S u avec la notation X t = e rt X t. S t = e σ2 2 t+σw t, d où d S u = σs u db u. Ainsi, Ṽ t = V 0 + t 0 H u σ S u db u est une martingale. Donc, Ṽ t = E(Ṽ T F t ). V t = e r(t t) E(φ(S T ) F t ). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

6 Introduction Options Bermuda Options Bermudas I Considérons une grille de temps 0 = t 0 < t 1 < < t N = T de pas δt. Une option Bermuda peut être exercée à tout instant t 0,...,t N, et paye φ(s tk ) si elle est exercée à l instant t k. Comment évaluer son prix V t à l instant t : V T = φ(s T ), V T δt = max ( φ(s T δt ),E(e rδt φ(s T ) F T δt ) ) = max ( φ(s T δt ),E(e rδt V T F T δt ) ). En reproduisant aux pas de temps antérieurs, { VT = φ(s T ) V t = max ( φ(s t ),E(e rδt V t+δt F t ) ) pour t=t 0,...,t N 1 Une option Bermuda est toujours plus chère (au sens large) que l option Européenne correspondante. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

7 Introduction Options Bermuda Options Bermudas II Considérons, { VT = φ(s T ) V t = max ( φ(s t ),E(e rδt V t+δt F t ) ) pour t=t 0,...,t N 1 De manière équivalente en posant Ṽ t := e rt V t {ṼtN = e rt N φ(s tn ) Ṽ tk = max ( e rt k φ(s tk ), E(Ṽ tk+1 F tk ) ), 0 k N 1. (Ṽ t ) t est l enveloppe de Snell de la suite (e rt φ(s t )) t. Ṽ tk = esssup E(e rτ φ(s τ ) F tk ). τ {t k,...,t N } J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

8 Introduction Options Bermuda Options Bermudas II (cont.) τ k := min{t {t k,...,t N }, φ(s t )e rt = Ṽ t } est le t.a. optimal après t k sur l intervalle de temps discret [t k,t N ]. Ṽ tk = E(e rτ k φ(s τ k ) F t k ). Remarque : on peut en fait remplacer F t par S t. V tk = E(e r(τ k t k) φ(s τ k ) S t k ) V tk = esssup E(e r(τ t) φ(s τ ) F tk ) (1) τ t.a. {t k,...,t N } J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

9 Introduction Options Bermuda Résolution par méthodes d arbres On remplace la dynamique de (S ti ) 0 i N par une marche aléatoire (X i ) 0 i N. { Xi u avec probabilité p, X i = X i d avec probabilité 1 p. Dans le modèle binomial, le prix P est donné par P(t N,X N ) = φ(x N ) P(t j 1,X j 1 ) = max ( φ(x j 1 ), e r(t j t j 1 ) (P(t j,x j 1 u)p +(1 p)p(t j,x j 1 d)) ) 1 j N. Complexité : en dimension d, N d+1 noeuds dans l arbre. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

10 Introduction Options Bermuda Application de la méthode d arbre au Put Put à la monnaie en dimension Cox Ross Rubinstein Kamrad Ritchken FIG.: Cv en fonction du nombre de pas de temps J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

11 Introduction Options Bermuda Quelques remarques { VT = φ(s T ) V t = max ( φ(s t ),E(e rδt V t+δt F t ) ) pour t=t 0,...,t N 1 Une option Bermuda est toujours plus chère (au sens large) que l option Européenne correspondante. Supposons δ = 0. Considérons un call Bermuda de payoff φ(s t ) = (S t K ) +. Pour tout t, V t+δt φ(s t+δt ). D où e rδt E(V t+δt S t ) e rδt E(φ(S t+δt ) S t ) ( E(e rδt S t+δt S t ) K e rδt) + (S t K e rδt ) + (S t K ) +. = V t = e rδt E(V t+δt S t ). On retrouve le prix de l option Européenne. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

12 Introduction Options Américaines Options Américaines Une option américaine de maturité T est un contrat qui peut être exercé, à la discrétisation de son détenteur, à tout instant entre [0,T]. Une option américaine peut donc être vu comme une option Bermuda lorsque le N. Ainsi, le prix est à l instant d une option américaine de maturité T et de payoff φ est donné par P(t,S t ) := esssupe(e r(τ t) φ(s τ ) S t ), τ T t,t En pratique, on considère toujours des options Bermuda. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

13 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

14 Les algorithmes 3 types d algorithmes : 1 Itération sur les politiques d arrêt (a) approximation du temps d arrêt optimal τ, (b) calcul de E(e rτ φ(s τ )) par une méthode de Monte Carlo. 2 Itération sur les valeurs (a) utilisation de l équation de programmation dynamique, (b) approximation de l espérance conditionnelle E(e rδt P(t j,s tj ) S tj 1 ), (c) P(t 0,S t0 ) donne le prix à l instant 0. 3 Méthodes duales J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

15 Rappel du problème Une option de payoff φ que l on peut exercer en N dates 0 = t 0 < t 1 < < t N = T. Le prix à l instant t d une telle option est donné par P(t,S t ) = esssupe [ e r(τ t) ] φ(s τ ) S t τ T t,t où T t,t = {t.a. à valeurs dans[t,t] {t 0,,t N }}. P satisfait { P(T,ST ) = φ(s T ) P(t,S t ) = max ( φ(s t ),E(e rδt P(t + δt,s t+δt ) S t ) ) pour t=t 0,...,t N 1 [ ] P(t k,s tk ) = E e rτ k φ(s τ ) S t avec k τ k = inf{ t {t k,...,t N },φ(s t ) = P(t,S t ) } τ k = inf{ t {t k,...,t N },φ(s t ) e rδt E(P(t + δt,s t+δt ) F t ) } J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

16 Algorithme de Longstaff Schwartz 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

17 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Longstaff Schwartz Principe : Tirer M trajectoires du modèle de Black Scholes (ω i ) 1 i M. Sur chaque trajectoire, calculer la quantité τ (ω i ). P(t 0,S t0 ) est ensuite calculé par une méthode de Monte Carlo P M 0 = 1 M M e rτ (ω i ) φ(s τ (ω i )(ω i )) (2) i=1 Construction de τ : équation de programmation dynamique sur les politiques d arrêt. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

18 Algorithme de Longstaff Schwartz Programmation dynamique pour τ On cherche à construire une suite (τ i ) 0 i N de manière rétrograde t.q. pour i fixé, τ i soit le t.a. optimal après l instant t i. τ i := min { t {t i,...,t N }, φ(s t ) P(t,S t ) }. La suite (τ i ) 0 i N peut se réécrire de manière récursive { τ N = T τ i = t i 1 {φ(sti ) P(t i,s ti )} + τ i+1 1 {φ(s ti )<P(t i,s ti )} 0 i N 1. On peut supprimer la dépendance en P grâce à l équivalence ( ) φ(s ti ) < P(t,S ti ) max φ(s ti ),E(e rδt P(t i+1,s ti+1 ) S t ) = E(e rδt P(t i+1,s ti+1 ) S t ) ( ) φ(s ti )e rδt < E E(e rτ i+1 φ(sτ ) S t i+1 i+1 ) S ti. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

19 Algorithme de Longstaff Schwartz Programmation dynamique pour τ On cherche à construire une suite (τ i ) 0 i N de manière rétrograde t.q. pour i fixé, τ i soit le t.a. optimal après l instant t i. τ i := min { t {t i,...,t N }, φ(s t ) P(t,S t ) }. La suite (τ i ) 0 i N peut se réécrire de manière récursive { τ N = T τ i = t i 1 {φ(sti ) P(t i,s ti )} + τ i+1 1 {φ(s ti )<P(t i,s ti )} 0 i N 1. On peut supprimer la dépendance en P grâce à l équivalence ( ) φ(s ti ) < P(t,S ti ) max φ(s ti ),E(e rδt P(t i+1,s ti+1 ) S t ) = E(e rδt P(t i+1,s ti+1 ) S t ) ( ) φ(s ti )e rδt < E e rτ i+1 φ(sτ ) S t i+1 i. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

20 Algorithme de Longstaff Schwartz Programmation dynamique pour τ (cont.) On pose { } A i := φ(s ti )e rδt E(e rτ i+1 φ(sτ ) S t i+1 i ). (3) τ i { τ N = T = t i 1 Ai + τ i+1 1 A c i 0 i N 1. (4) Il n y a plus de dépendance en P, seulement en (τ,j N). j Principale difficulté : approcher ψ i (S ti ) := E(e rτ i+1 φ(s τ ) S t i+1 i ). Idée : Utiliser le fait que l espérance conditionnelle est une projection L 2 et minimiser E[(e rτ i+1 φ(s τ ) ψ i(s ti )) 2 ] pour ψ i dans un ensemble de i+1 fonctions bien choisies. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

21 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : étape de régression On ( pose f (t,x) = e rt φ(x). On cherche à minimiser E (f (τ i+1,s τ ) ψ i(s ti )) 2). i+1 Soit (g l,l 1) une famille totale de fonctions R d R t.q. E(g l (S ti )g l (S ti ) T ) < pour tout i,l. ψ i = l 1 α i l g l := α i g. Le calcul de E(f (τ i+1,s τ i+1 ) S t i ) est remplacé par la détermination de α i qui minimise ( [ ] ) 2 E f (τ i+1,s τ ) (αi g)(s ti ). i+1 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

22 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : algorithme d arrêt optimal 1. Initialisation : τ N = t N. 2. Pour i = N : i. détermination de α i = (α i,l 1) qui minimise l ( [ ] ) E f (τ i+1,s τ ) (α i 2 g)(s ti ). (5) i+1 ii. On définit Remarque : τ i = t i 1 {f (ti,s (m) t i )e rδt (α i g)(s ti )} + τ i+1 1 {f (t i,s ti )e rδt <(α i g)(s ti )}. α i est un vecteur de taille infinie. L espérance n est pas connue explicitement. Besoin de 2 approximations : tronquer α i : revient à prendre une famille libre plutôt qu une famille totale, calculer l espérance dans (5) grâce à une méthode de Monte Carlo. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

23 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : troncature de la famille de régression Ensure: Initialisation : τ N = t N for i = N 1 to 1 do Détermination de ˆα i,k = ( ˆα i,k,1 l k) qui minimise l ( [ ] ) 2 E f ( ˆτ ) ( i+1,sˆτi+1 ˆαi,k g)(s ) ti On définit end for ˆτ i = t i 1 {f (ti,s ti )e rδt ( ˆα i,k g)(s ti )} + ˆτ i+11 {f (ti,s ti )e rδt <( ˆα i,k g)(s ti )}. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

24 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : sommes Monte Carlo au lieu de E Ensure: (S (m),m = 1,...,M) M copies indépendantes de (S t1,...,s tn ) Ensure: Initialisation : pour m = 1,...,M, τ (m) N = t N for i = N 1 to 1 do Détermination de ˆα i,k = ( ˆα i,k,1 l k) qui minimise l ( [ ( ) ] ) 1 M 2 f τ (m) M i+1,s(m) (α i,k g)(s (m) τ (m) t i ). m=1 On définit pour m = 1,...,M τ (m) i = t i 1 {f (ti,s (m) t )e rδt ( ˆα i end for Le prix est donné par ( 1 max φ(s t0 ), M i+1 (m) i,k g)(s t )} + τ(m) i+1 1 {f (t i,s (m) i t )e rδt (m) <( ˆα i,k g)(s i t )}. i M m=1 f ( τ (m) 1,S (m) ) ). τ (m) 1 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

25 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : quelques commentaires Algorithme robuste car une erreur sur l estimation de E( ) n engendre pas forcément une erreur sur le calcul de la stratégie optimale. Il peut être intéressant de travailler avec S tj = Σ 1 j (S tj m j ) m j = E(S tj ) = (S0 i e(r δ i)t j ) i [ ( ) ] Σ 2 j = Var(S t j ) = m p j mq exp t j j σ p σ q L pk L qk 1. Besoin de garder toutes les trajectoires pour calculer taille : M N d. 1 M M f m=1 k ( ) τ (m) 1,S (m). τ (m) 1 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

26 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : quelques commentaires Choix de la base de régression : On peut ajouter le payoff à la base au moins pour les temps proches de la maturité. La base peut changer au cours du temps. Souvent une famille de polynômes Attention à ne pas avoir une famille trop riche = risque d over-fitting, mauvaise stabilité numérique Glasserman et Yu (2004) : Number of paths vs number of basis functions in American option pricing. Cas log-normal : k = O( logm). Exemple :M = 100,000, k 4. Pour d = 3, polynômes d ordre 2. Cas normal : k = O(logM). Exemple :M = 100,000, k 12. Pour d = 3, polynômes d ordre 3. En dimension > 1, produit tensoriel de functions de 1 variable. Pour réduire le mauvais conditionnement du problème, considérer S t /S 0 comme variable (ou mieux S t /Var(S t )) + passage en variable log éventuellement. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

27 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : convergence Résultats rigoureux de convergence dus à E. Clément, D. Lamberton et P. Protter An Analysis of a least square regression method for American option pricing, Finance and Stochastics, Convergence L 2 quand k. A k fixé, convergence presque sûre et TCL quand M. Pas d expression de la variance limite apparaissant dans le TCL. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

28 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : amélioration On utilise la simulation rétrograde du Brownien pour ne pas conserver toutes les trajectoires. On ne garde à chaque étape j de l algorithme que les vecteurs du Brownien (S (m) t,m = 1,...,M), j du sous-jacent arrêté (S τ (m) j,m = 1,...,M). On utilise la simulation rétrograde de S tj sachant S tj+1. Taille : M d au lieu de M d N. Mise en œuvre de variables antithétiques dans la simulation des trajectoires des actifs. Si à l instant t j, φ(s tj ) = 0, on n exerce pas l option. Pas besoin de calculer E(f (τ i+1,s τ i+1 ) S t i ) sur l ensemble {φ(s tj ) = 0}. = On ne garde que les trajectoires à la monnaie. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

29 Algorithme de Longstaff Schwartz Simulation rétrograde du Brownien On cherche S tj connaissant S tj+1 (et aussi S 0 ). On utilise la simulation rétrograde du Brownien. Sachant B tj+1 = b, la loi de B tj est une loi gaussienne ( N b t ) j t j, (t j+1 t j ). t j+1 t j+1 Preuve : Il suffit de considérer la v.a. Y j = B tj βb tj+1 et de chercher β pour que Y j B tj+1. = β = t j t j+1. Y j est une gaussienne centrée indépendante de B tj+1, reste à calculer sa variance. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

30 Algorithme de Longstaff Schwartz Résolution du problème des moindres carrés ( On cherche α = argmin M R k i=1 [Z i (α g)(x i )] 2). Soit en dérivant par rapport à α j ( ( ) M k Z i α l g l )(X i ) g j (X i ) = 0, l=0 ( ) k M M g j (X i )g l (X i ) α l = Z i g j (X i ). i=1 i=1 i=1 l=0 ( ) M M Z i g(x i ) = D (M) α avec D (M) = g j (X i )g l (X i ) i=1 i=1 D est symétrique définie positive. Grâce à l algorithme de Cholesky, D = T T (T triangulaire inférieure). Reste 2 systèmes triangulaires à résoudre. j,l. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

31 Algorithme de Longstaff Schwartz Résolution du problème des moindres carrés (cont.) En pratique, D est mal conditionnée. L algorithme de Cholesky trouve des valeurs propres nulles ou légèrement négatives ( 10 6 ). Alternatives : factorisation QR : D = QR où Q est une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure. On peut ajouter une permutation P, DP = QR ( D = QRP T ) factorisation LU avec permutation pour une meilleure stabilité numérique. Utilisation d une bibliothèque externe pour résoudre le problème de moindre carrés linéaire. Bien symétriser D. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

32 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : complexité A chacune des N étapes : M d pour la simulation du sous-jacent, k(k + 1)/2 M pour calculer D plus le coût de l inversion de D, où k est le nombre de régresseurs. En réalité, seulement k(k + 1)/2 #{m : φ(s (m) t j ) > 0}. Algorithme de Cholesky : k 3 /6. Algorithme QR : 2k 3 /3 Cholesky Résolution du système triangulaire : k 2. = O(N M k 2 ). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

33 Algorithme de Longstaff Schwartz Exemples numériques Modèle de Black Scholes en dimension 3. Spot Volatility Interest rate Dividend rate 0 Correlation 0.3 Strike 100 Maturity 1 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

34 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : Influence du nombre de régresseurs (put) sans payoff avec payoff FIG.: Influence du nombre de régresseurs J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

35 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : Influence du nombre de régresseurs (put min) sans payoff avec payoff FIG.: Influence du nombre de régresseurs J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

36 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : variables antithétiques (Call) 8.57 standard antithetique prix e4 2e4 3e4 4e4 5e4 nb tirages FIG.: Réduction de variance J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

37 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : nombre de dates d exercice (Call) 8381e e e e e e e FIG.: Cv en fonction du nbre de dates d exercice (50000 tirages) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

38 Algorithme de Longstaff Schwartz LS : nombre de dates d exercice (Put) prix nb dates exercice FIG.: Cv en fonction du nbre de dates d exercice (50000 tirages) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

39 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

40 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Programmation dynamique : { P(tN,S tn ) = φ(s tn ) ( ) P(t j 1,S tj 1 ) = max φ(s tj 1 ), E(e rδt P(t j,s tj ) S tj 1 ), 1 j N. On pose Q j := E(e rδt P(t j+1,s tj+1 ) S tj ). { QN 1 = E(e rδt φ(s tn ) S tn 1 ), ( ) = E e rδt max(φ(s tj+1 ), Q j+1 ) S tj ), 0 j N 2. Q j On utilise la convention Q N = 0, ainsi ) Q N 1 = E (e rδt max(φ(s tn ),Q N ) S tn 1. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

41 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy TV : étape de régression De nouveau, on utilise une méthode de moindres carrés pour approcher Q j. Soit (g l,l 1) une famille libre de fonctions telle que E(g l (S tj )g l (S tj )) < pour tout 1 j d. On cherche à approcher ( ) Q j = E e rδt max(φ(s(t j+1 ),Q j+1 ) S tj ) = ψ j (S tj ) par k l=1 αj l g l(s tj ). ( M [ α j = argmin m=1 Q (m) j ) ] 2 (α j g)(s (m) t j ). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

42 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy TV : algorithme Ensure: Simuler M trajectoires : S (m) t N pour m = 1...M Ensure: Q (m) N = 0 pour m = 1 M for j = N 1 to 1 do = e rδt max(φ(s (m) ) pour m = 1...M. Q (m) j t j+1 ),Q (m) j+1 Trouver α j qui minimise ( M [ α Q (m) j m=1 Q (m) j := (α g)(s (m) t j ) pour m = 1...M. end for Le prix est donné par e rδt 1 M i=1 ) ] 2 (α g)(s (m) t j ). M ( ) max φ(s t0 ),Q (m) 1. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

43 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy TV : implémentation Besoin de stocker au cours de l algorithme la valeur courante du sous-jacent et du prix : vecteur M d pour le sous-jacent, vecteur M pour le prix Complexité : à chacune des N étapes M d pour la simulation du sous-jacent, k 2 M pour calculer D k 3 /6 (ou 2k 3 /3) + k 2 pour la résolution du système. M pour le Monte Carlo final. Coût total : O(N k 2 (M + k)) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

44 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy TV : comparaison avec LS LS approxime la stratégie optimale alors que TV approxime la valeur de continuation : approche fort différente, même stratégie pour le calcul des espérances conditionnelles, même complexité que LS mais utilise toute les trajectoires pas seulement celles à la monnaie, pratiquement TV est moins performant que LS : une erreur sur le calcul des E( ) se traduit obligatoirement par une erreur sur le calcul du prix. on peut aussi utiliser des régresseurs normalisés, mettre le payoff dans la base et utiliser des variables antithétiques. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

45 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy TV : Influence du nombre de régresseurs (put) FIG.: TV : Influence du nombre de régresseurs J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

46 Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Comparaison LS et TV (put) TV LS FIG.: Comparaison LS et TV (50000 tirages) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

47 Les Algorithmes de quantification 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

48 Les Algorithmes de quantification Quantification de variables aléatoires Soit X une variable aléatoire dans R d et n N. On se donne un ensemble discret Γ = {y 1,...,y n } R d, une partition Borélienne A = (A i ) i=1...n de R d telle que pour tout i, y i A i. y i est en général le centre de A i et on note A i = C i (y). Un n quantificateur est une application h n : R d telle que h n (X) = n y i 1 {X Ci (y)}. i=1 Si X L 2, un quantificateur L 2 optimal est une application h n définie par la donnée de Γ, et A qui réalise l optimum dans le problème de minimisation { inf E( X h n (X) 2 ); {y 1,...,y n } R d, (A i ) i=1...n partition de R d}. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

49 Les Algorithmes de quantification Quantification de variables aléatoires (cont.) Γ est l ensemble {y 1,...,y n } qui minimise inf{e(min y {y1,...,y n } X y 2 ); {y1,...,y n }} ; la partition A correspondante est l ensemble des cellules de Voronoi associées à ces points {y 1,...,y n }. Cellule de Voronoi associée au point y i Vor(y i ) = {x R d : y Γ d(x,y i ) d(x,y)}. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

50 Les Algorithmes de quantification Quantification de processus Soit (X k ) k un processus Markovien à temps discret simulable. On quantifie X k à chaque instant k. n k : taille de la grille de la quantification à l instant k, Γ k = {y k 1,...,yk n k } la grille de quantification à l instant k, A k = (C i (y)) i=1...nk une partition Borélienne de R d, ˆX k le processus quantifié. On définit le processus quantifié par n k ˆX k := y k i 1 {X k C k (y)}. (6) i i=1 ( ˆX k ) k n est plus un processus de Markov pour la filtration de X mais on peut calculer ses probabilités de transition p k ij := P( ˆX k+1 = y k+1 j ˆX k = y k i ). (7) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

51 Les Algorithmes de quantification Quantification et arrêt optimal On rappelle que le prix de l option américaine est donné par { VtN = φ(s tn ) V tk = max(φ(s tk ), e rδt E(V tk+1 S tk )), 0 k N 1. On quantifie le processus (S tk ) k et on considère { ˆV tn = φ(ŝ tn ) ˆV tk = max(φ(ŝ tk ), e rδt E( ˆV tk+1 Ŝ tk )), 0 k N 1. (8) Problème : Calcul de l espérance conditionnelle. On définit la suite de fonction ˆv k par ˆv N (y N ) = φ(y N ) i {1,...,n i i N } ( ) n ˆv k (y k i ) = max φ(y k k+1 i ), e rδt p k ij ˆv k+1(y k+1 j ) j=1 1 i n k 0 k N 1. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

52 Les Algorithmes de quantification Quantification et arrêt optimal (cont.) Calcul de p k ij : p k ij = P(Ŝ tk+1 = y k+1 j Ŝ tk = y k i ), = P(S tk+1 A k+1 j,s tk A k i ) P(S tk A k i ). On utilise une méthode de M.C. puisqu on sait simuler le processus S. Pratiquement : 1. Simuler (S (1),...,S (M) ), M trajectoires de S aux instants t 0,...,t n. 2. Pour k = 1,...,n, p k ij = Mm=1 1 { S (m) t k+1 A k+1 j Mm=1 1 { } S (m) t A k k i } 1 { } S (m) t A k k i. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

53 Les Algorithmes de quantification Quantification : implémentation Initialisation des ensembles de quantification (n d N) grâce à n trajectoires Browniennes. Initialisation du problème de programmation dynamique. A chacune des N étapes Simulation des M Browniens (M d) conditionnellement au pas de temps précédent (i + 1) Calcul des transitions de probabilité (n 2 M) : on peut précalculer l indice de la cellule à laquelle appartient chaque tirage. Mise à jour du problème de programmation dynamique. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

54 Les Algorithmes de quantification Quantification aléatoire ( self quantization ) Supposons que pour tout instant j, n j = n. On tire n trajectoires (S (1),...,S (n) ), aux instants t 0,...,t N et on pose y j i := S(i) t j i = 1,...,n j = 1,...,N. On prend pour A j le diagramme de Voronoi associé aux points {y j i ; i = 1,...,n}. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

55 Les Algorithmes de quantification Quantification aléatoire : nombre de quantificateurs (Put) nb reg=100 nb reg=200 nb reg=300 nb reg= prix e4 2e4 3e4 4e4 5e4 nb tirages FIG.: Influence du nombre de quantificateurs (10 dates d exercice) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

56 Les Algorithmes de quantification Quantification aléatoire : dates d exercices (Put) prix nb dates=5 nb dates=10 nb dates=15 nb dates=20 1e4 2e4 3e4 4e4 5e4 nb tirages FIG.: Influence du nombre de dates d exercice J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

57 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale Supposons que n j = n. On cherche à minimiser la distorsion à tout instant t j, ( ) 2 ( ) D j (y) := E min S tj y k = E d j (y,s tj ). avec 1 k n d j (y,ξ) = min ξ yk 2. 1 k n D j est de classe C 1 en tout point y (R d ) n et avec ( D j (y) = E d ) j, y i i=1...n d j y i (y,ξ) = (y i ξ)1 { ξ A j i }. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

58 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale (cont.) On cherche y = (y 1,...,y n ) Rdn t.q. D j (y ) = 0. On utilise un algorithme de gradient pour approcher y. Soit ξ t une suite i.i.d. selon la loi de S tj et γ t une suite réelle positive décroissante vérifiant γ t = t t γ 2 t <. Pour Y 0 R d n, Y t+1 i = Y t i γ t(y t i ξt+1 )1 { ξ t+1 A j }. i Sous certaines hypothèses, Y t i p.s. t y i. On procède ainsi pour trouver les ensembles Γ j à chaque pas de temps t 0,...,t N. Remarque : En pratique, on prend Ŝ 0 = S 0 (supposé déterministe). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

59 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale : cas gaussien Supposons que B soit un M.B. Pour y (R d ) n ( ) 2 D tj (y) := E min B tj y k = 1 k n min u yk 2 p(u,tj )du, R d 1 k n avec p(,t) la densité de B à l instant t. Si y minimise D 1, alors grâce à la propriété d échelle de la gaussienne y j = t j y minimise D tj. Approximation de y. Soit Y N (0,I d ) et y 0 (R d ) n. On pose y n+1 k := E ( Y Y C k (y n ) ). (D 1 (y n )) n décroît et y n tend vers un minimum local de D 1 (global pour le cas N (0,I d )). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

60 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale : nombre de quantificateurs (Call) prix nb quantificateurs=50 nb quantificateurs=100 nb quantificateurs=200 1e4 2e4 3e4 4e4 5e4 nb tirages FIG.: Influence du nombre de quantificateurs J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

61 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale : nombre de quantificateurs (Put) prix nb quantificateurs=50 nb quantificateurs=100 nb quantificateurs=200 1e4 2e4 3e4 4e4 5e4 nb tirages FIG.: Influence du nombre de quantificateurs J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

62 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale : dates d exercice (Call) prix nb dates exercice FIG.: Influence du nombre de dates d exercice J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

63 Les Algorithmes de quantification Quantification optimale : dates d exercice (Put) prix nb dates exercice FIG.: Influence du nombre de dates d exercice J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

64 Méthode duale 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

65 Méthode duale Méthodes duales I { UT = e rt φ(s T ) U t = max ( e rt φ(s t ),E(U t+δt F t ) ) pour t=t 0,...,t N 1 (U t ) t est une sur-martingale. Décomposition de Doob-Meyer : U t = U 0 + M t A t où M est une martingale nulle en zéro et A un processus croissant prévisible nul en zéro. Rogers (2002) et Haugh & Kogan (2001) ont montré que Théorème 1 [ ] U 0 = inf M H0 1 E sup(e φ(s t ) M t ) t T avec H 1 0 l ensemble des martingales nulles en zéro et t.q. sup t T M t est intégrable. De plus, M réalise l infimum. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

66 Méthode duale Méthodes duales II Idées de la preuve. 1 U 0 = sup τ T E(e rτ φ(s τ )) = supe(e rτ φ(s τ ) M τ ) τ T 2 D autre part, e rt φ(s t ) U t = U 0 + M t A t. E(sup(e rt φ(s t ) M t )) t T inf M H 1 0 E(sup t T (e rt φ(s t ) M t )) E(sup(e rt φ(s t ) Mt )) t T E(sup(U t Mt t T = U 0. )) = E(sup(U 0 A t )) t T J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

67 Méthode duale Approche de Rogers pour le Put (dimension 1) I 1 Approcher le prix par inf λ E(sup t T (e rt φ(s t ) λm t )). 2 Un bon choix de M dm t = 1 {t t}d P(t,S t ), avec t = inf{t 0 : S t K } et P(t,S t ) le prix actualisé de l option européenne correspondante à l instant t. 3 Calculer inf λ E(sup t T (e rt φ(s t ) λm t )) avec le M précédent. λ E(sup t T (e rt φ(s t ) λm t ) est une fonction convexe. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

68 Méthode duale Approche de Rogers pour le Put (dimension 1) II 1. (S (m),m = 1,...,M) M copies indépendantes de (S t1,...,s tn ). 2. Pour chaque (t i,s (m) t i ) calculer le prix actualisé P(t i,s (m) t i ) de l option européenne en ce point grâce à la formule de Balck & Scholes. 3. Calculer (M (m) t i ) pour m = 1,...,M et i = 0,...,N. M (m) = 0 et { } I (m) = min i 0 : S (m) K M (m) t i t i+1 = M (m) t i + 1 {i I (m) }( P(t i+1,s (m) t i+1 ) P(t i,s (m) t i ) 4. On cherche λ [λ, λ]. Soit λ 0 = 0, λ 0 = λ et λ 0 = λ. { λn+1 = λ n +λ n 2, λn = λ n si le taux accroissement en λ n > 0 λ n+1 = λ n +λ n 2, λ n = λ n si le taux accroissement en λ n 0 Arrêt : taux d accroissement < seuil J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

69 Méthode duale Autre approche I Belomestny, Bender, Schoenmakers (2007), True upper bounds for Bermudan products via non-nested Monte Carlo. (Y tj ) j approximation du processus de prix U t aux dates {t 0,,t N } Y tj = Y 0 + M tj + A tj où A est prévisible, A 0 = 0 et M martingale nulle en 0. A ti+1 A tj = E tj (Y tj+1 ) Y tj, M ti+1 M tj = Y tj+1 E tj (Y tj+1 ). Si E( M t 2 ) < t, Z = (Z 1,,Z d ) tel que M tj = t j 0 Z tdw t. On considère une partition π = {s 1,,s L } {t 0,,t N }. Y tj+1 Y tj Z si (W si+1 W si ) + A tj+1 A tj s i π:t j s i <t j+1 Z d s i 1 [ E si (Ws d s i+1 s i+1 Ws d i )Y tj+1 ], t j s i < t j+1 i J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

70 Méthode duale Autre approche II Calcul de E si [ (W d s i+1 W d s i )Y tj+1 ], Si on a une stratégie d exercice (τ 1,,τ n ), on sait que Y tj = E tj [e rτ j φ(s τj )], puis Z d s i 1 [ ] E si (Ws d s i+1 s i+1 Ws d i )e rτ j φ(s τj ), t j s i < t j+1 i = pas d espérances conditionnelles imbriquées. ] E si [(W s d i+1 Ws d i )e rτ j φ(s τj ) = g(s si ). g est approchée par une technique de moindres carrés comme dans LS. [ lim π 0 E max 0 j N M tj Mt j 2] = 0. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

71 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

72 Approximation de la frontière d exercice Toke et Girard (2006) Monte Carlo Valuation of Mutli dimensional American options through grid computing Approximation de la frontière d exercice {x R d : P(t,x) = C(t,x)} où C(t,x) est la valeur de continuation à la date t, au point x. 1. Construire J bons points B j, j = 1,,J dans R d 1 2. Pour chaque pas de temps t = t N : t 1 et chaque dimension i = 1 : d i. Pour j = 1 : J, calculer S i(j, ) t solution de I(St i,bj,t) = C(St i,bj,t) (point fixe). [parallèle] { ii. Calculer la frontière Ft i(b t ) sur l ensemble des (B 1,S i(1, ) t ),,(B J,S i(j, ) } t ) (par une régression polynomiale d ordre 3). [synchronisation à chaque pas de temps] 3. Calculer le prix de l option connaissant les {F i t } t [parallèle] E(e rτ φ(s τ )) où τ = inf { t 0 : 1 i d,s i t F i t (B t) } T (pour une option de type call) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

73 Classification Doan, Gaiwak, Bossy, Baude et Stokes-Rees (2008) Parallel Pricing Algorithm for Multi-Dimensional Bermudan/American options using Monte Carlo methods Soient P(t,x) et φ(t,x) respectivement le prix actualisé et le payoff à la date t. Posons β(t, x) = φ(t, x) P(t, x). L option est exercée si S t {x : β(t,x) > 0}. Soient (S i t ) i=1,,m M trajectoires de S et τ i = min { t {t 0,,t N } : β(t,s i t ) > 0} T. P(0,S 0 ) = 1 M M φ(τ i,sτ i i )e rτ i i=1 Trouver une fonction F t (x) t.q. sgnf t (x) = sgnβ(t,x). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

74 Classification (cont.) 1. Partie classification Simuler (S i t 0,,S i t N ) i=1,,m1 M 1 trajectoires de S. Ensure: F tm (x) = φ(t,x) for j = N 1 to 0 do for i = 1 to M 1 [parallèle] do A partir de S i t j, générer M 2 trajectoires, notées (S ik t j+1,,s ik t N ) τ i k = min{ t {t j+1,,t N } : F t (S ik t ) > 0} T. y i = φ(t j,s i t j ) 1 M 2 M2 k=1 φ(τi k,sik )e r(τi τ i k t j) k end for A partir de {(S i t j,y i )} M 1 i=1, estimer F t j par boosting end for J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

75 Classification (cont.) 2. Partie Monte Carlo Simuler (S i t 0,,S i t N ) i=1,,m M trajectoires de S. for i = 1 to M [parallèle] do τ i = min { t {t j+1,,t N } : F t (S i t ) > 0} T. end for 3. Boosting P(0,S 0 ) = 1 M M φ(τ i,sτ i i )e rτ i i=1 F t = argmine(e Yf (S t ) ) satisfait sgnf t (x) = sgne(y x) f avec Y = φ(t,s t ) φ(t,s T )e r(t t) J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

76 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

77 sur les différents algorithmes Dans tous les cas, il s agit d une approximation du prix : le problème de programmation dynamique est résolu en temps discret. Longstaff Schwartz est le plus utilisé et est relativement robuste. La régression peut se faire en dimension petite. Tsitsiklis VanRoy est un peu moins performant et de la même de complexité. Les algorithmes de quantification sont un peu plus lents et le nombre de quantificateurs utilisés influence fortement le résultat. Pour la quantification optimale, le calcul des régresseurs pénalisent l algorithme. Les approches duales permettent d obtenir des bornes supérieures du prix. Les algorithmes de calcul parallèle doivent encore progresser. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

78 1 Introduction Le modèle de marché Options Bermuda Définition et valorisation un exemple élémentaire : le modèle de Cox Ross Rubinstein Quelques remarques Options Américaines 2 Algorithme de Longstaff Schwartz Algorithme de Tsitsiklis VanRoy Les Algorithmes de quantification Principes de la quantification Quantification aléatoire Quantification optimale Méthode duale Théorie Implémentation 3 4 J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 77

79 Temps d arrêt Enveloppe de Snell Algorithme de Cholesky Temps d arrêt Temps d arrêt Soit (X n ) n un processus à temps discret. On définit la filtration associée F par F n = σ(x i, i n) (c est la plus petite tribu qui rend les v.a. X i, i n mesurables). Soit τ une v.a. à valeurs dans N. On dit que τ est un F temps d arrêt si pour tout n, {τ = n} F n ou {τ n} F n. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 3

80 Temps d arrêt Enveloppe de Snell Algorithme de Cholesky Enveloppe de Snell Enveloppe de Snell Soit (Z n ) 0 n N une suite de v.a. et (F n ) n la filtration qu elles engendrent. On définit la suite { UN = Z N On pose τ 0 = inf{n 0 : U n = Z n }. Théorème 2 U n = max(z n,e(u n+1 F n )) n N 1. (U n τ0 ) 0 n N est une martingale. De plus, U 0 = E(Z τ0 F 0 ) = sup τ T 0,N E(Z τ F 0 ) Remarque : Si X 0 est déterministe, alors F 0 = {,Ω}, donc E( F 0 ) = E( ). J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 3

81 Temps d arrêt Enveloppe de Snell Algorithme de Cholesky Algorithme de Cholesky Algorithme de Cholesky Factorisation de Cholesky d une matrice carrée symétrique positive A de taille n Pour k = 1,...,n faire T k,k = A k,k T 2 k,j, j<k pour i = k + 1,...,n faire A i,k T k,j T i,j j<k T i,k = T k,k. J. Lelong (ENSIMAG/LJK) Vendredi 23 octobre / 3