ENTRE UNE CHARGE ET UN DIPÔLE MAGNÉTIQUE

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1 1 PRINCIPE DE L ACTION ET DE LA RÉACTION ENTRE UNE CHARGE ET UN DIPÔLE AGNÉTIQUE On étudie le principe de l action et de la réaction entre une charge q > et un dipôle magnétique. Le dipôle magnétique est supposé constitué par une boucle de courant supraconductrice. Le métal est donc un conducteur parfait, et le champ électrique est toujours nul à l intérieur. Par conséquent, il n y a pas de quantité de mouvement cachée (hidden momentum ni de quantité de mouvement globale, associée à ε E B, dans le champ électromagnétique. Voir les liens : et Dans une première partie, nous allons modéliser l annulation du champ électrique au niveau des porteurs du courant par une sphère creuse conductrice de rayon R qui entoure le dipôle magnétique. R est très petit devant la distance d de la charge qui arrive, de telle manière que le champ électrique peut être supposé uniforme au niveau de la sphère. Le dipôle est au centre de cette sphère. Cette sphère ne modifie pas l action magnétique du dipôle sur la charge. D autre part, la charge qui arrive n a aucun effet inductif qui pourrait modifier le courant dans le supraconducteur. I- Première partie, force sur la charge { cosθ Br = µ 4πr 3 sin θ B θ = µ 4πr 3 z x d B O V q y 1 dipspher E = F = qv µ 4πd 3 e x q Ė = dq 4πε d 4πε d = V q 3 4πε d 3 1

2 F = Ėε µ e x = Ė C e x II- Deuxième partie, force sur le dipôle magnétique z js e r θ e θ O y x 1- Calcul de j S La sphère se polarise en présence du champ extérieur E qui augmente, de façon à annuler ce champ à l intérieur. La densité surfacique de charge est alors σ cosθ. Le champ électrique étant constamment nul à l intérieur, il en est de même de sa dérivée par rapport au temps. Donc le rotationnel du champ magnétique associé est nul. Par symétrie, le champ magnétique associé à E est nul en O. La charge électrique qui arrive en dessous et qui est à l origine du champ électrique, ne crée donc pas de champ magnétique au niveau du dipôle magnétique placé au centre de la sphère et autour de ce dernier. Par conséquent, il n y a pas de force grad ( B. Calculons tout d abord la charge totale Q pour la calotte sphérique d ouverture θ. ds = πr sin θ R dθ Q = θ πr sin θ R dθ σ cosθ Q = πr σ θ sin θ d(sinθ = πr σ sinθ x dx = πr σ sin θ

3 πr σsin θ = πr sin θ j S js = R σ sin θ e θ cosθ cosϕ e θ = cosθ sin ϕ R σ sinθ cosθ cosϕ js = R σ sin θ cosθ sinϕ R σ sin θ sin θ - Calcul du champ magnétique créé par le dipôle magnétique B = µ 4π R = B = µ 4π R sin θ cosϕ R sinθ sin ϕ R cosθ 3 R sin θ sinϕ R 5 B = µ 4πR 3 ( r r 3 r 5 = r 3 R sin θ cosϕ R sin θ sinϕ R cosθ 3 sin θ sin ϕ cosϕ 3 sin θ sin ϕ 1 3 sin θ cosθ sinϕ R 3 3- Calcul de la densité surfacique de force magnétique appliquée à la surface de la sphère par le dipôle js B = µ σ 8πR sinθ cosθ cosϕ sin θ cosθ sinϕ sin θ 3 sin θ sin ϕ cosϕ 3 sin θ sin ϕ 1 3 sinθ cosθ sin ϕ ( js B x = µ σ 8πR [ 3 sin θ cos θ sin ϕ + 3 sin 4 θ sin ϕ sin θ ] = µ σ 8πR [ 3 sin θ sin ϕ ( cos θ + sin θ sin θ ] = µ σ 8πR sin θ ( 3 sin ϕ 1 3

4 4- Calcul de la force magnétique appliquée à la surface de la sphère par le dipôle F = µ σ 8π F = µ σ 8π π 1 dθ sin 3 θ 1 ds = R sinθ dθ dϕ π dϕ ( 3 1 π ( 1 x dx = [x x3 3 dθ sin 3 θ ( 3 sin ϕ 1 π = µ σ 8 ] 1 π 1 = 3 = 4 3 dθ ( 1 cos θ d( cosθ µ σ F = e x 6 Calculons le lien entre le champ électrique uniforme à l intérieur d une sphère et les charges surfaciques. Considérons une boule chargée en volume d une manière uniforme et appliquons le théorème de Gauss : 4πr E = 4 ρ 3 πr3 E = ρr ε 3ε Pour deux sphères voisines chargées à l opposé, à l intérieur des deux on a : ρ ( E = O 1 O = ρ O 1 O est uniforme 3ε 3ε O 1 O ρ + ρo 1 O σ On a bien une distribution de charge en σ cosθ sur la sphère, et le champ électrique est bien uniforme à l intérieur. et E = σ 3ε. Ė = σ σ = 3ε Ė F = µ 3ε Ė = Ė 3ε 6 C F = Ė C e x Le principe de l action et de la réaction est bien vérifié. 4

5 On peut dire aussi que l aimant (dipôle magnétique applique une force totale nulle sur l ensemble des charges en mouvement (charge q et courants surfaciques sur la sphère. Il est donc normal qu il soit soumis à une force nulle. III- Autre modélisation Le dipôle magnétique est maintenant modélisé par une boule pleine métallique aimantée, dans laquelle le champ magnétique est uniforme et porté par l axe des y. On peut considérer ce champ magnétique B i à l intérieur, comme créé par des courants surfaciques sur la sphère surface de la boule, comme nous allons le montrer dans le paragraphe suivant. 1- Lien entre le champ magnétique et le moment dipolaire Temporairement, les axes ne sont plus les mêmes. Considérons une boule pleine supraconductrice dans le champ uniforme B e x. On sait que le champ magnétique est nul à l intérieur et qu elle est parcourue par des courants superficiels j S. Le champ magnétique total est forcément tangent à la surface de la sphère, car il y a continuité de la composante normale du champ magnétique. Donc B r =. On sait que, vu de l extérieur, la sphère se comporte comme un dipôle magnétique donc : B r = = B cosθ + µ 4π cosθ R 3 B = µ πr 3 Donc, on a un modèle de dipôle magnétique. On considère une boule pleine conductrice parcourue par des courants surfaciques j SB qui n ont rien à voir avec les courants surfaciques envisagés précédemment ci-dessus. Le champ créé par ces courants surfaciques est uniforme à l intérieur. On reprend les coordonnées habituelles pour notre étude : B i = B i e y avec B i = µ πr 3 - Calcul de la densité de courant volumique de polarisation de la sphère quand la charge q arrive Lorsque le champ électrique augmente, dû à l arrivée de la charge q, on a des tubes de courant avec la densité volumique de courant j portée par e z. ds = R sin θ dθ dϕ dσ = σ cosθ R sin θ dθ dϕ 5

6 ds projetée sur xoy = R sin θ cosθ dθ dϕ Donc j = σ e z est un champ uniforme. Ces courants créent un champ magnétique noté B e comme extérieur, car il est causé par l arrivée de la charge q. Ces courants sont l analogue à l intérieur de la sphère, des courants de déplacement associés à l arrivée de q donc à la variation du champ électrique dans le vide en dehors de la boule. Appliquons le théorème d Ampère : πrb e = µ πr σ B e = µ r σ e ϕ q 3- Force dû au champ magnétique extérieur appliqué par la charge Le champ magnétique précédent est continu au niveau des fils enroulés sur la surface de la boule et qui créent le champ de l aimant B i à l intérieur de la boule. C est lui qui applique sur les fils une force globale de Laplace donnée par la formule grad( B e. y e ϕ ϕ e r x j B e ( B e = µ r σ ( sinϕ = cosϕ B e = µ r σ cosϕ 6

7 grad B e = µ σ µ σ cosϕ sin ϕ grad( B e = µ σ 4- Force due au champ volumique de courant de polarisation de la sphère dans le champ magnétique de l aimant e x F = j Bi dτ σ µ πr 3 B i = µ πr 3 e y = σ µ πr 3 e x 4 3 πr3 σ µ πr = 3 3 σµ La force totale vaut donc : ( 1 µ σ = µ σ 3 6 µ σ F = e x 6 On retrouve donc bien le résultat obtenu avec l autre modélisation, et le principe de l action et de la réaction est bien vérifié. 7