Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de la droite (d).

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1 Symétrie axiale Cours I. Figures symétriques 1. Définition : Deux figures sont dites symétriques par rapport à une droite (d) si elles se superposent par pliage le long de la droite (d). Les figures F1 et F2 se superposent par pliage le long de la droite (d). Les figures F1 et F2 sont symétriques par rapport à la droite (d). 1. Vocabulaire La symétrie par rapport à une droite est appelée symétrie orthogonale par rapport à cette droite ou symétrie axiale. La droite est appelée axe de la symétrie. C.Szetlewski 1

2 II. Symétrique d un point Deux points A et A sont symétriques par rapport à une droite (d) s ils se superposent par pliage le long de cette droite. Définition : On dit que le point A est le symétrique du point A par rapport à une droite (d) si la droite (d) est la médiatrice du segment [AA ]. Construction de la médiatrice à l équerre : 1. On définit le milieu I du segment [AA ] I 2. On trace la perpendiculaire à [AA ] passant par I Construction de la médiatrice au compas : 1. On trace le cercle de centre A et de rayon supérieur à AI 2. Puis le cercle de centre B de même rayon. Remarque : Si le point A appartient à la droite (d), alors A et A sont confondus. Dans ce cas, A est son propre symétrique par rapport à (d). C.Szetlewski 2

3 Construction du symétrique d un point Première méthode : avec une équerre et un compas 1. Avec l équerre, on trace la perpendiculaire à la droite (d) passant par A. 2. Puis on prolonge le trait avec l équerre. 3. Avec le compas on reporte la distance entre le point A et la droite (d) de l autre côté de la droite. On obtient ainsi le symétrique A du point A par rapport à la droite (d). C.Szetlewski 3

4 Deuxième méthode : avec le compas seul 1.On prend deux points distincts M et N de la droite (d). 2. Avec le compas on trace le cercle de centre M passant par A puis le cercle de centre N passant par A. Ces deux cercles se coupent en A et aussi en un autre point A symétrique du point A par rapport à la droite (d). III. Symétrique d un segment Le symétrique d un segment par rapport à une droite (d) est un segment de même longueur. A est le symétrique de A par rapport à (d). B est le symétrique de B par rapport à (d). Le segment [A B ] est le symétrique du segment [AB] par rapport à (d). On a A B = AB On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs. C.Szetlewski 4

5 IV. Symétrique d une droite Le symétrique d une droite par rapport à une droite (d) est une droite. Pour construire le symétrique d une droite par rapport à un axe, il suffit de construire les symétriques de deux points de la droite par rapport à cet axe. On choisit deux points quelconques A et B de la droite. On construit les symétriques de A et B par rapport à la droite (d). A est le symétrique de A par rapport à (d). B est le symétrique de B par rapport à (d). La droite (A B ) est la droite symétrique de la droite (AB) par rapport à (d). Observons le symétrique de la droite (AB) par rapport à (d) Dans le cas où la droite (AB) et la droite (d) sont parallèles La droite (AB) et la droite (A B ) sont aussi parallèles. C.Szetlewski 5

6 2. Dans le cas où la droite (AB) et la droite (d) sont perpendiculaires La droite (AB) et la droite (A B ) sont confondues. V. Symétrie et points alignés Les symétriques de trois points alignés par rapport à une droite (d) sont trois points alignés. Les points A, B et C sont alignés. Les points A, B et C sont aussi alignés. On dit que la symétrie axiale conserve l alignement. C.Szetlewski 6

7 VI. Symétrique d un cercle Le symétrique d un cercle par rapport à une droite (d) est un cercle de même rayon et dont le centre est le symétrique du centre du premier cercle. A est le symétrique de A par rapport à (d). C est le symétrique du cercle C par rapport à (d). Les deux cercles C et C ont le même rayon. VII. Symétrique d un angle Le symétrique d un angle par rapport à une droite (d) est un angle de même mesure. L angle BÂC et l angle B Â C ont la même mesure. On dit que la symétrie axiale conserve les angles. C.Szetlewski 7

8 VIII. Autre propriété Deux figures symétriques par rapport à une droite ont la même aire. Les figures F1 et F2 sont symétriques par rapport à la droite (d). Les figures F1 et F2 ont la même aire. A1 = aire(f1) / A2 = aire(f2) A1 = A2 Remarque : Les figures F1 et F2 ont aussi le même périmètre. En effet, la symétrie axiale conserve les longueurs! Construction du symétrique d une figure On dit que la symétrie axiale conserve les aires. Pour construire le symétrique d une figure, on construit les symétriques de plusieurs de ses points et on utilise les propriétés de conservation. C.Szetlewski 8

9 Annexe C.Szetlewski 9