ANNALES DE MATHEMATIQUES

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1 ANNALES DE MATHEMATIQUES TERMINALE S LYCEE LOUIS ARMAND Année scolaire 1999/2000

2 Annales du baccalauréat S Lycée Louis Armand

3 Annales du baccalauréat S 2000 TABLE DES MATIÈRES Table des matières A Sujets du baccalauréat 5 A.1 Remplacement A.2 Sujet national A.3 Guadeloupe A.4 Polynésie A.5 Asie A.6 Amérique A.7 Pondichéry A.8 Centres étrangers A.9 Polynésie A.10 Pondichéry A.11 Amérique du Nord A.12 Sujet expérimental B Exercices 37 B.1 Intégration B.1.1 Asie B.1.2 Amérique du Sud B.1.3 Sportifs de haut niveau B.2 Probabilités B.2.1 National B.2.2 Guadeloupe B.2.3 Centres étrangers B.2.4 Groupe II bis B.2.5 Pondichéry B.2.6 Amérique du Nord B.2.7 Remplacement B.2.8 Groupe II bis B.2.9 La Réunion B.2.10 Nouvelle Calédonie B.2.11 Exercice complémentaire B.3 Nombres complexes B.3.1 Remplacement B.3.2 National B.3.3 Guadeloupe B.3.4 Groupe I bis B.3.5 Groupe II bis B.3.6 Polynésie Lycée Louis Armand 3

4 TABLE DES MATIÈRES Annales du baccalauréat S 2000 B.3.7 Centres étrangers B.3.8 Japon B.3.9 La Réunion B.3.10 Nouvelle Calédonie B.3.11 Sportifs de haut niveau B.3.12 Sujet complémentaire B.4 Courbes paramétrées B.4.1 Sujet complémentaire B.5 Barycentre B.5.1 Nouvelle Calédonie 1996 (modifié) B.5.2 Centres étrangers B.5.3 Exercice complémentaire B.5.4 Exercice complémentaire B.5.5 Exercice complémentaire B.6 Géometrie dans l espace B.6.1 Remplacement B.6.2 Sportifs de haut niveau C Problèmes 57 C.1 Remplacement C.2 Asie C.3 Groupe I bis C.4 Groupe II bis C.5 Antilles C.6 Polynésie C.7 Japon C.8 Nouvelle Calédonie C.9 National Année C.10 La Réunion D Eléments de solutions 71 D.1 Sujets du baccalauréat D.1.1 Correction du sujet A D.2 Exercices D.2.1 Correction de l exercice B D.2.2 Correction de l exercice B D.3 Problèmes D.3.1 Correction du problèmec Index 81 4 Lycée Louis Armand

5 Annales du baccalauréat S 2000 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT A Sujets du baccalauréat A.1 Remplacement 1999 EXERCICE 1 (4 points) Dans tout l exercice, on donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On considère l expérience suivante : On lance un jeton parfaitement équilibré, présentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l urne. Puis on tire simultanément, et au hasard, trois boules de l urne. 1. On appelle ¼ l événement : aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tirées et l événement : le jeton est tombé sur la face blanche. a) Calculer P ( ¼ ),P( ¼ ), puis P ( ¼ ). b) On tire trois boules de l urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilité que le jeton soit tombé sur la face noire? 2. On appelle l événement : une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tirées et l événement : le jeton est tombé sur la face blanche. a) Calculer la probabilité del événement. b) On effectue successivement quatre fois l expérience décrite au début, qui consiste à lancer le jeton, puis à tirer les trois boules de l urne. Quelle est la probabilité d obtenir au moins une fois une et une seule boule blanche? EXERCICE 2 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Le plan est rapporté au repère orthonormal directç cm). On note Å l affixe du point Å. Soit le point d affixe et le point d affixe. Ù Ú (unité graphique : 2 Lycée Louis Armand 5

6 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S Soit un réel de ¼ ¾ et Ö un réel strictement positif. On considère le point d affixe Ö et le point tel que Ç est un triangle rectangle isocèle vérifiant Ç Çµ ¾. Quelle est, en fonction de Ö et, l affixe de? 2. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de l exercice. On choisira, uniquement pour cette figure : et Ö 3. On appelle È, É, Ê, Ë les milieux respectifs des segments,,,. a) Prouver que ÈÉÊË est un parallèlogramme. b) On pose : Ê ¹ É É ¹ È Déterminer le module et un argument de Z. En déduire que ÈÉÊË est un carré. 4. a) Calculer, en fonction de Ö et, les affixes respectives des points È et É. b) Quelle est, en fonction dr Ö et, l aire du carré ÈÉÊË? c) Ö étant fixé, pour quelle valeur de cette aire est-elle maximale? Quelle est alors l affixe de? PROBLÈME (11 points) ܵ¾ Soit la fonction définie sur ¼ par ܵ ln Ü On appelle la représentation graphique de, dans un repère orthogonalç du plan (unités graphiques : 1 cm sur l axe des abscisses, 2 cm sur l axe des ordonnées). Partie I 1. Déterminer les limites de en et ¼. 2. Calculer ¼ ܵ en fonction de Ü. Montrer que ¼ ܵ alemême signe que ln Ü ¾ ¹ ln ܵ. Déterminer le sens de variation de sur ¼. 3. Tracer la représentation graphique de dansç 4. On pose pour Ô Á Ô ¾ ln ܵ Ô Ü ¾ dü. ln Ü a) À l aide d une intégration par parties, calculer : Á Ü ¾ dü b) Prouver, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier Ô supérieur ou égal à : ¾ Á Ô ¹ ¾ Ô ¾ Ô µ Á Ô 6 Lycée Louis Armand

7 Annales du baccalauréat S 2000 A.2. SUJET NATIONAL 1999 c) En utilisant les résultats précédents, calculer successivement Á ¾, Á, Á. d) On fait tourner autour de l axe des abscisses l arc de courbe constitué des points de, d abscisses comprises entre et ¾. Le point Å de, d abscisse Ü, décrit alors un cercle de rayon ܵ. Calculer le volume du solide ainsi engendré, en unités de volume. Partie II Soit un réel strictement positif et le point de d abscisse. Soit T la tangente à au point. 1. Écrire une équation de T. 2. Déterminer les réels pour lesquels T passe par l origine Ç du repère. 3. Donner une équation de chacune des tangentes à, passant par Ç. Tracer ces tangentes sur la figure. Partie III On étudie maintenant l intersection de avec la droite d équation Ý ¾ Ü 1. On pose pour Ü strictement positif, ³ ܵ Ü ¹ ln Ü. Montrer que ³ est strictement croissante sur et strictement décroissante sur ¼. 2. On pose pour Ü strictement positif, ³ ¾ ܵ Ü ln Ü. a) Étudier le sens de variation de ³ ¾ sur ¼. b) Prouver que ³ ¾ ܵ ¼ a une solution unique sur. ¾ On appelle «cette solution ; donner un encadrement de «, d amplitude ¼ ¹. c) En déduire que ³ ¾ ܵ ¼ a une seule solution sur ¼. 3. Déterminer les points d intersection de et de. A.2 Sujet national 1999 EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats Le plan P est rapporté au repère orthonormal direct Ç Ù Ú µ On prendra 4 cm comme unité sur les deux axes. On considère l application du plan dans lui-même qui, à tout point Ñ, d affixe Þ, associe le point Å d affixe ¾ Þ¾ ¹ Þ L objet de cet exercice est de tracer la courbe décrite par Å lorsque Ñ décrit le cercle de centre Ç et de rayon 1. Soit Ø un réel de ¹ et Ñ le point de d affixe Þ Ø Lycée Louis Armand 7

8 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S Montrer que l image Å de Ñ par est le point de coordonnées : Ü Øµ ¾ Ý Øµ ¾ cos ¾Ø ¹ cos Ø sin ¾Ø ¹ sin Ø Ces relations constituent une représentation paramétrique de la courbe 2. Comparer Ü ¹Øµ et Ü Øµ d une part, Ý ¹Øµ et Ý Øµ d autre part. En déduire que admet un axe de symétrie que l on précisera. 3. Montrer que Ü ¼ ص sin Ø ¹ ¾ cos ص. Étudier les variations de Ü sur ¼. 4. Montrer que Ý ¼ ص cos Ø ¹ µ ¾ cos ص. Étudier les variations de Ý sur ¼. 5. Dans un même tableau faire figurer les variations de Ü et Ý sur ¼ 6. Placer les points de correspondant aux valeurs ¼ ¾ et du paramètre Ø et tracer les tangentes en ces points ( on admettra que pour Ø ¼ la tangente à est horizontale). Tracer la partie de obtenue lorsque Ø décrit ¼ puis tracer complètement. EXERCICE 2 (5 points) Candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Dans cet exercice, Ò est un entier naturel non nul. On considère la suite Ù Ò µ définie par : ¾ Ù Ò ¼ ¾Ø Ø ¾ Ø Ò Ø 1. (a) Soit ³ la fonction définie sur ¼ ¾ par ³ ص ¾Ø Ø ¾ Étudier les variations de ³ sur ¼ ¾ En déduire que, pour tout réel Ø dans ¼ ¾ ¾ ³ ص (b) Montrer que, pour tout réel Ø dans ¼ ¾, ona: (c) Par intégration en déduire que : (d) On rappelle que ¾ Ø Ò ³ ص Ø Ò Ø Ò ¾ Ò ¾ Ò ¹ ÙÒ Ò ¾ Ò ¹ ¹ lim ¼ Montrer que, si Ù Ò µ possède une limite Ä, alors Ä ¾ 8 Lycée Louis Armand

9 Annales du baccalauréat S 2000 A.2. SUJET NATIONAL (a) Vérifier que pour tout Ø dans ¼ ¾, ona En déduire l intégrale ¾Ø Ø ¾ ¾ ¹ Ø ¾ Á (b) Montrer que, pour tout Ø dans ¼ ¾ on a ¾ ¼ ¾Ø Ø ¾ Ø Ø Ò ¾ Ò En déduire que Á Ù Ò ¾ Ò Á (c) Montrer que Ù Ò µ est convergente et déterminer sa limite Ä. PROBLEME ( 10 points) Dans tout le problème le plan est rapporté à un repère orthonormal Çßµ :on prendra 2 cm comme unité sur les deux axes et on placera l axe des abscisses au milieu de la feuille et l axe des ordonnées sur le bord gauche de la feuille millimétrée. Partie A : Étude d une fonction et de sa courbe représentative. On considère la fonction, définie sur ¼ par : ܵ ¹ ln Ü ¹ ¾µ Ü et on désigne par sa courbe représentative relativement au repère Çßµ 1. Déterminer les limites de en et ¼ 2. Montrer que est dérivable sur ¼ et calculer ¼ ܵ. 3. Soit Ù la fonction définie sur ¼ par ٠ܵ ln Ü Ü ¹ (a) Étudier les variations de Ù. (b) Montrer que l équation ٠ܵ ¼ possède une solution unique «dans l intervalle ¾ Montrer que ¾ ¾¼ «¾ ¾. (c) Étudier le signe de ٠ܵ sur ¼ 4. (a) Étudier les variations de. (b) Exprimer ln «comme polynôme en «. Montrer que «µ ¹ «¹ µ¾ «En déduire un encadrement de «µ d amplitude ¾ ¼ ¹¾. Lycée Louis Armand 9

10 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S (a) Étudier le signe de ܵ (b) Tracer. Partie B : Étude d une primitive de sur ¼ Soit la primitive de sur ¼ qui s annule pour Ü On appelle la courbe représentative de relativement au repère Çßµ 1. (a) Sans calculer ܵ étudier les variations de sur ¼ (b) Que peut-on dire des tangentes à en ses points d abscisses et ¾? 2. Calcu1 de ܵ. (a) Ü étant un réel strictement positif, calculer l intégrale Ü ln ØØ ( on pourra faire une intégration par parties). (b) Montrer que, pour tout Ü strictement positif : ܵ ln Ü ¹ ln Ü Ü ¾ Ü ¹ ¾ (c) En déduire l expression de ܵ en fonction de Ü. 3. (a) Montrer que lim ܼ Ü ln ܵ ¼. Endéduire la limite de en ¼ (b) Montrer que, pour Ü strictement supérieur à ¾ ln Ü Üµ Ü ln Ü ¹ ¾ Ü Ü ¹ ln Ü En déduire la limite de en (c) Dresser le tableau de variation de. (d) Tracer sur le même graphique que. 4. Calcul d une aire. Calculer, en cm ¾, l aire du domaine limité par la courbe, l axe des abscisses et les droites d équations Ü et Ü ¾ A.3 Guadeloupe 1999 EXERCICE 1 ( 4 points) Lors d un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M.) est utilisé. On s intéresse à cinq questions de ce Q.C.M.supposées indépendantes.a chaque question sont associées quatre affirmations, numérotées 1,2,3 et 4, dont une seule est exacte. Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l affirmation qu il juge exacte ; sa réponse est correcte si l affirmation qu il a retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte. Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire. 10 Lycée Louis Armand

11 Annales du baccalauréat S 2000 A.3. GUADELOUPE Un candidat répond à chaque question au hasard, c est-à-dire qu il considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables. (a) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants : A : Le candidat répond correctement à la première des cinq questions ; B : Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur cinq. (b) On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note -1 à toute réponse incorrecte. Calculer la probabilité de l évènement C : Le candidat obtient une note au moins égale à 10 pour l ensemble des cinq questions. 2. On suppose maintenant qu un candidat connaît la réponse correcte à deux questions et qu il répond au hasard aux trois autres questions. Quelle est la probabilité del évènement C décrit au 1.b? EXERCICE 2 ( 5 points) Le plan est rapportéàunrepère orthonormal direct (O ;Ù, Ú). On considère le point A d affixe 1 et, pour tout appartenant à ¼ ¾, le point M d affixe Þ.Ondésigne par P le point d affixe Þ et par Q le point d affixe Þ ¾. 1. Á partir du point M,donner une construction géométrique du point P et une construction géométrique du point Q. Les points O,A, M, Q et P seront placés sur une même figure. 2. Déterminer l ensemble des points P pour appartenant à ¼ ¾. Tracer cet ensemble sur la figure précédente. 3. Soit S le point d affixe Þ Þ ¾,où Þ désigne toujours l affixe du point M. Construire S, en justifiant la construction. 4. Dans le cas où S est différent de O, Tracer la droite (OS). Quelle conjecture apparaît, relativement au point M? Démontrer que le nombre Þ Þ ¾ Þ est un réel, quel que soit appartenant à ¼ ¾. Conclure sur la conjecture précédente. PROBLEME (11 points) L objet de ce problème est d étudier une fonction à l aide d une fonction auxiliaire et de calculer l aire d un domaine plan. PARTIE A Soit la fonction définie sur l intervalle ¹ par : Ü Üµ ¹ ¾ ln Ü µ Ü Lycée Louis Armand 11

12 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S Calculer ¼ ܵ étudier son signe et en déduire le tableau de variation de la fonction 2. Calculer ¼µ Montrer que l équation ܵ ¼ admet exactement deux solutions dont l une, que l on désigne par «appartient à ¹¼ ¾¹¼ 3. Donner le signe de ܵ pour Ü appartenant à ¹ PARTIE B Soit la fonction définie sur l ensemble ¹ ¼ ¼ par : ܵ ln Ü µ Ü ¾ 1. Etude de aux bornes de son ensemble de définition. (a) Calculer les limites de ܵ quand Ü tend vers ¼ par valeurs inférieures et quand Ü tend vers ¼ par valeurs supérieures. (b) Calculer lim ܹ ܵ et lim Ü Üµ 2. Sens de variation de (a) Calculer ¼ ܵ et déduire, à l aide de la partie son signe. (b) Montrer que «µ ¾««µ En déduire une valeur approchée de «µ en prenant «¹¼ 3. Tableau de variation et représentation graphique de (a) Dresser le tableau de variation de la fonction (b) Représenter graphiquement la fonction dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( unité graphique : ¾ cm ). 4. Calcul d aire Soit un réel strictement supérieur à ¼ On pose : Á µ ܵ Ü (a) Donner, suivant les valeurs de une interprétation géométrique du réel Á µ (b) En remarquant que, pour Ü appartenant à ¼ : Ü Üµ Ü ¹ Ü calculer Á µ à l aide d une intégration par parties. (c) Calculer lim Á µ et lim ¼ Á µ 12 Lycée Louis Armand

13 Annales du baccalauréat S 2000 A.4. POLYNÉSIE 1999 A.4 Polynésie 1999 EXERCICE 1 ( 5 points) Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On en prélève Ò successivement et avec remise, Ò étant un entier naturel supérieur ou égal à2. On considère les deux événements suivants : : On obtient des boules des deux couleurs ; : On obtient au plus une blanche. 1. (a) Calculer la probabilité del évènement : Toutes les boules tirées sont de la même couleur. (b) Calculer la probabilité del évènement : On obtient exactement une boule blanche. (c) En déduire que les probabilités Ô µ, Ô µ, Ô µ sont : Ô µ Ò ¾ Ò Ô µ ¹ ¾ Ò¹ Ô µ Ò ¾ Ò 2. Montrer que : Ô µ Ô µ Ô µ si et seulement si : ¾ Ò¹ Ò 3. Soit Ù Ò µ la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à deux par : Ù Ò ¾ Ò¹ ¹ Ò µ Calculer Ù ¾, Ù, Ù. Démontrer que la suite Ù Ò µ est strictement croissante. 4. En déduire la valeur de l entier Ò tel que les événements et soient indépendants. EXERCICE 2 ( 4 points) Le plan complexe ȵ est rapporté àunrepère orthonormal direct Ç Ù Ú µ d unité graphique 2 cm. 1. Résoudre dans l équation : Þ ¹ ¼ 2. On considère dans le plan ȵ les points, et d affixes respectives : Þ ¹ Ô Þ ¾ Þ ¹ ¹ Ô (a) Ecrire Þ et Þ sous la forme trigonométrique. (b) Placer les points, et. (c) Déterminer la nature du triangle. 3. On considère l application du plan dans lui-même qui à tout point Å d affixe Þ associe le point Å ¼ d affixe Þ ¼ ¾ Þ Lycée Louis Armand 13

14 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 (a) Caractériser géométriquement l application. (b) Déterminer les images des points et par. En déduire l image de la droite µ par. Partie A Soit la fonction définie sur Ê par : PROBLEME ( 11 points ) ܵ Ü ¹ ¾Ü¹¾ On note µ la courbe représentative de dans un repère orthonormalç. On prendra 5 cm comme unité. 1. (a) Déterminer la limite de en ¹. (b) Vérifier que pour tout réel Ü non nul : ܵ Ü ¹ ¾ ¹¾ ¾Ü Déterminer la limite de en. 2. Déterminer ¼. Etudier le signe de ¼ ܵ et calculer la valeur exacte du maximum de. 3. Démontrer que la droite µ d équation : Ý Ü est asymptote à la courbe µ. Etudier la position relative de µ et de µ. 4. On note le point de la courbe µ d abscisse 1. Déterminer une équation de la tangente ̵ en à la courbe µ. 5. (a) On note Á l intervalle ¼ ¼. Démontrer que l équation : ܵ ¼ admet dans l intervalle Á une unique solution qu on notera. (b) Déterminer une valeur approchée à ¼ ¹ près de. 6. Construire la courbe µ, l asymptote µ et la tangente ̵. Partie B Détermination d une valeur approchée de a On définit dans Ê la suite Ù Ò µ par : Ù Ó ¼ et Ù Ò ¾ÙÒ¹¾ 1. Soit la fonction définie sur Ê par : ܵ ¾Ü¹¾ Démontrer que l équation : ܵ ¼ est équivalente à: ܵ Ü. En déduire µ. 2. Démontrer que, pour tout réel Ü de l intervalle Á on a : ¾Ü ¼ ܵ ¾ 3. Démontrer que pour tout réel Ü de l intervalle Á, ܵ appartient à Á. 14 Lycée Louis Armand

15 Annales du baccalauréat S 2000 A.5. ASIE Utiliser l inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel Ò : Ù Ò ¹ ¾ Ù Ò ¹ 5. Démontrer, par récurrence que : Ù Ò ¹ ¾ Ò 6. En déduire que la suite Ù Ò µ converge et donner sa limite. 7. Déterminer un entier naturel Ô tel que : Ù Ô ¹ ¼ ¹. 8. En déduire une valeur approchée de à ¼ ¹ près : on expliquera l algorithme utilisé sur la calculatrice. A.5 Asie 1999 EXERCICE 1 ( 4 points) Voici le tableau des principaux groupes sanguins des habitants de la France : O A B AB Rhésus + 35,0 % 38,1 % 6,2 % 2,8 % Rhésus - 9,0 % 7,2 % 1,2 % 0,5 % Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s il y a lieu, arrondis à 3 décimales. 1. L objectif de cette question est de compléter à l aide de données de ce tableau l arbre suivant, à recopier sur la copie. Ô ¾? Rh+ À? Ô? ÀÀÀÀ? À ÀÀÀ??? Rh- À? ÀÀÀÀ? À ÀÀÀ? O A B AB O A B AB L expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la population donnée ( les habitants de la France ). On note Rh+ l évènement la personne a le facteur Rh+ On note O l évènement la personne appartient au groupe O Lycée Louis Armand 15

16 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 (a) Déterminer la probabilité Ô c est à dire Ô Rh+µ On détaillera le calcul effectué puis on reportera ce résultat dans l arbre. Déterminer de même la probabilité Ô ¾ (endétaillant les calculs ). (b) Compléter le reste de l arbre, en remplaçant chaque point d interrogation par la probabilité correspondante ( il est inutile de détailler les nouveaux calculs ). 2. (a) Comment peut-on, à partir de l arbre complété, déterminer la probabilitéde O? Vérifier ce résultat à l aide du tableau. (b) Quelle est la probabilité pour qu une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+? 3. (a) On considère Ò personnes choisies au hasard dans la population donnée ( les habitants de la France ). Calculer, en fonction de Ò la probabilité Ô pour qu il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O. (b) Calculer la plus petite valeur de Ò pour laquelle on a Ô ¼ EXERCICE 2 ( 5 points) 1. Pour tout nombre complexe on pose È µ ¹ (a) Factoriser È µ (b) En déduire les solutions dans l ensemble des nombres complexes de l équation È µ ¼ d inconnue (c) Déduire de la question précédente les solutions dans de l équation d inconnue Þ : ¾Þ Þ ¹ 2. (a) Le plan complexe ȵ est rapportéà un repère orthonormal direct Ç Ù Ú µ ( l unité graphique est cm ). Placer les points et d affixes respectives : ¹¾ ¹ ¹ ¹ (b) Démontrer que les points Ç et sont situés sur un cercle, que l on déterminera. 3. Placer le point d affixe ¹ ¾ Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe Þ ¼ défini par : Þ ¼ ¹ ¹ En déduire le rapport Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l expression de Þ ¼? 16 Lycée Louis Armand

17 Annales du baccalauréat S 2000 A.5. ASIE 1999 PROBLEME ( 11 points ) PARTIE A Résolution de l équation différentielle µ Ý ¼ Ý Ü ¹ 1. A l aide d une intégration par parties, calculer Ü Ø Ø ¹ µ Ø 2. (a) Soit Þ une fonction dérivable sur l ensemble Ê des nombres réels. On pose ܵ Þ Üµ ¹Ü Montrer que la fonction est solution de µ si et seulement si pour tout Ü de ÊÞ ¼ ܵ Ü Ü ¹ µ (b) A l aide de la première question, déterminer toutes les fonctions Þ vérifiant pour tout Ü de ÊÞ ¼ ܵ Ü Ü ¹ µ 3. (a) Déduire de la question précédente les solutions de µ (b) Déterminer la solution de µ pour laquelle l image de est ¼ PARTIE B Etude d une fonction Soit la fonction définie sur Ê par ܵ Ü ¹ ¾ ¹Ü Le plan est rapporté àun repère orthonormal Çßµ ( unité graphique : cm ). On désigne par µ la courbe représentative de 1. (a) Etudier le sens de variation de (b) Préciser lim ܹ ܵ et lim Ü Üµ 2. (a) Montrer que la droite µ d équation Ý Ü ¹ ¾, est asymptote à la courbe µ (b) Préciser la position de µ par rapport à µ 3. Tracer µ et µ PARTIE C Calcul d aires Soit Ü ¼ un nombre réel strictement positif. 1. On considère le domaine limité par la courbe µ son asymptote µ et les droites d équations Ü ¼ et Ü Ü ¼ Exprimer, à l aide de Ü ¼, l aire Ë de ce domaine. 2. On considère la fonction définie sur Ê par ܵ ¹Ü (a) Etudier rapidement puis tracer sa courbe représentative µ (b) Donner une interprétation, en terme d aire, de l intégrale ayant servie au calcul de Ë à l aide de la courbe µ 3. est le point de coordonnées Ü ¼ ¼µ est le point de la courbe µ d abscisse Ü ¼ Soit ̵ la tangente à la courbe µ au point d abscisse Ü ¼ est le point d intersection de ̵ et de l axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de 4. Calculer ( en unités d aire ) l aire Ë ¾ du triangle Vérifier que Ë ¾Ë ¾ ¼ Lycée Louis Armand 17

18 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 A.6 Amérique 1999 EXERCICE 1 (4 points) I- Lors de la préparation d un concours, un élève n a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons différentes. Le candidat tire simultanément au hasard 2 papiers. On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles. 1. Quelle est la probabilité qu il ne connaisse aucun de ces sujets? 2. Quelle est la probabilité qu il connaisse les deux sujets? 3. Quelle est la probabilité qu il connaisse un et un seul de ces sujets? 4. Quelle est la probabilité qu il connaisse au moins un de ces sujets? II- On considère maintenant que l élève a étudié Ò des 100 leçons. ( Ò étant un entier inférieur ou égal à 100). 1. Quelle est la probabilité Ô Ò qu il connaisse au moins un de ces sujets? 2. Déterminer les entiers Ò tels que Ô Ò soit supérieur ou égal à 0,95. EXERCICE 2 ( 5 points) Le plan orienté est rapporté aurepère orthonormal Ç Ù Ú µ, l unité graphique étant 4 cm. On considère les points ¼ d affixes respectives : ¼ ¾ Le point ¾ est l image du point par la rotation Ö de centre Ç et d angle ¾. 1. (a) Calculer l affixe ¾ du point ¾ sous forme exponentielle puis sous forme algébrique. (b) Soit Á le milieu du segment ¼ ¾. Calculer l affixe du point Á (c) Faire une figure. 2. (a) Prouver que les droites ÇÁµ et Ç µ sont confondues. (b) Ecrire sous forme trigonométrique l affixe de Á. (c) Déterminer cos ¾ et sin ¾ ( les valeurs exactes sont exigées), sachant que Õ Ô Ô Ô ¾ PROBLEME ( 11 points) On considère la fonction numérique définie sur ¹ par : ܵ ¾ Ü ¹ µ ¾ Ü Ü¹ On désigne par la courbe représentative de dans le plan rapporté àunrepère orthonormal Çßµ l unité graphique étant 2 cm. PARTIE I 18 Lycée Louis Armand

19 Annales du baccalauréat S 2000 A.7. PONDICHÉRY (a) Soit ܹ ¾ Prouver l égalité : ¾ Ü ¹ µ ¾ Ü Ü¹ ¾ ¾ En déduire la limite de quand Ü tend vers (b) Déterminer la limite de en ¹ (c) En déduire une asymptote à la courbe. 2. (a) Soit Ú la fonction numérique définie sur ¹ par : calculer Ú ¼ ܵ (b) Démontrer que 3. Etudier les variations de. 4. Tracer la courbe. PARTIE II ¼ ܵ Ú Üµ Ü Ü¹ 1. Déterminer une primitive de sur ¹ 2. Soit «réel tel que ¼«,déterminer : «µ «¹Ü Ü ¹ µ Ü Ü¹ ¹«Üµ Ü 3. Quelle est la limite de «µ quand «tend vers Quelle est l aire en cm ¾ du domaine limité par la courbe de l axe des abscisses, les droites d équations respectives Ü ¹«et Ü «PARTIE III 1. (a) Démontrer que l équation ܵ a deux solutions dont l une est ¹. On ¾ notera l autre solution. (b) Donner un encadrement de largeur ¼ ¹¾ de 2. Soit un élément de ¹ Déterminer graphiquement, en fonction de, le nombre de solutions de l équation ܵ µ A.7 Pondichéry 1999 Les questions 2 et 3 sont indépendantes. EXERCICE 1 ( 5 points ) Lycée Louis Armand 19

20 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 Ô 1. Résoudre dans l équation Þ ¾ ¹ ¾ ¾Þ ¼. On désignera par Þ la solution dont la partie imaginaire est positive et par Þ ¾ l autre solution. 2. (a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres Þ et Þ ¾. ¾ (b) Déterminer le module et un argument du nombre complexe Þ. Þ ¾ 3. Dans le plan complexe rapporté aurepère orthonormal direct Ç Ù Úµ (unité :1 cm), on considère le point M 1 d affixe Ô ¾ µ, le point M 2 d affixe Ô ¾ ¹ µ et le point A d affixe Þ Ô ¾ ¾. (a) Déterminer l affixe du point M 3, image de M 2 par l homothétie de centre A et de rapport -3. (b) Déterminer l affixe du point M 4, image de M 2 par la rotation Ö de centre O et d angle ¹ ¾. (c) Placer dans le même repère les points A, M 1,M 2,M 3,etM 4. (d) Calculer Þ ¹ Þ Þ ¹ Þ. (e) Soient I le milieu du segment [M 3 M 4 ]etm 5 le symétrique de M 1 par rapport à I. Montrer que les points M 1,M 3,M 5 et M 4 forment un carré. On considère un triangle ABC du plan. EXERCICE 2 (4 points ) 1. (a) Déterminer et construire le point G, barycentre de µ ¹µ µ. (b) Déterminer et construire le point G, barycentre de µ µ ¹¾µ. 2. (a) Soit J le milieu de [AB]. Exprimer GG ¼ et JG ¼ en fonction de AB et AC et en déduire l intersection des droites (GG ) et (AB). (b) Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; -1)] appartient à (GG ). 3. Soit D un point quelconque du plan. Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA]. (a) Déterminer trois réels,, et tels que K soit barycentre de µ µ µ (b) Soit X le point d intersection de (DK) et (AC). Déterminer les réels ¼ et ¼ tels que X soit barycentre de [(A ; ¼ ) ; (C ; ¼ )]. PROBLEME ( 11 points ) 20 Lycée Louis Armand

21 Annales du baccalauréat S 2000 A.7. PONDICHÉRY 1999 Soit la fonction numérique définie sur ¼ par ܵ Ü ¹ Ü ¾. Partie A Recherche graphique d un extremum L observation de la courbe représentative de la fonction sur l écran graphique d une calculatrice donne à penser que admet un minimum sur l intervalle [0,5 ; 2]. On se propose d en donner une valeur approchée. Observer ci-dessous la représentation graphique de la fonction ¼,dérivée de, sur l intervalle [0,5 ; 2] Quels sont les éléments graphiques concernant ¼ qui vont dans le sens de l existence d un minimum de sur [0,5 ; 2]. A l aide de ce graphique donner un encadrement d amplitude 0,2 de l abscisse de ce minimum. Partie B Étude de la fonction F On considère la fonction définie sur [0 ;+[ par ܵ Ü Ü ¹ ¾Ü Ü ¾. 1. Déterminer les variations de (on précisera ¼µ mais la limite en n est pas demandée). ¾ 2. Déterminer le signe de. ¾ En déduire qu il existe un unique réel appartenant à l intervalle ¾ tel que µ ¼. En déduire le signe de sur [0 ;+[. 3. Étude de la fonction (a) Calculer les limites de aux bornes de l intervalle ]0 ; [. (b) Montrer que, pour tout nombre Ü, strictement positif, ¼ ܵ ÜÜ ¹ ¾ Ü ¾ Ü En déduire le sens de variation de et dresser son tableau de variation. Lycée Louis Armand 21

22 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 (c) Montrer que et en déduire le signe de µ. µ Partie C Recherche d un encadrement du nombre ¹ ¹ ¾µ 1. Démontrer que, sur [0 ; +[, l équation ܵ ¼ équivaut à ¾ ¹ ¹Ü µü 2. Soit la fonction définie sur [0 ; +[ par ܵ ¾ ¹ ¹Ü µ. On pose Á ¾ ¾. Montrer que, pour tout Ü de l intervalle I, ¼ ܵ ¾. 3. Soit la suite Ü Ò µò définie par Ü ¾ Ü Ò Ü Ò µ pour Ò On admet que, pour tout entier Ò supérieur ou égal à1,ü Ò appartient ài. (a) Démontrer que, pout tout entier Ò supérieur ou égal à1: Ü Ò ¹ ¾ Ü Ò ¹ et Ü Ò ¹ ¾ Ò En déduire que la suite Ü Ò µ converge vers. (b) Déterminer un entier Ô tel que Ü Ô soit une valeur approchée à ¼ ¹ près du nombre réel. Donner une valeur approchée de Ü Ô avec trois décimales. Partie D Quelques propriétés d une primitive de On appelle F la primitive de sur ]0 ;+[ qui s annule en 1. Ainsi l on a, pour tout réel Ü de ]0 ;+[, F ܵ Ê Ü ØµØ. 1. Étudier le sens de variation de F sur ]0 ;+[. 2. Démontrer que, pour tout Ü supérieur ou égal à2, Ü ¾ ¾µØ Ü ¾ ØµØ Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en déduire lim Ü F ܵ. 22 Lycée Louis Armand

23 Annales du baccalauréat S 2000 A.8. CENTRES ÉTRANGERS 1999 A.8 Centres étrangers 1999 EXERCICE 1 ( 5 points) 1. Une urne Í contient 2 jetons numérotés 1 et 2. Une urne Í ¾ contient 4 jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne. (Les choix sont supposés équiprobables) (a) Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1? (b) On a tiré un jeton portant le numéro 1. Quelle est la probabilité qu il provienne de l urne Í? 2. On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables. (a) Calculer la probabilité de tirer 2 jetons identiques? (b) Soit Ë la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité deë. (c) Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros tirés est impaire, Claude donne 10 euros à Dominique et que, dans le cas contraire, Claude reçoit euros de Dominique. On note la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Claude. Calculer l espérance mathématique de en fonction de puis déterminer pour que le jeu soit équitable ( c est à dire pour que µ soit égale à0). EXERCICE 2 ( 5 points ) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal Ç Ù Ú µ,, ¼,, ¼ sont les points d affixes respectives ¹ ¹. A tout point Å d affixe Þ, distinct des points Ç,, ¼,, ¼, on associe les points Å et Å ¾ d affixes respectives Þ et Þ ¾, tels que les triangles ÅÅ et ÅÅ ¾ soient rectangles isocèles, avec : ŠŠŵ Å ¾ Å Å ¾ µ ¾ On fera une figure. 1. (a) Justifier les égalités : Þ ¹ Þ ¹ Þ µ et ¹ Þ ¾ Þ ¹ Þ ¾ µ (b) Vérifier que Þ et Þ ¾ peuvent s écrire : Þ Þ µ et Þ ¾ ¹ Þ µ ¾ ¾ 2. On se propose dans cette question de déterminer les points Å pour lesquels le triangle ÇÅ Å ¾ est équilatéral. Lycée Louis Armand 23

24 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 (a) Montrer que : ÇÅ ÇÅ ¾ équivaut à Þ Þ. En déduire l ensemble µ des points Å tels que ÇÅ ÇÅ ¾ et tracer µ sur la figure. (b) Montrer que : ÇÅ Å Å ¾ équivaut à:þ ¾ ¾Þ ¾. (c) En déduire l ensemble µ des points Å du plan pour lesquels : ÇÅ Å Å ¾. On pourra montrer que : Þ ¾ ¾Þ ¾ équivaut à Þ ¹ ¾ ¾. Tracer µ sur la figure. (d) En déduire les deux points Å pour lesquels ÇÅ Å ¾ est un triangle équilatéral et les placer sur la figure. PROBLEME ( 10 points ) Le but du problème est l étude d une fonction définie sur l intervalle ¼ et d une primitive de. Première partie Étude d une fonction auxiliaire Soit la fonction définie sur l intervalle ¼ par : ܵ ¾Ü ¾ ¹ Ü ¾ µ ln Ü ¾ µ. 1. Montrer que est dérivable sur l intervalle ¼ et, en détaillant les calculs effectués, montrer que ¼ ܵ ¾Ü ¹ ¾Ü ln Ü ¾ µ 2. Faire l étude du sens de variation de sur l intervalle ¼. 3. Montrer qu il existe un unique réel, que l on notera «, dans l intervalle Ô ¹ Ô ¾ ¹, tel que «µ ¼ ; donner l approximation décimale à ¼ ¹¾ près par défaut de «. 4. En déduire le signe de ܵ, pour Ü appartenant à l intervalle ¼. Deuxième partie Étude de la fonction La fonction est définie sur [0 ;+[ par : ¼µ ¼ et ܵ ln ܾ µ Ü lorsque Ü ¼ Montrer que lim ܵ ܼ Ü. En déduire que est dérivable en 0 et donner la valeur de ¼ ¼µ. 1. (a) Vérifier que, pour Ü strictement positif, ¼ ܵ ܵ Ü ¾ Ü ¾ µ Faire l étude du sens de variation de sur l intervalle ¼. 2. (a) Montrer que, pour Ü ¼ ܵ ln ¾Ü¾ µ Ü. (b) En déduire la limite de en. 24 Lycée Louis Armand

25 Annales du baccalauréat S 2000 A.9. POLYNÉSIE 1998 Troisième partie Étude d une primitive de On note F la primitive de sur l intervalle ¼, qui s annule pour Ü Ê. Ü On rappelle que F ܵ ØµØ : (on ne cherchera pas à calculer F(Ü). 1. (a) Montrer que, pour ܼ, ܵ ¾ Ê ln ܵ Ü. Ü ¾ ln ص (b) Calculer Ø Ø pour Ü et en déduire la limite de F en. 2. Dresser le tableau de variation de F. 3. Montrer que µ F ¾µ «µ et en déduire un encadrement de F(2). (On prendra «µ ¼ ). 4. On note I le point de coordonnées (1 ; 0), A le point de () de coordonnées (1 ; ln ¾) et B le point de coordonnées (ln ¾ ;ln¾). (a) Vérifier que B appartient à la tangente à()eno. (b) Placer les points I, A et B sur une figure et tracer les segments [OA], [OB], [BA] et [AI]. (c) On admet que, pour les abscisses appartenant à l intervalle [0 ; 1], la courbe () est située au-dessus de [OA] et au dessous de [OB] et de [BA]. Déterminer un encadrement de F(0), d amplitude inférieure à ¾¼ ¹ 5. Tracer la représentation graphique ( ) de F en exploitant au maximum les résultats précédents ; on précisera notamment la tangente à( ) au point d abscisse 1 en la traçant et en donnant son coefficient directeur. (Unité graphique : 2 cm). A.9 Polynésie 1998 EXERCICE 1 ( 5 points) Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l urne A : si elle est noire, on la place dans l urne B, sinon, on l écarte du jeu. On tire au hasard ensuite une boule de l urne B. On considère les événéments suivants : R : La boule tirée de A est rouge N : La boule tirée de A est noire R ¾ : La boule tirée de B est rouge N ¾ : La boule tirée de B est noire 1. (a) Calculer les probabilités des événements Ê et Æ. (b) Calculer les probabilités des événements R ¾ sachant R et R ¾ sachant N. Endéduire que la probabilité deê ¾ est de ¾ ¼. (c) Calculer la probabilité deæ ¾. 2. On répète Ò fois l épreuve précédente (tirage d une boule de A, suivie du tirage d une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes. Lycée Louis Armand 25

26 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 Quel nombre minimum d essais doit-on effectuer pour que la probabilité d obtenir au moins une fois une boule rouge de l urne B soit supérieure à 0,99? EXERCICE 2 ( 5 points) Le plan complexe est muni d un repère orthonormal Ç Ù Ú µ ( unité graphique 2 cm ). On note A le point d affixe 1 et B le point d affixe ¾. On appelle l application qui, à tout point M distinct de A et d affixe Þ, associe le point M d affixe Þ ¼ définie par Þ ¼ Þ ¹ ¾ Þ ¹ 1. Calculer les affixes des points O et B, images respectives des points O et B par. Placer les points A, O, B et B dans le plan. 2. (a) Calculer, pour tout complexe Þ différent de 1, le produit Þ ¼ ¹ µ Þ ¹ µ (b) En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a : AM AM ¾ et Ù AM Ù AM = ¾ ¾ ¾ 3. Démontrer que, si M appartient au cercle () de centre A passant par O, alors M appartient à un cercle ( ¼ ). En préciser le centre et le rayon. Construire ()et( ¼ ). 4. (a) Déterminer l angle Ù ABµ. (b) Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite () d origine A, passant par B, alors M appartient à une demi-droite que l on précisera. 5. On appelle P le point d intersection du cercle () et de la demi-droite (). Placer son image P sur la figure. PROBLEME (10 points) Partie A : Étude d une fonction et courbe représentative On appelle la fonction définie sur l intervalle [0, [ par : ܵ Ü Ü ¹Ü On note () la courbe représentative de dans le plan muni du repère orthonormal Çßµ (unité graphique 2 cm). 1. (a) ¼ et ¼¼ désignant respectivement les dérivées première et seconde de, calculer, pour tout réel Ü, ¼ ܵ et ¼¼ ܵ. (b) Etudier le sens de variation de la dérivée ¼. (c) Démontrer que, pour tout réel Ü, ¼ ܵ ¼. (d) Calculer la limite de en Lycée Louis Armand

27 Annales du baccalauréat S 2000 A.9. POLYNÉSIE 1998 (e) Dresser le tableau de variation de la fonction. 2. (a) Démontrer que la droite () d équation Ý Ü est asymptote à() et préciser la position relative de ()et(). (b) La courbe () admet en un point A une tangente parallèle à la droite (). Déterminer les coordonnées de A. 3. Démontrer que l équation de ܵ ¾ admet sur [0, [ une unique solution notée «, puis vérifier que ¼«. 4. (a) Construire la droite (), le point A défini au 2.(b), la courbe () et la tangente en A à la courbe (). (b) Donner par lecture graphique une valeur approchée de «. Partie C : Recherche d une approximation décimale de «1. Démontrer que, sur [0, [, l équation : ܵ ¾ équivaut àl équation : Ü Ü Ü 2. On appelle la fonction définie sur l intervalle [0, 1] par : ܵ Ü Ü (a) Calculer ¼ ܵ pour tout réel Ü de l intervalle [0, 1] et réaliser le tableau de variations de la fonction. (b) En déduire que, pour tout réel Ü de [0, 1], ܵ appartient à[0,1]. (c) Calculer ¼¼ ܵ pour tout réel Ü de l intervalle [0, 1] ; étudier le sens de variations de ¼. (d) En déduire que, pour tout réel Ü de [0, 1], ¼ ¼ ܵ 3. On définit la suite Ù Ò µò¾æ par : Ù¼ ¼ Ù Ò Ù Ò µ pour tout entier naturel Ò. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel Ò, Ù Ò appartient à l intervalle [0, 1]. (b) Démontrer que, pour tout entier naturel Ò, Ù Ò ¹ «Ù Ò ¹ «(c) En déduire que, pour tout entier naturel Ò, Ù Ò ¹ «puis que la suite Ù Ò µò¾æ converge vers «. (d) Déterminer un entier Ô tel que Ù Ô soit une valeur approchée à ¼ ¹ près de «et, à l aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale de Ù Ô à ¼ ¹ près. Que peut-on en déduire pour «? Lycée Louis Armand 27 Ò

28 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 A.10 Pondichéry 1998 EXERCICE 1 ( 4 points ) 1. On dispose d une urne U contenant trois boules rouges et sept boules noires. On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables. a. Quelle est la probabilité Ô que les deux boules tirées soient rouges? b. Quelle est la probabilité Ô ¾ que les deux boules tirées soient noires? c. Quelle est la probabilité Ô que les deux boules tirées soient de même couleur? d. Quelle est la probabilité Ô que les deux boules tirées soient de couleurs différentes? 2. On dispose aussi d une deuxième urne U ¾ contenant quatre boules rouges et six boules noires. On tire maintenant deux boules de l urne U et une boule de l urne U ¾ ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables. On considère les événements suivants : R: Les boules tirées sont rouges ; D:Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur ; B:La boule tirée dans l urne U ¾ est rouge. a. Calculer la probabilité del évènement R. b. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur? c. Calculer la probabilité conditionnelle Ô (B) de l évènement B sachant que l évènement D est réalisé. EXERCICE 2 ( 5 points) On considère le polynôme P Þµ Þ Þ ¾ ¹¾ Þ ¾¼,où Þ est un nombre complexe. 1. Déterminer deux nombres réels et tels que : 2. Résoudre dans l équation P Þµ ¼. P Þµ Þ ¾ Þ µ Þ ¾ Þ ¾¼µ 3. Placer dans un repère orthonormal direct Ç Ù Ú µ, les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs Ñ ¹¾ Ò ¹¾ ¹ Ô ¾ et Õ ¾ ¹. 4. a. Déterminer le nombre complexe Þ vérifiant Þ ¹ Ô. Placer son image K. Þ ¹ Ñ b. En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K. 5. a. Déteminer par le calcul l affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL. b. Déterminer l abscisse du point d intersection R de la droite (KL) et de l axe des abscisses. c. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R. PROBLEME ( 11 points) 28 Lycée Louis Armand

29 Annales du baccalauréat S 2000 A.10. PONDICHÉRY 1998 On considère la fonction définie sur ¼ par ܵ Ü ¹ Ü Ü On désigne par sa courbe représentative dans le plan rapportéàunrepère orthonormal Çßµ ; unité graphique : 4 cm. Partie A Étude d une fonction auxiliaire Soit la fonction définie sur l intervalle ¼ par ܵ Ü ¾ ¹ Ü 1. Étudier le sens de variation de sur ¼ et déterminer la limite de en. 2. a. Montrer que l équation ܵ ¼ admet une solution et une seule dans ¼. On note «cette solution. b. Prouver que «. 3. En déduire le signe de ܵ suivant les valeurs de Ü. Partie B Étude de la fonction et tracé de la courbe 1. a. Montrer que, pour tout Ü appartenant à ¼, ¼ ܵ Ü Üµ Ü Ü µ ¾ b. En déduire le sens de variation de la fonction sur ¼. 2. a. Montrer que pour tout réel positif Ü, ܵ ¹ ¹Ü Ü ¹Ü b. En déduire la limite de en. Interpréter graphiquement le résultat trouvé. 3. a. Établir que «µ «. b. En utilisant l encadrement de «établi dans la question A.2., donner un encadrement de «µ d amplitude ¼ ¹¾. 4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe au point d abscisse a. Établir que, pour tout Ü appartenant à l intervalle ¼, ܵ ¹Ü Ü µ ٠ܵ Ü Ü avec ٠ܵ Ü ¹ Ü Ü ¹ b. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle ¼. En déduire le signe de ٠ܵ. c. Déduire des questions précédentes la position de la courbe par rapport à la droite (T). 6. Tracer et (T). Lycée Louis Armand 29

30 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 Partie C Calcul d aire et étude d une suite 1. Déterminer une primitive F de sur ¼ ; on pourra utiliser l expression de ܵ établie dans la question B On note le domaine délimité par la courbe, la tangente (T) et les droites d équations Ü ¼ et Ü. Calculer, en cm ¾, l aire A du domaine. Donner une valeur décimale au mm ¾ près de l aire A. 3. Pour tout entier naturel Ò, on pose Ò Ú Ò Üµ Ü Ò a. Calculer Ú ¼, Ú et Ú ¾. On donnera des valeurs décimales approchées à10 ¹¾ près de Ú ¼, Ú et Ú ¾. b. Interpréter graphiquement Ú Ò. c. Montrer que, pour tout Ò ¾ Ò µ Ò Ò Üµ Ü Òµ En déduire la monotonie de la suite Ú Ò µ à partir de Ò. d. Déterminer la limite de la suite Ú Ò µ. A.11 Amérique du Nord 1998 EXERCICE 1 ( 5 points) Afin de créer une loterie, on met dans une urne Ò billets différents (Ò supérieur ou égal à 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. 1. Dans cette question, on choisit au hasard et simultanément deux billets dans l urne. (a) On suppose ici Ò ¼. désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. Déterminer la loi de probabilité de. (b) On revient au cas général avec Ò supérieur ou égal à3. Calculer la probabilité, notée Ô Ò, d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. 2. Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tiré avant de tirer le second. (a) On suppose ici Ò ¼. désigne la variable aléatoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. Déterminer la loi de probabilité de. 30 Lycée Louis Armand

31 Annales du baccalauréat S 2000 A.11. AMÉRIQUE DU NORD 1998 (b) On revient au cas général avec Ò supérieur ou égal à3. Calculer la probabilité, notée Õ Ò, d avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. 3. (a) Montrer que pour tout Ò supérieur ou égal à3,ona: Ô Ò ¹ Õ Ò Ò ¹ ¾µ Ò ¾ Ò ¹ µ (b) En remarquant que pour tout entier Ò, Ò ¹ ¾ est inférieur à Ò ¹,déterminer un entier naturel Ò ¼ tel que pour tout Ò supérieur ou égal à Ò ¼, on ait Ô Ò ¹ Õ Ò ¼ ¹ (c) Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il préférable de les tirer simultanément ou de les tirer l un après l autre en remettant le premier billet tiré? EXERCICE 2 ( 5 points) Dans le plan complexe rapporté àunrepère orthonormal direct Ç Ù Ô Úµ, (unité graphique : 4 cm), on donne les points A et B d affixes respectives 1 et ¾ ¹ ¾. Pour chaque point M du plan, d affixe Þ, M d affixe Þ désigne l image de M par la rotation de centre O et d angle, puis M d affixe Þ¼ l image de M par la translation de vecteur ¹ Ù. Enfin, on note Ì la transformation qui à chaque point M associe le point M. 1. (a) Démontrer : Þ ¼ Þ ¹. (b) Déterminer l image du point B. (c) Montrer que Ì admet un unique point invariant dont on précisera l affixe. 2. On pose Þ Ü Ý, avec Ü et Ý réels. (a) Pour Þ non nul, calculer la partie réelle du quotient Þ¼ en fonction de Ü et de Þ Ý. (b) Démontrer que l ensemble (), des points M du plan tels que le triangle OMM soit rectangle en O, est un cercle (), dont on précisera le centre et le rayon, privé de deux points. Tracer (). 3. Dans cette question on pose Þ. (a) Vérifier que M appartient à(). Placer M et M sur la figure. (b) Calculer le module de Þ ¼. (c) Calculer l aire, en cm ¾, du triangle OMM. PROBLEME ( 10 points) Lycée Louis Armand 31

32 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 On désigne par Ò un entier supérieur ou égal à 2 et on considère les fonctions, notées Ò, qui sont définies pour Ü appartenant à l intervalle ¼ par : Ò Üµ Ò ln ܵ Ü ¾ PARTIE A I : Etude des fonctions Ò 1. Calculer ¼ Ò Üµ et montrer que l on peut écrire le résultat sous la forme d un quotient dont le numérateur et Ò ¹ ¾ ¹ ¾Ò ln ܵ. 2. Résoudre l équation ¼ Ò Üµ ¼. Etudier le signe de ¼Ò ܵ 3. Déterminer la limite de Ò en 4. Etablir le tableau de variation de la fonction Ò et calculer sa valeur maximale en fonction de Ò. II : Représentation graphique de quelques fonctions Ò Le plan est rapportéà un repère orthonormal Çßµ ( unité graphique : 5 cm ). On note Ò µ la courbe représentative de la fonction Ò dans ce repère. 1. Tracer ¾ µ et µ 2. (a) Calculer Ò Üµ¹ Ò Üµ Cette différence est-elle dépendante de l entier Ò? (b) Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe µ à partir de ¾ µ et µ PARTIE B Calculs d aires 1. Calculer, en intégrant par parties, l intégrale : Á 2. En déduire l aire, en unités d aire, du domaine plan limité par les courbes Ò µ et Ò µ et les droites d équations Ü et Ü 3. On note Ò l aire, en unités d aire, du domaine limité par la courbe Ò µ et les droites d équations Ý ¼ Ü et Ü (a) Calculer ¾ ln Ü Ü ¾ (b) Déterminer la nature de la suite Ò µ en précisant l interprétation graphique de sa raison. PARTIE C Etude sur l intervalle de l équation Ò Üµ. Dans toute la suite, on prendra Ò 1. (a) Vérifier que, pour tout Ò Ü Ò¹¾ ¾Ò et Ò Ò¹¾ ¾Ò (b) Vérifier que l équation Ò Üµ n a pas de solution sur l intervalle ¾Ò Ò¹¾ 32 Lycée Louis Armand

33 Annales du baccalauréat S 2000 A.12. SUJET EXPÉRIMENTAL Montrer que l équation Ò Üµ admet sur l intervalle Ò¹¾ ¾Ò exactement une solution notée «Ò 3. On se propose de déterminer la limite de la suite «Ò µ (a) Calculer Ò Ô Ò et montrer que, pour Ò ¾ on a Ò Ô Ò (b) En déduire que, pour Ò on a «Ò Ô Ò et donner la limite de la suite «Ò µ A.12 Sujet expérimental 1998 Première partie avec calculatrice Problème (11 points) Avertissement : l usage d une calculatrice n est pas nécessaire pour traiter la partie C. On considère la fonction définie sur Ê par ܵ Ü ln Ü ¹ ¾ ln Ü ¹ ln ܵ ¾ on note ¼ sa fonction dérivée et la fonction définie sur Ê par ܵ ¾Ü. Dans un repère orthogonal donné, on appelle la représentation graphique de, ¼ la représentation graphique de ¼,et celle de. Voir figure 1 ces trois courbes sur l écran d une calculatrice pour Ü compris entre ¼ et. A - Etude de 1. Déterminer lim ܼ ܵ. 2. Montrer que ¼ ܵ ¾ ¹ µ ln ܵ Ü 3. En déduire le sens de variation de. 4. Montrer que l équation ܵ ¼ admet trois solutions. Donner un encadrement de longueur ¼ ¹¾ pour les deux solutions non entières. B - Intersection des représentations graphiques de et de 1. Reproduire sur la copie et compléter le tableau des valeurs suivant en donnant les résultats à ¼ ¹¾ près. Point de À Á Â Ü ¼ ¼ ¼ ¾ ¹ ¾ ܵ 2. On veut déterminer si la courbe représentative de coupe la droite pour ¼Ü. Que peut-on, à l aide de sa calculatrice, conjecturer? Préciser les éléments qui permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice utilisée). Lycée Louis Armand 33

34 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S On s intéresse aux solutions de l équation ܵ ܵ appartenant à l intervalle. (a) Montrer que ¼ est une fonction croissante sur. (b) En déduire que ¼ ܵ ¾pour tout Ü appartenant à. (c) Montrer que l équation ܵ ܵ admet une solution unique sur. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction définie sur par : ܵ ܵ ¹¾Ü ). Dans la suite, on notera «cette solution. 4. Mise en évidence de «sur un graphique. Choisir un nombre entier tel que «. Sur papier millimétré, on trace un carréde¼ Ñ de côté. Le sommet inférieur gauche représentera le point de coordonnées ¾µ et le sommet diagonalement opposé le point de coordonnées ¾ µµ. Tracer dans ce carré et. Mettre le nombre «en évidence sur le graphique et en donner une valeur approchée. C - Calcul de probabilité. Dans cette partie, on se réfère au tableau des valeurs construit dans la partie B.1) Les trois questions sont indépendantes. Pour chacune des trois questions, les choix effectués sont équiprobables. 1. On place les points,, À et  dans un repère, et on les relie à l aide de segments formant une ligne brisée continue (par exemple la ligne brisée ÀÂ). (a) Combien de lignes brisées différentes peut-on former ainsi? (À et ÂÀ représentent la même ligne brisée) (b) On choisit l une de ces lignes brisées. Quelle est la probabilité d obtenir la représentation graphique d une fonction? 2. On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant l ordre de leurs abscisses croissantes, à l aide de segments formant une ligne brisée. Quelle est la probabilité d obtenir une ligne qui ne coupe pas l axe des abscisses? (le point peut être choisi). 3. On choisit cinq points consécutifs parmi les dix (par exemple ). (a) Combien y-a-t-il de possibilités? (b) On échange l abscisse et l ordonnée de chacun de ces cinq points. Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints à l aide de segments dans l ordre de leurs ordonnées croissantes. Quelle est la probabilité d obtenir la représentation graphique d une fonction? Figure 1 (courbes, ¼ et ): 34 Lycée Louis Armand

35 Annales du baccalauréat S 2000 A.12. SUJET EXPÉRIMENTAL 1998 Exercice 1 (4 points) Soit la fonction définie sur Ê, par Seconde partie sans calculatrice ܵ et représentée dans le repère de la figure 1. Ü Ü 1. Déterminer une primitive de sur Ê. 2. Soit la suite Í Ò µ définie pour Ò¼par : Í Ò ln Ò µ ln Òµ ÜµÜ (a) Calculer Í et Í ¾. Exprimer Í Ò en fonction de Ò. (b) Que représente graphiquement le nombre Í Ò? 3. Montrer que Í Ò µ est une suite décroissante positive. Calculer la limite de cette suite. 4. On pose Ë Ò Í Í ¾ Í Ò (a) Calculer Ë, Ë ¾, Ë et exprimer Ë Ò en fonction de Ò. (b) Déterminer lim Ò Ë Ò. Exercice 2 (5 points) Le plan complexe est rapportéà un repère Ç Ù Úµ orthonormé direct. (Unité graphique Ñ). On désigne par un nombre réel tel que ¹. On appelle, Å et Æ les points d affixes respectives, et. On désigne par µ le cercle de centre Ç et de rayon, et par ¼ µ le cercle de centre et de rayon. 1. Tracer µ et ¼ µ, et placer, Å et Æ dans le cas ou. 2. Montrer que Æ appartient à ¼ µ et donner la nature du triangle ÇÆÅ.Déterminer un argument de. 3. Ù avec ¹. Lycée Louis Armand 35

36 A. SUJETS DU BACCALAURÉAT Annales du baccalauréat S 2000 (a) Montrer que Ù est solution dans de l équation : Þ ¾ ¹ ¾ ¾ cos µþ ¾ ¾ cos ¼ En déduire la seconde solution de cette équation. (b) Quelle sont les solutions dans de l équation Þ ¾ ¹ Þ ¼? 4. On considère l équation µ : Þ ¾ ¹ Þ ¼ où est un nombre réel tel que ¼. On nomme Ê le point d affixe, etì le milieu de ÇÊ. La perpendiculaire à l axe réel passant par Ì coupe ¼ µ en deux points Í et Í ¼. Montrer que les affixes de Í et de Í ¼ sont les solutions de µ. Figure 1 (courbe représentative de ): 36 Lycée Louis Armand

37 Annales du baccalauréat S 2000 B. EXERCICES B Exercices B.1 Intégration B.1.1 Asie 1998 Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Æ est l ensemble des entiers strictement positifs. Pour tout entier n de Æ, on considère l intégrale : Á Ò ln ܵ Ò Ü 1. (a) Démontrer que pour tout Ü dans l intervalle et pour tout entier naturel n, on a : ln ܵ Ò ¹ ln ܵ Ò ¼ (b) En déduire que la suite Á Ò µ est décroissante. 2. (a) Calculer Á à l aide d une intégration par parties. (b) Démontrer à l aide d une intégration par parties que, pour tout Ò ¾ Æ : Á Ò ¹ Ò µá Ò (c) En déduire Á ¾, Á et Á. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de et les valeurs approchées à ¼ ¹ près par défaut. 3. (a) Démontrer que, pour tout Ò ¾ Æ : Á Ò ¼ (b) Démontrer que, pour tout Ò ¾ Æ : Ò µá Ò (c) En déduire la limite de Á Ò. (d) Déterminer la valeur de ÒÁ Ò Á Ò Á Ò µ et en déduire la limite de ÒÁ Ò. B.1.2 Amérique du Sud 1995 On pose pour tout entier naturel Ò non nul : Á Ò Ü ¾ ln ܵ Ò Ü oùlndésigne la fonction logarithme népérien, et pour Ò ¼ Á ¼ Ü ¾ Ü Lycée Louis Armand 37

38 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S Calculer Á Ó. 2. En utilisant une intégration par parties, calculer Á. 3. En utilisant une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel Ò non nul : Á Ò Ò µá Ò µ En déduire Á ¾. 4. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel Ò non nul, Á Ò est positive. (b) Déduire de l égalité (1) que, pour tout entier naturel Ò non nul, (c) Déterminer lim Ò Á Ò B.1.3 Sportifs de haut niveau 1994 On considère la suite Á définie par : et pour tout entier naturel Ò par : Á ¼ Á Ò Ò ¼ Ü Ü Á Ò Ò ¼ ¹ ܵ Ò Ü Ü 1. (a) Calculer ¼ ¹ ܵ Ò Ü (b) A l aide de l encadrement : Ü valable sur l intervalle ¼ montrer que pour tout entier Ò on a : Ò µ Á Ò Ò µ (c) Montrer que la suite Á est convergente et déterminer sa limite. 2. (a) Calculer Á ¼ puis Á à l aide d une intégration par parties. (b) Etablir, en intégrant par parties, que pour tout entier Ò on a : Á Ò¹ ¹ Á Ò Ò (1) 38 Lycée Louis Armand

39 Annales du baccalauréat S 2000 B.2. PROBABILITÉS 3. On pose, pour tout entier Ò : Â Ò (a) En utilisant les relations µ, exprimer Â Ò à l aide de Á ¼ et Á Ò (b) En déduire la limite  de la suite Â Ò µ (c) Justifier l encadrement : B.2 Probabilités B.2.1 National 1998 Ò µ  ¹ Â Ò Ò Ò µ Dans tout l exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A;p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé. 1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité : Ô P(X ) Ô 0,1 0,5 0,4 (a) Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X. (b) Calculer l espérance mathématique de X. 2. Dans cette station-service, la probabilité qu un client achète de l essence est 0,7 ; celle qu il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants : C : en cinq minutes, un seul client se présente ; C ¾ : en cinq minutes, deux clients se présentent ; E : en cinq minutes, un seul client achète de l essence ; (a) Calculer P(C E). (b) Montrer que P(EC ¾ µ¼ ¾ et calculer P(C ¾ E). (c) En déduire la probabilité qu en cinq minutes un seul client achète de l essence. 3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité dey. B.2.2 Guadeloupe 1998 Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c est un double. 1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac. Lycée Louis Armand 39

40 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S On tire simultanément trois dominos du sac. Quelle est la probabilité d obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos? 3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants : (a) J ¾ : Le jaune figure deux fois (b) J : Le jaune figure une seule fois (c) J : Le jaune figure au moins une fois 4. On effectue Ò tirages successifs d un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré etdeprocéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants. Calculer, en fonction de Ò, la probabilité p Ò, que J soit réalisé au moins une fois. Calculer la plus petite valeur de l entier naturel Ò pour laquelle p Ò ¼ B.2.3 Centres étrangers 1998 Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue Ò tirages successifs (Ò entier supérieur ou égal à 1) d une boule en respectant la règle suivante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l urne ; si elle est blanche, on ne la remet pas. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans cette partie Ò. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles. Si est un entier compris entre 1 et 3, on note l évènement seule la ième boule tirée est blanche. 1. Montrer que la probabilité del évènement est Ô µ. 2. Calculer les probabilités des événements ¾ et. En déduire la probabilité qu on ait tiré une seule boule blanche à l issue des 3 tirages. 3. Sachant que l on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule blanche ait été tirée en dernier? Partie B On effectue maintenant Ò tirages. 1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité Ô Ò de tirer au moins une boule blanche en Ò tirages. 2. Quelles valeurs faut-il donner à Ò pour que : Ô Ò ¼? B.2.4 Groupe II bis 1997 Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher. 1. On effectue quatre tirages successifs d une boule sans remise. 40 Lycée Louis Armand

41 Annales du baccalauréat S 2000 B.2. PROBABILITÉS (a) Calculer la probabilité de tirer dans l ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. (b) Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages. 2. On effectue maintenant quatre tirages successifs d une boule avec remise. Répondre aux mêmes questions qu à la question Ò étant un nombre entier strictement positif, on effectue Ò tirages successifs avec remise. On appelle P Ò la probabilité d obtenir au cours de ces Ò tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage. (a) Calculer È, È ¾, È et È Ò. (b) Soit Ë Ò È È ¾ È È Ò. Exprimer Ë Ò en fonction de Ò et déterminer la limite de Ë Ò. B.2.5 Pondichéry 1997 Voici le plan de la salle 308 du lycée Dupont : R4 R3 R2 allée centrale R1 bureau Le premier jour de l année scolaire, les élèves de la classe de TS1 sont invités par leur professeur principal à s installer au hasard des places disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 élèves. 1. (a) Quel est le nombre de répartitions possibles des places inoccupées? (b) Calculer à ¼ ¹ près, les probabilités des évènements suivants : A : les huit places du rang R4 sont toutes occupées B : Il y a autant d élèves à gauche qu à droite de l allée centrale 2. Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme fractionnaire. Soit la variable aléatoire nombre de places inoccupées au rang R4. (a) Donner la loi de probabilitéde. (b) Calculer son espérance mathématique. Lycée Louis Armand 41

42 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S 2000 B.2.6 Amérique du Nord 1997 Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour Ò entier naturel ou nul : Ò l évènement Juliette gagne la Ò-ième partie È Ò l évènement Juliette perd la Ò-ième partie 1. (a) Déterminer les probabilités Ô µ Ô ¾ µ et Ô ¾ È µ En déduire la probabilité Ô ¾ µ (b) Calculer Ô È ¾ µ 2. On pose, pour Ò entier naturel non nul, Ü Ò Ô Ò µ et Ý Ò Ô È Ò µ (a) Déterminer pour Ò entier naturel non nul les probabilités Ô È Ò Ò µ et Ô Ò È Ò µ (b) Montrer que pour tout Ò entier naturel non nul : ÜÒ ¼ Ü Ò ¼ Ý Ò Ý Ò ¼ Ü Ò ¼ Ý Ò 3. Pour Ò entier naturel non nul, on pose Ú Ò Ü Ò Ý Ò et Û Ò Ü Ò ¹ Ý Ò (a) Montrer que la suite Ú Ò µ est constante de terme général égal à (b) Montrer que la suite Û Ò µ est géométrique et exprimer Û Ò en fonction de Ò 4. (a) Déduire du 3. l expression de Ü Ò en fonction de Ò (b) Montrer que la suite Ü Ò µ converge et déterminer sa limite. B.2.7 Remplacement 1996 Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve à km et qui exige d être servi à ¾¼ h ¼¼ précisément. Pour se déplacer, il utilise un scooter qui roule constamment à Ñ. (onnéglige les phases d accélération et de décélération ). Sur son trajet, il va rencontrer ¾ deux tricolores non synchronisés et indépendants. S il arrive à un feu orange, il s arrête ¼ secondes et repart. S il arrive à un feu rouge, il s arrête 3¼ secondes et repart. Pour chaque feu : la probabilité d être vert à l arrivée du livreur est ¾. la probabilité d être orange à l arrivée du livreur est. Soit Ì la variable aléatoire temps en minutes mis par le livreur pour arriver à destination. 1. (a) Calculer, en justifiant le calcul, la probabilité Ô Ì µ. (b) Donner la loi de probabilité deì. 2. Calculer l espérance mathématique de Ì. 42 Lycée Louis Armand

43 Annales du baccalauréat S 2000 B.2. PROBABILITÉS 3. Représenter la fonction de répartition de Ì. 4. Le livreur part à h. (a) Quelle est la probabilité pour le livreur d arriver en retard? (b) Quelle est la probabilité pour le livreur d arrive en avance? B.2.8 Groupe II bis 1996 On dispose de deux urnes : une urne U dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires ; une urne U ¾ dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires. Une épreuve consiste à tirer simultanément et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne étant équiprobable. 1. Montrer que la probabilité del évènement E : parmi les quatre boules tirées, il y a exactement deux boules blanches est égale à ¼ 2. On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. (a) Déterminer la loi de probabilité dex. (b) Le joueur doit verser ¾ ¼ F avant d effectuer le tirage ; il reçoit à l issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il équitable? 3. Calculer la probabilité d avoir tiré une et une seule boule blanche de l urne U sachant qu on a tiré deux boules blanches. 4. On ne considère que l urne U, de laquelle on tire toujours au hasard et simultanément deux boules. On nomme succès le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la même épreuve (en remettant chaque fois les boules tirées dans l urne). Déterminer la probabilité d avoir au moins un succès sur les dix tirages. B.2.9 La Réunion 1996 Au cours d une fête, le jeu suivant est proposé au public : Dans une urne se trouvent placées 7 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher. Le joueur prend une boule au hasard ; si cette boule est noire, le jeu s arrête ; si cette boule est rouge, le joueur prend une deuxième boule (sans remettre la première boule tirée dans l urne) et le jeu s arrête. Une boule noire tirée apporte au joueur1fetchaque boule rouge 2 F. Pour faire un jeu, le joueur paie 2 F. On désigne par X la variable aléatoire associée au gain algébrique du joueur (c est à dire la différence entre la somme rapportée par les boules tirées et le prix du jeu). 1. (a) Quelles sont les valeurs que X peut prendre? (b) Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. Lycée Louis Armand 43

44 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se déroulent dans des conditions identiques (après chaque jeu, les boules tirées sont remises dans l urne). Déterminer la probabilité des événements suivants : A : le joueur perd 3 F. B : le joueur perd 1 F. C : le gain du joueur est nul. En déduire la probabilité del évènement D : le joueur a un gain strictement positif. B.2.10 Nouvelle Calédonie 1996 On donnera les résultats sous forme de fraction irréductible. 1. Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise. X est la variable aléatoire qui prend pour valeur si le premier jeton blanc apparaît au -ième tirage. Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique. 2. Une autre urne U ¼ contient 17 jetons blancs et 18 noirs. On jette un dé cubique dont chaque face a la même probabilité d apparaître. Si le 6 apparaît, on tire un jeton de l urne U, sinon on tire un jeton de l urne U ¼. (a) Démontrer que la probabilité de tirer un jeton blanc est égale à 0,5. (b) On a tiré un jeton blanc, calculer la probabilité pour qu il provienne de U. B.2.11 Exercice complémentaire On considère le système d équations linéaires : Ü ¹ ¾Ý Ü ¹ Ý Pour déterminer les coefficients on lance trois fois un dé cubique parfait dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et les numéros sortis donnent les valeurs de. Calculer les probabilités des événements suivants : 1. : le système a une infinité de solutions 2. ¾ : le système n a aucune solution 3. : le système a une seule solution 4. : le système a une seule solution qui est ¼µ Les résultats seront donnés sous la forme de fractions de dénominateur 108. B.3 Nombres complexes B.3.1 Remplacement On considère le polynôme È défini par : È Þµ Þ ¹ Þ ¾ ¾Þ ¹. 44 Lycée Louis Armand

45 Annales du baccalauréat S 2000 B.3. NOMBRES COMPLEXES (a) Calculer È µ. (b) Résoudre dans l équation : È Þµ ¼. 2. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct Ç Ù Ú µ tel que : Ù Ú ¾Ñ. Soient,, les points d affixes respectives : Ô ¹ Ô (a) Placer les points sur une figure que l on complétera tout au long de l exercice. (b) Montrer que le triangle est équilatéral. 3. Soit à le point d affixe ¹Ô On appelle l image de à par la rotation de centre Ç et d angle de mesure et l image de à par la translation de vecteur Ç. (a) Quelles sont les affixes respectives de et de? (b) Montrer que les droites ǵ et ǵ sont perpendiculaires. 4. Soit À le quatrième sommet du parallélogramme ÇÀ (a) Montrer que le quadrilatère ÇÀ est un carré. (b) Calculer l affixe du point À. (c) Le triangle À est-il équilatéral? B.3.2 National 1998 Le plan complexe est rapportéà un repère orthonormé direct Ç Ù Úµ. 1. Résoudre dans l équation (1) : Þ ¹ ¾ Þ ¹ Þ On donnera le module et un argument de chaque solution. 2. Résoudre dans l équation (2) : Þ ¹ ¾ Þ ¹ On donnera la solution sous forme algébrique. 3. Soit M, A et B les points d affixes respectives : Þ, 1et2. On suppose que M est distinct des points A et B. (a) Interpréter géométriquement le module et un argument de Þ ¹ ¾ Þ ¹. (b) Retrouver géométriquement la solution de l équation (2). Lycée Louis Armand 45

46 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S (a) Montrer, à l aide d une interprétation géométrique, que toute solution de l équation dans : Þ Ò ¹ ¾ Þ ¹ où Ò désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle ¾. (b) Résoudre alors dans l équation (3) : ¾ Þ ¹ ¾ Þ ¹ On cherchera les solutions sous forme algébrique. B.3.3 Guadeloupe 1998 Partie A On considère le polynôme È de la variable complexe Þ défini par : 1. (a) Calculer È µ et È ¹µ È Þµ Þ ¾ Ô Þ Þ ¾ ¾ Ô Þ (b) Montrer qu il existe un polynôme É du second degré, que l on déterminera, tel que : pour tout Þ ¾ È Þµ Þ ¾ É Þµ 2. Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation È Þµ ¼ Partie B Le plan est rapporté au repère orthonormal direct Ç Ù Ú µ (unité graphique ¾ cm). 1. Placer dans ce repère les points et d affixes respectives Þ, Þ ¹ Þ ¹Ô ¾ et Þ ¹Ô ¹ ¾. Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre 2. Montrer qu il existe une rotation de centre Ç qui transforme en Calculer une valeur entière approchée à un degré près d une mesure de l angle de cette rotation. 3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport : Þ ¹ Þ Þ ¹ Þ Interpréter géométriquement le module et l argument de ce rapport. 46 Lycée Louis Armand

47 Annales du baccalauréat S 2000 B.3. NOMBRES COMPLEXES B.3.4 Groupe I bis 1997 Le plan complexe È est rapporté à un repère orthonormal direct Ç Ù Úµ, ayant comme unité graphique 4 cm. On note, et les points d affixes respectives ¾, ¹ et. On considère la fonction de È ¹ dans È qui à tout point Å de È ¹, d affixe Þ, associe le point Å ¼ d affixe Þ ¼ tel que : Þ ¼ Þ Þ ¹ ¾ 1. (a) Faire une figure que l on complètera au cours de l exercice. (b) Déterminer l affixe du point ¼ image de. Quelle est la nature du quadrilatère ¼? (c) Montrer que le point admet un antécédent unique par que l on notera ¼¼. Quelle est la nature du triangle ¼¼? 2. Donner une interprétation géométrique de l argument et du module de Þ ¼. 3. Déterminer, en utilisant la question précédente, quels sont les ensembles suivants : (a) L ensemble des points Å dont les images par ont pour affixe un nombre réel strictement négatif. (b) L ensemble des points Å dont les images par ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul. (c) L ensemble des points Å dont les images appartiennent au cercle de centre Ç et de rayon 1. B.3.5 Groupe II bis 1997 Le plan complexe È est rapporté àunrepère orthonormal direct Ç ÙÚµ, (unité graphique 3 cm). On désigne par A le point d affixe. A tout point M du plan, distinct de A, d affixe Þ, on associe le point M ¼ d affixe Þ ¼ défini par : Þ ¼ Þ¾ ¹ Þ 1. Déterminer les points M confondus avec leur image M ¼. 2. Étant donné un complexe Þ distinct de, on pose : Þ Ü Ý et Þ ¼ Ü ¼ Ý ¼, avec Ü Ý Ü ¼ Ý ¼ réels. Montrer que : Ü ¼ ¹Ü ܾ Ý ¾ ¹ ¾Ýµ Ü ¾ ¹ ݵ ¾ En déduire l ensemble des points M dont l image M ¼ est située sur l axe des imaginaires purs. Dessiner l ensemble. Lycée Louis Armand 47

48 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM ¼.Endéduire l ensemble des points M du plan tels que M et M ¼ soient situés sur un même cercle de centre O. Dessiner l ensemble. 4. Dans toute cette question, on considère un point M d affixe Þ, situé sur le cercle de centre A et de rayon ¾.M¼ est le point d affixe Þ ¼ correspondant, et G l isobarycentre des points A, M et M ¼. Calculer l affixe Þ de G en fonction de Þ. Montrer que G est situé sur un cercle un centre O dont on précisera le rayon. Après avoir comparé les angles Ùǵ et Ùŵ, effectuer la construction de G. En déduire celle de M ¼. B.3.6 Polynésie 1997 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct Ç Ù Úµ, on considère Ò Ô ¾ µ où Ò est un entier naturel. les points Å Ò d affixes Þ Ò 1. Exprimer Þ Ò en fonction de Þ Ò puis Þ Ò en fonction de Þ ¼ et Ò. Donner Þ ¼, Þ, Þ ¾, Þ et Þ sous forme algébrique et sous forme trigonométrique. 2. Placer les points Å ¼, Å, Å ¾, Å et Å (unité graphique : 4 cm). 3. Déterminer la distance ÇÅ Ò en fonction de Ò. Ô 4. (a) Montrer que l on a Å Ò Å Ò pour tout Ò entier naturel. ¾Ò (b) On pose Ä Ò Ò ¼ Å Å (C est à dire Ä Ò Å ¼ Å Å Å ¾ Å Ò Å Ò ). Déterminer Ä Ò en fonction de Ò puis la limite de Ä Ò quand Ò tend vers. 5. Déterminer une mesure de l angle Ò ÇÅ ¼ ÇÅ en fonction de Ò. Pour quelles valeurs de Ò les points Ç, Å ¼ et Å Ò sont-ils alignés? B.3.7 Centres étrangers 1997 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct Ç Ù Úµ, on donne les points A d affixe ¾, B d affixe ¾ et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm d unité graphique). On considère la fonction qui, à tout point M distinct de A, d affixe Þ, associe le point M ¼ d affixe Þ ¼ tel que : Þ ¼ ¾Þ Þ ¹ ¾ 1. (a) Montrer que admet comme points invariants le point O et un deuxième point dont on précisera l affixe. (b) Déterminer les images par des points B et I. 48 Lycée Louis Armand

49 Annales du baccalauréat S 2000 B.3. NOMBRES COMPLEXES 2. Soit M un point quelconque distinct de A et O. Etablir que : ÙOM ¼ µ MA ÇÅ ¼ ¾ ÅÇ Å MOµ ¾ ¾ 3. Soit ( )lamédiatrice de [OA]. Montrer que les transformés par des points de ( ) appartiennent à un cercle (C) que l on précisera. 4. Soit ( ) le cercle de diamètre [OA], privé du point A. Montrer que les transformés par des points de ( ) appartiennent à une droite (D) que l on précisera. 5. Tracer ( ), ( ),(C), (D) sur la même figure. B.3.8 Japon 1997 On considère le plan complexe È muni d un repère orthonormal direct Ç ¾ µ 1. Soit le polynôme È tel que pour tout Þ de È Þµ Þ ¹ Þ ¾ Þ ¹ Déterminer les réels Ù et Ú tels que È Þµ Þ ¹ ¾µ Þ ¾ ÙÞ Ú et résoudre dans l équation È Þµ ¼ 2. On note «la solution de l équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et le conjugué de«soient et les points d affixes respectives «et ¾ Á le milieu de et Ö la rotation de centre Ç et d angle ¾ Déterminer l affixe du point Ö µ et en déduire la nature du quadrilatère Ç 3. Soit l application de È privé du point dans È qui au point Å d affixe Þ ( Þ ¾ ) associe le point Å ¼ d affixe Þ ¼ défini par : Þ ¼ Þ ¹ µ Þ ¹ ¾ (a) Déterminer µ et µ Déterminer le point tel que µ (b) Quelles distances représentent les réels Þ ¹ µ et Þ ¹ ¾? En déduire que si Å appartient àlamédiatrice de Å ¼ appartient àun cercle dont on donnera le centre et le rayon. B.3.9 La Réunion Résoudre dans l ensemble des nombres complexes les équations suivantes : (a) Þ ¾ ¹ ¾Þ ¼ (b) Þ ¾ ¹ ¾ Ô µþ ¾ Ô ¼. Lycée Louis Armand 49

50 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S On considère dans le plan complexe rapportéà un repère orthonormal direct Ç Ù Ú les points d affixes respectives : Þ ¾ Þ Ô Þ Ô ¹ et Þ ¹ ¾ (a) Placer les points et préciser la nature du quadrilatère. b. Vérifier que Þ ¹ Þ Þ ¹ Þ Ô Que peut-on en déduire pour les droites µ et µ? c. Prouver que les points appartiennent àunmême cercle dont on précisera le centre et le rayon. Tracer. 3. On considère l équation : Þ ¾ ¹ ¾ ¾ cos µþ cos ¼ µ où désigne un nombre réel quelconque. a. Résoudre l équation (1) dans. b. Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle. B.3.10 Nouvelle Calédonie 1996 Le plan complexe È est rapporté àunrepère orthonormal direct Ç Ù Úµ (unité graphique : 2 cm). On désigne par A et B les points d affixes respectives 1 et 4. L application associe à tout point M d affixe Þ de È, distinct de A, le point M ¼ d affixe définie par : Þ ¹ Þ ¹ Ô 1. Soit C le point d affixe ¾. Déterminer l affixe de C ¼ = (C). 2. Démontrer que admet deux points invariants I et J. (On notera I celui d ordonnée positive.) Placer les points I, J, C et C ¼. 3. On pose Þ Ü Ý et avec Ü, Ý,, réels. (a) Déterminer et en fonction de Ü et Ý. (b) Déterminer l ensemble E des points M d affixe Þ tels que soit réel. (c) Déterminer et construire l ensemble F des points M d affixe Þ tels que soit imaginaire pur. 4. Donner une interprétation géométrique de, Þ ¹, Þ ¹. En déduire l ensemble D des points M d affixe Þ tels que. Construire D. 50 Lycée Louis Armand

51 Annales du baccalauréat S 2000 B.3. NOMBRES COMPLEXES B.3.11 Sportifs de haut niveau (a) i. Résoudre dans l équation suivante : Þ ¾ ¹ cos Þ ¼ On notera Þ et Þ ¾ les solutions trouvées, Þ étant la solution de partie imaginaire positive. ii. Déterminer le module et un argument de Þ et de Þ ¾ et donner l écriture exponentielle de Þ et de Þ ¾ (b) Placer dans le plan È rapporté à un repère orthonormal direct ¼ Ù Ú µ d unité graphique cm, les images Å et Å ¾ de Þ et Þ ¾ Expliquer pourquoi Å et Å ¾ sont situés sur le cercle de centre Ç de rayon que l on tracera. 2. On considère la transformation du plan È qui à tout point Å d affixe Þ associe le point Å ¼ d affixe Þ ¼ tel que : Þ ¼ On considère les points et d affixes et ¼ et ¼ leurs images par Þ Ô ¹ ¾ Þ ¾ et Þ ¹ (a) Montrer que est une rotation dont on précisera le centre et l angle. (b) Déterminer sous forme exponentielle les affixes Þ ¼ et Þ ¼ des points ¼ et ¼ Placer les points ¼ et ¼ sur la figure. Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle 3. Calculer arg Þ ¼ B.3.12 Þ et montrer que et ¼ sont symétriques par rapport au point Ç En déduire que le triangle ¼ est rectangle. Sujet complémentaire Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct d origine O. Å et sont les points d affixes respectives 1 et 2. On appelle l application qui à tout point Å d affixe Þ distinct de Å associe le point Å ¼ d affixe Þ ¼ tel que : Þ ¼ 1. Déterminer les points invariants par. 2. Soit la droite ǵ privée de Å. Þ ¾ ¾ Þ ¹ µ (a) Déterminer le tableau de variation de la fonction définie pour tout réel Ü par : ܵ Ü ¾ ¾ Ü ¹ µ Lycée Louis Armand 51

52 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S 2000 (b) En déduire l image de par. 3. Soit le cercle de centre Å et de rayon 1. Pour tout point Å Þµ de ce cercle, on pose : (a) Démontrer que : Þ ¼ cos (b) En déduire l image de par. 4. On pose Þ Ü Ý avec Þ. Þ (a) Calculer la partie imaginaire de Þ ¼ en fonction de Ü et de Ý. (b) En déduire l ensemble des points Å Þµ tels que l image de Å par se trouve sur ǵ. B.4 Courbes paramétrées B.4.1 Sujet complémentaire Dans le plan muni du repère orthonormal Çßµ on considère le cercle de centre Ç et de rayon Soit le point de coordonnées ¹ ¼µ A tout point Ñ de on associe le point Å projeté orthogonal de sur la tangente en Ñ à On appelle Ø une mesure de l angleß ÇÑ 1. Démontrer que le point Å a pour coordonnées : cos Ø ¹ sin ¾ Ø sin Ø cos Ø sin Ø Lorsque Ñ décrit l ensemble des points Å est une courbe ¼ définie comme la courbe paramétrée ensemble des points Šص lorsque Ø varie dans Ê 2. Etudier les positions relatives des points Šص Å Ø ¾µ Å ¹Øµ En déduire qu il suffit, pour tracer la courbe ¼ de limiter les variations de Ø à l intervalle ¼ 3. Tracer ¼ en précisant les tangentes aux points de paramètres ¼ ¾ On admettra qu au point de paramètre la courbe ¼ admet une tangente horizontale. B.5 Barycentre B.5.1 Nouvelle Calédonie 1996 (modifié) Soit un quadrilatère quelconque, Á le milieu de Âle milieu de Soit à le point tel que à ¹¾ Ã Ä le point tel que Ä ¹¾ Ä et Å le milieu de Äà Le but du problème est de montrer que Å Á  sont alignés et de donner la position de Å sur la droite Áµ 52 Lycée Louis Armand

53 Annales du baccalauréat S 2000 B.5. BARYCENTRE 1. Justifier l existence du barycentre du système : µ ¾µ µ ¾µ En regroupant les points de différentes façons, montrer que appartient aux deux droites Ãĵ et Áµ 2. Montrer que est en Å que Å Á  sont alignés, et donner la position de Å sur Áµ 3. Déterminer l ensemble Ë des points du plan tels que : ¾ ¾ Á 4. Faire une figure soignée où tous les points considérés seront reportés. B.5.2 Centres étrangers 1994 On donne trois points distincts non alignés du plan et on note les longueurs des côtés du triangle On se propose d étudier l ensemble µ des points Å du plan tels que : Å ¾ Å ¾ Å ¾ ¾ ¾ ¾ 1. Soit l isobarycentre du triangle et soit Á le milieu du segment (a) Calculer ¾ ¾ en fonction de Á ¾ et de ¾ ¾ En déduire : ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¹ Ecrire de même les expressions de ¾ et de ¾ (b) Montrer que : 2. Déterminer l ensemble µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ 3. On choisit Placer trois points et dessiner µ dans ce cas particulier. B.5.3 Exercice complémentaire est un triangle isocèle, ¼ est le milieu de et À l orthocentre du triangle. On pose : ¾. 1. Soit une mesure de l angle. Calculer cos. 2. Soit le projeté orthogonal de sur. Démontrer que est barycentre de ¾µ et µ. 3. Déterminer trois entiers afin que À soit barycentre de µ, µ et µ. Lycée Louis Armand 53

54 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S 2000 B.5.4 Exercice complémentaire Soit ABC un triangle. Le point I est le symétrique de B par rapport à C. Le point J est le symétrique de C par rapport à A. Le point K est le symétrique de A par rapport à B. On obtient un nouveau triangle IJK. 1. Démontrer que A est le barycentre de I¾µ, Jµ, Kµ. Exprimer de même sans calculs B et C comme barycentres de I, J, K. 2. Soient P, Q, R les points d intersection respectifs des droites (BC), (AC), (AB) avec les droites (KJ), (IK), (JI). (a) Démontrer que R est le barycentre de Iµ et J¾µ. (b) Enoncer les résultats analogues pour les points P et Q. 3. On donne le triangle IJK. Retrouver le triangle ABC. B.5.5 Exercice complémentaire est un triangle dont les 3 angles sont aigus. On appelle ¼ ¼ ¼ les pieds des hauteurs, À l orthocentre du triangle. On pose :. 1. Démontrer que ¼ est le barycentre de cos µ et cos µ. 2. En déduire que ¼ est le barycentre de tan µ et tan µ. 3. Démontrer que le barycentre de tan µ tan µ tan µ est le point À. 4. On suppose que le triangle n est pas isocèle. Les droites µ et ¼ ¼ µ se coupent en ¼¼.Ondéfinit de même ¼¼ et ¼¼. Démontrer que le barycentre de tan µ et ¹ tan µ est ¼¼. Démontrer que les points ¼¼, ¼¼ et ¼¼ sont alignés. B.6 Géometrie dans l espace B.6.1 Remplacement 1998 L espace est muni d un repère orthonormal direct Ç µ. Il n est pas demandé de faire de figure. Les questions 3 et 4 sont indépendantes des questions 1 et 2. On considère les quatre points et Á de coordonnées respectives : ¼ ¹ ¾ ¼ ¹ ¹ 1. a. Calculer le produit vectoriel. ¼ ¾ ¾ ¾ Á ¼ ¼ ¹ b. Déterminer une équation cartésienne du plan contenant les trois points et. 2. Soit É le plan d équation : et É ¼ le plan de repère Ç µ. Ü Ý ¹ Þ ¾ ¼ 54 Lycée Louis Armand

55 Annales du baccalauréat S 2000 B.6. GÉOMETRIE DANS L ESPACE a. Pourquoi É et É ¼ sont-ils sécants? b. Donner un point et un vecteur directeur Ù de la droite d intersection des plans É et É ¼. 3. Écrire une équation cartésienne de la sphère S de centre Á et de rayon On considère les points  et à de coordonnées respectives :  ¼ ¹¾ ¼ ¼ à ¼ ¼ Déterminer avec soin l intersection de la sphère S et de la droite Âõ. B.6.2 Sportifs de haut niveau 1995 Dans l espace rapporté à un repère orthonormal directç, on considère les points ¾¹µ et À ¹ µ. 1. Calculer la longueur À. 2. Déterminer une équation du plan È passant par À et orthogonal à la droite Àµ. 3. On donne les points : ¹ µ ¹ µ et ¹¹¹µ. (a) Démontrer que les points et appartiennent au plan È. (b) Calculer les coordonnées du vecteur. Ô (c) Démontrer que l aire du triangle est égale à ¾. (d) Démontrer que le volume du tétraèdre est égal à. 4. (a) Calculer l aire du triangle. (b) Calculer la distance du point au plan. Lycée Louis Armand 55

56 B. EXERCICES Annales du baccalauréat S Lycée Louis Armand

57 Annales du baccalauréat S 2000 C. PROBLÈMES C Problèmes C.1 Remplacement 1998 Partie A 1. On considère la fonction définie sur Ê par : ܵ ¹Ü ¾Ü (a) Quel est, suivant les valeurs de Ü, le signe de ܵ? (b) Etudier le sens de variation de. (c) Déterminer les limites de en et en ¹. (d) Dresser le tableau de variation de. (e) On appelle () la représentation graphique de dans un repère orthonormé Çßµ (unité graphique : 4 cm). Quelle est la tangente à() au point O? Ecrire une équation de la tangente T à() au point d abscisse (-1). (f) On appelle ( ) la représentation graphique dans le repère Çßµ de la fonction définie sur Ê par : ܵ Ü Quelle est la tangente à( ) au point d abscisse (-1)? 2. On appelle la fonction définie sur Ê par : ܵ Ü Ü (a) Etudier le sens de variation de. En déduire le signe de ܵ suivant les valeurs de Ü. (b) Etudier la position de () par rapport à( ). (c) Tracer, sur le même graphique, les courbes T, ()et( ). 3. Ñ désigne un réel quelconque et M désigne le point de la courbe ( ) d abscisse Ñ. (a) Ecrire une équation de la tangente D à( )enm. Lycée Louis Armand 57

58 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S 2000 (b) La tangente D coupe les axes de coordonnées en A et B. Calculer, en fonction de Ñ, les coordonnées du milieu J du segment [AB]. (c) Prouver que J appartient à(). (d) Tracer D et J pour Ñ ¼. Partie B 1. Soit Ü un réel quelconque. A l aide d une intégration par partie, calculer l intégrale : Ü I ܵ ¼ Ø ¾Ø Ø 2. Soit Ü un réel négatif. Calculer l aire ܵ, exprimée en cm ¾, de l ensemble des points N du plan dont les coordonnées (Ù Ú)vérifient : Ü Ù ¼ ¼ Ú Üµ 3. Calculer ¹µ. 4. ܵ admet-elle une limite quand Ü tend vers moins l infini? Si oui laquelle? C.2 Asie 1998 Partie A Soit la fonction, définie sur Ê, qui, à tout Ü, associe : ܵ Ü Ü ¹ µ Ü ¾ 1. a. Montrer que la dérivée de la fonction sur Ê est : ¼ ܵ Ü Ü ¾µ b. Déterminer les limites de en µ et en ¹µ. c. Étudier le signe de ¼ ܵ sur Ê, et dresser le tableau de variation de sur Ê. 2. Montrer que l équation ܵ ¼ admet une solution «et une seule sur l intervalle ¼. Montrer que «est dans l intervalle I ¾ Partie B Soit la fonction définie sur ¼ par : ܵ Ü Ü Ü 1. Montrer que les équations ܵ Ü et ܵ ¼ sont équivalentes sur ¼, et que, par suite, l équation ܵ Ü admet «pour solution unique sur I. 58 Lycée Louis Armand

59 Annales du baccalauréat S 2000 C.3. GROUPE I BIS a. Calculer la dérivée de et en déduire le sens de variation de sur ¼. b. Déterminer la limite de en. c. Dresser le tableau de variation de. d. Construire la courbe représentative de sur ¼ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à aux points d abscisses 0 et 1. Partie C 1. Montrer que, pour tout Ü appartenant ài, ܵ appartient ài. 2. Soit la suite Ù Ò µò¾æ définie par Ù ¾ Ù Ò Ù Ò¹ µ pour tout Ò a. Montrer que, pour tout Ò ¾ Æ, Ù Ò ¾ Á. b. Montrer que, pour tout Ü ¾ I, ¼ ܵ ¾ c. En appliquant le théorème de l inégalité des accroissements finis, démontrer que : pour tout Ò Ù Ò ¹ «¾ Ù Ò¹ ¹ «d. En déduire, par un raisonnement par récurrence, que : e. En déduire que Ù Ò µ converge vers «pour tout Ò ¾ Ò Æ Ù Ò ¹ «¾ f. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de «à ¼ ¹ près? 3. En utilisant la décroissance de, montrer que «est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de «d amplitude ¼ ¹. C.3 Groupe I bis 1997 Partie I Soit la fonction ³ définie dans Ê par ³ ܵ Ü Ü 1. Etudier le sens de variation de ³ et ses limites en et en ¹ Lycée Louis Armand 59

60 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S Montrer que l équation ³ ܵ ¼ a une solution et une seule «et que l on a : ¹ ¾ «¹ ¾ 3. En déduire le signe de ³ ܵ sur Ê Soit la fonction définie sur Ê par : Partie II ܵ ÜÜ Ü et µ sa courbe représentative dans un repère orthonormal Çßµ du plan ( unité graphique : 4 cm ). 1. Montrer que : ¼ ܵ En déduire le sens de variation de Ü ³ ܵ Ü µ ¾ 2. Montrer que «µ «et en déduire un encadrement de «µ 3. Soit Ì la tangente à µ au point d abscisse ¼ Donner une équation de Ì et étudier la position de µ par rapport à Ì 4. Chercher les limites de en et en ¹ Démontrer que la droite d équation Ý Ü est asymptote à µ et étudier la position de µ par rapport à b 5. Faire le tableau de variation de 6. Tracer sur un même dessin µ Ìet La figure demandée fera apparaître les points de µ dont les abscisses appartiennent à ¹¾ Partie III On considère la fonction définie sur ¼ par : ܵ ln Ü µ On note ĵ la courbe représentative de dans le repère Çßµ, Á le point défini par ÇÁ ß le point d abscisse ¼ de ĵ et son point d abscisse 1. Etudier brièvement les variations de 2. Donner une équation de la tangente en à ĵ 3. On note È l intersection de cette tangente avec le segment Á Calculer les aires des trapèzes ÇÁÈ et ÇÁ. 60 Lycée Louis Armand

61 Annales du baccalauréat S 2000 C.4. GROUPE II BIS On admet que la courbe ĵ est située entre les segments È et Montrer alors que : Ô ln ¾ ܵ Ü ln ¾ µ ¼ 5. Au moyen d une intégration par parties, justifier que : 6. En déduire un encadrement de C.4 Groupe II bis 1997 ¼ ܵ Ü ln µ ¹ ¼ ܵ Ü ¼ ܵ Ü Dans tout le problème, on se place dans un repère orthonormal Çßµ L unité graphique est ¾ cm. Partie I : Etude d une fonction Soit la fonction définie sur ¼ par : ܵ Ü ln Ü ¹ Ü et sa représentation graphique dans le repère Çßµ 1. Etudier les limites de en ¼ et 2. Etudier les variations de En déduire le signe de ܵ en fonction de Ü 3. On note ¼ la représentation graphique de la fonction Ü ln Ü dans le repère Çßµ Montrer que et ¼ ont deux points communs d abscisses respectives et et que, pour tout Ü élément de on a : Ü ln Ü ¹ Ü ln Ü On ne demande pas de représenter et ¼ 4. (a) Calculer, à l aide d une intégration par parties, l intégrale :  (b) Soit le domaine plan défini par : Ü ¹ µ ln ÜÜ Å Ü Ýµ Ü et ܵ Ý ln Ü Déterminer, en cm ¾ l aire de Donner une valeur décimale approchée à ¼ ¹¾ près de cette aire. Partie II : Etude d une fonction Soit la fonction définie sur par : ܵ Ü ¹ ln Ü Lycée Louis Armand 61

62 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S Etudier les limites de en et en Pour l étude de la limite en on pourra utiliser un taux d accroissement. 2. Déterminer le tableau de variation de On pourra remarquer que ¼ ܵ s écrit facilement en fonction de ܵ 3. Tracer la courbe représentative de dans le repère Çßµ Partie III : Etude de l équation ܵ ¾ 1. Montrer que l équation ܵ ¾ admet une unique solution notée «et que «2. Soit la fonction définie sur par : ܵ ln Ü ¾ Ü ¾ (a) Montrer que «est solution de l équation ܵ Ü (b) Etudier le sens de variation de (c) On pose Á Montrer que pour tout Ü élément de Á on a ܵ ¾ Á et ¼ ܵ 3. On définit la suite Ù Ò µ par : Ù ¼ et pour tout Ò ¼Ù Ò Ù Ò µ Justifier successivement les trois propriétés suivantes : (a) Pour tout entier naturel Ò Ù Ò ¹ «Ù Ò ¹ «(b) Pour tout entier naturel Ò (c) La suite Ù Ò µ converge vers «Ò Ù Ò ¹ «4. Donner un entier naturel Ô tel que des majorations précédentes on puisse déduire que Ù Ô est une valeur approchée de «à ¼ ¹ près. Indiquer une valeur décimale approchée à ¼ ¹ près de «62 Lycée Louis Armand

63 Annales du baccalauréat S 2000 C.5. ANTILLES 1997 C.5 Antilles 1997 Partie I On considère la fonction définie sur l intervalle ¼ par : ܵ ln Ü ¹ Ü Ü 1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction et étudier le sens de variation de 2. Calculer la limite de ܵ lorsque Ü tend vers ¼ et lorsque Ü tend vers 3. Donner le tableau de variations de la fonction et en déduire le signe de ܵ pour tout Ü appartenant à ¼ 4. Le plan étant rapportéàunrepère orthonormal direct Çßµ l unité graphique est cm. Tracer la courbe représentative de la fonction Partie II On considère la fonction définie sur l intervalle ¼ par : ܵ Ü ln Ü Ü 1. Déterminer la fonction dérivée de la fonction Déduire de la partie I le sens de variation de sur ¼. 2. Vérifier que Æ avec et les fonctions définies sur ¼ par : ܵ ln ܵ et ܵ Ü Ü En déduire la limite de en et en ¼ 3. Donner le tableau des variations de sur ¼ Partie III 1. Soit un nombre réel strictement supérieur à On note µ l aire en cm ¾ du domaine ensemble des points Å du plan dont les coordonnées vérifient : Ü et ¼ Ý Üµ En utilisant les résultats de la partie II, (a) Calculer µ en fonction de (b) Déterminer la limite de µ lorsque tend vers (c) Justifier l affirmation : L équation µ admet une solution unique notée ¼ Ð Puis donner un encadrement de ¼ d amplitude ¼ ¹¾ 2. Soit Ù Ò µ la suite numérique définie sur Æ par : Ò Ù Ò Ò Montrer, en remarquant que ln Ù Ò µ Òµ que : (a) La suite Ù Ò µ est une suite croissante. (b) La suite Ù Ò µ est convergente, et préciser sa limite. Lycée Louis Armand 63 Ò

64 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S 2000 C.6 Polynésie 1997 Soit la fonction définie sur Ê par : ܵ Ü ¹ Ü ¾ ¾ ¹Ü On note µ la courbe représentative de dans un repère orthonormal Çßµ ( unité graphique 2 cm ). Partie I : Etude d une fonction auxiliaire. Soit la fonction définie sur Ê par : ܵ ¹ Ü ¾ ¹ ¾Ü ¾ ¹Ü 1. Etudier les limites de en ¹ et en 2. Calculer la dérivée de et déterminer son signe. 3. En déduire le tableau de variation de 4. Démontrer que l équation ܵ ¼ admet une unique solution «dans Ê puis justifier que 5. En déduire le signe de Partie II : Etude de ¼ «¼ 1. Etudier les limites de en ¹ et en 2. Déterminer ¼ ܵ pour tout Ü réel. 3. En déduire, à l aide de la partie I, les variations de et donner son tableau de variation. 4. (a) Démontrer que : «µ «¾ ¹«µ (b) A l aide de l encadrement de «déterminer un encadrement de «µ d amplitude ¼ ¹¾ 5. Démontrer que la droite d équation Ý Ü ¹ est asymptote à µ en Préciser la position de µ par rapport à 6. Donner une équation de la tangente Ì à µ au point d abscisse ¼ 7. Tracer Ì puis µ 8. (a) Déterminer les réels et tels que la fonction È définie sur Ê par È Üµ Ü ¾ Ü ¹Ü soit une primitive sur Ê de la fonction Ü Ü ¾ ¾ ¹Ü (b) Calculer en fonction de «l aire en cm ¾ de la partie du plan limitée par µ et les droites d équations Ü ¹«et Ü ¼ (c) Justifier que : ¾««¹ 64 Lycée Louis Armand

65 Annales du baccalauréat S 2000 C.7. JAPON 1997 Partie III : Etude d une suite 1. Démontrer que pour tout Ü de ¾ : 2. Démontrer que pour tout Ü de ¾ : ܵ ¾ ¼ ¼ ܵ 3. En utilisant le sens de variation de la fonction définie sur ¾ par : ܵ ܵ ¹Ü démontrer que l équation ܵ Ü admet une solution unique dans ¾ 4. Soit Ù Ò µ la suite numérique définie par Ù ¼ et pour tout entier naturel Ò Ù Ò Ù Ò µ (a) Démontrer que pour tout entier naturel Ò Ù Ò ¾ (b) Démontrer que pour tout entier naturel Ò Ù Ò ¹ Ù Ò ¹ (c) Démontrer que pour tout entier naturel Ò Ò Ù Ò ¹ (d) En déduire que la suite Ù Ò µ est convergente et donner sa limite. (e) Trouver un entier Ò ¼ tel que pour tout entier naturel Ò supérieur ou égal à Ò ¼ on ait : Ù Ò ¹ ¼ ¹¾ C.7 Japon 1997 Pour tout entier Ò strictement positif, on considère la fonction Ò définie sur ¼ par : Ò Üµ ln ÜµÒ Ü ¾ On note Ò la courbe représentative de Ò dans un repère Çßµ orthogonal ( unités graphiques : 2 cm sur l axe des abscisses, ¼ cm sur l axe des ordonnées ). Partie I Etude pour Ò Lycée Louis Armand 65

66 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S Déterminer lim ܼ ܵ et lim Ü Üµ Que peut-on en déduire pour? 2. Etudier le sens de variation de et donner le tableau des variations de 3. Déterminer une équation de la tangente en Ü ¼ à la courbe Etude pour Ò ¾ 4. Déterminer lim ܼ ¾ ܵ et lim Ü ¾ ܵ Que peut-on en déduire pour ¾? 5. Calculer ¼ ¾ ܵ et donner le tableau de variations de ¾ Partie II 1. Etudier le signe de ܵ ¹ ¾ ܵEn déduire la position relative de et ¾ 2. Tracer et ¾ Partie III Ò étant un entier naturel non nul, on pose : 1. On pose : Calculer ¼ ܵ en déduire Á Á Ò Ò Üµ Ü Üµ ln Ü Ü 2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : Á Ò ¹ Ò µ Á Ò 3. Calculer Á ¾ puis l aire en cm ¾ du domaine compris entre les courbes et ¾ et les droites d équations Ü et Ü Partie IV 1. En utilisant la question 2. de la partie III, montrer par récurrence que pour tout Ò entier naturel non nul : Ò Á Ò ¹ ¾ 2. En utilisant un encadrement de ln Ü sur montrer que pour tout Ò entier naturel non nul : ¼ Á Ò Ò 3. En déduire : lim Ò ¾ Ò 66 Lycée Louis Armand

67 Annales du baccalauréat S 2000 C.8. NOUVELLE CALÉDONIE 1996 C.8 Nouvelle Calédonie 1996 Partie I On considère la fonction définie sur Ê par ܵ Ü ¾ ¹Ü ainsi que sa courbe représentative dans un repère orthonormal Çßµ. 1. Calculer la dérivée de. 2. En déduire le tableau de variation de. Préciser les limites de en et en ¹. 3. Tracer. On choisira une unité graphique de 4 cm. Partie II 1. Calculer  ¼ Ü ¹Ü Ü. 2. Vérifier que est telle que : ¼ ܵ ܵ ¾Ü ¹Ü 3. En déduire que (J est définie à la question II - 1.). ¼ ܵ Ü ¾J ¹ µ Partie III L équation ܵ ¾µ admet une seconde solution, notée «, et appartenant à l intervalle I ¹ ¼. 1. Soit ܵ ¾ ¹ Ü ¾. Montrer que «µ ¾µ équivaut à «µ «. 2. Montrer que (I) est inclus dans I et que ¼ ܵ pout tout Ü appartenant ài. 3. En déduire que ܵ ¹«4. On définit la suite Í Ò µò¾æ par ͼ ¹¼ Í Ò Í Ò µ Ü ¹ «pout tout Ü appartenant ài. pour tout entier Ò ¼ On admet que Í Ò appartient à I pour tout entier Ò ¼. Montrer que Í Ò ¹ «Ò Í ¼ ¹ «¾ Ò pour tout entier Ò ¼. 5. Déterminer le plus petit entier Ò tel que l inégalité précédente fournisse une valeur approchée de «à ¼ ¹ près. Lycée Louis Armand 67

68 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S 2000 C.9 National Année 1995 Soit la fonction définie sur ʹ par : ܵ Ü µ ln Ü ¹ oùlndésigne la fonction logarithme népérien. µ est la courbe représentative de dans un repère orthonormal Çß µ ( unité cm ). Partie A : Etude de la fonction 1. (a) Vérifier que si Ü appartient à alors : ¼ Ü Üµ ln Ü ¹ Ü ¹ (b) Pour Ü appartenant à calculer ¼¼ ܵ où ¼¼ désigne la dérivée seconde de En déduire les variations de ¼ (c) Calculer les limites de ¼ en ¹ et en à gauche. (d) Montrer que ¼ s annule sur ¹ pour une seule valeur «Donner un encadrement de «d amplitude ¼ Etudier le signe de ¼ ܵ sur ¹ (e) Etudie le signe de ¼ ܵ sur (f) Dresser le tableau de variation de 2. Etudier les limites de aux bornes de Préciser les asymptotes éventuelles à µ 3. Calculer les coordonnées des points d intersection de µ et de l axe des abscisses. 4. Tracer la courbe µ Partie B : Calcul d une aire désigne l aire en cm ¾ de la région comprise entre la courbe µ l axe des abscisses, les droites d équation Ü ¹ et Ü ¾ 1. Déterminer les réels et tels que, pour tout réel Ü différent de : Ü ¾ ¾Ü ¹ Ü Ü ¹ Ü 2. En déduire la valeur exacte de Á ¾ ¹ Ø ¾ ¾Ø ¹ Ø Ø 3. Grâce à une intégration par parties, et en utilisant la question précédente, calculer la valeur exacte de l aire 68 Lycée Louis Armand

69 Annales du baccalauréat S 2000 C.10. LA RÉUNION 1995 C.10 La Réunion 1995 Dans tout ce problème, ln désigne la fonction logarithme népérien. Partie A Etude d une fonction auxiliaire On considère la fonction définie sur l intervalle ¼ par : ܵ Ü ¾ ¹ Ü ¾ ¹ ln Ü 1. Etudier les variations de. Préciser µ. 2. En déduire le signe de la fonction sur chacun des intervalles ¼ et. Partie B Etude d une fonction On considère la fonction définie sur l intervalle ¼ par : ܵ ܾ ¹ ln ܵ¾ ܾ 1. Montrer que, pour tout réel Ü ¼ ܵ Ü µ. 2. Déterminer la limite de en (on pourra mettre Ü ¾ en facteur) dans l expression de ܵ. Déterminer la limite de en Montrer que pour tout réel Ü ¼ ¼ ܵ ¾Ü ܵ. En utilisant la partie A, étudier le sens de variation de la fonction sur l intervalle ¼. 4. On nomme la représentation graphique de dans un repère orthonormé ; unité graphique 5 cm. Tracer. Partie C Résolution approchée d équations 1. Montrer que l équation ܵ Ü admet une seule solution sur l intervalle ¼ On pourra étudier le sens de variation de la fonction définie sur ¼ par On nomme «cette solution. ܵ ܵ ¹Ü 2. Montrer que l équation ܵ admet une seule solution sur l intervalle. Ü On nomme cette solution. 3. Déterminer un encadrement de d amplitude ¼ ¹¾.Endéduire un encadrement de «. Lycée Louis Armand 69

70 C. PROBLÈMES Annales du baccalauréat S Lycée Louis Armand

71 Annales du baccalauréat S 2000 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS D Eléments de solutions D.1 Sujets du baccalauréat D.1.1 Correction du sujet A.2 EXERCICE 1 1. L image Å de Ñ par est le point d affixe : ¾ Ø ¾ ¹ Ø ¾ ¾Ø ¹ Ø cos ¾Ø sin ¾Øµ ¹ cos Ø sin ص ¾ ¾ cos ¾Ø ¹ cos Ø ¾ sin ¾Ø ¹ sin Ø En séparant les parties réelles et les parties imaginaires, on trouve bien que : Ü Øµ ¾ cos ¾Ø ¹ cos Ø sin ¾Ø ¹ sin Ø Ý Øµ ¾ 2. Ü ¹Øµ ¾ cos ¹¾Øµ¹cos ¹Øµ ¾ cos ¾Ø ¹ cos Ø Ü Øµ car la fonction cosinus est paire. Ý ¹Øµ ¾ sin ¹¾Øµ ¹sin ¹Øµ ¹ ¾ sin ¾Ø sin Ø ¹Ý ص car la fonction sinus est impaire. On peut en déduire que pour tout Ø de ¹ les points de paramètre Ø et ¹Øµ sont symétriques par rapport à l axe des abscisses, et donc que admet comme axe de symétrie cette droite. 3. Ü ¼ ¾ sin ¾Ø ص ¹ ¾ sin Ø ¹¾ sin Ø cos Ø sin Ø sin Ø ¹ ¾ cos ص car sin ¾Ø ¾ sin Ø cos Ø. Sur ¼ sin Ø ¼ donc le signe de Ü ¼ ص est celui de ¹ ¾ cos Ø On a : ¹ ¾ cos Ø ¼ cos Ø ¾ Ø ¹ ¾ cos Ø ¼ cos Ø ¾ Ø ¾ ¼ et croissante sur. ¹ cos Ø ¾ cos ¾ Ø ¹ ¹ cos Ø car cos ¾ Ø ¾ cos ¾ Ø ¹ Comme En conclusion, Ü est décroissante sur ¼ 4. Ý ¼ ص ¾ cos ¾Ø ¾ cos Ø ¹ µ ¾ cos ص ¾ cos ¾ Ø ¹ cos Ø ¹ Lycée Louis Armand 71

72 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS Annales du baccalauréat S 2000 on en déduit bien l égalité cherchée. Remarquons que cos Ø ¹ ¼ puis que ¾ cos Ø ¼ cos Ø ¹ ¾ Ø ¼ ¾ ¾ cos Ø ¼ cos Ø ¹ ¾ Ø ¾ ¾ En conclusion, Ý est décroissante sur ¼ ¾ et croissante sur ¾. 5. On obtient le tableau de variations : ¾ Ø ¼ Ô Ü ¼ ص ¼ ¹ ¼ ¼ Ü Øµ ¹ ¾ ¼ ² ± ¹ ± ² ¼ Ý Øµ ¹Ô ² ± ¹ Ô Ý ¼ ص ¼ ¹ ¹µ ¹ ¼ ¾ 6. On trace la restriction de obtenue pour Ø ¾ ¼ puis on effectue la réflexion par rapport à l axe des abscisses pour obtenir toute la courbe. ¾ (a) ³ ¼ ص que Ø ¾µ ¾ EXERCICE 2 ¼donc ³ est croissante ¼ ¾ ce qui implique en particulier ³ ¼µ ³ ص ³ ¾µ µ ¾ ³ ص (b) Il suffit de multiplier l inégalité précédente par Ø Ò ¼ (c) Comme ¼ ¾ on peut intégrer cette inégalité, ce qui donne : ¾ Comme Ê ¾ ¼ Ø Ò Ø Ò Ø Ò¾ ¼ ¾ Ø Ò Ø ¾ ¼ ³ ص Ø Ò Ø ¾ ¼ Ø Ò Ø ¼ Ò ¾ Ò ¹ Ò Ò ¾ Ò ¹ on obtient : ¾ Ò ¾ Ò ¹ ÙÒ Ò ¾ Ò ¹ 72 Lycée Louis Armand

73 Annales du baccalauréat S 2000 D.1. SUJETS DU BACCALAURÉAT (d) On utilise le changement de variable défini par Ò ¾ en remarquant que si Ò tend vers alors tend vers ¼ On a alors : lim Ò Ò ¾ ¾ Ò ¹ lim ¼ ¹ ¾ donc lim Ò ¾ Ò ¾ Ò ¹ et lim Ò Ò ¾ Ò ¹ ¾ Si Ù Ò µ admet une limite Ä, alors en utilisant le théorème des gendarmes, on a bien Ä ¾ 2. (a) Pour tout Ø dans ¼ ¾, ona On en déduit que : ¾ ¹ ¾ Á ¾ ¹ ¼ Ø ¾ ¾ Ø ¾µ Ø ¾ ¾Ø ¹ Ø ¾ Ø ¾ Ø ¾ Ø ¾Ø ¹ ln Ø ¾µ ¾ ¼ ¹ ln ¾ (b) Pour tout Ø dans ¼ ¾ on a ¼ Ø Ò Ò ¾ et la croissance de la fonction exponentielle établit l inégalité demandée. ¾Ø On multiplie l inégalité précédente par Il vient : Par intégration, on obtient : ¾ Il reste à remarquer que ¼ ¾Ø Ø ¾ ¾Ø Ø ¾ Ø Ò ¾Ø Ø ¾ ¾ Ò ¾Ø Ø ¾ Ø ¾ ¼ ¾ ce qui établit l inégalité ¼ ¾Ø Ø ¾ ¾ Ò Ø ¾ Ò ¾Ø Ø ¾ Ø Ò Ø ¾ ¼ ¾ ¼ Ø ¾ qui est positif pour Ø ¾ ¼ ¾ ¾Ø Ø ¾ ¾ Ò Ø ¾Ø Ø ¾ Ø ¾ Ò Á (c) lim Ò ¾ Ò donc lim Ò ÒÁ ¾ Á Le théorème des gendarmes établit donc que Ù Ò µ est convergente et que sa limite vaut Á. PROBLEME ( 10 points) Partie A Ü 1. lim Ü ¹ et lim Ü ln Ü ¹ ¾µ donc lim Ü Üµ Ü lim ܼ ¹ ¹ et lim ܼ ln Ü ¹ ¾µ ¹ donc lim ܼ ܵ 2. est dérivable sur ¼ comme produit de fonctions dérivables. On trouve que ¼ ܵ Ü ¾ ln Ü ¹ ¾µ ¹ Ü Ü ln Ü Ü ¹ Ü ¾ en appliquant la formule de dérivation d un produit. Lycée Louis Armand 73

74 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS Annales du baccalauréat S (a) Ù est dérivable sur ¼ et Ù ¼ ܵ Ü Ü donc Ù est strictement croissante sur ¼ (b) Sur ¾ la fonction Ù est dérivable, strictement croissante, et Ù ¾µ et Ù µ sont de signes contraires. Donc l équation ٠ܵ ¼ possède une solution unique «dans l intervalle ¾ Comme Ù ¾ ¾¼µ ³ ¹ ¼ ¹¾ ¼et Ù ¾ ¾µ ³ ¾ ¼ ¹ ¼le réel «appartient à l intervalle ¾ ¾¼ ¾ ¾ (c) Ù est croissante et s annule en «donc sur ¼ «Ù ܵ est négatif et sur «u ܵ est positif. 4. (a) On remarque que ܵ ٠ܵ Ü et donc que ¾ ܵ est du signe de ٠ܵ Donc est décroissante sur ¼ «et croissante sur «¼ (b) Ù «µ ¼ équivaut àln««¹ ¼ qui fournit ln «¹ «On a en reportant cette valeur dans l expression de «µ : «µ ¹ ¾«¹ «µ ¹¾µ ¹ «¾ ¹ ««Comme ¾ ¾¼ «¾ ¾ on a ¾¼ ¾ «¹ µ ¾ ¾ ¾ et ¾ ¾ «¾ ¾¼ Par multiplication de ces deux inégalités, on a : ¾¼ ¾ ¾ ¾ ¾ «¹ µ «¾¾ ¾ ¾¼ Passant à l opposé, on en déduit finalement que : ¹ µ¾ ¹ ««¾¾ ¹ ¾ ¾¼ L application numérique fournit ¹ ¾¾ permet d obtenir ¾¼¾ «µ ¹ ¾ ¾ ¾¾¼ ³ ¹¼ et ¹ ¾¼¾ ¾¾ ³ ¹¼ ce qui ¹¼ «µ ¹¼ 5. (a) Le signe de ܵ Ü est sur ¼ celui du produit Ü ¹ µ ln Ü ¹ ¾µ Il reste à faire un tableau de signes : ܹµ ln ܹ¾µ Ü ¼ ¾ Ü ¹ ¹ ¼ ln Ü ¹ ¾ ¹ ¹ ܵ ¼ ¹ ¼ En conclusion, ܵ est négatif sur ¾ et positif sur ¼ ¾ 74 Lycée Louis Armand

75 Annales du baccalauréat S 2000 D.1. SUJETS DU BACCALAURÉAT (b) Voir le graphique en fin d épreuve. Partie B 1. (a) Comme est une primitive de sur ¼ on a ¼ ܵ ܵ Connaissant le signe de ܵ d après la question précédente, on peut dire que est décroissante sur ¾ et croissante sur ¼ ¾ (b) Comme ¼ µ µ ¼ et ¼ ¾ ¾ ¼ les tangentes à en ses points d abscisses et ¾ sont donc horizontales. 2. (a) Posons ٠ص ln Ø et Ú ¼ ص d où Ù ¼ ص Ø et Ú Øµ Ø puis appliquons la célèbre formule : ٠ص Ú ¼ ص Ø Ù Øµ Ú Øµ ¹ Ù ¼ ص Ú Øµ Ø On obtient alors : Ü Ü ln ØØ Ø ln Ø Ü ¹ Ø Ü ln Ü ¹ Ü (b) ܵ ln Ü ¹ ¾ ¹ Ü ln Ü ¾Ü après développement (c) On a puisque est la primitive de qui s annule en : Ü Ü Ø ¾ ܵ ص Ø ln Ø ¹ ¾ ¹ ln Ø Ø Ø Ü Ü ln ص¾ ln ØØ ¹¾Ø ¹ ¾ ln Ø ¾ Ü ln Ü ¹ Ü ¹ ¾ ln¾ Ü ¾ ln Ü On peut aussi déduire de la question précédente qu une primitive de Ü ln Ü est Ü Ü ln Ü ¹ ܵ ce qui permet de trouver comme primitives de les fonctions : Ü Ü ln Ü ¹ ܵ ¹ ln ܵ¾ ¾ ¾ ln Ü ¹ ¾Ü Il reste à utiliser le fait que µ ¼ µ et l on retrouve bien le résultat précédemment obtenu. 3. (a) On pose Ü Si Ü tend vers ¼ par valeurs supérieures, alors tend vers On a donc : lim Ü ln ܵ ܼ lim ln µ lim ¹ln ¼ d après le formulaire de baccalauréat. On en déduit que lim ܼ ܵ ¹ car lim ܼ ln Ü ¹ Lycée Louis Armand 75

76 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS Annales du baccalauréat S 2000 (b) On développe l expression donnée pour Ü strictement Ü supérieur à1, eton établit facilement l égalité. lim Ü Üµ car lim Ü ¹ ¾ ln Ü Ü ¾Ü ¹ et lim ln Ü Ü ln Ü (c) On récapitule les résultats précédents : (d) On obtient : Ü ¼ ¾ ¼ ܵ ¼ ¹ ¼ ¼ ܵ ± ² ± ¹ ¹ ¾ x La fonction est dérivable et à valeurs négatives sur ¾ donc l aire en unités d aires est égale à ¹ ¾ ܵ Ü L unité d aire valant cm ¾ on a donc l aire cherchée qui est égale à: ¾ ¹ µ ¹ ¾ ¾ ¹ ¾¼ ܵ Ü ¹ ܵ ¾ D.2 Exercices D.2.1 Correction de l exercice B (a) Il s agit de répartir les 4 places inoccupées sur les 32 places possibles. On choisit donc une partie de 4 éléments dans un ensemble en comportant 32, donc il y a ¾ ¼ répartitions possibles. (b) On suppose bien sûr que les élèves se répartissent de manière équiprobable sur les places. La probabilité del évènement A est donc donnée par le nombre de cas favorables àlaréalisation de A sur le nombre de cas possibles. 76 Lycée Louis Armand

77 Annales du baccalauréat S 2000 D.2. EXERCICES Le nombre de cas possibles correspond au nombre de manières dont il est possible de répartir 28 élèves sur 32 places ; soit ¾ ¾. Le nombre de cas favorables correspond àlarépartition des 20 élèves qui restent sur les 24 places inocupées, soit ¾¼ ¾¼ ¾ ¾. La probabilité del évènement A est donc de ³ ¼ ¾ ¾ L évènement B est réalisé sionrépartit 14 élèves parmi les 16 places situées de part et d autre de l allée centrale. La probabilité cherchée est donc égale à ³ ¼ ¾ ¾ 2. La variable aléatoire égale au nombre de places inocupées au rang R4, peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4, car il y au plus quatre places inocupées au rang R4. (a) La probabilité qu il n y ait pas de place inocupée au rang R4 est ¾. En effet, les cas possibles correspondent à répartir les 4 places inocupées parmi les 32 places possibles, tandis que les cas favorables correspondent au choix des 4 places parmi les 24 qui ne sont pas situées au rang R4. La probabilité qu il y ait exactement une place inocupée au rang R4 est ¾ donnée par ¾. Les cas favorables consistent à choisir une place inocupée parmi les 8 du rang R4, et les trois autres parmi les 24 qui ne sont pas situées au rang R4. Par le même raisonnement, on peut dresser le tableau récapitulant la loi de probabilité de : ¾ Ü ¼ ¾ Ô ¾ ¾ ¾¼¾ ¾ ¾ ¾ ܵ ¾ ¼ ¾ ¾ Ü Ô ¾ ܵ ¾ ¾ D.2.2 (b) La formule du cours permet de trouver que l espérance mathématique de vaut. Correction de l exercice B (a) Un point M d affixe Þ (Þ ¾) est invariant si et seulement si Þ ¼ Þ soit. Ce qui équivaut à: Þ ¾Þ Þ¹¾ Þ Þ ¹ ¾µ ¾Þ Þ Þ ¹ ¾ ¹ ¾µ ¼ Þ ¼ ou Þ ¾ ¾ Il s en suit que admet deux points invariants, le point O et le point d affixe ¾ ¾. (b) L image de B a pour affixe, c est donc I milieu de [AB]. L image de I est le point d affixe ¾, c est donc A. Lycée Louis Armand 77

78 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS Annales du baccalauréat S Þ ¼ ¾Þ Þ¹¾ équivaut Þ ¼ ¾Þ Þ¹¾ et arg Þ ¼ arg ¾Þ Þ¹¾ ¾µ Þ ¼ ¾Þ Þ¹¾ et arg Þ ¼ arg ¾ arg Þ ¹ arg Þ ¹ ¾µ Þ ¼ ¾Þ Þ¹¾ et arg Þ ¼ ¼ arg Þ ¹ arg Þ ¹ ¾µ OM ¾ ÇÅ Å et Ù OM µ Ù OMµ ¹ Ù AMµ Å ¾ ÅÇ ¾µ ¾µ ¾µ On obtient finalement le résultat, en effet : ÙOMµ ¹ ÙAMµ AM OMµ MA MOµ ¾µ. 3. Si M appartient àlamédiatrice de [OA] alors MO=MA. Donc, M étant distinct de A, ÅÇ Å. D où OM =2. M appartient alors au cercle de centre O et de rayon 2. Ce cercle passe par B. 4. Si M est en O, alors M est en O, puisque O est invariant. Si M est différent de O, le vecteur MO n est pas nul. Si M est élément du cercle de diamètre [OA] privé de A et O alors MA MOµ ¾ µ. En utilisant le résultat de la question 2. nous en déduisons que : Ù OM µ ¾ µ, donc que M est élément d une droite passant par O et de vecteur directeur orthogonal à Ù, c est à dire à la droite (OA). 5. La figure est ci-dessous. µ Á µ µ Ç µ D.3 Problèmes D.3.1 Correction du problème C.8 Partie I 1. ¼ ܵ ¾ ¹ ÜµÜ ¹Ü. 2. Pour tout réel Ü ¹Ü ¼. Le signe de ¼ ܵ est celui de ¾ ¹ ܵÜ. ¼ s annule pour Ü ¼ ou Ü ¾. ¼ ܵ ¼ pour Ü ¾ ¼ ¾. ¼ ܵ ¼ pour 78 Lycée Louis Armand

79 Annales du baccalauréat S 2000 D.3. PROBLÈMES Ü ¾ ¹¼ ¾. est donc croissante sur ¼ ¾ et décroissante sur ¹¼ ¾. lim ܹ ¹Ü et lim ܹ Ü ¾. Onendéduit lim ܹ ܵ. Pour tout réel Ü, ܵ ܾ.Nous savons que, pour «¼, lim Ü Ü Ü Ü donc «lim Ü Üµ ¼. Ü ¹ 0 2 ¼ ܵ ¹ 0 0 ¹ ¹¾ ܵ ² ± ² Le tracé de la courbe représentative de est ci-dessous : x Partie II 1. On intègre par parties. On pose Ù ¼ ܵ ¹Ü, ٠ܵ ¹ ¹Ü Ú Üµ Ü, Ú ¼ ܵ Ê d où J¹Ü ¹Ü ¼ ¹ ¼ ¹¹Ü Ü ¹Ü ¹Ü ¹ ¹Ü ¼ ¹¾¹ 2. ܵ ¼ ܵ Ü ¾ ¹Ü ¾Ü ¹Ü ¹ Ü ¾ ¹Ü ¾Ü ¹Ü Ê ¼ ÜµÜ ¾Ê Ê 3. On en déduit Ê : ¼ ¼ ÜµÜ ¼ Ü¹Ü Ü Comme ¼ ¼ ÜµÜ Üµ ¼ µ ¹¼ et ¾Ê ¼ Ü¹Ü Ü ¾J on obtient : Ê ¼ ÜµÜ ¾J ¹ µ Remarque : Ê En remplaçant J et µ par leur valeur, il vient ¼ ÜµÜ ¹ ¾. Partie III Il n est pas demandé de prouver que l équation ܵ ¾µ a une solution unique dans I. 1. On a «µ ¾µ, c est à dire «¾ ¹«¹¾. On en déduit : «¾ «¹¾. «est négatif d où :«¹Ô «¹¾ soit «¹¾ «¾ ¹ ou encore «¹ ¾ «¾.Ona bien ««µ. 2. ¼ ܵ ¹ ¾ Ü ¾. Pour tout Ü de I ¼ est négative, donc est décroissante. Iµ ¼µ ¹µ. Or ¼µ ¹ ¾ ³ ¹¼ et ¹µ ¹ ¾ ³ ¹¼. Ilenrésulte que ¾ Iµ I. ¼ ܵ Ü ¾. Pour Ü élément de I, Ü ¾ est négatif, donc Ü ¾. Onendéduit que pour tout Ü de I, ¼ ܵ. Lycée Louis Armand 79

80 D. ELÉMENTS DE SOLUTIONS Annales du baccalauréat S Pour tout Ü de I, ܵ et «appartiennent à I, et comme ¼ ܵ, on peut appliquer l inégalité des accroissement finis avec nombres ܵ et «d où : ܵ ¹ «µ Ü ¹ «et comme «µ «on obtient finalemnent ܵ ¹ «µ Ü ¹ «4. Ayant admis que pour tout Ò de Æ, Í Ò appartient à I, on peut appliquer l inégalité démontrée à la question précédente à Ü Í Ò. On obtient pour tout Ò de Æ : Í Ò µ¹«í Ò ¹ «c est dire Í Ò ¹ «Í Ò ¹ «Démontrons par récurrence que : Í Ò ¹ «Ò Í ¼ ¹ «Pour Ò ¼, ona ¼ donc Í ¼ ¹ «¼ Í ¼ ¹ «On suppose que : Í Ò ¹ «Ò Í ¼ ¹ «; on obtient alors : Í Ò ¹ «Í Ò ¹ «Ò Í ¼ ¹ «Finalement : Í Ò ¹ «Ò Í ¼ ¹ «ce qui démontre la propriété au rang Ò. Conclusion : Ò Pour tout Ò de Æ on a Í Ò ¹ «Í ¼ ¹ «¾. Ò Par ailleurs, Í ¼ ¾ et «¾ ¹ ¼, donc Í ¼ ¹ «¾. Il en résulte que, pour tout Ò de Æ, Í Ò ¹ «¾ Ò. 5. Pour avoir Í ¼ ¹ «¼ ¹, il suffit que ¾ ¼ ¹, c est à dire ¾ Ò ¼. Ò ¾ Ò ¼ Ò ¼ ¾ Ò ln¼ ¾. ln¼ ¾ ³ ¾. La plus petite valeur de Ò qui convienne est 14. Remarque : La calculatrice donne Í ³ ¹¼ ¾ qui est une valeur approchée de «à ¼ ¹ près. 80 Lycée Louis Armand

81 Annales du baccalauréat S 2000 INDEX Index Affixe, 5, 7, 11, 13, 16, 18, 20, 23, 25, 31, 35, 44, Aire, 6, 58, 59 d un triangle, 31, 54 Algorithme, 15 Angle, 26 Application complexe, 25, 48 Approximation décimale, 24 Arbre de probabilité, 16 Argument, 6, 20, 35, 45, 46, 50 Asymptote, 14, 17, 19, 58, 62 Barycentre, 20, 47, Calcul d aire, 10, 17, 19, 29, 32, 56, 61, 62, 66 de volume, 7 Calculatrice, 20, 33 Carré, 6, 45 Cercle, 16, 26, 48, 50 Changement de variable, 19 Coefficient directeur, 25 Complexe, 7, 11, 16, 19, Conjugué, 48 Cosinus, 18 Courbe paramétrée, 7, 51 Demi-droite, 26 Distance, 48 Dérivée seconde, 27, 66 Encadrement, 8, 9, 21, 25, 29, 38 Ensemble de points, 11, 23 Equation, 13, 49, 59 complexe, 45 de plan, 53, 54 différentielle, 17 Espérance, 23, 39, Evènements indépendants, 13 Exponentielle complexe, 35 Famille de fonctions, 63 Fonction auxiliaire, 28 complexe, 50 de répartition, 39, 42 dérivable, 9, 24 exponentielle, 14, 17, 18, 20, 26, 28, 34, 55 57, 61, 64 logarithme, 6, 9, 11, 24, 31, 33, 60, 63, 65, 66 Forme algébrique, 18 exponentielle, 18, 50 trigonométrique, 13, 16, 18 Hauteur, 53 Homothétie, 20 Image, 51 Interprétation géométrique, 45 Intersection, 13 Intégrale, 8, 17, 19, 22, 37, 38, 65, 66 Intégration par parties, 6, 10, 12, 17, 32, 37, 38, 56, 58, 59, 64 Inégalité des accroissements finis, 15, 57 Isobarycentre, 52 Ligne de niveau, 52 Lycée Louis Armand 81

82 INDEX Annales du baccalauréat S 2000 Limite, 6, 12, 19 Loi de probabilité, 23, 30, 39 Maximum, 14 Milieu, 6 Minimum, 21 Module, 6, 20, 31, 45, 46, 50 Médiatrice, 48 Orthocentre, 52 Parallélogramme, 6 Partie imaginaire, 19 Point invariant, 31, 50 Points communs, 59 Polynôme, 9, 48 complexe, 28, 44, 46 Position relative, 26, 63 Primitive, 10, 19, 22, 24, 29, 62 Probabilité, 5, 11, 13, 16, 18, 22, 25, 27, 33, conditionnelle, 28, 40, Produit vectoriel, 53, 54 Projeté orthogonal, 52 Symétrie, 50 Système d équations, 44 Tangente, 7, 14, 17, 24, 26, 29, 55, 58, 62, 63 Taux d accroissement, 59 Tirage simultané, 30, 40 Tirages successifs, 40 Transformation, 31, 50 Triangle, 13 équilatéral, 23, 45 isocèle, 28 rectangle, 6, 50 Trigonométrie, 8 Tétraèdre, 54 Urne, 41 Valeur absolue, 65 approchée, 20, 26, 27 Variable aléatoire, 23, 30, 41, 43, 44 Relation de Chasles, 22 Rotation, 18, 20, 31, 45, 46, 48, 50 Récurrence, 15, 57 Schéma de Bernouilli, 25 Sinus, 18 Sphère, 54 Suite, 8, 13, 32, 34, 38, 41 constante, 42 convergente, 22, 42, 63 décroissante, 37 et intégrale, 30 et probabilité, 42 géométrique, 42 numérique, 61 récurrente, 14, 22, 27, 57, 60, 62, Lycée Louis Armand

83 Ce livre a été entièrement composé grâce au logiciel L A TEX La réalisation de cet ouvrage a été rendue possible grâce à: Françoise Labrousse Michel Gosse Jean-Claude Renaud Christian Ballion Jean-Pierre Prigent Jean Michel Sarlat et au soutien moral de tous les autres... Copyright Lycée Louis Armand 1999