PS2 Géométrie analytique dans le plan

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1 PS Géométrie analytique dans le plan I Produit scalaire en repère orthonormé (RON) Dans cette section, on munit le plan d un repère orthonormé(o; i, j ). A Expression du produit scalaire en RON PROPOSITION. Dans le plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ), on considère u x y deux vecteurs du plan. Alors leur produit scalaire est donné par et u x y u v = xx +yy. Démonstration. Nous allons démontrer cette proposition en deux temps. Tout d abord, montrons que, dans un repère orthonormal quelconque(o; i, j ), u + v u v = (xx +yy ). On a u x, u x y y et u + v x+x y +y. On a donc u + v u v = (x+x ) +(y +y ) (x +y ) (x +y ) = (xx +yy ). Montrons maintenant, d autre part, que u + v u v = u v Attention, nous n utiliserons pas ici la bilinéarité du produit scalaire car ce résultat (que nous avons admis dans le premier chapitre sur le produit scalaire) sera une conséquence de la proposition. On considère un nouveau repère(o; u 1; u ) orthonormal dont le premier vecteur de base u 1 est le vecteur unitaire colinéaire de même sens que u et le second vecteur u unitaire tel que ( u 1; u ) = π. Déterminons les coordonnées des vecteurs u, v dans ce nouveau repère : u u 0 et v v cos(θ) v sin(θ) où θ = ( u; v ) j u A v C u 1 θ u D après le résultat montré dans la première partie, on a O i u + v u v = u v cos(θ) = u v Les deux égalités démontrées permettent alors de déduire que quel que soit le repère orthonormé(o; i, j ), on a 1 u v = u + v u v = xx +yy. Conséquences PROPOSITION (Critère d orthogonalité de deux vecteurs). Dans le plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ), on considère u x y plan. On a l équivalence u et v sont orthogonaux xx +yy = 0. et u x y deux vecteurs du Démonstration. On sait que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul or ce produit scalaire vaut xx +yy d où la proposition.

2 On avait laissé la preuve de la proposition suivante en suspens. Nous avons maintenant les outils pour faire cette démonstration. PROPOSITION (ilinéarité du produit scalaire). Soient u, v et w trois vecteurs, et k un nombre réel. Alors, on a les égalités suivantes : u v = v u (Symétrie) u ( v + w) = u v + u w u (k v ) = (k u) v = k( u v ) (Linéarité) Démonstration. Cette démonstration n est qu une simple vérification de chaque égalité, cependant les écritures sont un peu lourdes, on montrera que la première identité, la deuxième étant sans difficulté. On munit le plan d un repère orthonormal (O; i, j ), on note alors u x1, x v et w x3 les coordonnées des vecteurs dans cette base. On y 1 y y 3 a, d une part, u ( v + w) = x1(x +x 3)+y 1(y +y 3) = x 1x +x 1x 3 +y 1y +y 1y 3 et d autre part, u v + u w = (x1x +y 1y )+(x 1x 3 +y y 3) = x 1x +x 1x 3 +y 1y +y 1y 3. Ainsi, u ( v + w) = u v + u w. II Equations cartesiennes d une droite A Qu est-ce qu une équation de droite? DÉFINITION. Soit u un vecteur non nul et D une droite. On dit que u est un vecteur directeur de la droited si u et D ont même direction. Par exemple, si A et sont deux points distincts, A, A, 3 4A sont trois vecteurs directeurs de la droite (A). Préambule Dans le plan muni d un repre(o; i, j ), on considère les points A(;5) et( ;). Soit M(x;y) un point du plan. On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées x et y de M pour que M appartienne à la droite(a). On note D la droite(a). Un vecteur directeur ded est, par exemple, u = A 4 3 M(x;y) appartient à la droited les vecteurs AM et u sont colinéaires AM x et u 4 sont colinéaires y 5 3 ( 3) (x ) ( 4) (y 5) = 0 3x+6+4y 0 = 0 3x+4y 14 = 0 Ainsi, un point M(x;y) appartient à la droite(a) si et seulement si ses coordonnées vérifient la relation 3x+4y 14 = 0. On dit que 3x + 4y 14 = 0 est une équation cartesienne de la droite (A). Remarquez qu une droite n admet pas une unique équation cartesienne mais une infinité, par exemple, 6x + 8y 8 = 0 ou encore y = x+ 4 sont aussi des équations cartesienne de la droite (A). L équationy = x+ 4 est appelée équation réduite de la droite(a). Plus généralement, on montre exactement de la même façon que

3 PROPOSITION (Equation cartesienne d une droite connaissant un vecteur directeur). Toute droite du plan admet une équation de la forme ax+by +c = 0 oùa,b etcsont trois réels,aetbétant non simultanément nuls. On dit que cette équation est une équation cartésienne de la droite. Réciproquement, si a,b et c trois réels tels que (a;b) (0;0), alors l ensemble des points M(x;y) qui vérifient la relationax+by+c = 0 est une droite. De plus, un vecteur directeur de cette droite est u( b;a). EXEMPLES. Déterminer l équation réduite de la droite passant par les points A(1; 3) et (; 5). On sait que A(1; ) est un vecteur directeur de la droite(a). On note D cette droite. On note (x;y) les coordonnées d un point M. M(x;y) appartient à la droite D les vecteurs AM et A sont colinéaires AM x 1 et 1 A sont colinéaires y +3 (x 1) ( ) 1(y +3) = 0 x+ y 3 = 0 Ainsi, une équation cartesienne de (A) est x y 1 = 0. ien entendu, on déduit l équation réduite de(a) qui est y = x 1. EXEMPLES. 5x y +3 = 0 est l équation d une droite : on a a = 5, b = et c = 3. Un vecteur directeur de cette droite est u( b;a) soit u(;5). Cette droite passe par le point A(1;4) : on peut alors construire cette droite. REMARQUES. On privilégiera maintenant les équations cartesiennes ax + by + c = 0 aux équations réduites y = mx + p. En effet, le principal défaut des équations réduites réside dans le fait que les droites de vecteurs directeurs j n ont pas une équation de la forme y = mx+p alors que les équations cartesiennes englobent toutes les droites du plan. Vecteur normal et équation cartesienne en RON En repère orthonormal, on peut aussi déterminer une équation cartesienne d une droite D connaissant un vecteur normal de la droite, c est à dire un vecteur de direction perpendiculaire à celle de la droited. Dans la suite de ce paragraphe, on munit le plan d un repère orthonormé(o; i, j ). DÉFINITION. Soit D une droite du plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ). On dit qu un vecteur non nul n est un vecteur normal pour la droited si sa direction est perpendiculaire à celle ded. PROPOSITION (Caractérisation d une droite par le produit scalaire). Soit D une droite du plan de vecteur normal n passant par un point A. Alors,D est exactement l ensemble des points M du plan tels que n AM = 0. Démonstration. SoitM un point de la droited. SiM = A, alors AM n = 0 n = 0. Si M A, alors AM est un vecteur orthogonal à n par définition de n et donc AM n = 0. Réciproquement, soitm un point tel que n AM = 0. Alors soit AM = 0 c est-àdirem = A, soit AM est non nul et donc orthogonal à n. Ainsi,M appartient à la droited. D où la proposition. n (vecteur normal) u (vecteur directeur) D

4 CONSÉQUENCE (Equation cartesienne d une droite connaissant un vecteur normal). Soient a,b deux réels tels que (a;b) (0;0). Dans un repère orthonormé (O; i, j ), si une droite D admet n(a;b) comme vecteur normal alors D a une équation du type ax+by +c = 0. Réciproquement, si une droite admet pour équation cartesienneax+by+c= 0 alors n(a;b) est un vecteur normal de cette droite. Démonstration. SoitD la droite passant par le pointa(x A;y A) et admettant n(a;b) comme vecteur normal. M(x;y) appartient à la droited AM n = 0 (x x A) a+(y y A) b = 0 ax+by +( ax A by A) Réciproquement, si D admet ax+by + c = 0 comme équation cartesienne ((a;b) (0;0)) alors on sait que u( b;a) est un vecteur directeur de D. Ainsi n(a;b) est un vecteur normal de D. En effet, u n = a ( b) + a b = 0 et n 0. c = 0 Exercice 1 Dans un repère orthonormé du plan, on considère A, et C trois points de coordonnées respectives ( 1; ), (3; 1) et (; 4). Déterminer une équation cartesienne de la médiatrice de[a], de la hauteur D issue deadu triangle AC et de la médiane D issue de. Exercice Le plan est muni d un repère orthonormé (O; i, j ). On considère la droite D : 1 x+ 1 3 y 1 = 0 etale point de coordonnées (3; ). Déterminer une équation cartesienne de la droite perpendiculaire à D et passant par le point A. Déterminer les coordonnées du point d intersection M de ces deux droites. C Critère d orthogonalité de deux droites en RON PROPOSITION. Dans le plan muni d un repère orthonormé (O; i, j ), on considère D et D deux droites d équations cartesiennes respectives avec(a;b) (0;0) et (a ;b ) (0;0). Alors, D : ax+by +c = 0 D : a x+b y +c = 0 D D aa +bb = 0 Démonstration. C est immédiat car n(a;b) et n (a ;b ) sont des vecteurs normaux respectifs ded etd. Ainsi,D D si et seulement si n n = 0 d où le résultat. REMARQUES (Caractérisation de l orthogonalité vs éqt réduite). SiD : y = mx+p etd : y = m x+p sont les équations réduites de deux droites, alors ces droites admettent respectivement n( m;1) et n ( m ;1) pour vecteurs normaux et donc, ces droites sont perpendiculaires si et seulement si mm = 1. Exercice 3 AC est un triangle rectangle en A avec A = et AC = 1. Le point D est le symétrique de C par rapport àaetk le point tel que AK = 1 4A. En utilisant un repère orthonormal bien choisi, démontrer que les droites (D) et (CK) sont perpendiculaires.

5 III Equations d un cercle Dans la suite, on munit le plan d un repère orthonormé (O; i, j ). A Equations d un cercle Connaissant le centre Ω et le rayon r du cercle. Préambule SoitΩ( 3;) et C le cercle de centreωet de rayon4. SoitM(x;y) un point du plan. On souhaite déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les coordonnées x et y de M pour que M appartienne au cercle C. M(x; y) appartient au cercle C ΩM = 4 ΩM = 16 (x+3) +(y ) = 16 x +y +6x 4y 3 = 0 Ainsi, un point M(x;y) appartient au cercle C si et seulement si ses coordonnées vérifient la relation x +y +6x 4y 3 = 0. On dit que x +y +6x 4y 3 = 0 est une équation cartesienne du cercle C. Vérifier que le point A(1;) appartient au cercle C. Plus généralement, on montre exactement de la même façon que PROPOSITION. Dans un repère orthonormé, un cercle C admet une équation cartesienne du type où a,b,c sont trois réels. x +y +ax+bx+c = 0 Attention! Il est important ici de retenir la méthode pour obtenir une équation cartesienne d un cercle connaissant les coordonnées du centreωet le rayonr c est-à-dire la méthode vue en préambule Connaissant un diamètre[a] du cercle. PROPOSITION (Caractérisation d un cercle par le produit scalaire). Soit C un cercle de diamètre[a]. Alors, C est exactement l ensemble des points M du plan tels que MA M = 0. Démonstration. Si M appartient au cercle de diamètre [A] alors, soit M = A, soit M = et donc on a clairement MA M = 0, soit finalement, M est distinct de A et de et donc, le triangle AM est rectangle en M (par la caractérisation d un triangle rectangle par le cercle circonscrit) et par conséquent le produit scalaire MA M est nul. Réciproquement, si M est un point tel que MA M = 0 alors MA = 0 ou MA = 0 ou bien (MA) (M) autrement dit, oum = A, oum = ou bienm appartient au cercle C de diamètre[a]. Application Soient A( ; ) et (1; 3) deux points du plan. Déterminons une équation cartesienne du cercle C de diamètre[a]. M(x;y) appartient au cercle C MA M = 0 ( x)(1 x)+( y)(3 y) = 0 x +y +x 5y +4 = 0 Le cercle C admet pour équation cartesienne x +y +x 5y +4 = 0.

6 Reconnaître l équation d un cercle. On a vu que tout cercle admet une équation de la forme x + y + ax + by + c = 0. Réciproquement, est ce que une équation de la formex +y +ax+by+c = 0 est une équation de cercle? La réponse est NEGATIVE comme le montre les exemples suivants : EXEMPLES. 1) Soit E l ensemble des points M(x;y) tels que x +y x 6y +5 = 0. Transformons l écriture de cette équation de manière à se ramener à équation du type On a (x x Ω ) +(y y Ω ) = c x x = x x+1 1 = (x 1) 1 et y 6y = y 6y+9 9 = (y 3) 9 Ainsi, M(x;y) E (x 1) 1+(y 3) 9+5 = 0 (x 1) +(y 3) = 5. On considèreω(1;3) alors M(x;y) E (x x Ω ) +(y y Ω ) = 5 ΩM = 5 ΩM = 5. Ainsi, l ensemble E est le cercle C(Ω; 5). ) Soit E l ensemble des points M(x;y) tels que x +y x 3y +3 = 0. Transformons l écriture de cette équation de manière à se ramener à équation du type On a (x x Ω ) +(y y Ω ) = c x x = x 1 x = x et y 3y = y 3 y = y Ainsi, M(x;y) E x y = 0 x 1 + y 3 = Une somme de deux carrés ne peut être négative. Ainsi, l équation précédente n admet aucun couple (x;y) solution. L ensemble E est vide : E =. 3) Soit E l ensemble des points M(x;y) tels que x +y 6x+4y +13 = 0. Transformons l écriture de cette équation de manière à se ramener à équation du type On a (x x Ω ) +(y y Ω ) = c x 6x = x 3 x+9 9 = (x 3) 9 et y +4y = y + y+4 4 = (y+) 4 Ainsi, M(x;y) E (x 3) 9+(y +) 4+13 = 0 (x 1) +(y 3) = 0. On considèreω(1;3) alors M(x;y) E (x x Ω ) +(y y Ω ) = 0 ΩM = 0 ΩM = 0. Ainsi, l ensemble E est réduit au point Ω : E = {Ω}. Tangente à un cercle Exercice 4 Montrer que l équation x + y 4x 6y = 0 est celle d un cercle C, préciser son centre et son rayon. Prouver que l origine O du repère appartient au cercle C. Détermner une équation de la tangente à C eno.