FONCTION CARRE. 3. Représentation graphique dans un repère orthogonal

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1 FONCTION CARRE 1. Définition La fonction carré associe à tout nombre réel x de R un unique nombre réel positif x². On note : f : R R + x = x² On rappelle que le nombre x est l antécédent de, et l image de x. On se rappelle également qu un antécédent ne peut avoir qu une image (elle est unique), mais une image peut avoir plusieurs antécédents. C est justement le cas de la fonction carré : 2. Tableau des valeurs x = x² On constate une symétrie autour de 0. On constate également que est toujours positif. 3. Représentation graphique dans un repère orthogonal La courbe représentative de la fonction carré s appelle une parabole. Elle admet un sommet : le point (0 ; 0) et un axe de symétrie : l ordonnée. y = x² x YDV Fonction carré, 2nde 1

2 4. Sens de variation La fonction carré est strictement décroissante sur ] ; 0] puis strictement croissante sur [0 ; + [ x = x² 0 Démonstration : Rappel : une fonction est croissante sur un intervalle si l ordre entre deux antécédents quelconques de cet intervalle est le même que celui des deux images correspondantes. Dans le cas de la fonction carré, on veut démontrer la croissance sur l intervalle [0 ; + [. On choisit deux antécédents positifs x A et x B tels que 0 < x A < x B Leurs images sont respectivement y A = f(x A ) = x A 2 et y B = f(x B ) = x B 2 Si la fonction est croissante on devrait avoir y A < y B y A < y B y A y B < 0 On remplace y A et y B par leur valeur et on a donc x A 2 x B 2 < 0 On reconnait une identité remarquable. On peut donc écrire (x A x B )(x A + x B ) < 0 Comme on a choisit x A et x B tels que 0 < x A < x B, (x A x B ) est négatif et (x A + x B ) est positif. Par conséquent (x A x B )(x A + x B ) < 0 La fonction carré est bien croissante sur [0 ; + [. On démontre la décroissance sur ] ; 0] de la même manière, en choisissant cette fois x A et x B tels que x A < x B < 0. YDV Fonction carré, 2nde 2

3 5. Tableau des signes Rappels : Ne pas confondre signe et sens de variation : une fonction peut être décroissante (elle «descend») tout en étant positive, et inversement. Etudier le signe d une fonction revient à chercher pour quelles valeurs de x a-t-on des images positives (au-dessus de l abscisse) ou négatives (en dessous de l abscisse). Un carré étant toujours positif, le tableau des signes est très vite établi pour la fonction x x² : elle est toujours positive : x x² Résolution d équations Rappel : Résoudre une équation c est chercher le ou les abscisses des points d intersection entre deux courbes. Il est souvent plus pratique de se ramener à une équation nulle, et résoudre l équation revient alors à chercher le ou les abscisses (alors appelés racines) des points d intersection entre une courbe et l axe des abscisses. Exemple : résoudre 2x + 4 = 0 On reconnait une expression affine à gauche du signe égal, on sait donc que résoudre l équation signifie chercher l abscisse du point d intersection entre la droite y = 2x + 4 et l axe des abscisses (c est-à-dire la droite y = 0). La résolution algébrique est ici très simple (2x = 4 donc x = 4/2 = 2) et facile à confirmer sur le graphique. YDV Fonction carré, 2nde 3

4 6.1 Application visuelle Comme la fonction carré est à la fois croissante et décroissante, elle peut : «remonter avant de toucher «effleurer l abscisse puis «couper l axe des abscisses l abscisse» : pas de solution remonter» : une seule solution deux fois» : deux solutions y = x y = x 2 y = x 2 2 Pas de solution à l équation x² + 2 = 0 : en effet, il est impossible de rajouter un nombre positif à 2 pour obtenir 0 Une solution à l équation x² = 0 : c est 0. Deux solutions à l équation x 2 2 = 0 : en effet, on cherche un nombre dont le carré est 2 et il y a bien deux réponses. 6.2 Vérification algébrique avec la fonction carré L équation x² = a admet donc 0, 1 ou 2 solutions selon le signe de a. x² = a x 2 a = 0 On «reconnait» alors une identité remarquable de la forme a² b² = (a b)(a + b) à condition de poser a = x et b = a : En effet, x 2 a = x 2 ( a) 2. Ceci n est possible que si a 0. On a donc x 2 a = 0 (x a)(x + a) = 0 Il s agit d une équation produit dont on se rappelle qu il y a autant de solutions que de possibilités d annuler chacun des produits. Solution 1 : (x a) = 0 x = a Solution 2 : (x + a) = 0 x = a Remarque : si a = 0, les deux solutions sont les mêmes. YDV Fonction carré, 2nde 4

5 7. Trinôme du second degré Une fonction polynôme de degré 2 («trinôme») est une fonction définie de R dans R de la forme = ax 2 + bx + c. a, b et c sont des coefficients réels, et a 0 sinon il s agit d une fonction affine. Exemple : = 3x 2 7x g(x) = x Variation et représentation graphique du trinôme du second degré La fonction = x² est un trinôme du second degré (avec b = c = 0). Les variations d un trinôme quelconque sont les mêmes que celles de la fonction carré. Une fonction polynôme de degré 2 a pour courbe représentative une parabole symétrique par rapport à un axe vertical (parallèle à l ordonnée plus précisément) admettant un sommet. Soit f R R définie par : = ax 2 + bx + c On peut écrire = a(x α) 2 + β (forme canonique), Avec : α = b β = f(α) 2a Cas a > 0 x Cas a < 0 x YDV Fonction carré, 2nde 5