Six pattes pour gravir le podium

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1 OLYMPIADES DE SCIENCES DE L INGÉNIEUR 11 Si pattes pour gravir le podiu Christian Garreau [1] Pour la preière finale nationale des Olypiades, le ercredi 11 ai 11 sur le site de PSA à Poissy, le preier pri est allé à trois jeunes filles du lycée Louis-le- Grand de Paris pour leur robot à si pattes se déplaçant de anière autonoe à la anière d une blatte, baptisé Heapode. Leur professeur nous détaille le projet ans la nature, les êtres vivants possèdent des caractéristiques que l hoe cherche à reproduire ; car la nature réalise des prouesses techniques, fruits de illions et de illions d années d évolution. Ainsi, dès la Renaissance, alors que l Europe renoue avec la culture antique et place l hoe au centre de l univers, les savants coencent à s inspirer de la nature. Léonard de Vinci, par eeple, iagine les preières achines volantes après avoir étudié le vol des oiseau. Mais il faudra attendre les années 196 pour que l iitation des fores aniales apporte de preières réussites concrètes : c est en s inspirant du bec du artin-pêcheur, oiseau connu pour sa vitesse de pénétration dans l eau, que les ingénieurs réussissent à augenter la vélocité du Shinansen (le GV japonais, en service depuis 1964), tout en réduisant sa consoation énergétique. Cette capacité à reproduire le réel, produit de l «intelligence» naturelle, le bioiétise, connaît aujourd hui un véritable essor. C est de cette technique que nous nous soes inspirés. Les robots obiles utilisent ajoritaireent des roues, invention pureent huaine. Malgré ses avantages, tels qu une faible quantité d énergie requise pour un déplaceent sur une longue distance, [1] Professeur agrégé de écanique au lycée Chaptal de Paris, précédeent professeur de sciences de l ingénieur au lycée Louis-le- Grand (755 Paris) ots-clés cinéatique, concours, énergie, recherche & développeent 1 Cafard ou blatte la roue a le défaut de ne pas pouvoir franchir d obstacles ou évoluer en terrain très accidenté. Dans l optique de reproduire un ouveent issu de la nature, nous avons donc décidé d iiter un heapode (si pattes), la blatte, aussi appelé cafard. Ce petit insecte a des caractéristiques spécifiques que nous avons observées puis détaillées, pour aboutir à une odélisation ; car «odéliser c est replacer du visible copliqué par de l invisible siple», disait Jean-Baptiste Perrin, physicien français du e siècle. Notre réalisation nous peret donc de répondre à la question suivante : coent un robot peut-il iiter le déplaceent d un heapode? La conception d un robot heapode Pour odéliser le déplaceent d un cafard 1, nous en avons tout d abord observé les différentes caractéristiques. C est donc à travers des vidéos, des iages et des ouvrages consacrés au insectes que nous avons etrait certaines caractéristiques essentielles qui contribuent à la conception de notre robot heapode. Description physique Le cafard a une longueur avoisinant 4 c. Il possède une fore générale très profilée (un ovale allongé) et un corps forteent aplati, doté de téguents (peau) à la fois lisses et souples, ce qui lui peret de s insinuer dans les oindres fissures, fentes, ou interstices. Les cafards se déplacent plus volontiers sur pattes, et très souvent avec une etrêe vélocité. Leurs pattes sont longues, grêles et joignent trois différents segents principau au thora. La patte 3 est coposée de plusieurs segents, tous reliés par des liaisons rotule. Les cafards sont des créatures très sophistiquées et très résistantes (ils ont, par eeple, survécu au radiations atoiques d Hiroshia). Ils possèdent donc de nobreuses caractéristiques qu il est intéressant de reproduire. Description du ouveent Le cafard, lors de son déplaceent, alterne un ouveent sur trois pattes : chaque tripode est coposé de la patte antérieure et de la patte postérieure d un côté ainsi que de la patte centrale du côté opposé 4. Il n y a donc que trois pattes en contact avec le sol à la fois au cours du ouveent. Vitesse et changeent de direction Les cafards possèdent des réflees de fuite très développés, grâce au soies, poils très fins disposés tout le long de leurs pattes. Ces soies les dotent d une sensibilité directionnelle etrêe : leur preière réaction otrice en cas de fuite est orientée dans le sens du ouveent de l air, donc en sens opposé à la position du prédateur. Aussi le cafard déarre-t-il en oins de 54 illièes 68 technologie 176 novebre-décebre 11

2 4 Cafard en cours de déplaceent 5 Robot III 3 La constitution d une patte de seconde, et, à la vitesse oyenne de 3,6 /h, il peut changer 5 fois de direction par seconde. Le cafard est le seul anial connu doté d un tel sens de l orientation dans l espace, et capable de changer de direction si fréqueent. Différents robots obiles Nous allons à présent nous intéresser à différents robots obiles, inspirés d heapodes, afin de diriger la réalisation de notre robot vers un odèle siilaire. Robot III Robot III est un robot à oteur pneuatique 5. Il a été conçu à Case Western Reserve University au États-Unis (CWRU), d après une espèce de grande blatte d Aérique du Sud, Blaberus discoidalis. Ce robot a au total 4 degrés de liberté : 5 degrés pour chaque patte de devant, 4 pour celles du ilieu et 3 pour les pattes arrière. Il se coande à l aide de cylindres de conservation et de blocs de vannes à trois voies pneuatiques. Sa structure est faite de pièces usinées en alliage d aluiniu de haute qualité. 6 Le cricet icrorobot Darpa (Defense Advanced Research Projects Agency) Distributed Robotics. Un icrorobot ne doit dépasser 5 c sur aucune diension, longueur, largeur, hauteur. RHe RHe 7 est un petit robot à si pattes créé par la société aéricaine Boston Dynaics. Il s agit d un robot portable ayant la capacité de se ouvoir sur des terrains particulièreent coplees. Il peut en effet se déplacer sur des caillou, dans la boue, sur du sable, de la végétation diverse, ou encore des rails de chein de fer, des poteau téléphoniques ais aussi sur des surfaces pentues ou des escaliers. Le corps de RHe est enferé dans une coque étanche, ce qui le rend totaleent opérationnel en ilieu huide ou dans un environneent boueu. Il peut aussi nager en surface ou plonger sous l eau. RHe se présente globaleent sous la fore d un parallélépipède d environ 5 c de long et de 1 c d épaisseur. Sur ses flancs se trouvent si aes répartis régulièreent (3 de chaque côté) sur lesquels sont iplantées Des pattes constituées de 3 principau segents si pattes. Chaque patte est une lae recourbée (en dei-cercle) non articulée. Chacune de ces pattes est contrôlée par un oteur indépendant. Pour la nage sous-arine, elles peuvent être replacées par des laes non recourbées. Il se déplace à,7 /s. Notons que tous les robots heapodes déjà eistants, inspirés de la nature, sont très coplees et requièrent de nobreu coposants écaniques et de otorisation. Pour le nôtre, nous nous soes iposé les contraintes suivantes : Bioiétise appliqué au cafard Légèreté Rapidité Petite taille Faible coût de réalisation d un prototype De l observation à la odélisation Pour coprendre coent nous avons odélisé le déplaceent d un cafard, nous allons retracer les différentes étapes de notre travail. Pour déteriner le type de liaison qui le reproduirait le plus fidèleent, nous avons observé le lien entre la patte et le corps du cafard lors du déplaceent de ce dernier. Il possède trois degrés de liberté : trois rotations autour des aes, y et z. Nous l avons donc odélisé par une liaison rotule 8. Le cricet icrorobot Ce icrorobot en fore de grillon se déplace en archant et en sautant 6. Il fait partie d un prograe de recherche basé sur le bioiétise à CWRU, et a été développé par une équipe interdisciplinaire de l université et d étudiants faisant partie du prograe 7 Le robot RHe (sans sa coque) 8 Le repère associé novebre-décebre 11 technologie

3 a Le tripode jaune en appui b Le tripode vert en appui 9 La position des tripodes au cours du ouveent 1 La odélisation du cafard 11 Une patte Nous avons ensuite observé le ouveent des pattes les unes par rapport au autres. Il se caractérise par une rotation de deu groupes de trois pattes. Chacun de ces deu tripodes est coposé de la patte antérieure et de la patte postérieure d un côté ainsi que de la patte centrale du côté opposé. Le ouveent des pattes étant alterné, il n y a donc que trois pattes en contact avec le sol à la fois. Sur la figure 9, les pattes d un tripode sont entourées de la êe couleur. On peut ainsi voir qu en 9a le tripode jaune est en contact avec le sol alors qu en 9b c est le tripode vert. Alors que le corps reste iobile, les pattes ont un ouveent de rotation. On peut ainsi odéliser le ouveent des trois pattes d un êe côté coe trois rotations de êe sens, alternées 1. Quand un des deu tripodes va vers l avant, le second va vers l arrière. De êe, quand un tripode se déplace vers le haut, le second va vers le bas. De la odélisation à la conception du robot Avant de passer à la réalisation de notre robot, nous avons dû trouver un odèle qui vérifie la liaison rotule entre le corps et la patte, le contact de trois pattes avec le sol et le ouveent en alternance des pattes. La conception cinéatique À partir d une action unique, nous devons obtenir deu rotations indépendantes coe dans le cas d une liaison sphérique à doigt. L idée est venue d utiliser une structure carrée déforable en ses arrêtes 11 pour obtenir une rotation d ae y. Cette structure, attachée au bâti par l avant ou par l arrière avec une liaison déforable, autorisera égaleent une rotation d ae. La figure 1 présente le ouveent d une patte. Apparaissent, en gris, la partie obile qui actionne la patte, en bleu, la partie fie. L avant de la patte est fié sur la partie obile ; l arrière sur la partie fie. Revenons à notre preière étude du ouveent d un heapode. Sur la figure 1, nous avions rearqué que les trois pattes d un êe tripode avaient un ouveent identique. Pour ce faire, les pattes antérieure et postérieure d un êe côté sont aniées d un ouveent siilaire, tandis que la patte centrale doit décrire un êe ouveent ais alterné par 1 Le systèe d attache des pattes d un des deu tripodes (en gris la partie obile ; en bleu la partie fie ; en vert la patte) 13 rois pattes d un côté 7 technologie 176 novebre-décebre 11

4 14 La représentation de la cinéatique coplète du robot heapode iaginé 15 La transission du ouveent de rotation (ors en V en rouge, oteur en bleu et roue en blanc) rapport au deu autres. Une siple inversion des points d attache résout le problèe : l avant de la patte est fié sur la partie fie ; l arrière sur la partie obile. Nous aboutissons ainsi à un bâti fie et à une partie obile unique, sur lesquels sont fiées les trois pattes 13. Les pattes antérieure et postérieure en vert sont fiées sur le bâti fie en bleu par l arrière et sur la partie obile par l avant. La patte centrale en jaune est fiée sur le bâtit fie par l avant et sur la partie obile par l arrière. Le côté opposé présente des contraintes siilaires. Il n est qu une inversion du preier. Ainsi, nous attachons les pattes suivant un schéa inversé : les pattes antérieure et postérieure sont fiées au bâti fie par l arrière et à la partie obile par l avant ; la patte centrale est fiée au bâti fie par l avant et à la partie obile par l arrière. On peut aintenant réunir les deu côtés pour aboutir à un odèle réaliste 14. Le bâti bleu est fie. La partie obile est aniée d un ouveent rotation d ae par rapport au bâti, qu elle trans- et au pattes. L iplantation de la otorisation Nous allons aintenant voir coent le ouveent de rotation peut être transis à la partie obile. Celle-ci est fiée par l interédiaire de deu barres en V à un aneton ecentré d une roue entraînée en rotation par un oteur solidaire du bâti 15. Ainsi, quand le oteur fait tourner la roue, les barres en V ont un ouveent de translation circulaire par rapport au bâti pour perettre l actionneent synchronisé des deu tripodes. De la conception au prototypage Les différents prototypes La construction du robot s est donc faite par étapes, par la réalisation de plusieurs prototypes dont nous évaluions avantages et défauts de façon à aéliorer le fonctionneent en intégrant une ou plusieurs odifications. Nous avons ainsi réalisé neuf prototypes. Le preier essai était en carton. Il nous a servi à ieu coprendre le fonctionneent général du robot, et les problèes que nous risquions de rencontrer. Il est très grand et peu précis. Le suivant, haut de 5,9 c (sans les pattes), long de 1, c et large de 8,5 c, était entièreent en polypropylène epansé (EPP). Ses différentes parties furent collées à la colle cyanoacrylate. L EPP a une bonne souplesse et se défore sans se casser, tout en étant très léger. Mais ce prototype était trop déforable, et le ouveent créé par le oteur n aurait pas pu être transis correcteent. Il fallait le rigidifier. Pour les prototypes suivants, nous avons utilisé du polycarbonate pour renforcer l EPP. Mais le robot était alors trop rigide, à cause de la colle qui ne perettait pas assez de ouveent entre les parties. Par la suite, au niveau des articulations des pattes, nous avons replacé la colle par du ruban adhésif aré. La rigidité nous seblait acceptable, et nous avons placé les pattes pour faire des tests de otricité. Nous nous soes alors rendu copte qu elles étaient trop rapprochées les unes des autres, et que le robot n avait pas un bon équilibre. De plus, coe elles ont un ouveent alterné, elles se heurtaient au cours de la ise en ouveent. Pour le prototype suivant, nous avons changé les diensions du robot pour écarter les pattes afin qu elles ne se heurtent plus et pour donner plus d équilibre. Nous avons installé le oteur et tenté de le faire archer. Ipossible : la structure était trop lourde pour être soulevée, la partie qui aurait dû être en rotation est restée iobile. Par la suite, nous avons réalisé une aquette entièreent en polycarbonate, ecepté au niveau des articulations des pattes, pour une raison de légèreté, et d esthétique. Et enfin, au neuvièe essai, nous avons changé le dessin des pattes pour avoir plus de souplesse au niveau de la liaison rotule 16. Les atériau Le corps du robot est en polycarbonate. outes les parties du corps sont novebre-décebre 11 technologie

5 asse, elle correspond au ouveent recherché rectiligne et unifore, et suit le odèle de «glisseent» attendu. De plus, le robot étant proche du sol, la perte énergétique est iniale, et le déplaceent le plus rapide possible. 16 La version aboutie du prototype L étude des forces etérieures au systèe Systèe isolé : {robot} Référentiel : terrestre galiléen Inventaire des forces etérieures : La liaison entre 1 et n est pas parfaite, le systèe est donc souis à son poids P et à des réactions avec le sol I /1. 17 Le centre de asse suit approiativeent une trajectoire sinusoïdale en rouge, très proche de la ligne en pointillés, qui représente la trajectoire idéale du centre de asse, rectiligne. Notre robot se déplace ici à 1 /s y 18 La odélisation du robot collées entre elles, avec de la colle cyanoacrylate pour les liaisons rigides, ou avec du ruban adhésif aré pour les liaisons fleibles. Les coposants Notre robot coprend donc : un otoréducteur Il et la partie obile en ouveent de translation circulaire pour déplacer le robot. une batterie Elle assure l alientation et l autonoie du robot. un circuit intégré G N G y I ϕ P I /1 une diode électroluinescente Elle peret la radiocoande du robot par l interédiaire d une télécoande. L étude dynaique du robot L étude du robot en fonctionneent ontre que son centre de asse, que nous assiilerons à son centre de gravité G, suit une trajectoire quasi rectiligne, coe on peut le voir sur la figure 17, où il est suivi pendant,5 s. Sa trajectoire est donc considérée coe rectiligne. La trajectoire du robot pouvant être assiilée à celle de son centre 1 P g Ι 1 / Le ouveent est supposé rectiligne et unifore, donc, d après la 1 re loi de Newton, la soe des forces etérieures appliquées au systèe 18 est nulle : I + P= /1 N P = g =,5 9,81 =,5 N O Sur : = N Sur y : N P = N = g donc N =,5 N Nous cherchons à déteriner la variation de l énergie écanique du systèe : notre systèe perd-il de l énergie au cours du ouveent? Définissons l énergie écanique du systèe. Elle est la soe de l énergie potentielle de pesanteur et de l énergie cinétique du systèe : E M = E K + E pp La variation de l énergie écanique du systèe est donc : E M = E K + E pp Calcul de la variation d énergie cinétique E K L énergie cinétique d un systèe est l énergie que possède un solide du fait de son ouveent. C est la soe des travau des forces etérieures qui agissent sur le systèe. 7 technologie 176 novebre-décebre 11

6 Partie obile Partie fie z L y Centre de asse La schéatisation du robot : asse du corps L : longueur du ressort : constante de raideur Le odèle «asse-ressort» ou «solide-ressort» Phase 1 Phase Phase 3 Phase 4 1 Les 4 phases du ouveent E = W(F ) K A B Au cours du ouveent, les caractéristiques des trois forces etérieures appliquées au systèe,, Ny et P, sont inchangées. Ces trois forces sont donc constantes, et leurs travau définis ainsi 19 : W (F) =F AB =F (AB) cos α A B Analyse des travau des forces etérieures W(P) =P AB =P (AB) cos α Or cos α = cos π/ = donc W(P) = L énergie potentielle de pesanteur est l énergie qu un objet possède du fait de son interaction avec la erre. Elle varie donc en fonction de l altitude de l objet considéré. Par définition : W(P) =PE AB pp = + g h Or W(P) =P AB = g h donc : E = W(P) = pp Entre les instants A et B, on a donc : E pp = W( ) = AB=(AB) cos L énergie écanique du systèe W( ) AB=(AB) α cos α est donc constante au cours du ouveent : = (AB) = 1= (AB) 1= E M = E K + E pp = E M = Cte WN =N WN ( AB =R AB) cos y) =N ( AB ( =R AB) α cos y) ( α y n y n Conclusion, notre systèe est conservatif : au cours du ouveent, =N (AB) =N co (AB) s π le robot ne perd pas d énergie. = cos π = Mais l étude des réactions avec le Donc sol doit être poussée plus avant pour que l on coprenne les transferts d énergie internes au systèe. Nous E = W(F ) K A B = et EK = coencerons par déteriner les forces internes au systèe. Entre les instants A et B, on a donc L étude des forces internes : E K = forces avant-arrière Calcul de la variation d énergie La schéatisation du robot est donnée potentielle de pesanteur E pp en figure. A F α AB : distance parcourue B 19 Le travail de la force F Lorsque le robot décrit une trajectoire rectiligne, le ouveent peut être décoposé en quatre phases 1. Rappelons qu au cours du ouveent la partie obile décrit un ouveent de translation circulaire par rapport à la partie fie. Il eiste aujourd hui un systèe de odélisation qui peret de cerner les particularités du ouveent étudié, de odéliser les transferts d énergie au cours de la locootion : le odèle asse-ressort ou solide-ressort. C est le odèle le plus souvent utilisé pour décrire le ouveent des pattes ou jabes des êtres vivants. L étude des forces internes : transferts d énergie interne au pattes Le odèle asse-ressort ou solideressort est un systèe écanique à un degré de liberté coposé des éléents suivants : un ressort linéaire siple, représentant usuelleent une jabe, dans notre cas une patte, contraint à se déplacer suivant un ae unique, ici z ; une asse, fiée au res- sort, qui englobe la asse totale du systèe. Nous cherchons à déteriner l énergie écanique du systèe. L énergie écanique d un systèe asse-ressort se décopose en deu énergies : c est la soe de l énergie potentielle élastique du ressort et de l énergie cinétique de la asse. Qu est-ce que l énergie potentielle élastique d un ressort? Pour bander la corde d un arc, par eeple, ou déforer un ressort, on doit eercer une force dont le point d application se déplace. Cette force effectue un travail oteur et fournit au ressort de l énergie qu il eagasine. Elle est novebre-décebre 11 technologie

7 l 3 La caractérisation du ressort l i F Nous avons défini précédeent l énergie écanique d un systèe coe la soe de son énergie cinétique et de son énergie potentielle de pesanteur. De façon analogue, nous pouvons définir l énergie écanique d un systèe asse-ressort coe la soe de l énergie cinétique de la asse et de l énergie potentielle élastique du ressort. On néglige pour notre étude l énergie de pesanteur du systèe, car ses variations sont trop infies. Dans ces conditions : E M = E c + E p élast F + d 1 4 Le travail éléentaire de la force eercée sur le ressort (aire hachurée) et le travail de la force pour un allongeent 1 (aire grisée) O O l c l d autant plus iportante que le ressort ou l élastique est tendu. Calculons cette force, que l on noera F. Pour aintenir un allongeent, on doit eercer une force F telle que 3 : F = (l l ) l : longueur à vide du ressort l : longueur du ressort lorsqu il est étiré ou coprié = l l : l allongeent du ressort (de valeur algébrique positive pour un étireent et négative pour une copression) : constante de raideur A o 5 La odélisation d un oscillateur horizontal A A S G Avec les notations de la figure : F= À partir de la longueur l, pour provoquer un déplaceent suppléentaire dl =d de l etréité A du ressort, la force F eercée par l opérateur doit fournir le travail : d W=F dl = d = d Le travail de la force eercée par l opérateur pour provoquer un allongeent final 1 = l 1 l, l allongeent passant de la valeur nulle au départ à la valeur finale 1, s écrit sous la fore de l intégrale suivante 4 : W(F χ ) = 1 d = 1 1 Le travail d une force appliquée à l etréité d un ressort qui provoque un allongeent 1 partir de sa longueur naturelle est donc tel que : W(F) = 1 1 L énergie potentielle élastique eagasinée dans un ressort est égale au travail effectué par un opérateur pour le déforer. L énergie potentielle élastique d un ressort de raideur, dont l allongeent est, est donc égale à : E = 1 pélast Au cours une oscillation du systèe, lorsque la asse se rapproche de sa position d équilibre ( = ), l énergie cinétique E c augente et l énergie potentielle élastique E p élast diinue ; lorsque la asse s éloigne de sa position d équilibre, E c diinue et E p élast augente. Au cours du ouveent, il y a transforation d énergie cinétique en énergie potentielle élastique et réciproqueent (et conservation de l énergie écanique). De plus, rappelons que E c = ½ V Reste à déteriner l énergie cinétique de la asse. Pour ce faire, nous donnerons préalableent un certain nobre de notions indispensables à la copréhension de ce qu est l énergie cinétique de la asse d un systèe asse-ressort. De nobreu écanises oscillants, coe le systèe asse-ressort, sont odélisés par un solide relié à l une des etréités d un ressort dont l autre etréité est fie. Le solide peut se déplacer verticaleent ou peut coulisser sans frotteents sur un ae horizontal 5. Ce systèe constitue un oscillateur élastique en translation. Lorsque le solide est écarté de sa position de repos, il effectue des oscillations libres très peu aorties. Ces oscillations sont périodiques. La période des oscillations dépend de la raideur du ressort et de la asse du solide en ouveent. Indépendante de l aplitude des oscillations, elle est proportionnelle à la racine carrée de la asse du solide et à la racine carrée de l inverse de la raideur du ressort : 74 technologie 176 novebre-décebre 11

8 =C Le êe oscillateur peut effectuer des oscillations sur un ae vertical ; la période des oscillations est la êe ; l accélération de la pesanteur g n intervient pas. Dans notre cas, on considère un solide de asse, astreint à se ouvoir sur un coussin d air horizontal, relié à un ressort horizontal 6. Systèe isolé : {solide sur cousin d air} Référentiel : terrestre galiléen. Le systèe est repéré par l abscisse d un de ses points, par eeple le point G. Lorsque le ressort n est pas allongé, G est en G. Inventaire des forces etérieures : le solide est souis à l action de son poids P et de la force de rappel F eercée par le ressort hélicoïdal de raideur. Par définition, F= La deuièe loi de Newton nous dit que, dans un référentiel galiléen, la soe F des forces ( F = F ap ) = appliquées a G à un solide est égale au produit de la asse du solide par l accélération de son centre d inertie G : F = F ap = a G En appliquant la deuièe loi de Newton au centre d inertie de notre solide, on obtient : P+F= a Soit un repère de projection dont l ae est parallèle au ressort et l origine coïncide avec G. On a F= Par projection sur l ae (O, ) de l égalité vectorielle epriant la deuièe loi de Newton, on obtient : soit = + = () G O 6 La odélisation avec un solide sur coussin d air Nous obtenons une équation différentielle de second ordre : P(X) =X + On sait que : si >, alors () adet deu solutions réelles ; si =, alors () adet une solution réelle ; si <, alors () adet deu solutions coplees. Dans notre cas, = 4 < L équation () adet donc deu solutions coplees. Montrons qu une fonction périodique de période égale à la période de l oscillateur et de la fore suivante vérifie l équation () : = cos π Dans cette epression, est l aplitude du ouveent ( > ) ; φ, la phase à l origine des dates. Ces deu paraètres sont définis à l instant t =, ils n influent pas sur le résultat final. Coent déteriner et φ? Ces paraètres sont déterinés à partir des conditions initiales à l origine des dates t =. Par eeple, à l instant t = : le centre d inertie du solide est situé au point G d abscisse a > ; la vitesse initiale est () = V = o F novebre-décebre 11 technologie G P Écrivons qu à l instant t = la solution proposée vérifie ces conditions initiales : et () = cos φ = a ( ) = π sin ϕ = Coe le paraètre est non nul, la deuièe équation ipose : sin φ = soit φ = ou φ = π Or cos φ > car a > et > Donc φ = Avec ces conditions initiales, l équation horaire du ouveent du centre d inertie s écrit : = a cos ( π t) Dérivons une preière fois () par rapport au teps, on obtient : = π sin π (3) Après une seconde dérivation, on a : = 4π π cos t +ϕ + π + cos t +ϕ = = 4π cos π = t + ϕ 4π π cos + π cos

9 + = L équation () est donc toujours vérifiée pour : 4π = 4π = La période propre d un oscillateur élastique en translation (horizontal ou vertical) est donc : = π Nous avons vu précédeent que la position du centre d inertie et la vitesse de la asse d un pendule élastique sont données respectiveent par les relations : =.cos π π π V = = V = = t sin +ϕ t +ϕ Eprions alors l énergie écanique totale : E = 1 V + 1 Avec = 1 4π π sin =π il vient : + 1 π cos t + ϕ soit =4π E M = 1 π π sin t +ϕ t +ϕ +cos Donc E π cos t + ϕ M = 1 4π Application nuérique On esure epérientaleent : = 8 N 1 et = 5 g. La position initiale du solide est () =. La vitesse initiale du solide est () = 1 s 1. =π =π,5 8 =,18s = π sin π à t =, () = = cos φ O (1) et () =1= π sinϕ () La relation (1) iplique : φ O = π / ou φ O = π / car La relation () iplique : sin φ O < donc φ O = π / et sin φ O = 1 car π/ > On a donc = 1 /π =,9 1 Donc E M = ½ 8 (,9 1 ) E M =,46 J L énergie interne au pattes est très petite. Les pertes énergétiques sont donc négligeables. Notre robot rentabilise ainsi au aiu l énergie reçue. À l iage d un heapode vivant, il inialise sa dépense énergétique. Conclusion Pour aboutir à une odélisation fidèle du cafard, notre étude a suivi trois lignes directrices : l observation du déplaceent du cafard dans son environneent ; la odélisation de son ouveent, qui a conduit à la conception puis à la réalisation du robot heapode ; l étude dynaique du prototype. Notre projet a été essentielleent basé sur l observation de l insecte, ce qui nous a peris de déteriner les caractéristiques du ouveent d un heapode. La déarche d un heapode est caractérisée par le ouveent alterné de deu tripodes : chacun est constitué des deu pattes antérieure et postérieure d un côté et de la patte centrale du côté opposé. Chaque tripode décrit, au cours du ouveent, une trajectoire circulaire, ce qui nous a peris de odéliser la liaison entre le corps et la patte de l heapode par une liaison sphérique à doigt. Nous avons ainsi défini des contraintes spécifiques à la déarche de l heapode que notre odèle doit respecter : alternance des deu tripodes, liaison rotule entre le corps et la patte. Notre robot doit aussi respecter le cahier des charges, qui nous ipose légèreté, petite taille et faible coût de production. Nous avons donc conçu un odèle qui répond à toutes ces contraintes. Ainsi nous avons, en nous inspirant du odèle de la arionnette, odélisé la déarche d un heapode et abouti à un robot heapode. L observation eterne de notre robot nous prouve que le systèe est confore à la déarche d un heapode vivant. L étude dynaique nous confire la siilitude de notre robot avec un cafard : au cours du ouveent, l énergie reçue est réutilisée de anière optiale. Notre robot heapode est petit, léger et peu coûteu. Équipé d une icrocaéra, il pourrait être utilisé à des fins huanitaires. n Pour en savoir plus Sites Olypiades de Sciences de l Ingénieur : Union des professeurs de sciences et techniques industrielles : Dans echnologie «Les Olypiades de sciences de l ingénieur», n o 17, nov.-déc technologie 176 novebre-décebre 11