COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE des SUITES NUMERIQUES

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1 Lycée Dominique Villars ECE COURS COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE des SUITES NUMERIQUES Comportement asymptotique des suites numériques. Suites convergentes... Définitions. Une suite u n est dite convergente vers le réel l ou a pour limite le nombre réel l R si un est aussi proche que l on veut de l dès que n est suffisamment grand. Autrement dit, si pour tout réel ε > 0, tous les termes de la suite à partir d un certaine rang, ne s écartent pas de l de plus de ε ; ce qui se traduit mathématiquement par : ε > 0, N N, n N, u n l < ε On peut alors écrire lim n + u n = l. Une suite qui ne converge pas est dite divergente ; c est le cas lorsque : - la suite n a pas de limite, par exemple : u n = n. - d une suite qui tend vers l infini, par exemple : u n = 2n +. Etudier le comportement asymptotique d une suite consiste à déterminer si cette suite est convergente ou divergente. a/ une suite constante est convergente. b/ une suite stationnaire constante à partir d un certain rang est convergente. c/ la suite u n définie par : n N, u n = n est convergente vers 0. n 2 + L objectif est donc de donner des outils mathématiques afin de justifier qu une suite est convergente...si elle l est!!..2 Critères de convergence d une suite A Cas des suites définies par une formule explicite u n = fn Propriété - Convergence d une suite du type u n = fn ou f : R R donnée Soit u n est une suite définie par : n N, u n = fn où f est une fonction numérique définie sur [a; + [ avec a R et telle que lim x + fx = l R alors u n converge vers le réel l / La suite 3 e n converge vers 3 car la fonction f : 2/ La suite 2n 2 + n n 2 n+2e n tends vers 0 car la fonction g : De manière analogue si lim x + fx = alors la suite u n est divergente. { R R x 3 e x est telle que lim x + fx = 3. { R R x 2x2 + x x 2 x+2e x est telle que lim x + fx = 0. Considérons la suite u n définie par : pour tout n N, u n = 2 n + 3 n. Alors lorsque f : x 2 x + 3 x, on a pour tout n N, u n = fn. Remarquons simplement que 2 x = expln2 x = expx ln2 donc lim x + fx = +. divergente. Ainsi u n est

2 Etudier le comportement asymptotique de la suite fn revient à étudier celui de la fonction f au voisinage de + B Cas général Propriétés relatives aux suites convergentes. i Si u n est une suite convergente alors cette suite est bornée. ii Soit u n une suite convergente vers une réel l alors a R, b R tels que a < l < b, N N, n N, a < u n < b iii Si u n est une suite convergente vers un réel l alors u n converge vers le réel l. iv Si u n est une suite convergente vers un réel l alors pour tout nombre entier p, lim n + u n+p = l. En particulier, lim n + u n+ = l. La réciproque de la proposition iii est FAUSSE!!! En effet, la suite u n définie par u n = n est divergente mais pour tout n N, u n = donc u n est constante..2. Opérations sur les suites convergentes ❶ La somme de deux ou plusieurs suites convergentes est une suite convergente. ❷ Le produit de deux ou plusieurs suites convergentes est une suite convergente. ❸ Si u n converge vers l et v n converge vers l 0 alors la suite un l vn converge vers l. Soit la suite v n définie par : n N, v n = e n n + 2 4n 7 On sait que e n converge vers 0. De plus la suite n+2 4n 7 est convergente vers 4 donc cette suite est bornée. On déduit par application de cette proposition que la suite v n converge vers Théorèmes d encadrement Théorème - Critère de convergence : THEOREME de GENDARMES. Soient les suites u n ; v n et w n sont telles que : i n N, v n u n w n ii v n et w n convergent vers la même limite l alors u n est convergente vers le réel l. Exercice: Démontrer que la suite définie par u n = n k= n 2 +k converge vers. Proposition. Si la suite u n converge vers 0 et si la suite v n est bornée alors la suite u n v n est convergente vers 0. Exemple d application : Soit la suite u n définie par : n N, u n = n n On sait que n converge vers 0. n 2 + N De plus la suite 3 + n k= est bornée car n 3 + k = Ainsi la suite u n est convergente vers 0. n k 4 si n est pair 3 si n est impair

3 Théorème 2 - Critère de convergence des suites monotones. Toute suite réelle monotone et bornée est convergente. Plus précisément encore : i Toute suite croissante et majorée est convergente. ii Toute suite décroissante et minorée est convergente. C est ce critère qui va permettre dans la plupart des cas de justifier qu une suite est convergente...si elle l est!! Exercice type : Convergence d une suite récurrente u n+ = fu n Soit la suite récurrente u n définie par u 0 = 2 et n N, u n+ = 2u n + u n + 4 / Montrer que la suite u n est décroissante. 2/ Montrer que pour tout n N : 3/ En déduire que u n est convergente. u n 2.3 Compléments sur les suites convergentes Théorème - Passage à la limite. / Si la suite u n converge vers l et qu il existe a R : n N, u n a alors on a l a. 2/ Soient deux suites u n et v n telles que : i u n converge vers l et v n converge vers l. ii n N, u n v n alors on a l l. La proposition i devient fausse si l on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes. Par exemple, n, + n > n. Or lim n + + n = et limn + + n = et!! Ne pas confondre les notions de Limite et de majorant/minorant!! Soit u n convergente vers un réel l. Si M est un majorant de la suite u n alors M n est pas nécessairement la limite l!! Mais il est plus grand que la limite l il majore la limite l. Une remarque analogue est valable pour un minorant d une suite convergente. La suite 2 n de la suite. est croissante et majorée par 5 mais elle converge vers 2 la limite est le plus petit majorant.4 Suites divergentes vers l infini.4. Définitions On dit que la suite u n tend vers + ou diverge vers + quand n + si u n devient aussi grand que l on veut i.e. aussi proche de + que l on veut dès que n est suffisamment grand. On traduit mathématiquement cette phrase par : A R, N N, tel que n N, u n > A On note alors lim n + u n = +. De manière analogue, on dit que la suite u n tend vers ou diverge vers On note alors lim n + u n =. B R, N N, tel que n N, u n < B Comment justifier rigoureusement qu une suite u n est divergente vers l infini?

4 .4.2 Critères de divergence vers l infini pour une suite. A. Cas des suites définies par une formule explicite u n = fn On a vu plus haut que l étude du comportement d une telle suite u n est lié au comportement de la fonction f au voisinage de +. Ainsi si justifie que lim x + fx = + alors on peut conclure que u n est divergente vers l infini. B. Cas général : Les théorèmes d encadrement Théorème. i Si lim n + u n = + et si ii alors lim n + v n = +. Si lim n + v n = et si alors lim n + u n =. N N, n N tel que u n v n N N, n N tel que u n v n De manière imagée, la proposition i peut se traduire par : si une suite u tends vers + et est inférieure à une autre suite v à partir d un certain rang N alors elle pousse la suite v à tendre elle aussi vers +!! De même la proposition ii peut se traduire par : si une suite u tends vers et est supérieure à une autre suite v à partir d un certain rang N alors elle pousse la suite v à tendre elle aussi vers!! Exercice type. Soit u n une suite telle que u 0 = et vérifiant n N, u n+ 3 2 u n Soit la suite v n définie par v 0 = et n N, v n+ = 3 2 v n / Montrer que pour tout n N : v n u n 2/ Exprimer le terme général v n en fonction de n. En déduire le comportement asymptotique de v n 3/ En déduire le comportement asymptotique de la suite u n. Exercice type 2 : Etude d une suite définie implicitement. On associe à n N, la fonction R R f n : x + x n nx 2 / Etudier les variations de la fonction f n. 2/ On définit les suites a n et b n par pour tout n N : a n est l unique solution supérieure à de l équation f n x = 0 i Soit n 2. Calculer f n n. Préciser le signe de f n n. ii Quelles sont les variations de f n sur l intervalle [, + [? iii Démontrer que pour tout n 2 : a n n iv En déduire la limite de la suite a n 2 Comportement asymptotique des suites usuelles 2. Suites arithmétiques Soit u n une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. si r = 0 alors si r > 0 alors si r < 0 alors

5 2.2 Suites géométriques Soit v n une suite géométrique de premier terme v 0 et de raison q. si q = alors v n = si < q < alors v n = si q > alors v n = si q alors v n = Suites adjacentes Deux suites u n et v n sont dites adjacentes lorsqu elle vérifient les deux conditions suivantes : i la suite u n est croissante et la suite v n est décroissante. ii la suite u n v n converge vers 0. Exercice - Exemples types : Montrer que u n et v n sont deux suites adjacentes. / Soient 0 < u 0 < v 0 et pour tout n N : u n+ = u n + v n v n+ = u n v n. 2 2/ Pour n N, on définit : u n = n v n = u n + k! nn!. Convergence de deux suites adjacentes Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite Démonstration : a/ on montre tout d abord par l absurde que pour tout n N : u n v n b/ puisque v n est décroissante cela signifie que pour tout n N : u n v 0 donc u n est croissante et majorée... donc convergente vers un réel l u!! c/ de la même manière puisque u n est croissante cela signifie que pour tout n N : u 0 v n donc v n est décroissante et minorée... donc convergente vers un réel l v!! d/ Ainsi d après les opérations sur les suites convergentes, la suite u n v n est convergente vers l u l v. Or en utilisant la condition ii de la definition, on déduit que l u l v = 0 autrement dit que l u = l v!! 3 Comparaisons des suites numériques De manière analogue à ce qui a été fait dans le cadre de la comparaison locale de deux fonctions numériques, nous pouvons comparer deux suites numériques. Pour cela nous introduisons deux relations : la relation de négligeabilité et celle d équivalence. Soient u = u n et v = v n deux suites numériques. On dit que : u n est négligeable devant v n, on l écrit alors u n = ov n, lorsque u n et v n sont équivalente, on l écrit alors u n v n, lorsque lim n + u n v n = 0. lim n + u n v n =. Remarque : Contrairement aux comparaisons locales de fonctions qui peuvent se faire au voisinage d une valeur a R ou des infinis, on compare deux suites au voisinage + c.a.d. lorsque l indice n tends vers +. Il n est donc pas nécéssaire de préciser u n = + ov n ou u n + v n!! n 2 n 2 3n n 00 = oe n lnn 0 = o n lne n + 5n + 2 n n = o n 7 + 2n 2 = on 4 000n 3 n = o ln n n 2 0n 2+5n 2 5 Equivalents importants à connaitre!!! Si u n est une suite convergeant vers 0 alors ln + u n u n e u n + u n + u n α + αu n