Somme de deux vecteurs
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- Marie-Madeleine Desjardins
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1 Fiche exercices Somme de deux vecteurs EXERCICE 1 r= (O; i ; j ) Est un repère du plan. On considère les points A(1;), B(-1;5) et C(5;) 1. Construire le point D tel que : AB+ AC= AD et construire le point E symétrique de D par rapport à A.. Calculer les coordonnées du vecteur : v= AB+ AC+ AE. EXERCICE 1. Construire le point D tel que AB+ AC= AD.. Construire le point E tel que AB+ AD= AE. 3. Démontrer que D est le milieu de [CE]. 4. On donne les coordonnées des points A, B et C dans ce repère : A(-3;4) B(1;4) C(-1;1) Calculer les coordonnées de D et E. Vérifier par le calcul que D est le milieu de [CE]. 5. Maintenant on choisit le repère (A, AB: AC) qui n'est pas un repère orthogonal. Calculer les coordonnées de D et E dans ce repère et vérifier que D est le milieu de [CE]. EXERCICE 3 On considère les points A(1;4), B(-3;1) et C(3;-). 1. Calculer les coordonnées du point G tel que AG+ BG+ CG= 0. Calculer les coordonnées du milieu K de [BC]. 3. Calculer les coordonnées du symétrique L de A par rapport à G. 4. Vérifier que K est le milieu de [GL]. EXERCICE 4 On considère les points A(-1;1), B(;3) et C(3;-1). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs : AB, AC puis AD= AB+ AC. Placer dans le repère les points a, B, C et construire le point D. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 1
2 Somme de deux vecteurs EXERCICE 5 On considère les points A(-3;-), B(4;-1) et C(1;4). 1. Soit M(x M ; y M ), exprimer les coordonnées du vecteur : v M = AM+ BM+ CM en fonction de x M et y M.. Calculer les coordonnées du point M tel que : v M = 0. EXERCICE 6 On considèreles vecteurs : u= OA (; 3), v= OB(3;1) et w= OC(1; 3). 1. Construire le point D tel que OA + OB= OD puis construire le point E tel que OD+ OC= OE.. Construire le point F tel que OB+ OC= OF puis construire le point G tel que OA + OF= OG. 3. Calculer les coordonnées de D et E puis de F et G. Conclusion? EXERCICE 7 On considère les points : A(-1;-1), B(;3), C(4;) et E(5;-1). 1. Calculer les coordonnées des vecteurs : AB, BC et AC.. Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.. 3. Calculer les coordonnées de CE, EA et CA. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page
3 Somme de deux vecteurs CORRECTION 1. Construire le point D tel que AB+ AC= AD et construire le point E symétrique de D par rapport à A ABDC est un parallélogramme. A est le milieu de[de]. Calculer les coordonnées du vecteur : v= AB+ AC+ AE. A(1;) B(-1;5) AB(x B x A ; y B y A ) AB( 1 1 ;5 ) AB( ;3). A(1;) C(5;) AC(xC x A ; y C y A ) AC(5 1; ) AC(4;0). AD= AB+ AC AD( +4 ;3+0) AD(;3) AD(xd x A ; y A ) AD(xD 1; ) donc { x D 1= =3 { x D =3 =5 D(3;5). E est le symétrique de D par rapport à A donc A est le milieu de [DE] x A = x +x E D 1= x +3 E =x E +3 x E = 1 y A = y E + = y E +5 4= y E +5 y E = 1 E(-1;-1) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 3
![Démontrer que D es le milieu de [CE] ABDC est un parallélogramme donc AB= CD ABED est un parallélogramme donc AB= DE Conséquence CD= DE et D est le milieu de [CE]. 4.](/docs-images/84/89228614/images/4-1.jpg "Calculer les coordonnées de D et E. Vérifier par le calcul que D et le milieu de [CE]. A(-3;4) B(1;4) C(-1;1).")
4 AE( xe x A ; y E y A ) AE( 1 1; 1 ) AE( ; 3) v= AB+ AC+ AE( +4 ;3+0 3) v(0; 0) v= AB+ AC+ AE= 0 EXERCICE 1. Construire le point D tel que : AB+ AC= AD. Construire le point E tel que : AB+ AD= AE On construit les parallélogrammes ABDC et ABED. Somme de deux vecteurs 3. Démontrer que D es le milieu de [CE] ABDC est un parallélogramme donc AB= CD ABED est un parallélogramme donc AB= DE Conséquence CD= DE et D est le milieu de [CE]. 4. Calculer les coordonnées de D et E. Vérifier par le calcul que D et le milieu de [CE]. A(-3;4) B(1;4) C(-1;1). AB(x B x A ; y B y A ) AB(1+3;4 4) AB(4; 0) AC(xC x A ; y C y A ) AC( 1+3; 1 4) AC(; 3) AD= AB+ AC(4+; 0 3) AD(6; 3) AD(xD x A ; y B y A ) AD(xD +3; 4) On obtient : { x D +3= 6 4= 3 { x D =3 =1. AE= AB+ AD(4+6 ;0 3) AE(10; 3) AE( xe x A ; y E y A ) AE( xe +3; y E 4) D(3;1). Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 4
![On obtient : { x E +3=10 y E 4= 3 { x E =7 y E =1 E(7;1).. C(-1;1) E(7;1) Soit M le milieu de [CE] x M = x +x C E = 1+7 =3 y M = y + y C E = 1+1 =1 M(3;1) Or D(3;1) donc D=M et D est le milieu de [CE].](/docs-images/84/89228614/images/5-0.jpg "5. Dans le repère (A; AB; AC) AB(1; 0) AC(0;1) A(0;0) B(1;0) C(1;0) AD= AB+ AC(1+0; 0+1) AD(1;1) D(1;1) AE= AB+ AD(1+1;0+1) AE( ;1) E(;1) Soit M le milieu de [CE] x M = x +x C E = 0+ =1 y = y + y C E")
![M = 1+1 =1 M(1;1) Or D(1;1) donc D=M et D est lemilieu de [CE]. EXERCICE 3 1.](/docs-images/84/89228614/images/5-1.jpg "Calculer les coordonnées du point G tel que AG+ BG+ CG= 0 A(1;4) B(-3;1) C(3;-) Somme de deux vecteurs AG( xg x A ; y G y A ) AG( xg 1; y G 4) BG( xg x B ; y G y B ) BG( xg +3; y G 1) CG(xG x C ; y G")
5 On obtient : { x E +3=10 y E 4= 3 { x E =7 y E =1 E(7;1).. C(-1;1) E(7;1) Soit M le milieu de [CE] x M = x +x C E = 1+7 =3 y M = y + y C E = 1+1 =1 M(3;1) Or D(3;1) donc D=M et D est le milieu de [CE]. 5. Dans le repère (A; AB; AC) AB(1; 0) AC(0;1) A(0;0) B(1;0) C(1;0) AD= AB+ AC(1+0; 0+1) AD(1;1) D(1;1) AE= AB+ AD(1+1;0+1) AE( ;1) E(;1) Soit M le milieu de [CE] x M = x +x C E = 0+ =1 y = y + y C E M = 1+1 =1 M(1;1) Or D(1;1) donc D=M et D est lemilieu de [CE]. EXERCICE 3 1. Calculer les coordonnées du point G tel que AG+ BG+ CG= 0 A(1;4) B(-3;1) C(3;-) Somme de deux vecteurs AG( xg x A ; y G y A ) AG( xg 1; y G 4) BG( xg x B ; y G y B ) BG( xg +3; y G 1) CG(xG x C ; y G y C ) CG(xG 3; y G +) AG+ BG+ CG(xG 1+ x G +3+ x G 3; y G 4+ y G 1+ y G +) AG+ BG+ CG(3 xg 1;3y G 3) 0(0;0) AG+ BG+ CG= 0 { 3 x G 1=0 3 y G 3=0 { x G = 1 3 y G = 1. Calculer les coordonnées du milieu K de [BC] B(-3;1) C(3;-) x K = x B + x C = 3+3 =0 y K = y + y B C = 1 = 1 G ( 1 3 ;1 ) K ( 0; 1 ) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 5
![3. Calculer les coordonnées du symétrique L de A par rapport à G G est donc le milieu de [LA].](/docs-images/84/89228614/images/6-0.jpg "x G = x +x L A 1 3 = x +1 L x L = 1 3 y G = y L + y A L ( 1 3 ; ) 1= y L +4 y L = Somme de deux vecteurs 4.")
![Vérifier que K est le milieu de [GL] Soit M le milieu de [GL] 1 x M = x + x G L 3 1 3 = =0 y M = yg+ y L = 1 = 1 Or K ( 0; 1 ) donc K=M et K est le milieu de [GL]. M ( 0; 1 ) EXERCICE 4 1.](/docs-images/84/89228614/images/6-1.jpg "Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC puis AD= AB+ AC A(-1;1) B(;3) C(3;-) AB(x B x A ; y B y A ) AB(+1;3 1) AB(3;) AC(xC x A ; y C y A ) AC(3+1; 1) AC(4; 3) AD= AB+ AC(+1; 3) AD(7; 1).")
6 3. Calculer les coordonnées du symétrique L de A par rapport à G G est donc le milieu de [LA]. x G = x +x L A 1 3 = x +1 L x L = 1 3 y G = y L + y A L ( 1 3 ; ) 1= y L +4 y L = Somme de deux vecteurs 4. Vérifier que K est le milieu de [GL] Soit M le milieu de [GL] 1 x M = x + x G L = =0 y M = yg+ y L = 1 = 1 Or K ( 0; 1 ) donc K=M et K est le milieu de [GL]. M ( 0; 1 ) EXERCICE 4 1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC puis AD= AB+ AC A(-1;1) B(;3) C(3;-) AB(x B x A ; y B y A ) AB(+1;3 1) AB(3;) AC(xC x A ; y C y A ) AC(3+1; 1) AC(4; 3) AD= AB+ AC(+1; 3) AD(7; 1). Placer dans le repère les points A, B, C et construire le point D EXERCICE 5 1. Soit M(x M ; y M ).Exprimer les coordonnées du vecteur v M = AM+ BM+ CM en fonction de x M et y M A(-3;-) B(4;-1) C(1;4) AM( xm x A ; y M y A ) AM( xm +3; y M +) BM(x M x B ; y M y B ) BM(x M 4 ; y M +1) CM (xm x C ; y M y C ) CM (xm 1: y M 4) v M = AM+ BM+ CM (x M +3+x M 1+x M 1; y M ++ y M +1+ y M 4) v M (3 x M ;3 y M 1) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 6
7 Somme de deux vecteurs. Calculer les coordonnées du point M tel que v M = 0 v M = 0 { 3 x M =0 3 y M 1=0 {x M = 3 y M = 1 3 M ( 3 ; 1 3) EXERCICE 6 1. Construire le point D tel que OA+ OB= OD puis construire le point E tel que : OD+ OC= OE. Construire le point F tel que OB+ OC= OF puis construire le point G tel que : OA + OF= OG On construit les parallélogrammes : OADB, OCED, OBFC et OBFG. 3. Calculer les coordonnées de D et de E puis F et G. Conclusion? OD= OA+ OB(+3 ; 3+1) OD(5; ) D(5;-) OE= OD+ OC(5+1; +3) OE(6;1) E(6;1) OF= OB+ OC(3+1;1+3) OF(4 ; 4) F(4;4) OG= OA + OF(+4 ; 3+4) OG(6;1) G(6;1) Conclusion G=E donc ( OA + OB)+ OC= OA+( OB+ OC) EXERCICE 7 1. Calculer les coordonnées des vecteurs AB, BC et AC A(-1;-1) B(;3) C(4;) AB(+1;3+1) AB(3 ;4) BC(4 ; 3) BC(; 1) AC(4+1;+1) AC(5 ;3). Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme ABCD est un paralélogramme si et seulement si AB= DC DC(4 xd ; ) AB(3 ;4) On obtient : { 4 x D =3 =4 { x D = 1 = D(1; ) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 7
8 Somme de deux vecteurs 3. Calculer les coordonnées de CE EA et CA A(-1;-1) C(4;) E(5;-1) CE(5 4; 1 ) CE(1; 3) EA( 1 5; 1 1) EA( 6 ;0) CA( 1 4; 1 ) CA( 5; 3) Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés Page 8
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