16 Produit scalaire dans l espace

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1 16 roduit scalaire dans l espace Manuel Repères p.294. Objectifs : Savoir calculer et utiliser le produit scalaire de deux vecteurs de l espace Connaître la notion de vecteur normal à un plan, détermination, applications Connaître et savoir utiliser l équation cartésienne d un plan Savoir choisir la forme la plus adaptée entre équation cartésienne et représentation paramétrique suivant les différents types de problèmes Aperçu historique : Voir chapitre roduit scalaire A. Dans le plan On se place dans un repère orthonormal (O; i, j) du plan. ropriété 16.1 (et définition) Soient u(x;y) et v(x ;y ) deux vecteurs non nuls du plan. En notant u = AB, v = CD et C D le projeté orthogonal de CD sur la droite (AB), les définitions suivantes du produit scalaire sont équivalentes : u v = 1 ( u+ v 2 u 2 v 2) 2 u v = u v cos( u, v) u v = xx +yy u v = AB CD = AB C D our tout vecteur du plan, u 0 = 0. = ±AB C D (+ si AB et C D sont de même sens et - sinon) Remarque 16.1 (Conséquence) u u = u 2 = u 2. ropriété 16.2 Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0. ropriété 16.3 La distance d un point A(x A ;y A ) à une droite d : ax+by+c = 0 est égale à ax A+by A +c a 2 +b 2. Attention, le repère orthonormal est obligatoire! 143

2 B. Dans l espace Définition 16.1 Soit u et v deux vecteurs de l espace. On appelle produit scalaire de u par v le réel noté u v égal à : u v = 1 ( u+ v 2 u 2 v 2) 2 Cette définition est cohérente avec celle du plan et heureusement car deux vecteurs sont toujours coplanaires. Remarque 16.2 (Conséquences) Soit u et v deux vecteurs de l espace. Il existe toujours trois points coplanaires A, B et C tels que u = AB et v = AC. On note H le projeté orthogonal de C sur (AB). On a alors : u v = u v cos( u, v) si ces vecteurs sont non-nuls u v = AB AC = AB AH = ±AB AH (+ si AB et AH sont de même sens et - sinon) u u = u 2 = u 2 ropriété 16.4 Si u(x;y;z) et v(x ;y ;z ) dans un repère orthonormal de l espace alors : u v = xx +yy +zz Démonstration il suffit d écrire u 2 = x 2 +y 2 +z 2, v 2 = x 2 +y 2 +z 2 et u+ v 2 = (x+x ) 2 +(y +y ) 2 +(z +z ) 2 et ensuite de remplacer les normes de la définition de u v par ces expressions et enfin de développer et réduire. ropriété 16.5 (Règles de calculs) our tous vecteurs u, v et w, pour tous réels λ et µ on a : u v = v u u ( v + w) = u v + u w (λ u) (µ v) = (λµ)( u v) Exemple 16.1 Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH est un pavé droit avec AB = AE = 2 et AD = 4. I est le milieu de [AF] et J le milieu de [EH]. 1. Calculer BC IH, BJ FA et JI JG. F I E J G H 2. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de IJG. A D B C Réponses : 1. BC IH = BC BC = 16 (les projetés orthogonaux de I et H sur (BC) sont respectivement B et C). ( ) BJ FA = BE + EJ FA = BE FA+ EJ FA = 0+0 = 0. our JI JG on se place dans le repère orthonormal (A; 1 2 AB, 1 4 AD, 1 2 AE J(0;2;2), I(1;0;1) et G(2;4;2) et donc JI(1; 2; 1) et JG(2;2;0). Finalement, JI JG = 2+( 4)+0 = Grâce au même repère qu à la question précédente, on a : IJ = = 6 et JG = = 8. ) Donc, cos( IJG = 2 48 = 2 4 = ; et donc IJG 106, ). Dans ce repère on a

3 2. Orthogonalité dans l espace Définition 16.2 Deux droites de l espace sont orthogonales s il existe une droite parallèle à l une et perpendiculaire à l autre. Définition 16.3 Deux vecteurs sont orthogonaux si leurs directions sont des droites orthogonales ou si l un des deux est nul. Théorème 16.1 Les vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u v = 0. Démonstration Soient u et v non colinéaires. Soit A un point de l espace et soient les points B et C tels que u = AB et v = AC. Les trois points A, B et C définissent un plan (car un plan est déterminé par trois points non alignés) et dans ce plan, u et v sont orthogonaux ssi u v = 0 A. Vecteur normal à un plan Définition 16.4 On appelle vecteur normal à un plan tout vecteur n non nul dont la direction est orthogonale à. n ropriété 16.6 (Conséquence directe) Deux vecteurs normaux à un même plan sont colinéaires. ropriété 16.7 ROC : Démonstration à savoir refaire Une droite est orthogonale à toute droite d un plan ssi elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Démonstration Soient un plan de l espace et d une droite. Soient d 1 et d 2 deux droites sécantes de. Si d est orthogonale à toute droite du plan, alors elle est orthogonale à d 1 et d 2. Réciproquement, si d est orthogonale à d 1 et d 2, alors on note respectivement v, u 1 et u 2 des vecteurs directeurs de d, d 1 et d 2. On a donc : v u 1 = v u 2 = 0. Soit δ une droite du plan de vecteur directeur u. Les droites d 1 et d 2 sont sécantes donc on peut construire un repère du plan sur leurs deux vecteurs directeurs et ainsi, il existe x et y tels que u = x u 1 +y u 2 (x et y sont les coordonnées de u dans la base ( u 1, u 2 )). Finalement, on a : v u = v (x u 1 +y u 2 ) = x v u 1 +y v u 2 = 0 Donc les vecteurs u et v sont orthogonaux et par suite d et δ sont orthogonales. Remarque 16.3 Un vecteur n est normal à un plan s il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de. 145

4 Conséquence : un plan est entièrement déterminé si on se donne au choix : trois points non alignés du plan; un point du plan et un vecteur normal au plan; un point du plan et deux vecteurs directeurs non colinéaires. Remarque 16.4 : deux plans de l espace sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires ; deux plans de l espace sont orthogonaux si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. 3. Équations cartésiennes Dans ce paragraphe, nous allons déterminer des équations cartésiennes (du type ax+by +cz +d = 0) qui caractérisent certains ensembles de l espace. Elles complètent les systèmes d équations paramétriques que nous avons vus au chapitre 11. On choisira l un ou l autre type d équations selon les exercices, en essayant d obtenir les calculs les plus simples possibles... A. Équations d un plan Théorème 16.2 ROC : Démonstration à savoir refaire Dans un repère orthonormal de l espace : 1) Tout plan admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz +d = 0 où a, b, c et d sont des réels tels que (a,b,c) (0,0,0). De plus n(a,b,c) est un vecteur normal à. 2) Réciproquement, soit (a,b,c) (0,0,0) et d R alors l ensemble des points M(x;y;z) vérifiant ax+by +cz +d = 0 est un plan de vecteur normal n(a;b;c). Démonstration 1) Soit un plan de l espace et n(a;b;c) un vecteur normal à. ar définition, n 0 donc (a;b;c) (0;0;0). Soit A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) un point de. { D après la propriété??, = M E/ AM } n = 0. Alors : M = A M ou (x x 0 )a+(y y 0 )b+(z z 0 )c = 0 En prenant d = ax 0 by 0 cz 0 on obtient l équation annoncée. 2) Réciproquement, soit Π = {M(x;y;z) E/ax+by +cz +d = 0}. On peut toujours trouver trois nombres (x 0 ;y 0 ;z 0 ) tels que d = (ax 0 +by 0 +cz 0 ). Dans ce cas, le point A(x 0 ;y 0 ;z 0 ) Π. En notant n(a;b;c) on a : M(x;y;z) Π ax+by +cz (ax 0 +by 0 +cz 0 ) = 0 a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 AM n = 0 Ce qui équivaut à dire que M appartient au plan passant par A et de vecteur normal n. Théorème 16.3 (admis) Soit (a;b;c) (0;0;0) et d R. L ensemble des points M de l espace dont les coordonnées (x;y;z) vérifient l inégalité ax + by + cz + d < 0 est un demi espace ouvert (i.e : frontière exclue) dont la frontière est le plan d équation ax+by +cz +d = 0. B. Équation d une sphère Théorème 16.4 Soit S la sphère de centre I(a;b;c) et de rayon R. Alors une équation de S dans un repère orthonormal de l espace est de la forme : (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 = R 2 146

5 Exemple 16.2 Déterminer la nature de la surface S d équation x 2 +y 2 +z 2 2x 4y +6z +6 = 0 dans un repère orthonormé (O; i, j, k). M S x 2 +y 2 +z 2 2x 4y +6z +6 = 0 x 2 2x+1 1+y 2 4y +4 4+z 2 +6z = 0 (x 1) 2 +(y 2) 2 +(z +3) 2 = 8 Ainsi S est la sphère de centre Ω(1;2; 3) et de rayon R = 8 = 2 2. Remarque 16.5 Soient a, b et c trois réels et R un réel strictement positif. Dans un repère orthonormé, l ensemble des points M(x;y;z) vérifiant (x a) 2 +(y b) 2 +(z c) 2 R 2 est donc la boule fermée de centre Ω(a;b;c) et de rayon R. 4. Intersections de droites et de plans A. Intersection d un plan et d une droite la droite est sécante au plan : d = {I}. la droite est contenue dans le plan : d = d. la droite est strictement parallèle au plan : d =. I d d d x = 1 t Exemple 16.3 La droite d a pour représentation paramétrique y = 2+3t z = 4, t R. 1. Déterminer l intersection de d avec le plan (O; i, k). 2. Démontrer que d est parallèle au plan (O; i, j). 3. Donner une représentation paramétrique de la droite δ parallèle à d et passant par I(2; 4;0). Exemple 16.4 Démontrer que (AB) est sécante au plan : x+y +z = 1 où A( 1;2;3) et B(1;2; 1). 147

6 B. Intersection de deux plans Q Q lans sécants : Q = d. lans strictement parallèles : Q =. Deux plans peuvent aussi être confondus : l intersection est alors le plan lui-même. Exemple 16.5 Démontrer que les plans suivants sont sécants, déterminer la représentation paramétrique de leur intersection et enfin donner un point et un vecteur directeur de cette droite d intersection. 1 : x+y +z = 3 et 2 : 2x y +2z = 1 Définition 16.5 (Un cas particulier) Deux plans sont dits perpendiculaires si l un des deux plans contient une droite perpendiculaire à l autre plan. ropriété 16.8 Deux plans sont perpendiculaires ssi leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux. C. Intersection de trois plans L intersection de trois plans peut être vide, ou être une droite ou encore être réduite à un point. Exemple 16.6 Dans chacun des cas suivants, déterminer si les trois plans ont un point commun, une droite commune ou une intersection vide, puis caractériser cette intersection. (a) 1 : x 2y 3z = 3, 2 : 2x y 4z = 7 et 3 : 3x 3y 5z = 8. (b) 1 : 2x y +3z = 0, 2 : x+2y +z = 0 et 3 : 3x 4y +5z = 0. (c) 1 : x+y +z = 1, 2 : x 2y +z = 1 et 3 : 3x 4y +3z =