Feuille 1/3. rmation du GP. Exercice 4 : Compressions isotherme et monotherme. Exercice 1 : Influence du chemin de transformation

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1 Suppléent EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille /3 reier rincipe : ransoration ration du G Exercice : Inluence du chein de transoration Une ole de dioxygène, assiilé à un gaz parait de coeicient =,4, passe d un volue = L à la tepérature t = 5 à un volue = L à la tepérature t =.. alculer la capacité therique à volue constant cvol du dioxygène. On donne R = 8,34 J.K -.ol -.. La détente s eectue par un chauage isochore suivi d une détente isothere... Représenter ce chein dans le diagrae de lapeyron... alculer le transert therique et le travail W échangés par le gaz avec l extérieur. 3. La détente s eectue aintenant par une détente isothere suivie d un chauage isochore. 3.. Représenter ce chein dans le diagrae de lapeyron. 3.. alculer le transert therique et le travail W échangés par le gaz avec l extérieur. 4. ue rearque-t-on concernant les soes W+ et W +? Interpréter. Exercice : ransoration cyclique d un G Une ole de gaz parait diatoique ( = 7/5 subit la transoration cyclique constituée des étapes suivantes : - A partir des conditions norales = bar, et t =, un échaueent isobare ait tripler son volue, sa tepérature atteint alors t ; - Une copression isothere lui ait retrouver son volue initial, sa pression est alors ; - Un reroidisseent isochore le raène à l état initial.. Représenter le cycle suivi dans le diagrae de lapeyron.. alculer pour chaque étape, avec trois chires signiicatis, le transert therique et le travail W échangé ainsi que les variations U d énergie interne et H d enthalpie. 3. alculer Wtotal et total sur le cycle coplet, ainsi que Utotal et Htotal sur ce cycle. Exercice 3 : hauage d un G On enere n =, ol d azote, de coeicient =,4 dans un cylindre therostaté à t = 7, eré par un piston obile sans rotteent de section S = c. La pression atosphérique est = bar. On néglige la orce pressante due au poids du piston devant la orce pressante atosphérique.. alculer la hauteur h occupé par le gaz dans le cylindre.. Le piston étant bloqué, on élève la tepérature du therostat à t = 5. alculer le travail W et le transert therique échangés par le gaz. 3. En repartant de l état initial, on élève à nouveau la tepérature jusqu à t, ais en laissant libre le piston. alculer les nouveaux W et échangés par le gaz. Exercice 4 : opressions isothere et onothere Un G est contenu dans un cylindre clos par un piston. La tepérature initiale du gaz est égale à la tepérature extérieure = 93K, sa pression est = at et son volue est = 5L. On néglige le poids du cylindre devant la orce pressante due à l atosphère. Les parois du cylindre et le piston sont de «bons» conducteurs de la chaleur.. On appuie lenteent sur le piston, de anière à assurer à chaque instant l équilibre therique entre le gaz et l extérieur, jusqu à ce que le gaz atteigne la pression = at. alculer le volue inal occupé par le gaz, sa variation d énergie interne U ainsi que le travail W et le transert therique échangés.. On applique d un seul coup une surpression extérieure, par exeple en posant une asse sur le piston, de telle sorte que la pression extérieure passe brusqueent de la valeur à la valeur. On attend qu un état d équilibre therique se réinstaure avec l extérieur. alculer le volue inal occupé par le gaz, sa variation d énergie interne U ainsi que le travail W et le transert therique échangés. Exercice ce 5 : opression suivie d une détente Une ole de G diatoique est initialeent dans les conditions =, bar et t =. On réalise une copression adiabatique réversible de ce gaz, qui diinue son volue de oitié. On note (, t la pression et la tepérature dans cet état. uis on détend de anière quasi-statique et isothere le gaz, de anière à lui aire retrouver son volue initial.. Représenter les cheins suivis lors des transorations dans le diagrae de lapeyron.. alculer et t. 3. alculer la pression inale à la in de la détente. 4. Exprier puis calculer les travaux et les transerts theriques échangés par le gaz lors des transorations. Exercice 6 : Détente brutale d un G Un gaz parait, de coeicient, est contenu dans un cylindre uni d un piston, l enseble étant caloriugé. La pression extérieure est. Dans l état initial, le piston est bloqué et le gaz est coprié sous la pression >, occupant le volue à la tepérature. On libère le piston et on laisse le systèe atteindre un nouvel état d équilibre. On pose x = /.. Exprier la tepérature du gaz à l équilibre, en onction de, x et.. oparer à. 3. Exprier le volue du gaz à l équilibre, en onction de, x et.

2 Exercice 7 : ravail ourni par un opérateur On considère un cylindre horizontal uni d un piston et contenant un gaz, supposé parait, de volue = 5L et de pression = bar. Un opérateur, en agissant sur le piston, réalise une détente quasi-statique isothere du gaz, et double ainsi son volue.. Exprier le travail Wat de la orce pressante due à l atosphère.. En déduire l expression puis la valeur du travail Wop ourni par l opérateur. Exercice 8 : Divers odes de copression On souhaite coprier une ole d un G diatoique initialeent dans les conditions = bar et t =, de anière à réduire son volue d un acteur. On envisage pour cela diérentes éthodes : (qui donnent toutes le êe point d arrivée Méthode : Une copression isothere quasi-statique Méthode : Un chauage isochore suivi d un reroidisseent isobare quasi-statique Méthode 3 : Un ode de transoration représenté dans le diagrae de lapeyron par un segent de droite.. Représenter chacune de ces transorations dans le diagrae de lapeyron.. our chacune des éthodes, exprier puis calculer W et le transert therique échangés par le gaz. Exercice 9 : ylindre à deux copartients Un piston sépare le volue d un cylindre en deux copartients A et B. Les parois du cylindre et le piston sont paraiteent caloriugés. Les deux copartients contiennent la êe quantité de n oles d un gaz parait onoatoique ( = 5/3. Le volue total du cylindre est = 5, L. Dans l état initial, le piston est bloqué de telle sorte que le copartient B a un volue quatre ois plus grand que le copartient A. La tepérature est initialeent la êe dans tout le cylindre et égale à = 88K. La pression initiale dans le copartient A est A = 4, bar. On débloque le piston, qui coulisse sans rotteent jusqu à ce que les deux copartients soient à la êe pression. On esure alors une diérence de tepérature = B A = 3K entre les deux copartients.. alculer la pression initiale B dans le copartient B.. Justiier la relation UA + UB =, où UA et UB sont les variations d énergie interne dans chacun des copartients. 3. En déduire les tepératures inales A et B dans les deux copartients. 4. alculer les volues inaux A et B ainsi que la pression inale dans les copartients. Exercice : Détente D dans le vide d un G Deux récipients de êe volue sont reliés par un ince tube sur lequel est onté un robinet. L enseble est caloriugé. Le robinet étant eré, le récipient ( contient ol d un G de coeicient =.4, à la tepérature t =, sous la pression = bar, et le récipient ( est vide. Le robinet est alors très largeent ouvert, ce qui peret un écouleent gazeux «lent» du récipient ( vers le récipient (. Le robinet est eré dès que les pressions dans les deux récipients deviennent identiques. On note cette pression coune, t la tepérature du gaz restant dans le récipient ( et t la tepérature du gaz transvasé dans le récipient (. On note x la quantité de atière restant dans le récipient (.. Déteriner une relation entre les tepératures t, t, t et la valeur x.. alculer la pression. 3. uelle est la nature de la transoration subie par le gaz restant dans le récipient (? En déduire la valeur de x. 4. alculer les tepératures t et t. Exercice : Replissage d une bouteille vide Une bouteille préalableent vide et de volue est erée. Elle baigne dans l atosphère terrestre à la tepérature = 3K et sous la pression atosphérique = bar. L air est assiilé à un gaz parait diatoique de coeicient caractéristique =,4. La bouteille est ouverte pendant un bre instant ain que l air abiant qui l entoure y pénètre. L air dans le récipient est à la tepérature au oent où sa pression est égale à la pression extérieure. vide Ouverture brève. uel est le systèe eré et déorable à adopter pour traiter le problèe?. oparer les teps de relaxation de l équilibre écanique et de l équilibre therique. Dire pourquoi la transoration que le gaz subit peut être considérés coe adiabatique. 3. La loi de Laplace est-elle applicable pour ce gaz parait? 4. Exprier le travail reçu par le systèe pour que l air entre dans la bouteille. 5.. Déteriner puis calculer la tepérature de l air. 6. uel est l état d équilibre inal du systèe? air

3 Suppléent EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille /3 Exercice : aloriétrie aloriétrie Un caloriètre et ses accessoires (agitateur, theroètre, possède une capacité caloriique. Donnée : ceau = 4,8 J.g -.K -.. Le caloriètre contenant une asse d eau M = 95g d eau à la tepérature t =, on lui ajoute une asse = 7g d eau à la tepérature t = 5,. Après quelques instants, la tepérature d équilibre observée est t = 3,3. En déduire la valeur de la capacité therique du caloriètre. alculer la asse en eau μ équivalente au caloriètre.. Le êe caloriètre contient aintenant M = g d eau à t = 5. On y plonge un échantillon étallique de asse = 5g qui sort d une étuve à t = 95. La tepérature d équilibre est t = 6,7. alculer la capacité caloriique assique oyenne c du étal dans ce doaine de tepérature. Exercice 3 : Méthode électrique On désire esurer la capacité therique totale d un caloriètre et de son contenu (eau et accessoires. On plonge pour cela une résistance chauante R = 5Ω dans l eau du caloriètre (valeur supposée indépendante de la tepérature. On ait circuler un courant électrique d intensité I =,5A pendant t = 3 in, tout en hoogénéisant. On constante que la tepérature de l enseble passe de t = 4 à t = 6. En déduire l expression puis la valeur de. Exo 4 : entilation et cliatisation d un local On souhaite aintenir une tepérature t = en pleine canicule dans un local, de volue = 3 3, l air extérieur étant à t = 4. En êe teps, il aut renouveler l air de la pièce pour aintenir l air respirable. On utilise un systèe de ventilation dont on ixe le taux de renouvelleent à, c'est-àdire que la totalité de l air de la pièce est renouvelé en heure. La pression de l air est la êe à l intérieur et à l extérieur du local.. alculer la asse d air renouvelée en h. On supposera que l air est un G de asse olaire Mair = 9 g.ol -, et on rappelle que R = 8,34 J.K -.ol -.. alculer le transert therique reçu par cette asse d air pour passer de t à t. On donne la capacité therique assique de l air à pression constante c = J.K -.kg En l absence de ventilation et de cliatisation, la tepérature du local passe à t3 = en in. ar un calcul siple, donner un ordre de grandeur de la puissance therique correspondant aux uites theriques, puis de la puissance therique nécessaire du systèe de cliatisation. Systèes quelconques Exercice 5 : Elévation de de reins à disque Une autoobile de asse M = 836 kg roulant à la vitesse v = 7 k.h - s arrête brusqueent à l aide de ses quatre reins à disques. En assiilant ces derniers à des cylindres de rayon r = c et d épaisseur h = c, de asse voluique μ = 8 g.c -3 et de capacité therique assique c =,4 J.g -.K -, calculer leur élévation de tepérature θ, en supposant que toute la chaleur est absorbée par les disques. Exo 6 : opression isothere d un gaz de DW On considère une ole d azote, obéissant à l équation d état, a + ( b = R avec a =,3 SI et b = 3,8. -5 SI. Son énergie interne a pour expression U = a. Le gaz occupe initialeent le volue = 5L à la tepérature = 3K et on le coprie de anière isothere quasi-statique jusqu au volue =,5L.. alculer les pressions initiale i et inale du gaz.. alculer le travail W et la quantité de chaleur échangés par le gaz avec l extérieur au cours de la copression. Exercice 7 : epérature d un conducteur ohique Une résistance électrique R, de capacité therique, est placée dans l air de tepérature. Lorsque la tepérature de la résistance est >, on adet que la quantité de chaleur δ perdue pendant une durée dt est donnée par la loi de Newton : δ = a( -dt, où a est une constante positive. A la date t =, la résistance étant à la tepérature, on ait passer dans la résistance électrique un courant d intensité I constante.. uelle est la diension de la constante a?. En aisant un bilan énergétique sur une durée dt, établir l équation diérentielle vériiée par (t. 3. Identiier la constante de teps τ du phénoène ainsi que la tepérature atteinte au bout d une durée t >> τ. Exercice 8 : hauage d un bâtient Un bâtient, de capacité therique = 7,6. 7 J.K -, est chaué à la tepérature uniore = 93K par un chauage central de puissance = kw constante, la tepérature extérieure étant égale à = 63K. On suppose que la quantité de chaleur δ perdue par le bâtient de tepérature pendant la durée dt s écrit : δ = a(-dt, où a = 7,9. -5 s -.. A la date t =, le chauage est arrêté. En raisonnant sur un intervalle de teps dt, établir l équation diérentielle vériiée par (t.. En déduire la tepérature du bâtient après t = 3h. 3. La tepérature du bâtient étant, on reet le chauage en arche. Exprier puis calculer la tepérature théoriqueent atteinte au bout d une durée «très grande». 4. alculer la durée t au bout de laquelle le bâtient aura retrouvé sa tepérature initiale.

4 Méthodes de esure de gaa Exercice 9 : Mesure de Méthode de Rückhard Le chap de la pesanteur est uniore et d intensité g. Un gaz parait diatoique occupe le volue d un récipient suronté d un tube de verre vertical de aible section S. A l instant t =, une bille d acier de asse est lâchée sans vitesse initiale dans le tube et eectue des oscillations de grande aplitude autour d une position d équilibre. La bille étallique de diaètre très voisin de celui du tube se coporte coe un piston étanche. Les rotteents luides et solides sont négligeables. Au cours des oscillations, les valeurs à l instant t de la tepérature et de la pression du gaz sont réparties unioréent. La position de la bille est repérée par sa cote z sur l axe vertical descendant d origine O à la partie supérieure du tube. A l instant t =, le gaz parait occupe le volue initial de l enseble constitué par le récipient et le tube dans sa totalité (z =, sa pression initiale est la pression atosphérique et sa tepérature initiale. L intensité de la orce de pression exercée sur une deisphère de rayon r par un ilieu de pression uniore est : F = π r = S La transoration subie par le gaz eneré dans l enceinte adiabatique (le volue du récipient est grand pour rendre négligeables les échanges de chaleur avec l extérieur et quasistatique. Le rapport des capacités theriques est supposé constant aibles : =. Les écarts suivants sont ininient et. En appliquant le principe ondaental de la dynaique, établir l équation du ouveent de la bille supposée ponctuelle en onction de,,, g S et de dérivées successives de z par rapport au teps. En déduire la pression à l équilibre eq dans le récipient en onction de,, g et S.. Enoncer la loi de Laplace relative au couple (, et rappeler les conditions de validité de cette loi. Ecrire la relation traduisant la loi de Laplace sous sa ore diérentielle. 3. En déduire l expression du diérentiel de pression - en onction de,, S, et z. 4. Montrer que l équation diérentielle du ouveent vertical de la bille est : d z dt + ω z = g Exprier ω en onction de,,, S et. En déduire la position d équilibre zeq de la bille et la période propre θ de ses oscillations par rapport à cette position d équilibre. Exprier littéraleent le coeicient en onction de θ,,,, et S puis calculer sa valeur. Données : = 93K, =,. 5 a, = L, θ =,s, S =,. -4, =,6. - kg, g = 9,8.s -. O z bille étallique M( capteur de pression Exercice : Méthode de léent et Désores Un ballon de volue counique par l interédiaire d un robinet avec l atosphère extérieure où la tepérature est et la pression. Un capteur de pression diérentiel peret de suivre la pression à l intérieur de l enceinte : la tension lue est proportionnelle à la diérence de pression entre le gaz et le ilieu extérieur. A l instant initial t =, le ballon contient n oles d un gaz diatoique supposé parait de coeicient constant. e gaz à la tepérature = est à une pression initiale légèreent supérieure à la pression atosphérique : = + avec Dans l état initial (, le capteur indique 3,5. On ouvre le robinet pendant une durée très courte : n oles de gaz s échappent du ballon, la pression dans le ballon passe rapideent à la valeur = iposée par l atosphère extérieure et sa tepérature prend la valeur : = + avec Au cours de ce bre processus ( (, le transert therique avec l extérieur est quasi-nul et l évolution est écaniqueent réversible car la surpression est aible à l intérieur du ballon. A l issue de la phase ( (3 qui dure quelques inutes après la ereture du robinet, le gaz contenu dans le ballon est revenu à l équilibre therique avec l atosphère extérieure 3 = et la pression 3 du gaz vaut : = + avec Dans l état inal (3, le capteur indique,9. Les variations de pression et de tepérature sont aibles devant et.. En choisissant pour systèe le gaz qui reste dans le ballon, représenter en exagérant les variations de volue et de pression des états (, ( et (3 dans le diagrae de lapeyron.. Enoncer la loi de Laplace relative au couple (, et rappeler les conditions de validité de cette loi. Ecrire la relation traduisant la loi de Laplace sous sa ore diérentielle. En déduire la relation = 3. ar exploitation de l équation d état au cours du processus ( (3, établir une relation entre 3,, et. En déduire l expression de en onction des diérences de pression et 3. alculer. 4. Montrer que l exploitation de la orule de Reech : χ = (avec χ = et χ χ = les Air Robinet capteur de pression = coeicients de copressibilité peret d exprier directeent par lecture du diagrae de lapeyron l expression de en onction de et 3.

5 Suppléent EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille 3/3 Second principe Exercice : ontact therique de deux solides Deux solides S et S, de capacités theriques respectives et, sont initialeent aux tepératures uniores respectives et. Ils sont is en contact dans un caloriètre de capacité therique négligeable par rapport à celles des solides.. Déteriner la tepérature d équilibre eq du systèe constitué par le caloriètre et les deux solides.. Exprier la variation d entropie S de ce êe systèe. 3. Déteriner le signe de S dans le cas particulier où = =. oenter. Exercice : ontact d un gaz avec un therostat Une ole d héliu, assiilé à un gaz parait, est contenue dans un récipient indilatable aux parois diatheranes (laissent passer la chaleur, à la tepérature initiale = 3K. Le récipient est alors plongé dans un therostat de tepérature = 73K. Déteriner puis calculer la variation d entropie S du gaz entre l état initial et l état d équilibre therodynaique inal, ainsi que l entropie échangée Se et l entropie Sc. Exercice 3 : aloriétrie solide + eau Des petites billes de verre de asse totale = 5g sont placées dans un our aintenu à une tepérature t = 8. Elles sont ensuite plongé dans un caloriètre contenant une asse = g d eau à la tepérature t =. Les transerts theriques s eectuent à l intérieur de l enceinte adiabatique constituant le caloriètre sous la pression atosphérique.. alculer la tepérature d équilibre inale.. Déteriner la variation d entropie du verre et l entropie dans le caloriètre. Données : On donne les capacités theriques concernées Eau (assique : c = 4,8 J. K. g eau erre (assique : c = 8,7. J. K. kg verre aloriètre : = 5 J. K Exercice 4 : Eet Joule et création d entropie Un conducteur ohique de résistance électrique R indépendante de la tepérature est placé dans l air abiant à la tepérature supposée constante, et est traversé par un courant électrique d intensité I. En régie peranent, les onctions d état relatives au conducteur ohique sont indépendantes du teps.. Appliquer le er rincipe de la therodynaique au conducteur ohique. En déduire la chaleur reçue par le conducteur avec le ilieu extérieur en onction de la durée dt de l échange, de R et de I.. Appliquer le second principe. En déduire l expression de la production d entropie par unit de teps dans le conducteur ohique. Exercice 5 : ransoration n isothere d un G Une ole de gaz parait est placée dans un cylindre vertical de section S et de grande hauteur, eré par un piston obile sans rotteent. Le cylindre aux parois diatheres (qui laisse passer la chaleur est plongé dans un therostat de tepérature uniore et constante. A l instant initial, le gaz est en équilibre therodynaique avec le ilieu extérieur, sa pression est notée. On ajoute très progressiveent des asselottes sur le piston, jusqu à ce que la asse inale déposée soit égale à M. On ait alors l hypothèse que la transoration subie par le gaz est isothere.. Déteriner la pression du gaz dans son état d équilibre inal.. Exprier la variation d énergie interne, le travail W et le lux therique lors de cette transoration, en onction de, et. 3. Exprier la variation d entropie du gaz, l entropie échangée puis l entropie lors de cette transoration. oenter. Est-ce conore à la réversibilité? 4. A partir du êe état initial, l intégralité de la asse M est ajoutée brutaleent ; la pression extérieure exercée sur le piston est supposée suivre une onction échelon ( avant t =, et après, puis la tepérature s équilibre avec l extérieur. Exprier la variation d énergie interne, le travail W et le lux therique lors de cette transoration, en onction de, et. 5. Exprier la variation d entropie du gaz, l entropie échangée puis l entropie lors de cette transoration. racer la courbe de ces onctions. oenter. Exercice 6 : hauage «plus ou oins réversible» Une asse = kg d eau, à la tepérature initiale θ = est ise en contact avec un therostat à la tepérature θ = 8. Donnée : c = 48 J.kg -.K - la capacité therique de l eau.. alculer l entropie Sc pour l eau lors de son réchauage.. On recoence l expérience en utilisant un therostat interédiaire à la tepérature θ = 5. alculer à nouveau l entropie Sc pour l eau. 3. Est-il possible de réchauer réversibleent de l eau? Si oui, coent aut-il s y prendre? Exercice 7 : Bilan entropique Un G de coeicient =,4 est initialeent dans les conditions = bar, = L, et t =. On réalise une transoration qui aène ce gaz à la tepérature t = 5 et le laisse au volue = = L.. Exprier puis calculer la variation d entropie S de ce gaz au cours de la transoration.. Sachant que la transoration est isochore et qu elle a lieu par ise en contact avec un therostat à la tepérature t = 5, calculer l entropie échangée S, et l entropie Sc.

6 Exercice 8 : Détente de Joule Gay Lussac Un récipient de volue constant, à parois adiabatiques et rigides, est divisé en deux copartients de volues respectis et égaux (L séparés par une vanne. A l état initial, le copartient de gauche dont le volue est contient n oles d un gaz en équilibre interne à la tepérature et l autre copartient est vide. La vanne est actionnée à distance par l interédiaire d un électroaiant de açon à aire couniquer les deux copartients : le gaz atteint alors un nouvel état d équilibre therodynaique interne à la tepérature F. Une telle détente peut servir à ettre en évidence le caractère parait d un gaz, ou de esurer des coeicients caractéristiques. GAZ,,. En considérant que l énergie interne des parois ne varie pas au cours de cette détente, ontrer que la transoration du gaz est isoénergétique : elle s eectue à énergie interne constante quelle que soit la nature du gaz.. Montrer que la variation d entropie du gaz s identiie à l entropie S au cours de la transoration. 3. Le gaz est supposé parait et onoatoique. 3.a Rappeler les propriétés d un G, l expression de son énergie interne olaire U et de sa capacité therique isochore olaire. 3.b Un gaz parait obéit-il à la preière loi de Joule? 3.c uelle est la tepérature inale dans les deux copartients? 3.d Montrer que le gaz occupe tout le volue qui lui est accessible. uelle est la variation SG du gaz parait au cours de cette transoration? Faire une AN pour une ole du gaz parait. e résultat est-il conore au second principe de la therodynaique? 4. Le gaz subissant la détente est aintenant un gaz de an Der Waals ayant pour équation d état : a + ( = b R n a L énergie interne d un tel gaz s écrit U = n + U, avec U et =,4 J. K. ol des constantes. ide GAZ 4.a e gaz obéit-il à la preière loi de Joule? ue représentent chacun des teres de l expression de U? 4.b alculer le coeicient de Joule Gay Lussac µ GL = dans le cas d un gaz de DW, puis dans U le cas d un G. uel est son sens physique? ue constate-t-on? 4.c Montrer que la esure de la variation de tepérature peret d accéder à la valeur du coeicient a de l équation de an Der Waals. alculer a en considérant le reroidisseent d une ole de gaz = = 5,4K 4.d uelle est la variation d entropie S DW du gaz au cours de cette transo? Exercice 9 : Détente de Joule-hoson Un luide s écoule dans une canalisation caloriugée en présence d un étrangleent (ou d une paroi poreuse qui a pour rôle de réduire la pression en aval (par rotteents. On considère qu un régie peranent est atteint. On note et les tepérature et pression en aont, et (< et en aval. L écouleent est suisaent lent pour que l on puisse négliger la vitesse d enseble du luide en tout point de l écouleent. uestions / / 3 : oir D 4. La chaleur δ rév échangée avec l extérieur par une ole d un luide hoogène quelconque au cours d une transoration éléentaire réversible s exprie, en onction des variables indépendantes et, à l aide des coeicients caloriétriques olaires et k, tels que : δ rév = d + k d En déduire le coeicient de Joule-hoson µ J = en H onction du volue olaire et des coeicients caloriétriques olaires et k. uel est l intérêt d introduire un tel coeicient? 5. La détente est subie par une ole d un gaz réel de DW (êe équation que dans l exercice 8. Les constantes a et b sont des caractéristiques du luide. Elles igurent sur le tableau suivant avec les tepératures de liquéaction, de solidiication, et d inversion. Gaz FLUIDE, oeicients inversion liquéaction solidiication 3 a 5 b K K K N 3 3, ,8 77,3-95,8 63,3-9,7 H 4,8, ,,4-5, Superluide à He 3,44,37 3,6-49,5 4, -68,9,6K 3 a L énergie interne olaire de ce gaz s écrit U = R + U 5.a Montrer que le produit peut se ettre sous la ore approchée : = R a + b 5.b En déduire l expression approchée de l enthalpie olaire = H R b a R U du gaz : ( aroi oreuse 5.c Déteriner les grandeurs olaires et (k + en onction de a, b, R, et. 5.d Exprier le coeicient de Joule-hoson μj d un gaz de DW en onction de R, a, b, et, puis déteriner la tepérature d inversion, i de l eet Joule-hoson pour laquelle μj =. alculer sa valeur pour les 3 gaz cités plus haut et coparer les résultats aux données expérientales (Données à la pression atosphérique. 5.e Dans quelles conditions la détente de Joule-hoson peret-elle de reroidir le luide? uel est le gaz que l on peut reroidir à des tepératures usuelles? roposer une éthode perettant d obtenir successiveent les liquides cryogéniques pour aboutir à l héliu liquide ( = 4K. est grâce à une éthode de ce type que Kaerlingh et Onnes ont réussi pour la preière ois en 98 à atteindre la liquéaction de l héliu à 4,K. FLUIDE,

7 SOLUION des EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille /3 er er rincipe : ranso du G Exercice : Inluence du chein de transoration. D après Mayer R = = =,8 J. K. ol n. hauage isochore + Détente isothere... Diag : isochore verticale / isothere en = cstte/... ranso isochore AB : = U = n = 559 J AB AB ranso isothere B : U = = W B B B Ainsi : B ext ( = d = d = nr ln = 5 J (La transo doit être supposé écaniqueent réversible Et = AB + B = n + nr ln = 378 J ravail W = W AB + WB = nr ln = 5 J 3. Détente isothere + hauage isochore. 3.. Diag : descend en cstte/ puis reonte vertical. 3.. On adapte les variables : = + = nr ln + n = 376 J ( = + ( AD DB ravail W W W AD D = nr ln = 77 J 4. On rearque que W+ = W + = U, ce qui est noral car U est une onction d état (décrit l état d un systèe, donc sa variation ne dépend donc pas du chein suivi, ais seuleent des points initiaux et inaux U = Uin Uini. Exercice : ransoration cyclique d un G. Diag : horizontal vers la droite cstte/ vers le haut/gauche vertical descendant revenant en (,. nr = H = = ( = 5,9 kj. Isobare : W = = = nr = 4,5 kj nr U = = ( =,3 kj Isothere : U = H = = W W = ext d = nr ln ( = 7,5 kj nr U = (,3 = = = kj Isochore : W = nr H = = ( = 5,9 kj 3. ycle coplet : Exercice 3 : hauage d un G W = W + W + W3 = 3 kj = = 3 kj U = H = ( cycle. On a nr nr = hs h 5c = = S =. W =. iston bloqué Isochore :. nr = U = = = 47,8 J nr 3. iston libre Isobare : = = = 66,9 J W = U = U = 9, J (ar l énergie U inale est la êe dans les cas, ne dépend que de la tepérature pour un G loi de Joule Exercice 4 : opressions isothere et onothere. Evolution du G isothere : = =, 5L, U =, ext ( W = d = d = nr ln = 66 J (On rappelle que at =,3bar = 3 ha et = -W.. Evolution onobare et onothere du G, ais après équilibre, on a êe n, êe, et êe, donc = =,5L, U = (ne dépend que de et W = ext d = = 4558 J et encore = -W Exercice 5 : opression suivie d une détente. Diag : adiabatique réversible en cstte/, puis isothere en cstte/ (oins pentu, inal > initial. = cstte = =. G en adiab. rév : ( Ainsi =,63bar et = = = = 385 K nr (ou t = 73 = 3. Après isothere : = = = =,3 nr bar 4. ranso adiab réversible : =, et puisque la transo est W ext d d d. W = nr 945 J = = W= d = d =nr ln éca réversible = = = Et : rano isothere : ext ( e qui donne W = nr ln( = 7 J = Exercice 6 : Détente brutale d un G. ranso onobare : W = - = - (-, et er nr principe : U = W + = = ( nr = nr x = Ainsi : ( ( ( + ( Et : x =. nr + x = = x 3. olue ( >

8 Exercice e 7 : ravail ourni par un opérateur W = = = J. ravail : ( at 5. Et on a U = (isothere / G / loi de Joule et la transo peut être supposé écaniqueent réversible (très lente, d où W = ln ( ln ( total d = d = nr =nr ext Et W = W W = ln( = 53J op total at ( Exercice 8 : Divers odes de copression Méthode : opression isothere, courbe en cstte/, on a Et ( ( ( W = d = d = nr ln = nr ln Méthode : ext i = W = nr ln = 688 J car U = ela nous donne à l EF une pression =. hauage isochore (vertical + Reroidisseent + W = isobare (horizontal W W iso = ( iso i Et W = = nr = 435J. Sur l enseble, on a U =, donc = W = 435J Méthode 3 : courbe : On calcule Segent de droite On prend l aire sous la W = W = = nr = 86 J et = -W 4 4 Exercice 9 : ylindre à deux copartients. On a G en évolution adiabatique non réversible. A l état A B = = 6bar initial : nr = = A Ai B Bi 4 Bi = 4 Ai A n = = ol 5R. Systèe des deux G isolé Utotal = UA + UB =. = A + B = 5L nr nr nr A A B B A B nr ( A + B nr Ainsi : = = = 9,57bar, et : = + = 5L A B nr ( B A ( B A B A = B = = ( B A Et B = =,94L A = B = 3,4L A = A nr = 35K B = B nr = 3K 3/4. EF : Finaleent : B = B nr ( A + B = = A A ( B A = ( B A ( = ( + = Exercice : Détente dans le vide d un G. Bilan d énergie sur le systèe total isolé : xr ( x R Utotal = U + U = ( + ( x + x = Ainsi : (. ression =nr = =,5bar 3. ranso adiabatique réversible (si l évolution est vraient très lente, et puisque l on peut considérer le volue initial coe étant x (le gaz occupe une portion x du volue, x x cela donne : ( = = = =,6. 4. On a aussi Laplace pout la tepérature : ( x = ce qui donne = x = = = 49 x x et ainsi = = = 77 x x ( ( On rearque que d un coté la baisse (coté détente, de l autre elle onte (coté copression, alors que la détente devrait isoénergétique donc à constante. est ce vers quoi va tendre le systèe après un teps de relaxation, =. Exercice : Replissage d une bouteille vide. Systèe = air qui va entrer dans la bouteille + vide déjà contenu dans la bouteille : volue initial = +, volue inal =.. eps de relaxation écanique plus aible que celui therique. La transoration sera brutale (détente dans le vide, les transerts theriques n ont pas le teps de se aire transo adiabatique. 3. Loi de Laplace non applicable car transo irréversible W = d = = nr 4. ravail : 5.. Appliquons le er principe sur le systèe air + vide : nr Utotal = Uair + U vide = W + = ( = nr Ainsi : = = 4K 6. Etat d équilibre inal : après les transerts theriques qui vont s établir à travers la paroi du verre : F = = 3K, Le bouteille est erée directeent, donc la quantité qu elle contient reste constante : qui donne = =,7 F = nr = nr = nr = nr F F bar ression Air / ide, ce

9 SOLUION des EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille /3 Exercice : aloriétrie aloriétrie. Bilan d enthalpie à pression constante sur le systèe eau + caloriètre isolé : H = H + H + H = = total M eau µ eau + + = Donc : c ( t t ( M c ( t t Et : ( t t µ = M =,5g, µ ( t t = c = 94 J. K. Mêe bilan enthalpique à pression constante : H = H + H + H = = total M solide Ainsi : ( M µ c ( ( eau t t csolide t t eau + + =. On a pris une capacité du étal constante ( M ' + µ c ( t ' t ' eau c = csolide = = 445 J. K. kg ' t ' t ' ( Exercice 3 : Méthode électrique Bilan enthalpique à constante = (pression abiante : Htotal = Heau + Hal = uite Ainsi : = RI t et + = Joule RI t RI t = = 4,4 kj. K Exo 4 : entilation et cliatisation d un local. En heure, il aut renouveler l air de toute la pièce : = M = 357kg R. haleur reçue à constante = = 7,4 p c MJ 3. Fuites theriques : on ait un bilan dans le cas où la cli est éteinte, il ne reste que les uites : c H = c = = t = =,6kW total uite uite uite t La cliatisation devra donc copenser le renouvelleent de l air et les pertes theriques : = + =,98 kw +,6kW,6kW LIM uite t Systèes quelconques Exercice 5 : Elévation de de reins à disque Bilan d énergie : L énergie cinétique de la voiture E =,5.Mv se transore intégraleent en chaleur dans les disques : = = H θ π r hµ c θ Mv Elévation de tepérature : θ = = 58K = 58 π r hµ c Attention au diensionneent des disques!!! Exo 6 : opression isothere d un gaz de DW. ression initiale : R a 5 = = a = bar b ression inale : R a 5 = =. a = bar b. ravail : Ainsi : nr n a W = d = d = d ext On intègre : W nr ( nb nb = + ln n a nb W = nr ln n a 77 J + = nb a nb = U W = W = nr ln 737 J = nb Et Exercice 7 : epérature d un conducteur ohique. Diension : [a] = - (en secondes, car en J.K -. Bilan énergétique : (reier principe à constant R Joule ( dh = δ + δ = a dt + RI dt = d. d RI Ainsi : + a = + a dt 3. onstante de teps τ = /a et Exercice 8 : hauage d un bâtient total chau = + RI a. reier principe sur le bâtient à constante : dh = δ + δ = a ( dt = d uite d a a e dt Ainsi : + = = + (. Après 3h, on aura ( a t 73 at = + e = K. dh = dt a dt = d 3. Nouveau bilan : ( total d Ainsi : + a = a + = + = 98K dt a 4. Durée au bout de laquelle le bâtient aura retrouvé sa tepérature initiale : On a at = + + e a λ I : ( t = = = + + a λ λ = at Et ( e t ln = + = 5 h = a

10 Méthodes de esure de gaa Exercice : Mesure de Méthode de Rückhard. Forces : oids : = g e z Réactions s annulent : R = dr = ression extérieure : F = S e ext z ression intérieure : F = + S e int FD : ɺɺ = + ( z g z S g = z = + S A l équilibre : FS eq ( eq. Loi de Laplace pour un G en transo adiabatique = réversible : cstte Fore diérentielle : on diérencie le ln (plus siple car d d sépare les variables + = 3. Les variations sont aibles : et, et d = -Sdz. Ainsi : d Sdz = et Sz = + cstte. S z = = = cstte = z Et : ( 4. Eq di : S S ɺɺ z + z = g = ω = g S = ω + = Equilibre g z ɺɺ eq z ω ( z zeq π π ériode propre : θ = = ω S On en déduit le coeicient = 4 =,3 π S θ z + = = + + On divise : 3 (avec un DL, = = D où : 3 Et 3 uisque la tension est proportionnelle à la pression, on obtient directeent 3,5 = = =,35 3, 5,9 χ χ 3 4. Forule de Reech : = avec de copressibilité isothere et χ = χ = de copressibilité adiabatique réversible. Ainsi : χ = _ = = = = χ _ = = le coe le coe pente adiabatique pente isothere On calcule ce rapport de pente au point coun (, de anière approchée : (éthode beaucoup plus rapide χ ( + = = = + + χ ( ( 3 3 Exercice 3 : Méthode de léent et Désores. ( ( : Adiabatique réversible, ( (3 : isochore Et les états ( et (3 appartiennent à la êe isothere. isos iso (3 iso (. Loi de Laplace pour un G en transo adiabatique réversible : = cstte Fore diérentielle : on diérencie le ln (plus siple car d d sépare les variables + ( = Les variations étant aibles, et et on peut intégrer : + ( = = ( = nr = nr ( + 3. On a. ( 3 ( + 3 = nr (

11 SOLUION des EXERIES H3 / H4 reier et Second rincipes Feuille 3/3 Second principe Exercice : ontact therique de deux solides. Bilan d enthalpie à constant : (caloriètre négligeable Htotal = H + H = = + Et : + = eq + du p d d. Identité therodynaique : ds = + = (ar solide incopressible/indéorable et Donne eq eq S = ln + ln 3. Si = =, alors eq S = ln > Irréversible. Exercice : ontact d un gaz avec un therostat our un G, on a : S = ln nr ln + i i Donc ici nr S = ln ln,8 J. K = = i i Echangée : ech nr Se = = = =,3 J. K ext Et : S = S S =,5 J. K Irréversible c Exercice 3 : aloriétrie solide + eau e. Bilan d enthalpie c verre + ( c eau + 97, 4, + + verre eau ( K c c du p d d. hase condensée : ds = + = Sverre c verre ln = 7, 5 J. K De êe : S eau + cal ( c eau + ln = 8, J. K Enseble isolé, donc : S = S = S + S totale eau + cal verre Stotale = c eau + + c verre = J K ( ln ln,6. Exercice 4 : Eet Joule et création d entropie. er principe en régie peranent, donc H est constante, la tepérature est constante : ech Joule ech = = + = + = dh δ δ δ RI dt ech ech δ. Bilan de S : ds = = δs + δs = + δs = Ainsi : La production d entropie RI δ S = dt > Exercice 5 : ransoration isothere d un G Mg. Equilibre écanique inal : = + S. ranso isothere : U = W + =, donc = -W, Et le travail d δ W = extd = d = nr, car il y a à tout instant équilibre écanique avec l extérieur (transo éca réversible : W = nr ln = nr ln, 3. Entropies : ech ech ech S = S + S = S S + = + Avec l identité thero : du d d nrd ds = + = = ext Et ainsi, on a bien S = nr ln = nr ln = ech RANSFO REERSIBLE car S = S S = 4. Si la transoration est brutale : MONOBARE = cstte = Alors W = = ( = W = nr U est encore constante (car ne dépend que de, identique à l EI et l EF, donc = -W. 5. Entropie : S = onction d état Ne dépend pas de la transoration envisagée, on a donc la êe variation S = nr ln, ais on n a plus la réversibilité. ech S = = nr On vériie : ech S = S S = nr ln > réation d entropie : racer pour voir l écart à la réversible Exercice 6 : hauage «plus ou oins réversible». Entropie θ S = S S = ln = 68, J. K c. c c c θ θ θ θ e θ θ θ θ θ θ θ θ S = S + S = ln + ln D où S = 35, J. K lus proche de la réversibilité c 3. our garder la réversibilité, il audrait avoir équilibre therique à tout instant avec l extérieur, donc un therostat dont évoluerait en êe teps que la tepérature du systèe Exercice 7 : Bilan entropique nr. S = ln + nr ln θ =,83 J. K ech nr S = = =,79 J. K. Et ech nr S = S S = ln =,4 J. K > (

12 Exercice 8 : Détente de Joule Gay Lussac. Systèe (gaz + vide theriqueent isolé et de volue constant : = + = U W isoénergétique. ariation d entropie : S = ext S + = 3. Le gaz est supposé parait et onoatoique. S 3.a Energie olaire U = 3 R, U 3 = R = 3.b ère loi de Joule valable pour G : U ne dépend que de 3.c inale = initiale, car pas de changeent d énergie 3.d Entropie : (à partir de l identité therodynaique S = ln + nr ln = nr ln = nr ln = 5,7 J. K > Entropie axiale (état le plus stable si le volue est axial, donc le gaz va occuper OU le volue L entropie augente : onore au nd rincipe 4. Avec le Gaz de DW 4.a ère loi de Joule? NON, car ne dépend pas que de. eres : U = n = agitation therique habituelle n a : correspond à la pression oléculaire, donc à l interaction à distance entre les olécules. Il s agit de l énergie potentielle d interaction ( diinue, E augente, plus d interaction U : L énergie est toujours déinie à une constante additive près. 4.b oe de Joule Gay Lussac : uisque n a = U + U n Alors na µ GL DW = = < U Et on retrouve bien µ = _ GL _ G Sens physique : peret d évaluer la variation de tepérature du gaz qui subit la détente isoénergétique. On constate que le coe est négati le gaz se reroidit. En ait, diinue pour copenser la perte d énergie d interaction due à la détente n a U = n + U (puisque U est constant et augente 4.c A U constante (toujours le cas : na d d = et na na = = : + D où = a. AN : a =,34 J.. ol n 4.d ariation d entropie S DW : avec l identité thero Ep d n a ds = n + + d n a U = nd + d D où (avec l eq de DW : r 3 d R d d nr d ds = n + = + ( n b S = n + ln ln nr ( nb ( nb d ( nb ( n + nb nb b Exo 9 : Détente de Joule - hopson (ou Kelvin. U = W + =, ( AA ' BB ' H = U + = U + = BB ' AA '. Détente : Adiabatique / Irréversible (rotteents qui ralentissent le gaz dans l étrangleent / Isenthalpique 3. Le gaz supposé parait et onoatoique. 3.a U = 3 nr, H = U + = 5 nr, H 5 = = R 3.b nde loi de Joule : H ne dépend que de : dh = d, ce qui nous donne tout sipleent =. ravail des orces pressantes : On a aussi U = (car U ne dépend que égaleent, Donc : U = W = =. AA' BB ' ravail de transvaseent est aussi nul ds cette détente. dh d nr d 3.c Identité therodynaique : = = Ainsi A A B B Σ(t aroi Σ(t+dt ds. SG = nr ln = + nr ln > réation d entropie OMRESSION de Joule- hoson ipossible car diinution d entropie. 4. uisque dh =, on peut écrire d après l identité thero dh = δ rév + d= d + (k + d Et ( k + µ = J = H Si μj >, alors est une onction croissante de, la détente s accopagne d un reroidisseent du gaz Si μj <, alors est une onction décroissante de, la détente s accopagne d un échaueent du gaz H 5 ap = R = + > R 5. H a k + = b = R a a µ J = b µ J i = = = H R Rb Annulation de μj : N / 799,8K, H / 4K, He / 34,9K, proche des valeurs expérientales Modèle DW assez proche our reroidir un gaz avec cette détente (seuleent pour un gaz, il aut déjà l aener en dessous de sa tepérature d inversion. On ne pourra pas reroidir directeent l héliu. On va coencer par reroidir l air abiant pour obtenir du diazote liquide à 77K, qui va reroidir par contact le H que l on pourra ensuite détendre pour atteindre K et reroidir le He par contact, que l on détendra jusqu à 4K.