Cours MF206 : Ecoulements rampants et laminaires. La cuiller dans le miel *

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1 Cous MF06 : Ecoulements ampants et laminaies Eamen : Vendedi 0 Mas 009 La cuille dans le miel * y po e e h(,t) g R Ω On s intéesse au compotement d une couche mince de luide isqueu (le miel) ecouant un cylinde (la cuille) qu on ait toune de açon à empêche (si possible) le miel de tombe et à atteinde un égime stationnaie où l épaisseu de la couche de luide h(,t) sea constante au cous du temps. Au cous de l eecice, on chechea la masse maimum de luide qu on peut mette su le cylinde tout en estant dans ce égime. On se place dans le cas h(,t) << R. La itesse d écoulement est asse lente et l épaisseu de la couche luide asse lentement aiable pou que l appoimation de lubiication soit alables. On suppose que l épaisseu et le champ de itesse sont inaiants dans la diection O pependiculaie au plan de la igue. On utilise les coodonnées cylindiques (,, ) et on utilisea souent y = R << R à la place de. On appelle ρ la masse spéciique du luide et μ sa iscosité. ) Quelle sea la distibution de pession si on néglige la oce centiuge ainsi que l inluence de la tension supeicielle. Monte soigneusement en s appuyant su les omules données en in d eecice que la composante suiant de l équation de mouement se amène à : Que deient la composante suiant? ν gsin =- ) Que sea le poil de la itesse tangentielle (y) dans la section d épaisseu h() du ilm coespondant à un angle donné (compté à pati de la eticale)? En déduie le débit Q() dans la section en onction de h() et des autes paamètes du poblème ainsi que la itesse à la suace du ilm luide (y = h). 3 ) Ecie l équation de conseation de la masse de luide dans un secteu [,+d] et en déduie que : h h g 3 =-Ω - (h sin ) () t 3νR 4 ) On cheche une solution h() indépendante du temps. Que peut on alos die de Q()? * Ce poblème a été poposé pa K. Moat y ()

2 ENSTA Enseignement de ème année Cous MF06 : Eamen du 0 Mas 009 J-P Hulin et B. Semin Monte qu on doit alos aoi : 3 gh sin Q( )= Ω Rh+ = cst( ) (3) 3ν Que epésente Q? Sans cheche à ésoude eplicitement l équation, détemine pou quelles aleus de on aua des etemas d épaisseu et pou quelle aleu de on aua un minimum. Quelle sea la elation éiiée pa l épaisseu pou = 0 ou = π? Commente ces ésultats. Qu est ce qui détemine le signe de Q? 5 ) En appelant h o la aleu de l épaisseu pou = 0, monte que l équation (3) peut ête mise sous la ome (h/h o ) = α sin où α est une combinaison sans dimension des diéents paamètes du poblème. En taçant la coube (h/h o ), détemine la aleu maimum de h o pou laquelle on poua aoi une solution stationnaie caactéisée pa une aiation continue de h aec. En supposant que h o est de l ode de la aleu moyenne de l épaisseu du ilm, calcule l ode de gandeu de la masse maimum de luide pa unité de longueu du cylinde pou aoi une telle solution stationnaie. 6 ) Que peut on s attende qualitatiement à oi pou une masse plus gande de luide? Equation de Naie-Stokes sans le teme de gaité en coodonnées cylindiques p t ρ + - =- + ν p t ρ + + =- + ν p + = - + ν t ρ Equation de continuité pou un luide incompessible = 0

3 ENSTA Enseignement de ème année Cous MF06 : Eamen du 0 Mas 009 J-P Hulin et B. Semin Ecoulement de Stokes à pati d un oiice dans un plan solide. On cheche à détemine l écoulement stationnaie de Stokes à gande distance à pati d un oiice dans un plan solide P inini. On epésente cet écoulement pa celui céé pa une souce ponctuelle située su le plan à l oigine O des coodonnées (Figue ). On se place en coodonnées sphéiques et on suppose l écoulement de éolution autou de l ae O nomal au plan et adial à pati du point O (seule la composante est donc 0). On suppose la gaité nulle et on appelle ρ et μ la iscosité et la densité du luide qui est supposé incompessible. On se limite au côté > 0 du plan. O y ϕ M P ) Démonte que est de la ome = ( ϕ) en utilisant les epessions données en coodonnées sphéiques à la in de l eecice et les hypothèses de symétie indiquées plus haut. Quelle sea la condition au limites à utilise pou (ϕ). Discute dimensionnellement ce que dea ête la aiation de p en onction de et μ. On appellea dans la suite p la limite de la pession losque en la supposant indépendante de ϕ et. ) Ecie les composantes de l équation de mouement dans le cade des hypothèses pécédentes en utilisant les omules en coodonnées sphéiques données à la in de l eecice; calcule de deu manièes la pession p(ϕ,) à pati de ces composantes et en déduie (en supposant p = 0) que : μ " ' ( ) (, ) cotan μ p π + ϕ = ϕ + () π Quelle doit ête alos la aiation de p(, ) et de p(ϕ,) en onction de? Compae au ésultat du ). 3 ) Monte qu on peut toue une solution du poblème de la ome : (ϕ)= A cos ϕ. En déduie les champs de itesse et de pession et calcule le débit q à taes la suace d une demi-sphèe de ayon centée en O et limitée pa le plan P. Monte qu on peut écie la pession sous la μ q ( 3cos ϕ) ome : p =. Quelle est alos l epession de la itesse en onction de q? 3 π 4 ) A une distance donnée, tace l allue généale des aiations de (ϕ,) et p(ϕ,) en onction de ϕ. Quel est le signe des gadients de pession adiau? Commente ce ésultat? Quel sea le ôle des containtes isqueuses dans l écoulement? 5 ) Que deiennent ces ésultats si on change le sens de l écoulement. Qu en est il si on augmente otement la itesse d écoulement, que deient le poil de itesse?

4 ENSTA Enseignement de ème année Cous MF06 : Eamen du 0 Mas 009 J-P Hulin et B. Semin Equation de conseation de la masse en coodonnées sphéiques pou un écoulement stationnaie incompessible. ( ) (sin ϕ ϕ) ( ϕ) + + = 0 sinϕ ϕ sinϕ Equations de Stokes d un écoulement stationnaie en coodonnées sphéiques p ( ) cotanϕ ϕ cotanϕ ρg ϕ ϕ sinϕ ϕ ϕ sinϕ p ( ϕ ) ϕ ϕ cotanϕ ϕ cosϕ ϕ -ρg ϕ ϕ ϕ sinϕ ϕ sinϕ ϕ sinϕ p ( ) cotanϕ cosϕ ϕ ρg sinϕ ϕ sin ϕ ϕ sinϕ sin ϕ sin ϕ Containtes en coodonnées sphéiques. =- p + σ μ = ϕ ϕ σ ϕ μ + - ϕ ϕcotanϕ ϕ cotanϕ σ = - p + μ + + σϕ = μ + sinϕ sinϕ ϕ ϕ σϕϕ = - p + μ + ϕ σ + - sinϕ

5 ENSTA Enseignement de ème année Cous MF06 : Eamen du 0 Mas 009 J-P Hulin et B. Semin Ecoulement dans un milieu poeu multiones. ) On considèe l écoulement d un liquide de iscosité μ et de densité ρ dans un milieu poeu cylindique initialement empli d ai (μ 0). Le poeu a une longueu L, une section unité, une peméabilité k, une poosité (igue a). L écoulement est paallèle à l ae et uniome dans la section ; il est induit pa une diéence de pession Δp = p(0) p(l) >0 appliquée ente les deu etémités. On néglige l eet de la tension supeicielle et, dans un pemie temps, la gaité. Le liquide commence à ête injecté à l entée de l échantillon ( = 0) à l instant t = 0 : établi l équation diéentielle éiiée pa la position (t) du ont. Monte que : kδp = t () μ (dans quelle gamme de aleus de?). Quel type de pocessus cette loi éoque-t-elle? ) On pend maintenant un poeu composite (igue b) omé de deu milieu poeu accolés en séie et constitués tous deu d empilements de billes de ee de diamètes d et d diéents pou les deu milieu. Les stuctues géométiques des empilements sont supposées identiques à une homothétie pès ainsi que leu poosité. Que aut le appot k /k? 3 ) Les deu milieu ont des longueus especties L et L-L (aec L << L) et on suppose k << k. On suppose de noueau la gaité nulle. Quelles sont les équations diéentielles éiiées pa (t) suiant la position du ont pa appot à la limite = L ente les milieu. Monte qu apès aoi dépassé cette limite (soit > L ) on a : Δp L ( t t ) = + ( L ) L () μ k k k Quelle est la signiication et la aleu du temps t? Discute les compotements limites de (t) : au temps couts, juste apès aoi dépassé la limite ente les deu ones, au temps longs. Au bout de quel ode de gandeu de distance aua-t-on la tansition ente les deu denies égimes? 4 ) On incline maintenant le milieu poeu d un angle pa appot à l hoiontale ( > 0 quand le point = L est plus haut que le point = 0) et on pend en compte la gaité caactéisée pa l accéléation de la pesanteu g (>0). Monte que que éiie (si (t) L) : d g o g = (3) et que : + Ln o = t (4) dt o Que alent o et g et quel est leu signe et leu signiication physique? Quels sont les compotements limites au temps couts et longs si > 0? Que se passe-t-il si < 0? D apès une epéience de M. Reyssat et H. Stone.