Chapitre 4.1 La cinétique de rotation

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1 Chapite 4.1 La cinétique de otation La dynamique du cops igide Un cops igide est un système de N paticules dont la distance ente chaque paie de paticules doit ête maintenue constante gâce à des foces intenes. Les containtes de distance ont pou effet de éduie les 3N possibilités de tanslation des N paticules (chaque paticule ayant 3 degés de libeté de tanslation. Cops Appoimation cops igide N Paticules Losque le cops igide est libe de mouement, les mouements des N paticules est éduit pa les containtes au mouement d une seule paticule. Cette paticule ayant toute la masse du cops et peut effectue une tanslation et une otation autou d un ae. L état de tanslation du cops est éalué en appliquant la ième loi de Newton en supposant que toutes les foces appliquées su le cops sont appliquées su la paticule et l état de otation du cops est éalué en appliquant la ième loi de Newton en otation 1 pa appot à la paticule. Mouement complee Application des containtes : Vitesse de tanslation ω : Vitesse de otation - 3N mouements de tanslation - Plusieus containtes de distance 1 paticules ω * - 3 mouements de tanslation - 3 mouements de otation La dynamique du cops igide appoime un cops comme étant une paticule pouant effectue des tanslations et des otations autou d un ae. La dynamique du cops igide ne pemet pas d éalue la ibation du cops. La cinématique de tanslation et de otation La cinématique de tanslation s applique losque tous les éléments d un cops effectuent le même déplacement (oi schéma A comme pa eemple un bloc qui glisse su un plan incliné. A B La cinématique de otation s applique losque tous les éléments d un cops tounent autou d un même point de éféence et effectuent la même otation angulaie (oi schéma B comme pa eemple un toune-disque en otation. Tanslation pue C Rotation pue La cinématique de tanslation et de otation s applique losqu un point du cops effectue une tanslation et que l ensemble du cops effectue une otation autou du point en tanslation (oi schém comme pa eemple lance une balle de baseball. g Tanslation et otation 1 La ième loi de Newton en otation est pésentée dans le chapite 4.7. Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 1 Note de cous édigée pa : Simon Véina

2 Ae de otation et position angulaie Losqu on fait toune un cops igide autou d un ae de otation, les points situés su le cops ne ont pas tous effectue le même déplacement : Rotation du cops autou d un point fie du cops (otation spin Tanslation du cops autou d un point quelconque (otation obitale Tanslation de la Tee su une obite ciculaie et éolution su elle-même (otation obitale et spin Rotation spin du Soleil 5 jous/tou (cente 34 jous/tou (pole Rotation spin de la Tee 4 heues/tou Rotation obitale de la Tee 365 jous/tou Puisque tous points de l objet effectuent des tajectoies ciculaies, on éalise que sous une otation simple (spin ou obitale autou d un ae, tous les points subissent la même aiation de position angulaie que l on mesue à l aide d un système d ae angulaie : Position angulaie Position angulaie initiale : = finale : = 3 P ae P ae = Position, itesse et accéléation angulaie À pati d un système d ae angulaie, on peut associe à un cops une position, une itesse et une accéléation qui pote le nom de position angle, de itesse angulaie ω et accéléation angulaie α. Tous ces paamètes sont eliés pa le calcul difféentiel de la façon suiante : Relation Position angulaie Vitesse angulaie Difféentielle d ( t = ω ( t = ( t (pente Intégale Accéléation angulaie dω α = ( t = ω( t ω ( t = α( t α ( t = α (aie où : Position angulaie (ad ω : Vitesse angulaie (ad/s α : Accéléation angulaie (ad/s N.B. On peut utilise un indice,y et au paamètes, ω et α pou désigne autou de quel ae le cops igide toune (e :, ω et α. Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page Note de cous édigée pa : Simon Véina

3 Le mouement de otation unifomément accéléé Losqu un objet subit une accéléation angulaie α constante los d une otation, l objet effectue un mouement de otation unifomément accéléé (RUA. Les équations du mouement sont alos identiques à celles d un objet unifomément accéléé (MUA : Mouement ectiligne MUA : Mouement unifomément accéléé a t = a o ( o ( t a t = + t = o ( + t + 1 at o ( = + a ( Mouement otatif RUA : Rotation unifomément accéléé o α ( t = α ω ω + α o ( t t = 1 t = + ωt + α t o ( o ω ( = ω + α ( Peue : La peue est identique à la démonstation des équations du MUA en appliquant la coespondance suiante : ω a α Situation 1 : Un disque toune en alentissant. Un disque toune su lui-même aec une itesse angulaie initiale de ad/s. En aison du fottement, son mouement de otation alentit au tau constant de 4 ad/s. On désie détemine combien de tous il effectue aant de l aête. Voici les données de base : ω = ad/s = α = 4 ad/s ω = =? t =? En utilisant la fomule ω ( disque : ω pou un RUA, on peut éalue la position finale angulaie du = ω + α ( ( = ( + ( 4 ( ( = 5 ad Aec la elation suiante, on peut éalue le nombe de tou : ( π = 1 tou 5 ad n tous 5 = n = n = 7,96 tous π ad 1 tous π Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 3 Note de cous édigée pa : Simon Véina

4 Les elations ente les aiables linéaies et angulaies Un ac de cecle L est elié au ayon d un cecle et à un angle d ouetue de la façon suiante : L = Ciconféence = π À pati de cette elation, nous pouons associé la cinématique de tanslation selon un ae ciculaie aec la cinématique de otation selon un ae de la façon suiante en imposant la containte = = à l oigine : où = d d d = = ( = = ω d d dω a = = ( ω = α = : Position tangentielle (m : Vitesse tangentielle (m/s a : Accéléation tangentielle (m/s ae P P = Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 4 Note de cous édigée pa : Simon Véina

5 Situation : Un disque qui toune de plus en plus ite. Un disque de 3 cm de ayon est initialement au epos. À pati de t =, il est entaîné pa une couoie qui lui impime une accéléation angulaie constante de ad/s (l ae de otation du disque est au cente. On désie détemine (a la itesse d une paticule située su le bod du disque à t = 3 s ; (b la longueu du tajet pacouu pa une paticule située à mi-chemin ente le cente du disque et le bod ente t = et t = 3 s. Données de base : ω = = α = ad/s ω =? =? t = 3 s Éalue la itesse du disque à 3 s : ω ω + α t = = ( + ( ( 3 ω (Remplace aleus num. ω = 6 ad/s (Éalue ω a La itesse su le bod du disque : = ω = (,3( 6 (Remplace aleus num. = 1,8 m/s (Éalue L angle de otation pacouu duant 3 s : 1 1 = + ωt + α t = ωt + α t (Isole 1 ω t + α t ( = = (Remplace 1 = (Remplace aleus num. = 9 ad (Éalue ( ( ( ( b La distance pacouue à mi-chemin du ayon total : = = (Relation en et = (,3/ ( 9 (Remplace, est à mi-chemin = 1,35 m (Éalue Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 5 Note de cous édigée pa : Simon Véina

6 Accéléation centipète en cinématique de otation L accéléation centipète coespond à l accéléation equise pou demeue su une tajectoie ciculaie. En cinématique de tanslation, elle dépend de la itesse et du ayon de otation. En cinématique de otation, elle dépend de la itesse angulaie et du ayon de otation selon l epession suiante : = ω ω a C où a C : Accéléation centipète (m/s : Rayon de la tajectoie ciculaie (m ω : Vitesse angulaie (ad/s Peue : Éaluons l accéléation centipète en cinématique de otation à pati de son epession en cinématique de otation : = ( ω = (Remplace ω = = = ω (Simplifie Accéléation tangentielle et centipète de otation Puisque l accéléation peut toujous ête décomposée en accéléation tangentielle et en accéléation centipète, le module de l accéléation especte la ègle de Pythagoe étant donné que les deu composantes de l accéléation sont pependiculaies. Nous aons ainsi la elation suiante : a = + a T a = + a T a ae a P ou 4 a + = ω a T La cinématique du oulement sans glisse Losqu une oue de ayon oule sans glisse, le cente de la oue effectue un déplacement égale à l ac de cecle effectué pa la oue duant sa otation. Une oue à mesue est un instument qui mesue des déplacements en effectuant un comptage des tous effectués pa la oue duant sa otation. La distance pacouue d est alos le nombe tous N multiplié pa la ciconféence de la oue π ( d = π N. Une oue à mesue Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 6 Note de cous édigée pa : Simon Véina

7 Voici les elations eistant ente la cinématique de tanslation du cente de la oue et la cinématique de otation de la oue : Déplacement du cente de la oue : Vitesse de tanslation du cente de la oue : Accéléation du cente de la oue : = = ω a = α La cinématique d un point en bodue d une oue est beaucoup plus complee losqu on l analyse en deu dimensions : = π ad = π Position angulaie et coodonnée y de l ae de otation selon Losqu un cops effectue une otation autou d un ae, la distance ente la position y où passe l ae de otation et le cops en otation n influence pas la position angulaie et la itesse angulaie ω du cops. Les aleus de et ω sont uniques au cops. Pou se conaince, effectuons une otation de 6 o d un cops autou de l ae situé à deu endoits dans le plan y : Schéma initiale : = Rotation ae 1 : = 6 Rotation ae : = 6 y Ae otation Ae otation Ae otation 1 Ae otation 1 Dans les deu cas, le cops a bel et bien effectué une otation de 6 o autou de l ae de otation et le cops possède le même état de otation qui est = 6. Un cops possède une position angulaie unique pa appot à un ae de otation. Un cops possède une itesse angulaie ω unique pa appot à un ae de otation, ca ω = d / et est unique. L accéléation angulaie α n est pas unique pa appot à un ae de otation, ca elle dépend du choi de point de éféence. (oi chapite 4.7 : La dynamique de otation Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 7 Note de cous édigée pa : Simon Véina

8 Situation A : La itesse d un bout de pneu. La oue R d une oitue se déplace sans glisse selon l ae à la itesse RS = pa appot au sol S. La oue possède un ayon et toune à la itesse angulaie ω. On désie éalue l epession de la itesse selon l ae d un bout de pneu P en fonction de son positionnement angulaie pa appot (a au cente de la oue R et (b pa appot au sol S. Selon le éféentiel de la oue, la oue est immobile et tous les bouts de pneu tounent à la même itesse angulaie ω. Repésentons gaphiquement le ecteu itesse dans un système d ae y à l aide d un angle : Aec = ω : = ω = ω i = ω j = 9 ω = ω i = 18 ω = ω cos( i ω sin( j = quelconque ω (a Voici l epession de la itesse d un bout de pneu P selon l ae en fonction de l angle dans le éféentiel de la oue R : PR = ω cos( (b Selon le éféentiel du sol, la oue se déplace à itesse RS en même temps qu elle effectue des otations à itesse angulaieω. À l aide de l addition des itesses elaties en une dimension, nous pouons éalue la itesse d un bout de pneu P selon l ae à pati de la mesue effectuée dans le éféentiel de la oue R : + PS = PR RS PS = cos( + RS PR = ω cos ω (Remplace ( PS RS cos( + RS = (Roue glisse pas : = ω ( 1 cos( PS = RS + (Factoise RS = ( 1 cos( PS + Aec cette équation, on éalise que le bout de pneu possède une itesse nulle pa appot au sol losque l angle est égal à 18 o ce qui coespond à la position du contact au sol (oi schéma ci-conte. Ce aisonnement est alide uniquement losque la oue oule sans glisse. Le fottement qui populse une oue sans (Remplace = RS glisse est alos du fottement statique. Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 8 Note de cous édigée pa : Simon Véina A = B Réféentiel de la oitue A= o A B = B=18 o Réféentiel de la oute

9 Eecice De moins en moins ite. Un disque toune su lui-même dans le sens anti-hoaie à 4 ad/s. En aison du fottement, il alentit à un tau constant. Apès aoi fait 1 tous su lui-même, il ne toune plus qu à 18 ad/s. (a Détemine α? (b Combien de tous supplémentaies le disque fea-t-il aant de s aête? Solution De moins en moins ite. Infomations de base : ω = 4 ad/s = ad α =? π ad ω = 18 ad/s = 1 tous = π ad t =? tou a Aec l une des équations du RUA : ω = ω + α ( ( 18 = ( 4 + α (( π ( Infomations de base : 34 = πα 4πα = 5 ω = 18 ad/s = ad α =,1 ad/s =,1 ad/s α ω = ad/s =? t =? b Aec l une des équations du RUA : ω = ω + α ( ( = ( 18 + (,1 ( ( 34 = 4, Puisque chaque tou epésente π : = 8,6 ad 1 tou N = 8,6 ad N = 1,83 tous π ad Réféence : Mac Séguin, Physique XXI Volume A Page 9 Note de cous édigée pa : Simon Véina