Chapite : Magnétostatique CAPTRE MAGNETOTATQUE Une chage électique immobile cée un champ électique seulement; Une chage en mouvement (un couant) cée un champ électique et un champ magnétique. Définition : la magnétostatique est l étude des phénomènes magnétiques statiques, généés pa des couants constants uniquement (couant continu).. O D AMPERE e physicien danois ans C. Oested (1777 1851), en emaquant la déviation d une boussole placée pés d un conducteu tavesé pa un couant, fut le pemie à obseve le magnétisme cée pa un couant électique. Couant ectiligne (P) P Conducteu ectiligne u ; 4π : champ magnétique OP ; u : vecteu unitaie de O θ u 0 u 4π : nduction magnétique Remaque : a loi d Ampèe est valable si l on suppose que le conducteu est infiniment long, donc les bones de l intégale sont de - à +. Conducteu femé : u 0 4π : Couant ciculaie Avec 7 0 peméabilité magnétique (vide, ai ) : 4π.10 / m 0 Unités [ ] Tesla T ; [ ] A m 0 Cas d un couant volumique : J densité de couant (A/m ) ; J /, soit J, ou bien plus généalement : J d : Conducteu volumique 1
Chapite : Magnétostatique J.d J.d J JdV e champ magnétique d un couant cylindique (volumique) est donné pa : J dv 4π u soit donc : J u 0 dv 4 π EXERCCE (Champ magnétique cée pa un couant ectiligne) Calcule le champ magnétique poduit pa un couant ectiligne infiniment long. EXERCCE (Champ magnétique cée pa une spie) oit une spie ciculaie de ayon «a» tavesée pa un couant. Détemine le champ magnétique dans un point P situé su l axe de la spie. olution : On obtient : a a+ R ( ) ( R 0) max 3 a u M a O u R P. DRECTON DU CAMP MAGNETQUE (Règle de la main doite) a) Fil ectiligne : (Règle de la main doite) b) pie : (Règle du tounevis) EXERCCE Un solénoïde est un couant fomé de plusieus spies ciculaies coaxiales, de même ayon tavesé pa un même couant. olution : e champ su l axe du solénoïde peu ête calculé en additionnant le champ cée pa chaque spie. A la figue ci-dessous est epésentée une coupe longitudinale dans le solénoïde. i N est le nombe total des spies, le nombe des spies d une patie est égal à N. Rappelons que le champ poduit au point P pa une spie est :
Chapite : Magnétostatique 0a ( a+ ) 3/ N pies poduisent l induction P 0a 0N a d N 3/ ( a ) ( a+ + ) 3/ D apès la figue, on peut écie : tgβ a et sinβ a a + soit, a dβ tg a β sin β en substituant ces équations dans l expession de d, on obtient : N d ( sinβ dβ) 0 β 0N ( sinβ dβ) ( cosβ β1) 0N cos β 1 i le solénoïde est tès long, nous avons en un point du cente β 1 π et, soit : 0N Pou un point situé à l extéieu, su l une des extémités, β π / et β 0 ou β 1 π et β π /, soit : 0N soit la moitié de la valeu au cente. Remaque : le solénoïde est utilisé pou poduie un champ magnétique passablement homogène dans une égion limitée de son cente.. POTENTE MAGNETQUE Comme q est un scalaie, qui poduit un potentiel électique scalaie V ; Pa analogie avec l électostatique : élément est un vecteu, poduit un potentiel magnétique vectoiel A. ota β β 1 β l a A J dv 4 0 π qui epésente l expession du potentiel A. V. TEOREME D AMPERE 1. Théoème d Ampèe :.? u π. u. π Rappel : A.u x ( A xux+ Ayu y+ Azuz). ux Ax soit donc, la composante de A suivant l axe des x. Pa analogie :.u est la composante de suivant u. Comme pa ailleus, u u, soit u, donc aussi ; epésente donc un ac de cecle de ayon ' dθ 3
Chapite : Magnétostatique Pa conséquent : dθ d π. θ θ) 0 π π π Donc. qui epésente le théoème d Ampèe. Remaque impotante : est un couant ciculant à l intéieu du contou femé.. Fome difféentielle :. est la fome intégale du théoème d Ampèe. Comme. et que J.d, ot.d On peut écie : ot.d J.d oit donc : ot J qui epésente la fome difféentielle du théoème d Ampèe. Conclusion : ot J implique que le champ magnétique est otationnel, c est à die que les lignes de champ sont femées, contaiement aux lignes de champ électique. NON OU Remaque : - es lignes de champ magnétique sont des coubes femées ca contaiement au champ électique qui a pou souce des chages électiques (pat de la chage positive et aive à la chage négative), il n y a pas de chages magnétiques. EXERCCE On considèe quate conducteus tavesés chacun pa un même couant (figue). Quelle est la diection du champ magnétique au point P, cente du caé de coté d. 1 1 3 4 EXERCCE Tois fils conducteus potant un même couant, sont situés aux coins d'un tiangle équilatéal, comme monté à la figue 14. Dans quel cadan tigonométique se touve la diection du champ magnétique ésultant au cente de la tiangle? 4 3 V EXERCCE Détemine le champ magnétique à l intéieu et à l extéieu d un conducteu cylindique plein tavesé pa un couant, de densité unifome J. EXERCCE Utilise le théoème d Ampèe pou calcule le champ magnétique à l intéieu d un solénoïde compenant n 0 spies pa unité de longueu et pacouu pa un couant 0. 1 3 4
Chapite : Magnétostatique olution : Patiquement une bobine fomée d un fil conducteu enoulé suivant une hélice de petit pas est un solénoïde. Pa conséquent, à l intéieu loin des extémités de la bobine, les lignes d induction sont sensiblement paallèles à l axe (le champ cée pa chaque spie étant pependiculaie à son plan) ; le champ est donc unifome. Choisissons un contou femé MNPQ pou pouvoi applique le théoème d Ampèe. application du théoème d Ampèe su ce contou donne :. Q.. MN+. NP+. PQ+. QM. MN M. QM 0 et. PN 0 ca QM et PN. QP 0 ca à l extéieu 0. D aute pat, n 0 0 n 0 : nombe de spies / mète. d où n 0 0 n est l induction à l intéieu du solénoïde. 0 00 EXERCCE On considèe une bobine toique de n spies tavesée pa un couant statique. Détemine le sens, la diection et la valeu du champ magnétique cée à l intéieu de la bobine. olution : e champ étant pependiculaie aux spies, c est donc un cecle passant pa le cente de chaque spie, dont le cente coïncide avec celui de la bobine. n π n avec π d où n igne de champ magnétique P N R V. FUX MAGNETQUE Φ.d Unité [ ] m ; Φ m Webe Wb ; a) uface non femée Flux: epésente la quantité de lignes de champ passant à taves la suface. : uface non femée b) uface femée.d div dv div ota dv 0 ; ca ota ( ).d 0 : uface femée 5
Chapite : Magnétostatique Fome difféentielle :.d 0 est la fome intégale de cette loi..d div dv 0 div 0 div 0 est la fome difféentielle. V. FORCE MAGNETQUE 1. Foce de oentz : Une chage électique animée d une vitesse v et placée dans un champ électique et magnétique, subit la foce suivante : Fq E+ v ; ( ) F q E+ qv + Fe Fm avec : Fe qe est la Foce électique; i q 0 Fe 0 a foce électique s annule si la chage est nulle. ( v ) Fmq est la Foce magnétique. a foce magnétique s annule si la chage est nulle ou immobile. induction magnétique n exece de foce que su une paticule chagée en mouvement (ou un couant). Conclusion: a foce magnétique n agit que su une chage en mouvement, ou un conducteu tavesé pa un couant. EXERCCE Un fil conducteu est tavesé pa un couant (figue 5). Quelle est la diection de la foce appliquée su : un électon se déplaçant ves le fil ; un poton se déplaçant paallèlement au fil (fig. a). upposez que l'électon et le poton se déplacent dans le plan du papie. v v. Foce de aplace : Considéons un conducteu cylindique tavesé pa un couant. oient : n : nombe de paticules chagées tavesant le conducteu; e : chage élémentaie d une paticule. a chage tavesant le conducteu vaut alos : q ne ' En posant n V n ' n : nombe de paticules/unité de volume ; V : volume du conducteu. On obtient : 6
Chapite : Magnétostatique dq d( n' e) d( nev) ne dv ne nev dt dt dt dt dt ; avec v : vitesse de déplacement des paticules. Pa conséquent : J nev nev J nev Cette égalité est également valable en notation vectoielle : J nev D un aute côté, en epotant dans la loi de oentz la chage pa unité de volume Fmq v ne v J ( ) Pou un volume élémentaie dv : dfm ( J )dv pou tout le volume V : Fm ( J ) dv ( JdV ) Comme JdV, on aboutit à l expession de la Foce de aplace: Fm Remaque : i 0 F m 0 a foce magnétique n agit donc que su un conducteu tavesé pa un couant. q ne, on obtient : EXERCCE oient deux () conducteus ectilignes identiques, paallèles et tavesés pa les couants 1 et ( 1 10 A ; 5 A).. Calcule la foce magnétique F 1 execée su le conducteu 1 et F execée su le conducteu. Remaque : e sens de la foce est déteminé gâce à la ègle de la main doite : nduction Couant Foce Majeu ndex F Foce Main doite EXERCCE i chacun des tois fils de la figue 8 pote le même couant, quelle est la diection de la foce appliquée su chacun des 3 conducteus pa les deux autes (sans calculs). Conducteu C 1 : C 1 C C 3 7
Chapite : Magnétostatique EXERCCE Une spie caée de côté a pacouue pa un couant est placée dans une induction magnétique pependiculaie ( 14). a spie peut toune autou d un axe. 1) Calcule et epésente les foces agissant su les côtés MN, PQ, MQ et NP de la spie. ) En déduie le couple magnétique agissant su la spie. V. ENERGE MAGNETQUE W m On considèe l exemple d une bobine toique compenant n spies. Détemine l énegie emmagasinée quand le couant dans la bobine coit de 0 à. Considéons un cicuit fomé pa une inductance. A l instant t nous avons : U d dt En multipliant les deux membes pa i dt de façon à faie appaaîte les énegies mises en jeu pendant dt : Ui dt idi d ( 1 i ) e teme U i dt epésente l énegie founie pa le généateu, le teme dw d ( 1 i ) coespond à l énegie founie pou établi le couant i, énegie emmagasinée dans l inductance. Démonstation : Pa analogie avec l électostatique où la densité de l énegie électostatique 1 we ε E 0, démonte que la densité de l énegie magnétique est 1 wm 0. Considéons pou cela un tube élémentaie d induction Posons dv énegie magnétique localisée dans l élément de volume dv est : dw 1π dv 1 0 π 0 En tenant compte que le flux d induction est constant dans le tube : Φ. d. et du théoème d Ampèe :., on obtient : W 1 1 1 1 Φ π 0 π0 Comme Φ W 1Φ 1 Conclusion : le champ magnétique emmagasine bien une énegie de densité w m ½ 0. 8 Aute démonstation : oit U la tension appliquée, e tavail founi W Udt ; dϕ O U n dt dϕ U n n d n dt dt ds dt 0 R igne de champ magnétique 8
Chapite : Magnétostatique dϕ dϕ dt oit W n dt n nd n 0 d n 0 W 0 0 0 d Comme n (Execice P6). n d où W n d d 0 0 0 0 n 1 0 avec V volume de la bobine où ègne, on obtient : Wm 1 0 V [J], est l énegie totale emmagasinée dans le champ magnétique. 1 wm 0 [J/m 3 ] est la densité d énegie magnétique. V. REUME DE O DU REGME TATONNARE 1. Théoème de Gauss q ρ E.d ; div E ε 0 ε 0. E. 0 ; ot E 0 3. Théoème d Ampèe. ; ot J 4. Théoème du Flux Magnétique.d 0 ; div 0 ANAOGE ENTRE EECTROTATQUE ET A MAGNETOTATQUE EECTROTATQUE MAGNETOTATQUE oi de Coulomb (champ électique) oi de iot & avat (champ magnétique) q u q E u 4πε 4π Déplacement électique nduction magnétique D ε E Potentiel électique Potentiel magnétique q V A J 4πε dv 4 π E gadv ota E. 0. ot E0 ot J q E.d ε.d 0 ρv div E div 0 ε 1 we ε E wm 1 E 0 dans un conducteu 0 dans le conducteu 9