Poutes compostes pézoélectques : modélsaton des effets, valdatons numéques et expémentales Coado Maun* Joël Pouget* Fancesco dell Isola** *Insttut Jean Le Rond d'alembet, CNRS (UMR 790) Unvesté Pee et Mae Cue 4 place Jusseu, Tou 55-65, 4éme étage 755 Pas Cedex 05 (Fance) maun@lmm.jusseu.f; pouget@lmm.jusseu.f ** patmento d Ingegnea Stuttuale e Geotecnca Unvestà d Roma La Sapenza va udossana 8 0084 Rome, Itale fancesco.dellsola@unoma.t RÉSUMÉ. : ans ce taval, nous poposons un modèle du type ule-benoull améloé pou des poutes multcouces pézoélectques. Ce modèle est capable de pende en compte les effets et le potentel électque ndut d une manèe satsfasante. Le modèle est valdé gâce à des tests numéques (F) et des essas expémentaux. L accent est ms su le ôle joué dans, la modélsaton, pa les ypotèses su les dstbutons des contantes et des défomatons tansveses (dans la decton de la lageu de la poute). ABSTRACT. : A coupled ule-benoull model of lamnated pezoelectc beams s poposed. Ts enanced model accounts fo te nfluence of dstbuton of mecancal stess and stan and nduced electc potental. Te model s tested by means of numecal smulatons (FM) and expemental tests. Te ole played by tansvese (n te beam wdt decton) stess and stan dstbutons n beam modellng of pezoelectc lamnates s undelned. MOTS-CLÉS : ule-benoull, poutes multcouces pézoélectque, capactance pézoélectque, tests expémentaux. KYWORS ule-benoull, pezoelectc, lamnates, beams, pezoelectc capactance, expemental tests. 8e COLLOQU NATIONAL N CALCUL S STRUCTURS -5 Ma 007, Gens (Va)
-5 Ma 007, Gens (Va). Intoducton Les stuctues élancées telles que les poutes multcouces compotant des couces actves pézoélectques sont d excellents canddats pou la concepton de systèmes de contôle actf ou passf de vbatons, de contôle de fome ou encoe de contôle de santé des stuctues mécanques. Le développement d outls effcaces et obustes de modélsaton de poutes multcouces pézoélectques est patculèement mpotant afn d obten des estmatons pécses des paamètes des modèles. Le pésent taval se popose de mette en évdence les effets dans des poutes multcouces pézoélectques et d off une modélsaton capable de pende en compte ces effets et la éelle nteacton ente les couces. ans ce but, le pont de dépat est un modèle de plaque multcouce pézoélectque du type Love-Kcoff. Une fomulaton pemet la éducton du modèle plaque à celu d une poute et cela condut à une poute d ule-benoull améloée ncluant les effets. Le modèle ans dédut est alos valdé pa des tests numéques (F ) et des essas expémentaux (analyse de défomaton et analyse modale).. Modèles ans des couces pézoélectques polasées suvant l épasseu, les défomatons S et les contantes nomales T (, et on utlse la notaton de Vogt) sont couplées au déplacement électque et au camp électque pa les elatons (vo Fgue ) : S s T j + d T d jt +, ou T c S j e e S + S j j [] S ans la deuxème fome (S-), c, e, sont les constantes de gdté, de couplage et délectque effectves en contantes planes ( T 0 ). Le modèle le plus smple pou la flexon plane d une poute pézoélectque est celu d ule-benoull. ans la sute on consdéea la poute sandwc de la Fgue avec un couplage globale en flexon. ans ce cas, la lo de compotement est : M k Mwκ emvv q emvκ + qvv [] où M est le moment podusant une flexon dans le plan e -e, κ est la coubue coespondante, q est la cage pézoélectque pou unté de longueu et V la dfféence de potentel ente les temnaux électques. Note objectf est de dscute l nfluence des ypotèses pou les contantes et les défomatons de la secton
Poutes pézoélectques multcouces Fgue. Secton dote d'une poute sandwc avec couplage en flexon. La polasaton des couces pézoélectques est ndquée (p) dote su les estmatons des constantes des équatons []. On supposea que la couce centale est élastque sotope de module de Young Y / s, de module de Posson ν et de lageu (a ), supéeue à celle des couces pézoélectques (a )... Modèle standad en état de contante unaxal (NS) La plupat des modèles pésentés dans la lttéatue acceptent l ypotèse des contantes tansvesales nulles : T 0. Alos, à pat des équatons [], avec les ypotèses cnématques d un modèle d ule-benoull et avec la défnton du moment flécssant, on obtent les expessons standads pou les constantes consttutves : k e ( NS ) Mw ( NS ) MV a 6s d a ( + ) + s a ( + ) / s, a + s, ( NS ) qv a T d T s [] T où s s( + d / s ). Ces expessons pennent en compte la dfféence de gdté pou les défomatons en flexon ( s ) et membanales ( s ) dans les couces pézoélectques. Cet effet est dû à l nfluence de la contbuton au potentel électque (quadatque dans l épasseu) ndute pa des défomatons en flexon, losque la lo de consevaton de la cage est véfée. Les modèles élémentaes néglgent cet effet et ne font pas la dstncton ente s et s.. Modèle améloé avec contantes tansveses (NSR) Une plaque composte pézoélectque de Kcoff-Love est caactésée pa la los de compotement suvante :
4-5 Ma 007, Gens (Va) m m σ F F F κ F κ, avec V F... n c... n z + c /, e z α,... n S [4] où m et m sont les moments pou unté de longueu du modèle plaque, σ est la cage électque sufacque. Ic, le csallement est néglgé. Les expessons données pou les constantes consttutves sont le ésultat de l applcaton de la téoe des plaques multcouces ; elles ncluent l nfluence du potentel ndut, avec ( / S c c + e c ). La constante α est égale à pou les couces connectés en pase avec les temnaux électques, - pou celles en opposton de pase et 0 pou les couces élastques, z est la coodonnée du plan moyen de caque couce. Su la base de ce modèle de plaque on ntodut une ypotèse plus fable pa appot à celle du modèle NS : moment ésultant des contantes T nul (flexon lbe de la secton dote). Alos, avec m 0 dans [4] on obtent ( F / ) m / κ σ ( F ) F V / + / [5] κ / κ + / m + F / V A note que les coeffcents en [5] ne sont pas constants su la secton dote de la poute, ca a a ; les dscontnutés géométques mplquent des coubues dstnctes pou les dfféentes pates égulèes. On poua touve les expessons des coeffcents des los de compotement «poute» [] pa ntégaton des équatons [5] su la lageu. On obtent : k e ( NSR) Mw ( NSR) MV ( NSR) qv K ak( K / K) + ( a a) c ae ( + )( K / K) a S / + a ( e ( + )) / K c + 6 c + c c + c ( ν ) [6] Ce type de modélsaton est adopté pou les poutes compostes multcouces (Betelot, 999), et l est utlsé pou des poutes compostes pézoélectques dans (Bos et al., 007). Les ésultats obtenus, coïncdent avec ceux touvés dans (Maun et al. 007) su la base d un pncpe vaatonnel mxte à pat du modèle.
Poutes pézoélectques multcouces 5 Axal Stan ( ) 40 5 0 5 0 5 0 Statc: xpemental ata Quas-Statc: xpemental ata Statc: Lnea Tend Quas-Statc: Lnea Tend Tansvese Stan ( ) 40 5 0 5 0 5 0 Statc: xpemental ata Quas-Statc: xpemental ata Statc: Lnea Tend Quas Statc: Lnea Tend 5 5 0 0 0 0 0 40 50 Voltage (V) 0 0 0 0 0 40 50 Voltage (V) Fgue. Montage expémental pou l analyse des défomatons axale et tansvese pa des jauges de défomaton su les faces des éléments pézoélectques avec potentel électque applqué.. Résultats numéques et expémentaux : dscusson Le canddat etenu pou les études numéques et expémentales est un pototype de poute élastque (alumnum) encastée-lbe équpée de deux éléments pézoélectques montés en sandwc (vo Fgues et ). Les tests expémentaux pou les mesues des défomatons sont éalsés gâce à des jauges de défomaton du type osette à 90 placées su les faces lbes des actonneus. eux stuatons sont examnées : () défomatons ndutes pa un potentel électque applqué et () défomatons dues à un déplacement mposé à l extémté lbe de la poute sous condton ccut femé. Pou l étude numéque (code ABAQUS), la stuctue est mallée avec 6 élément C0R pou la pate élastque et C0R pou la pate pézoélectque. Ces sont des éléments bck quadatques à 0 nœuds (avec 4 ddl pa nœud dans le cas pézoélectque). La Fgue pésente l ensemble des mesues des défomatons axale et tansvese en foncton du potentel électque applqué. eux types de mesue ont été éalsés () essa statque et () essa quas-statque pa applcaton d un potentel électque amonque à une féquence de 6 Hz. Le test quas-statque nous pemet de s affanc du pénomène de déve des céamques pézoélectques. Le Tableau ésume l ensemble des ésultats pou les défomatons axale et
6-5 Ma 007, Gens (Va) tansvese. La compaason avec les mesues expémentales et le calcul pa les éléments fns démonte claement que le pésent modèle (NSR, ule-benoull améloé) donne d excellentes estmatons des défomatons et de leu appot pou les deux condtons de cagement. Nous noteons que le modèle standad (NS, contante tansvese nulle) fount une estmaton de la défomaton tansvese entacée d eeus. Le Tableau donne les ésultats pou la capactance pézoélectque. L dentfcaton expémentale est fate à l ade d un test dynamque où les éléments pézoélectques sont connectés à un ccut RL (vo Pof et al., 007). Les ésultats sont sans équvoques ; le modèle poposé condut à une estmaton tès poce de celle obtenue pa le calcul F et pa l dentfcaton expémentale (eeu de 5,5%). Le modèle standad suestme la capactance. Les ésultats et les compaasons démontent que le pésent modèle ncluant les effets et le potentel électque ndut fount des estmatons fables. Le cox des ypotèses su l état de contante et des défomatons est cucal pou la obustesse des modèles. L estmaton coecte de la capactance pézoélectque est essentelle pou la concepton de systèmes de contôle de vbatons. éfomatons/voltage applqué ( μ / V ) éfomatons/éplacement applqué ( μ / mm) /V / V / / V / V / xp. Statc 0.7±0.05 0.75±0.0.04 57±0.5-8±0. -. xp. Quas-St. 0.69±0.0 0.66±0.0 0.96 - - - NSR model 0.60 0.65.08 58. -8.7 -. NS model 0.6.6. 58. -9.9 -.4 F 0.6 0.60 0.95 60-0 -. Tableau. éfomatons axale et tansvese. xpémentale Modèle NS Modèle NSR F C 09.4 nf 4.0 nf (+.47%) 0.4 nf (-5.50%) 09.6 nf Tableau. Capactance pézoélectque. 5. Bblogape Maun C., Pouget J., dell Isola F., xtenson of te ule-benoull model of pezoelectc lamnates to nclude effects va a mxed appoac, Comp & Stuct 84, 006, p.48-58. Pof M., Maun C., Pouget J., Identfcaton of electomecancal modal paametes of lnea pezoelectc stuctues, Smat Mat. Stuct., 007, à paaîte. Betelot J.-M., Matéaux compostes, Pas, Tec&oc, 999. Bos C., Hezog P., Hocad C., Montong a delamnaton n a lamnated composte beam sng n-stu measuements and paametc dentfcaton, J. Sound and Vbaton, 99, 007, p.786-805.