Physique Généale SYSTEME DE PARTICULES DYNAMIQUE DU SOLIDE TRAN Minh Tâm Table des matièes Loi de Newton pou un ensemble de paticules 73 Quelques exemples simples...................... 73 Le cente de masse CM........................ 73 Le mouvement du cente de masse.................. 75 Consevation de la quantité de mouvement dans un système isolé.. 76 Les chocs............................... 76 Systèmes à masses vaiables : le pincipe des fusées......... 80 Rotation d un cops igide autou d un axe fixe 82 Rappel su la cinématique de otation................ 82
Caactèe vectoiel de la vitesse et de l accéléation angulaie.... 83 L énegie cinétique de otation.................... 84 Le moment des foces, l équation de Newton pou la otation et le moment cinétique...................... 85 Fome vectoielle de l équation de Newton pou la otation..... 89 Tavail et énegie cinétique de otation................ 90 Paallèle ente la Mécanique de la paticule et celle du solide autou d un axe fixe......................... 92-2-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Jusqu à pésent, nous n avons discuté que des points matéiels puis des objets pouvant ête assimilés à des points matéiels. Un point matéiel ne peut avoi que des mouvements de tanslation et ses dimensions sont négligées pa appot à son déplacement. Il est évident que la éalité est plus complexe et nous devons considée un ensemble de points matéiels, pouvant toune tout en se déplaçant... Quelques exemples simples Collision Dans une collision, nous devons considée au moins deux points matéiels, dont aucun n est fixe. Cops igide dont un point est fixe L exemple type d un cops igide avec un point fixe est la toupie. Dans ce poblème, puisque le cops est igide, les distances ente deux points quelconques du cops ne vaient pas au cous du temps et nous avons un point fixe, celui du contact de la toupie avec le sol. Cops igide avec deux points fixes S il existe deux points du cops igide qui sont fixes, alos tout point de l axe joignant les deux points est aussi fixe au cous du temps. Un exemple est une oue libe de toune autou de son axe. Le cente de masse CM Pou un système de deux paticules de masses m 1 et m 2, la position du cente de masse est défini pa x CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 M où M est la masse totale du système : y x CM m 2 m 1 x 1 d x 2 x -73-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Pou un système compotant N paticules, la généalisation est immédiate : x CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 +... + m N x N = 1 N m i x i m 1 + m 2 +... + m N M Si les N paticules sont distibuées dans l espace à 3 dimensions, nous auons toujous la définition pécédente pou chacune des composantes x, y et z. Comme CM = x CM î + y CM ĵ + z CM ˆk, les tois définitions scalaies pou les composantes peuvent ête emplacée pa : CM = 1 N m i i M Pou un solide, nous sommes confontés à un nombe énome de paticules et devons taite le poblème d une manièe continue : les sommations su des paticules individuelles pécédentes doivent ête emplacées pa des intégales : x CM = 1 x dm y CM = 1 y dm z CM = 1 z dm M M M Remaques 1) Le cente de masse peut ne pas coïncide avec un point matéiel du système. 2) La symétie du poblème aide gandement dans la echeche du CM. Le CM d'un tonc de cône ceux ne coïncide pas avec un point matéiel de l'objet CM Point de contôle La figue ci-apès monte un caé unifome. a) Où se touve son cente de masse au dépat? b) Où se touve son CM si on enlève le caé 1? c) les caés 1 et 2? d) les caés 1 et 3? e) les caés 1, 2 et 3? f) les quate petits caés? Répondez en teme de quadants, axes ou points sans faie aucun calcul. y 1 2 x 4 3-74-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Le mouvement du cente de masse La vitesse instantanée d une paticule étant la déivée de son vecteu position, nous avons, en déivant le vecteu position du CM pa appot au temps : v CM = 1 N N N m i v i P M CM = M v CM = m i v i = p i = P tot Nous avons ici utilisé la définition de la quantité de mouvement : p = m v. La quantité de mouvement totale d un système de paticules, P tot = P N CM = p i est équivalente à celle d une seule paticule fictive de masse M = N m i se déplaçant à la vitesse du cente de masse v CM. Remaque Ceci appote une énome simplification : nous pouvons taite le mouvement de tanslation d un système de paticules ou d un objet étendu comme s il s agissait de paticules dont les masses seaient concentées au CM : c était ce que nous avons fait jusqu à pésent. Déivons pa appot au temps l équation M v CM = Nous obtenons natuellement : M a CM = N m i a i = N m i v i. Ici, Fi est la foce ésultante su la paticule i. Losque nous faisons la somme des foces su toutes les paticules les foces intéieues qui s execent ente elles s annulent deux à deux (3ème loi de Newton), ne N laissant que la foce extéieue ésultante ; pa conséquent : F i = F ext. F ext = M a CM = d P CM N F i. -75-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Consevation de la quantité de mouvement dans un système isolé Si un système de paticules est isolé, le mouvement du CM est tel que M a CM = 0 = d P CM = d N p i P CM = N p i = N m i v i = constante (Loi de consevation de la quantité de mouvement pou un système isolé) Point de contôle Su un sol sans fottement, un objet initialement au epos explose en deux paties. Une patie glisse su sol dans la diection +Ox. a) Quelle est la somme des quantités de mouvement des deux paties apès l explosion? b) La deuxième patie de l objet peut-elle pati avec un angle pa appot à l axe Ox? c) Quelle diection penda cette deuxième patie de l objet? Les chocs Un choc (ou collision) est un événement isolé dans lequel deux cops (ou plus) execent l un (ou les uns) su l aute (ou su les autes) des foces elativement fotes pendant des laps de temps elativement couts. Il est tès difficile de décie pécisément ce qui se passe duant la collision ; ce que l on peut faie, c est touve les conditions pou applique les lois de consevation. Pou un système isolé, la quantité de mouvement P CM = N p i = P tot est consevée, puisque n agissent que les foces intéieues au système dans le choc. Ici, p i est la quantité de mouvement du cops i. -76-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Application 1 : Choc ente deux paticules. Utilisons la consevation de la quantité de mouvement : p 1i + p 2i }{{} avant le choc y = p 1f + p 2f }{{} apès le choc v 2f θ 2 m 1 m 2 x v 1i θ 1 v 1f Nous taitons ici de la collision d une paticule de masse m 1 et de vitesse initiale v 1i su une paticule m 2 initialement au epos. Apès la collision, les quantités de mouvement (donc les vitesses) des paticules sont diigées selon les angles θ 1 et θ 2 pa appot à la diection initiale donnée pa v 1i. L équation vectoielle de consevation de la quantité de mouvement, pojetée su les axes, donne : m 1 v 1i = m 1 v 1f cosθ 1 + m 2 v 2f cos θ 2 selon Ox 0 = m 1 v 1f sinθ 1 + m 2 v 2f sinθ 2 selon Oy Nous n avons donc que 2 équations pou 4 inconnues qui sont v 1f, v 2f, θ 1 et θ 2, les masses des paticules et la vitesse initiale v 1i étant données. Nous ne pouvons pas ésoude ce poblème. Dans le cas paticulie d une collision élastique, nous avons la consevation de l énegie mécanique totale dans le choc, le système étant isolé -77-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules et aucune pete intene (tel un échauffement intene ou une défomation des objets) n étant obsevée. Si l état initial (final) coespond à l instant qui pécède (suit) immédiatement la collision, la position, et donc l énegie potentielle, ne peuvent vaie. Une collision élastique est donc caactéisée pa la consevation de l énegie cinétique T f = T i. Revenons à note application. Si la collision est élastique, nous avons une 1 équation supplémentaie : 2 m 1 v1i 2 = 1 2 m 1 v1f 2 + 1 2 m 2 v2f 2 Nous avons ainsi 3 équations pou 4 inconnues. Si nous connaissons l une des inconnues, pa exemple l angle θ 1, avec les 3 équations, nous pouvons déduie les 3 autes inconnues, v 1f, v 2f et θ 2. Dans le cas extêmement paticulie d une collision élastique ente deux paticules de même masse m, les équations pécédentes deviennent : m v 1i = m v 1f + m v 2f 1 2 m v2 1 2 m v2 1f + m 1 2 v2 2f v 1i = v 1f + v 2f v 2 1i = v 2 1f + v 2 2f Nous pouvons multiplie la pemièe équation, à gauche pa v 1i, à doite pa v 1f + v 2f. On obtient facilement : v 2 1i = v 2 1f + v2 2f + 2 v 1f v 2f. En compaant avec l équation v 2 1i = v 2 1f + v 2 2f, il est évident que Plusieus possibilités : v 1f v 2f = 0 1. v 1f = 0 v 2f = v 1i : le choc est fontal et il y a échange de vitesses : tout se passe à 1 dimension. 2. v 2f = 0 : la paticule 1 fôle la paticule 2 et cette denièe n a pas acquis de vitesse : il n y a pas de collision! 3. v 1f v 2f = 0 = v 1f v 2f cosθ θ = 90-78-
avant Loi de Newton pou un ensemble de paticules 1 v 1i 2 1 2 v 1f = 0 apès v 2f = v 1i v 1i v 2f v 1f y Point de contôle θ θ x La figue ci-conte monte une collision pafaitement élastique d'une balle conte un mu infiniment loud. Donnez la diection de p, la vaiation de la quantité de mouvement de la balle. Application 2 : Le choc mou. C est un cas qui n existe qu en physique classique ; les deux paticules adhèent apès le choc. Nous taitons ici du cas où une paticule est initialement au epos ; la généalisation au cas où les 2 paticules sont initialement en mouvement est immédiate (voi point de contôle ci-apès). 1 2 v 1i m 1 m 2 m 1 + m 2 V avant apès Ici aussi, le système est isolé et la quantité de mouvement totale est consevée : m 1 m 1 v 1i = (m 1 + m 2 ) V V = v 1i m 1 + m 2 Point de contôle Un cops 1 et un cops 2 subissent un choc mou à une dimension. Quelle est leu quantité de mouvement finale si leus quatités de mouvements initiales étaient de a) 10 kg.m/s et 0 ; b) 10 kg.m/s et 4 kg.m/s ; c) 10 kg.m/s et - 4 kg.m/s? -79-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules Systèmes à masses vaiables : le pincipe des fusées La fusée, d une masse vaiable avec le temps m(t) éjecte pendant t une masse m > 0 de fluide animée d une vitesse u mesuée dans le éféentiel de la fusée. v v + v Temps t Temps t + t m g - m > 0 u u mesué pa appot à la fusée Utilisons la 2ème loi de Newton pou le cops de la fusée au temps t et aux deux masses au temps t + t. avec : F ext = d P tot = lim t 0 F ext = m(t) g P tot (t) = m(t) v P tot (t + t) P tot (t) t P tot (t + t) = ( m(t) + m ) ( v + v ) m ( v + u ) }{{} vu depuis le sol! Un obsevateu au sol attibue en effet la vitesse v + u à la masse de fluide m. P tot (t + t) = m(t) v + m(t) v m u + temes en m v m(t) v m(t) g = lim t 0 t m u lim t 0 t = m(t) a u dm -80-
Loi de Newton pou un ensemble de paticules L accéléation du cops de la fusée est ainsi : ( a = g + ( u) 1 m Examinons les signes de note expession : 1. g est diigé ves le bas ; 2. u est diigé ves le haut ; 3. dm < 0 est ( la dépedition de masse de la fusée. Donc ( u) 1 ) dm est diigé ves le haut. m ) dm Si 1 m dm et u sont assez gands, a peut ête diigé ves le haut! -81-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Rappel su la cinématique de otation La figue ci-apès epésente un cops igide en otation autou d un axe fixe pependiculaie au plan OAB et passant pa O. Pendant un intevalle de temps t, l objet toune d un angle θ et tous les points de la doite OA se déplacent ves leu position coespondante su la doite OB. Si nous taitons ce poblème pa les vaiables cinématiques tels que, v, a le poblème devient tès compliqué du fait que chaque paticule su OA a une vitesse v difféente! Il est donc plus judicieux d intoduie des vaiables cinématiques angulaies qui seont communs à toutes les paticules qui composent le cops. B O θ A s B O θ s A Nous avons : θ = s pa définition de l angle (en adian). Comme nous l avons fait pou les vitesses, nous pouvons défini les vitesses angulaies moyenne et instantanée : ω moy = θ θ ω = lim t t 0 t = dθ La péiode T est la duée d une évolution et la féquence ν est le nombe de évolutions pa seconde ; péiode et féquence sont eliées pa la elation ν = 1/T. La vitesse linéaie v est associée à un déplacement le long de l ac et, pa conséquent, est tangente au cecle et nous avons v = ω : bien que toutes les paticules de l objet aient la même vitesse angulaie, le module de leu vitesse linéaie est popotionnel à la distance qui les sépae de l axe de otation. Losque la vitesse angulaie vaie, nous avons une accéléation angulaie. Comme nous l avons fait pou les accéléations linéaies, nous définissons -82-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe les accéléations angulaies moyenne et instantanée : γ moy = ω t γ = lim t 0 ( γ est nul pou un MCU ). ω t = dω Caactèe vectoiel de la vitesse et de l accéléation angulaie Nous pouvons aussi donne à la vitesse angulaie un caactèe (pseudo) vectoiel ; ω est diigé selon l axe de otation, son sens est donné pa la ègle du tie-bouchon ou celui des 3 doigts de la main doite (le pouce venant ves l index dans le sens de la otation, le majeu donne le sens de ω ). z v ω y x La elation avec le vitesse linéaie est v = ω De même, l accéléation angulaie, γ = d ω est selon l axe de otation, son sens dépend évidemment de l accoissement ou de la diminution de ω. Si γ n est pas nul, nous n avons pas un MCU : il existe donc une accéléation tangentielle a t, en plus de l accéléation adiale a f = ω 2 toujous pésente dans un mouvement non ectiligne. L accéléation tangentielle mesue la vaiation de la vitesse linéaie de la paticule dans son mouvement ciculaie : v = ω ω = v γ = dω = dv 1 }{{} a t = γ = a t La elation vectoielle avec l accéléation tangentielle est a t = γ -83-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe L énegie cinétique de otation Un objet tounant autou de son axe possède cetainement une énegie cinétique associée à la otation ; nous pouvons touve son expession en sommant les énegies cinétiques de chacune des paticules qui constitue l objet dans son ensemble : T = i 1 2 m i v 2 i = i 1 2 m i (ω i ) 2 = 1 2 ( i m i 2 i La quantité ente paenthèses est le moment d inetie I du solide : il nous enseigne su la épatition de la masse du cops autou de l axe de otation. I = m i i 2 T = 1 2 I ω 2 i Exemple Un long cylinde est plus facile à mette en otation selon son ) ω 2 a) axe de otation axe de otation b) axe longitudinal que selon un axe passant pa son cente et pependiculaie à son axe longitudinal : la masse est distibuée de manièe plus poche de l axe de otation dans le cas a) que dans le cas b). Pou une même vitesse angulaie de otation, l énegie cinétique du solide en otation dans le cas a) est plus faible que dans le cas b). Point de contôle La figue suivante monte 3 petites sphèes qui tounent autou d un axe vetical. Classez les sphèes suivant leu moment d inetie pa appot à l axe de otation. Axe de otation 1 m 2 m 3 m 36 kg 9 kg 4 kg -84-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Quelques exemples de moment d inetie Si le système dont nous voulons calcule le moment d inetie ne compote que quelques paticules, nous pouvons faie la sommation I = m i i 2, Dans le i cas d un solide continu, nous devons emplace la sommation pécédente pa une intégale I = 2 dm. Pou ces calculs, on tienda compte de la symétie du solide que nous supposons ici homogène. 3 3 3 2 2 2 1 Anneau de ayon R 1 Cylinde de ayon R et de longueu L 1 Sphèe de ayon R Moment d inetie p.. 3 Moment d inetie p.. Anneau MR 2 1 2 MR2 1 Cylinde 2 MR2 1 4 MR2 + 1 12 ML2 2 Sphèe 5 MR2 2 5 MR2 Le moment des foces, l équation de Newton pou la otation et le moment cinétique Exemple 1 Pou souleve une piee ou un objet pesant, on emploie souvent un levie ; pou pouvoi souleve l objet, il faut que F 2 m g 1 et pou avoi l équilibe F 2 = m g 1. Exemple 2 Pou ouvi une pote, nous devons exece une foce F qui ne peut ête paallèle à la pote. Nous savons d expéience que la foce à exece est moins gande si F est pependiculaie à la pote, c.à.d. à. -85-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe 1) F P 1 2 F g = mg 2) mu gond pote θ F n θ F F t C est Léonad de Vinci qui, le pemie, intoduisit la notion de bas de levie qui est la distance ente l axe (ou le pivot) et la diection (ou ligne d action) de la foce F. Dans note cas, le moment de la foce est M = F = F sinθ Point de contôle La bae dessinée ci-dessous peut toune autou du point pivot situé su sa gauche. Deux foces, F1 et F 2 sont appliquées su la bae ; seule F 1 est epésentée su la figue. La foce F 2 est aussi pependiculaie à la bae et est appliquée à l extémité doite de la bae. Si la bae ne toune pas, a) quel doit ête le sens de F 2? b) le module de F 2 est-il plus gand, égal ou plus petit que celui de F 1? F 1 pivot Equation de Newton Appliquons l équation de Newton d abod pou une paticule i du solide en otation autou d un axe. Une foce F agit su la paticule. Comme la paticule appatient au solide, elle ne peut que se mouvoi selon un cecle pependiculaie à l axe de otation. Seule la composante tangentielle F t, i de la foce peut lui donne une accéléation, focément tangentielle. En utilisant la deuxième loi de Newton le long de la tangente à la tajectoie ciculaie : F t, i = m i a t, i. -86-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe F F t i F axe de otation ayon fixe Le moment de la foce F t, i pa appot à l axe de otation est : M, i = F t, i i = }{{} Eq. de Newton m i a t, i i }{{} = m i γ i 2 = (m i i 2 ) γ déf. acc. angulaie γ est l accéléation angulaie et a t = γ Pou le solide en entie, nous sommons su les paticules i : M = i (m i 2 i ) γ = I γ = I dω (ω est la vitesse angulaie) L équation M = I γ peut encoe ête tansfomée ainsi : M = (m i i 2 ) dω d = }{{} ( i m i v i ) = d l i i ω = v/ i i l i = i m i v i est le moment cinétique de la paticule i. Nous avons ici une déivation pa appot au temps et une sommation su les paticules i. Nous pouvons pemute l ode de ces deux opéations : M = d l i = d l i = dl i i L = l i = i m i v i }{{} = (m i i 2 ) ω }{{} = I ω i i v = ω i déf. de I L = I ω est le moment cinétique du solide. -87-
Résumé Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Pou 1 paticule Moment de la foce M = F. Moment cinétique de la paticule en otation l = m v. Equation de Newton pou la otation : M = (m 2 ) γ = (m 2 ) dω. Pou un solide Moment de la foce M = F. Moment cinétique de l objet en otation L = i l i = I ω. Equation de Newton pou la otation : M = dl = I dω. -88-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Fome vectoielle de l équation de Newton pou la otation Pou une paticule Nous avons défini le module du moment de la foce M = F = F sinθ, étant la distance ente l axe de otation et la diection de la foce F et θ l angle ente la foce et le vecteu. Le moment de la foce est en fait une gandeu vectoielle et la fome de son module appelle celui de la ésultante d un poduit vectoiel. Le moment de la foce comme gandeu vectoielle est défini pa : M = F De même, le moment cinétique pou une paticule en otation à la distance de l axe l = m v est aussi une gandeu vectoielle et est défini pa : l = m v = p Déivons l équation pécédente pa appot au temps : d l d p = + d }{{} = v p = }{{} Newton F ext + v m v }{{} = 0 = M M = d l z x y M θ F O p θ l -89-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Pou un système de paticules L équation M, i = d l i système de paticules s applique à chaque paticule i, pou un M = d L où M = i M, i et L = i li. Dans le cas où la otation se fait autou d un axe fixe, L = I ω et d ω M = I Point de contôle Les 5 paticules dessinées su la figue ci-dessous ont une même masse, leus vitesses ont le même module. Odonnez les paticules dans l ode décoissant de leu moment cinétique pa appot au point O. Quelles sont les paticules qui ont un moment cinétique négatif pa appot au point O? 1 3 O O 5 2 4 Tavail et énegie cinétique de otation Rappel Nous avons vu au chapite pécédent que le tavail d une foce su une paticule, ente deux points 1 et 2, ésultait en une vaiation de l énegie cinétique de cette paticule : 2 W 12 = F d = T2 T 1 1 Dans ce paagaphe, nous allons echeche une équation similaie pou la otation. Considéons un cylinde en otation autou de son axe et une foce F agissant su le cylinde : -90-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe F F F t dθ ω axe de otation Nous avons vu que l énegie cinétique d un solide en otation autou d un axe est T = 1 2 I ω 2. Comme expliqué pécédemment, seule la composante tangentielle de la foce peut agi su le solide, la composante adiale, elle, n a aucun effet, puisque la paticule su laquelle elle agit este attachée au solide, que son moment pa appot à l axe est nul et que son tavail est aussi nul. Le tavail de la foce est donc, pou une petite otation dθ du cylinde : Mais M = I d ω dw = F d }{{} = F t dθ = M dθ d = dθ d ω dw = I dθ }{{} = dθ = ω I ω dω Le tavail de la foce, su une otation finie de l objet ente θ 1 et θ 2, est ainsi : W 12 = θ2 θ 1 M dθ = I 2 1 ω dω = 1 2 I ω 2 2 1 2 I ω 2 1 La puissance est le tavail effectué pa la foce pendant l unité de temps : P = δw = M dθ = M ω Nous obtenons donc des elation en tous points analogues à celles établies pou la tanslation de la paticule, comme le monte le tableau ci- apès. -91-
Rotation d un cops igide autou d un axe fixe Paallèle ente la Mécanique de la paticule et celle du solide autou d un axe fixe Mécanique de la paticule Tanslation Mécanique du solide en otation autou d un axe fixe Rotation Rayon vecteu [m] Angle de otation θ [sans dim.] Vitesse v [m/s] Vitesse angulaie ω [s 1 ] Accéléation a [m/s 2 ] Accéléation angulaie γ [s 2 ] Foce F ext [N] Masse m [kg] Quantité de mouvement p p = m v [kg m/s] Moment de foce M = F ext [N m] Moment d inetie I = m i i 2 [kg m 2 ] i Moment cinétique pou 1 paticule l = p [kg m 2 /s] Moment cinétique pou un solide L = I ω [kg m 2 /s] Newton : F = d p = m d v = m a M = d L = I d ω = I γ Tavail : W 12 = 2 1 F d W 12 = 2 1 M dθ Théoème de l énegie cinétique Théoème de l énegie cinétique W 12 = T = 1 2 m [ ] v2 2 v1 2 W 12 = T = 1 2 I [ ω 2 2 ω 2 1] -92-