Themodnamique - Chapite 0 LES COAISSACES - Déivées patielles Déinition : Soit une onction de deu vaiables et La déivée patielle pa appot à de la onction est la onction des deu vaiables et, notée, telle que : + h (, ) lim (, ) (, ) h0 h De même, la déivée patielle pa appot à de la onction est la onction des deu vaiables et, notée, telle que : + h (, ) lim (, ) (, ) h0 h Remaque : La déinition se généalise pou une onction de n vaiables On peut alos déini n déivées patielles Méthode de calcul : Chaque déivée patielle pa appot à une vaiable se calcule en déivant pa appot à cette vaiable, les autes étant considéées comme des constantes Déivées secondes : Les notations sont les suivantes : ; ; ;
Themodnamique - Chapite 0 Théoème de Schwa : Pou toute onction de plusieus vaiables,,, dont les déivées secondes sont continues : ; ; ; - Diéentielle totale eacte (DTE) Fonctions d une vaiable : A toute onction on associe la diéentielle totale eacte d telle que : d '( ) d Intepétation : Si d epésente une vaiation élémentaie (ininitésimale) de la vaiable, alos d epésente la vaiation élémentaie coespondante de Il suit d imagine, su le schéma, que d est ininiment petit en le aisant tende ves éo : la tangente se conond alos avec la coube et d avec la vaiation ( + d) ( ) Remaque : On etouve la déinition de la déivée puisque : d ( + d) ( ) '( ) (+d) () () d ( + d) ( ) h lim ( + ) ( ) d h0 h +d Tangente de pente '() Fonctions de plusieus vaiables : La diéentielle totale eacte d de la onction des vaiables,, est telle que : d d d d + + +,,, Intepétation identique : Si d, d, d epésentent les vaiations élémentaies des vaiables,,, alos d epésente la vaiation élémentaie coespondante de Fomules de développement des diéentielles : Elles sont les mêmes que celles des déivées Si u et v sont des onctions et k une constante : d( u + v) du + dv ; d( k u) k du ; d( u v) du v + u dv ; d u du v u dv v v
Themodnamique - Chapite 0 Popiété ondamentale : L intégale d une DTE ne dépend que des bones d intégation : d ( B) ( A) On dit couamment qu elle est indépendante du chemin suivi, c est-à-die de la açon dont on ait vaie les vaiables ente ( A, A,) et ( B, B,) Elle est acile à compende si on appelle que l intégale coespond à une somme continue : l intégale de la DTE d est alos la somme des vaiations élémentaies de la onction ente un point A( A, A,) et un point B( B, B,) Elle vaut donc bien la vaiation totale de la onction, c'est-à-die : (, ) (,,) B B, A A Remaque : Cette popiété est bien connue dans le cas de la diéentielle d une onction d une seule vaiable puisque : Théoème de Poincaé : B A B d '( ) d ( ) ( ) Cas d une diéentielle dépendant de deu vaiables : A Toute diéentielle s écivant sous la ome d P(, ) d + Q(, ) d n est pas océment une DTE En d autes temes, il n eiste pas océment de onction des vaiables et dont d en est la DTE Dans ce cas, l intégale de d dépend du chemin suivi Le théoème de Poincaé pemet d identiie une DTE : B A B A d est une DTE si et seulement si : P Q Cas d une diéentielle dépendant de tois vaiables : Soit la diéentielle d P(,, ) d + Q(,, ) d + R(,, ) d d est une DTE si et seulement si : P Q P R Q R,,,,,, 3 - Gadient d une onction de plusieus vaiables Déinition : C est un opéateu vectoiel qui associe à toute onction des vaiables, et, le vecteu gad ( ) tel que : d gad d l ( ) l où : dl est le vecteu déplacement élémentaie du point M(,, ) : d MM ' avec M(,, ) et M '( + d, + d, + d) 3
Themodnamique - Chapite 0 Remaque : gad ( ) est un champ de vecteus, c'est-à-die que gad( ) est déini en tout point de l espace En d autes temes, à chaque point M(,, ) est associé un vecteu gad ( )( M ) Champ de gadient : ( Un champ de vecteus E M ) est un champ de gadient si et seulement si il eiste une onction telle que : E gad( ) (ome intégale) ou encoe : d E ( M) d l (ome diéentielle) (ces deu omes sont équivalentes compte tenu de la déinition de gad ( ) ) La onction s appelle alos le potentiel scalaie dont déive le champ Application : Losqu un champ de oces est un champ de gadient, le potentiel scalaie dont il déive s appelle énegie potentielle L énegie potentielle associée à une oce est donc déinie pa : F gad( E P ) (ome intégale) ou encoe : dep F d l (ome diéentielle) Popiétés géométiques : Considéons un déplacement élémentaie dl quelconque (non nul) d un point M, su une suace équipotentielle (suace déinie pa (,, ) cte ) Alos : d 0 et donc : gad ( ) dl 0 On en déduit que gad ( ) est othogonal à tout vecteu déplacement élémentaie tangent à une suace équipotentielle Conclusion : gad ( ) est othogonal au suaces équipotentielles Considéons maintenant un déplacement élémentaie dl (non nul) d un point M, othogonal à une suace équipotentielle Si est coissante : d > 0 soit : gad ( ) dl > 0 On a donc gad ( ) et dl dans le même sens Si est décoissante : d < 0 soit : gad ( ) dl < 0 On a donc gad ( ) et dl de sens contaies Conclusion : gad ( ) est oienté dans le sens du potentiel coissant Remaque : Dans le cas d un champ de oces déivant d une énegie potentielle (oce consevative), la oce est donc othogonale au suaces équipotentielles et oientée dans le sens de la décoissance de l énegie potentielle 4
Themodnamique - Chapite 0 4 - Sstèmes de coodonnées Coodonnées catésiennes : Point M : M(,, ) ecteu position : OM i + j + k soit : OM (,, ) Déplacement élémentaie : dl ( d, d, d ) Gadient : gad ( ),,,,, O M i k j Coodonnées clindiques : Point M : M(, θ, ) ecteu position : OM e + k soit : OM (, 0, ) Déplacement élémentaie : dl ( d, d θ, d ) M k e θ e Gadient : gad( ),, θ θ,,, θ O θ Coodonnées sphéiques : Point M : M(, θ, φ) ecteu position : OM e soit : OM (, 0, 0) Déplacement élémentaie : dl ( d, d θ, sin θ d φ) Gadient : gad ( ),, θ sinθ φ θ, φ, φ, θ M θ O φ e e θ e φ 5 - Incetitudes su les mesues Incetitude absolue et incetitude elative : Toute mesue phsique étant assujettie à une impécision, la valeu d une gandeu mesuée ne peut pas ête déteminée de açon absolue On déinit alos un intevalle de coniance qui contient cette valeu avec une pobabilité donnée (qui peut ête choisie) 5
Themodnamique - Chapite 0 Pou la gandeu phsique X, on note : < X < + ou encoe : est la valeu centale de l intevalle de coniance est l incetitude absolue ; est l incetitude elative ± X Calcul d incetitude pou un échantillon de mesues : Losqu on éalise une séie de mesues d une gandeu phsique en l absence d eeu sstématique (eeu epoductible et pésente dans toutes les mesues), on peut aie appel à un taitement statistique de cette séie pou détemine l incetitude On déinit alos (pou mesues notées i ) : i i aleu moenne : Estimateu sans biais de l écat tpe : σˆ ( i ) Intevalle de coniance : ˆ i σ t où : t est le coeicient de Student Ce coeicient dépend du nombe de mesues et de la pobabilité choisie pou déini l intevalle de coniance Le tableau suivant en donne quelques valeus pou une pobabilité de 95% et de 99% : 3 4 5 6 7 8 9 0 4 6 0 t 95% 4,30 3,8,78,57,45,37,3,6,0,6,3,09 t 99% 9,93 5,84 4,60 4,03 3,7 3,50 3,36 3,5 3, 3,0,95,86 On penda inalement : < X < + Incetitude su une gandeu calculée : Pou détemine l incetitude su une gandeu calculée à pati d autes gandeus phsiques,, dont on connaît les incetitudes, on assimile les eeus de mesues à des diéentielles (celles-ci étant supposées petites) O : d d + d + D où : ε ε + ε + (en notant ε les eeus de mesue) Il s agit donc de aie une combinaison linéaie de vaiables aléatoies (en l absence d eeus sstématiques) Les lois statistiques montent alos que les estimateus sans biais des écats tpes se combinent de la açon suivante : σˆ ( ε ) σˆ ( ε ) + σˆ ( ε ) + Les intevalles de coniance étant popotionnels au écats tpes, ils se combinent selon la même lois 6
Themodnamique - Chapite 0 7 Soit : ( ) ( ) ( ) + ε + ε ε L intevalle de coniance d une eeu de mesue étant le même que celui de la gandeu mesuée (seules les moennes dièent), on a inalement : + + Remaque : On peut aussi calcule la diéentielle logaithmique ( ) d d ) ln( au lieu de d Avec le même aisonnement, on obtient inalement l incetitude elative
Themodnamique - Chapite 0 LES SAOIR-FAIRE - Calcule des déivées patielles S il s agit d une onction eplicite (écitue possible de son epession analtique), eectue la déivation pa appot à la vaiable considéée, en supposant les autes constantes Eemple : (,, ) ln( ) (,, ) ln( ) + ;,, (, ) ;, (, ) Toute déivée patielle peut ête obtenue pa calcul diéentiel Pa eemple, pou calcule, il suit de détemine la diéentielle d en supposant toutes les vaiables, (sau ) constantes En utilisant la ome généale d une DTE, on obtient alos : d, d (puisque d d 0 ), conduisant à Cette technique est obligatoie dans le cas d une onction implicite, obtenue losque plusieus gandeus sont liées, mais qu une gandeu ne peut pas ête epimée en onction des autes Eemple : ln( ) 0, La onction (, ) est implicite et ses déivées patielles ne sont pas calculables diectement ln( ) d 0 d ln( ) + d d 0 ( ln( ) + ) d d d 0 En supposant cte : d 0 et : En supposant cte : d 0 et : (, ) (, ) d d d d ln ln ( (, ) ) + ( (, ) ) + d d - Calcule des diéentielles S il s agit d une onction eplicite, calcule ses déivées patielles et ome sa DTE en utilisant sa ome généale : d d d d + + + Eemple 3 : (,, ) ln( ),,, (,, ) ln( ) + ;,, (, ) ;, (, ) 8
Themodnamique - Chapite 0 D où : ( ln( ) ) d + d d d Une diéentielle peut aussi ête calculée en utilisant les «Fomules de développement des diéentielles» (voi page ), ain de aie appaaîte des diéentielles de onctions d une seule vaiable, se calculant aisément Eemple 4 : (,, ) ln( ) ( ) d d ln( ) + d ln( ) d( ) d d Soit : d d d ln( ) + d d d Finalement : ( ln( ) ) d + d d d 3 - Identiie une DTE Ecie la diéentielle sous la ome : d P(,,) d + Q(,,) d + Utilise le théoème de Poincaé : si les elations nécessaies sont toutes véiiées, d est une DTE d d Eemple 5 : d + + ( + + ln( )) Posons : P(, ) + ; Q(, ) + + ln( ) P Alos : + + + Q et : + P Q Conclusion : Eemple 6 : dg 3 d + d Posons : P(, ) 3 ; Q(, ) P Alos : 3 Q et : d est donc une DTE P Q Conclusion : dg n est donc pas une DTE 9
Themodnamique - Chapite 0 4 - Intége une DTE Sachant que la diéentielle d P(,,) d + Q(,,) d + est une DTE, établi le sstème d équations diéentielles : P(, ) Q(, ) etc Intége une des équations pa appot à la vaiable coespondante La «constante d intégation» est alos une onction des autes vaiables Repote le ésultat ainsi obtenu dans les autes équations ain de détemine cette onction inconnue d d Eemple 7 : d + + ( + + ln( )) d étant une DTE (voi «Eemple 5», page 9) alos : d + d d + + ln( ) d () () Pa intégation de () pa appot à : (, ) + ln( ) + φ ( ) En déivant pa appot à et en epotant dans () : + ln( ) + φ'( ) + + ln( ) φ '( ) Soit : φ( ) + K ( K cte ) et inalement : (, ) + ln( ) + + K 5 - Calcule l intégale d une diéentielle Si la diéentielle n est pas une DTE, son intégale dépend du chemin suivi et il aut donc connaîte les lois d évolution des vaiables ente les bones d intégation On calcule alos l intégale en tenant compte de ces lois de vaiation Eemple 8 : Calcule I 3 d + d epésentés ci-conte, dans le plan ( O ) A O C A 4 O C 0 0 d 0 d 0 Chemin (OCA) : I 0 d+ d d 3 Soit : I 3 4 0 8 cad : I 3 avec O( 0, 0 ) et A(, 4 ), su les 3 chemins B O A C paabole 0
Themodnamique - Chapite 0 B A O B 0 0 4 d 0 d 0 Chemin (OBA) : I 0 d+ d d 3 Soit : I [ 4 ] cad : I 3 0 Chemin paabolique : Les vaiables et sont liées pa la elation D où : d d A 4 5 4 6 Alos : I 3 3 + ( 3 + ) 0 d d d 3 5 7 95 Soit : I 3 + 5 7 cad : I 3 35 0 0 Remaque : Comme attendu, les tois intégales sont diéentes, puisque la diéentielle intégée n est pas une DTE (voi «Eemple 6», page 9) d ln( ) d avec A(, ) et B( 3, ), su A B Eemple 9 : Calcule I + + ( + + ) les chemins epésentés ci-conte, dans le plan ( O ) Chemin (ACB) : C I B + d+ ( 4 + 3 ) ln( ) d A C d 0 3 d 0 Soit : I [ + ln( ) ] 3 + [ 4 + ln( 3) ] Cad : I + ln( 3) + 4 + 3ln( 3) 6 + 4ln( 3) Chemin (ADB) : D B I + + d d A D 0 d d 0 [ ] Soit : [ ] + ( + ln( ) ) I Cad : I + 4 + 4ln( 3) 6 + 4ln( 3) 3 O D A 3 B C Remaques : Comme attendu, les deu intégales sont identiques puisque la diéentielle intégée est une DTE (voi «Eemple 5», page 9) Il est aussi possible de calcule l intégale de cette DTE en utilisant la popiété : B d ( B) ( A) A
Themodnamique - Chapite 0 Pou cela, il aut connaîte la onction dont d est la diéentielle Ce calcul a été ait pécédemment (voi «Eemple 7», page 0) : (, ) + ln( ) + + K I ( 3, ) (, ) 6 + + 4ln( ) + + ln( ) 6 + 4ln( ) Donc : ( ) ( ) On etouve bien le même ésultat Attention : L intégale de la diéentielle d P(,,) d + Q(,,) d + ne s obtient pas en écivant : P(,,) d + Q(,,) d +! i Cette écitue n est valable que si les vaiables sont sépaées, avec une diéentielle de la ome : d P( ) d + Q( ) d + i 6 - Calcule le gadient d une onction Faie un choi de sstème de coodonnées adapté à la onction scalaie étudiée ain de ende son epession analtique la plus simple possible Détemine les coodonnées de son gadient dans ce sstème de coodonnées (voi «Sstèmes de coodonnées», page 5) Eemple 0 : Détemination de gad ( U ) pou U OM L epession de U est la plus simple en utilisant le sstème de coodonnées sphéiques : U U U Alos : gad U ( ) 0 soit : gad( U) θ U 0 sinθ φ OM Et intinsèquement : gad( U) OM Remaque : 3 Le calcul peut ête mené à l aide du sstème catésien, mais les calculs sont plus astidieu puisque l epession analtique de la onction U est alos moins simple En eet : U ( + + ) + + e en coodonnées catésiennes
Themodnamique - Chapite 0 3 U ( + + ) 3 U Alos : gad U ( ) ( + + ) 3 U ( + + ) 3 Soit : gad( U) ( + + ) ( i + j + k ) OM On etouve bien la même epession intinsèque : gad( U) OM 3 7 - Identiie un champ de gadient et détemine son potentiel scalaie Pou identiie un champ de gadient, il aut utilise sa déinition sous ome diéentielle : tq : d E d l Il aut donc calcule la ome diéentielle E dl (en utilisant le sstème de coodonnées coespondant au vaiables utilisées) et monte que c est une DTE à l aide du théoème de Poincaé Intége la DTE d E d l, ain de détemine le potentiel scalaie dont déive E Eemple : Détemination de l énegie potentielle de pesanteu Montons d abod que le poids est un champ de gadient En utilisant les coodonnées catésiennes : P( 0, 0, mg) ; dl ( d, d, d ) m g (m) O Donc : P dl mg d ( + 0d + 0 d ) est une DTE (c théoème de Poincaé) Le poids déive donc bien d une énegie potentielle telle que : dep mg d Pa intégation : E mg cte P + Remaque : On peut véiie que le poids est bien othogonal au suaces équipotentielles (plans hoiontau d équation cte ) et oienté dans le sens de la décoissance de l énegie potentielle (voi «Popiétés géométiques», page 4) Eemple : Détemination de l énegie potentielle de gavitation Montons d abod que la oce gavitationnelle, d epession Gm m F e, est un champ de gadient O (m ) (m ) F 3
Themodnamique - Chapite 0 En utilisant les coodonnées sphéiques : Gm m F, 0, 0 ; dl ( d, d θ, sin θ d φ ) Gm m Donc : F d l d ( + 0dθ + 0dφ ) est une DTE (c théoème de Poincaé) La oce gavitationnelle déive donc bien d une énegie potentielle telle que : Gmm dep d Gmm Pa intégation : EP + cte Remaque : Là encoe, on peut véiie que la oce gavitationnelle est othogonale au suaces équipotentielles (sphèes de cente O et d équation cte ) et oientée dans le sens de la décoissance de l énegie potentielle (voi «Popiétés géométiques», page 4) 8 - Calcule l incetitude su une gandeu mesuée Utilise une séie de mesues indépendantes i (sans eeu sstématique) ain de aie un taitement statistique Calcule la moenne des mesues pou obteni la valeu centale de l intevalle de coniance : i i Calcule l estimateu sans biais de l écat tpe : σˆ ( i ) ˆ i σ En déduie l incetitude : t où : t est le coeicient de Student (dont le tableau de valeus est donné page 6) Donne les ésultats numéiques en adaptant le nombe de chies signiicatis à la valeu de l incetitude Eemple 3 : Détemination de l incetitude su une tension mesuée avec diéents voltmètes Les valeus mesuées étant :,55 ;,5 ;,56 ;,49 ;,5 ;, 53,55 +,5 +,56 +,49 +,5 +,53 aleu moenne :,583 6 Estimateu sans biais de l écat tpe : σˆ ( i ) 5 ˆ σ Incetitude : t6 6 t 4,03 ) 6 ± 0,04 6 i 0,048 0,04 (calculée avec une pobabilité de 99 % : Finalement : u,53 ( u est donnée au centième de volt puisque son incetitude est de 4 centièmes) 4
Themodnamique - Chapite 0 9 - Détemine l incetitude su une gandeu calculée otons (,,) la gandeu calculée à pati des gandeus,, dont on connaît les incetitudes,, Pou calcule l incetitude absolue, calcule la diéentielle d en onction de d, d,, dont la ome généale est : d d + d + En déduie l incetitude absolue : + + On poua ensuite en déduie l incetitude elative Eemple 4 : Détemination de l incetitude su la ésistance intene R du voltmète utilisé dans un montage diviseu de tension, pou lequel le voltmète mesue la tension u : R e 0,03 u avec : e,5 ± ± 5 ± 0,0 ; R 500 kω ; u 0,6 R + R La gandeu calculée est A : R,93 MΩ Sa diéentielle est : dr R telle que : ( R + R ) u R e ( dr u + R du)( e u) Ru( de du) ( e u) u Ru Re Soit : dr dr de + du e u D où : ( e u) ( e u) ( e u) R Ru e u u ( e u ) R + R u e + R e u 87 kω R ± 0, 9 R Finalement :,9 MΩ ( R est donnée au centième de incetitude est de 9 centièmes) M Ω puisque son R L incetitude elative est donc : 0,6 6 % Cette technique de mesue de R la ésistance du voltmète n est donc pas une méthode pécise! Pou calcule l incetitude elative, calcule la diéentielle logaithmique ( ln( ) ) d en onction de d, d,, dont la ome généale est : λ d + λ d + En déduie l incetitude absolue : λ + λ + On poua ensuite en déduie l incetitude absolue d Cette méthode est paticulièement adaptée au epessions aisant inteveni des poduits (ou des appots), ca la onction logaithme pemet de linéaise ces epessions et le calcul de la diéentielle est alos plus simple d 5
Themodnamique - Chapite 0 Eemple 5 : Même question que dans l eemple pécédent, en utilisant la diéentielle logaithmique R Ru ln( R ) ln( R) + ln( u) ln( e u) e u Donc : Soit : Et : dr R dr R R R dr R dr R + + u du de du dr de + + du u e u R u e u e u R R e du de e ( e u) u e + u u + e ( e u ) ( e u) L incetitude absolue est alos : R 0, 9 MΩ ± 0, 9 R 5,6 % Finalement :,9 MΩ On etouve le même intevalle de coniance 6