Stellites et plnètes I. Les lois de Képle. 1. Appoche histoique : D pès un tvil d Eic Butz (IREM de l Réunion) www.eunion.iufm.f L stonome ycho Bhé (1546 1601) fit de nombeuses obsevtions tès pécises su les tjectoies des plnètes. Képle (1571 160) utilise les ésultts de ces obsevtions pou véifie l théoie de Copenic suivnt lquelle les plnètes tounent utou du Soleil d un mouvement ciculie, unifome, centé u Soleil. En pticulie, une petite difféence de 8 minutes d ngle (1 minute d ngle 1/60 ème de degé) ente les obsevtions de Ms p ycho Bhé et l position clculée de cette plnète su le cecle théoique lui font ejete le modèle ciculie de Copenic et touve les deux pemièes lois : Pemièe loi de Képle, éécite p Lplce en 1796 : «Les obes des plnètes sont des ellipses dont le cente du Soleil occupe l un des foyes» Question discussion éponse Fites un schém décivnt cette pemièe loi. Réponse : Remque : l ellipse dessinée est tès exgéée pou plus de clté. Deuxième loi de Képle, éécite p Lplce en 1796 : «Les ies décites utou de ce cente, p les yons vecteus des plnètes sont popotionnelles ux temps employés à les décie» Question discussion éponse : Pmi ces tois schéms, quel est celui qui coespond à l énoncé de l deuxième loi de Képle? n 1 n n
Réponse : Le schém n coespond à l énoncé de l deuxième loi de Képle oisième loi de Képle : Apès un gnd nombe de tenttives continuées pendnt 17 ns, Keple éussit à étbli une toisième loi elint l péiode de évolution u demi-gnd xe de l obite d une plnète utou du Soleil. Question discussion éponse : A pti des données du tbleu suivnt su lequel Keple uit pu tville, on cheche une eltion ente l distnce moyenne d une plnète utou du Soleil et l duée moyenne de leus évolutions. Plnètes distnce moyenne u Soleil duée moyenne des évolutions Mecue 0,9 0,4 Vénus 0,7 0,6 ee 1,00 1,00 Ms 1,5 1,88 Jupite 5,0 11,86 Stune 9,64 9,46 - ce su un tbleu le gphe f() et ffiche l éqution de l coube de tendnce. - Choisi los l eltion ppopiée pmi les suivntes : constnte ; constnte ; constnte ; constnte ; constnte 1 constnte ; constnte ; constnte ; constnte ; constnte
Réponse : - phe f () L éqution de l coube est y 0,999 x 1,4975, soit envion y 1 x 1,5 On peut écie que / Si on élève cette éqution u cé, on obtient, soit 1 - L eltion ppopiée est donc constnte On peut véifie que ce modèle est vlide dns un ute cs comme celui des stellites de Jupite. Question discussion éponse Compléte l denièe colonne du tbleu Concluez Stellite de Jupite Péiode de évolution du stellite utou de Jupite (s) Distnce du stellite à Jupite (m) Io 1,5 10 5 4, 10 8 Euope,07 10 5 6,71 10 8 nymède 6,19 10 5 1,07 10 9 Cllisto 1,44 10 6 1,88 10 9
Réponse : Stellite de Jupite Péiode de évolution du stellite utou de Jupite (s) Distnce du stellite à Jupite (m) Io 1,5 10 5 4, 10 8,11 10-16 Euope,07 10 5 6,71 10 8,1 10-16 nymède 6,19 10 5 1,07 10 9,1 10-16 Cllisto 1,44 10 6 1,88 10 9,1 10-16 Pou les stellites de Jupite, le ppot est constnt et égl à envion,1 10-16 Pou les stellites d une ute plnète, le ppot est églement constnt mis s vleu se difféente. L vleu du ppot est cctéistique de l ste centl utou duquel toune les plnètes ou stellites.. Enoncés des lois de Képle. Pemièe loi : Dns le éféentiel héliocentique, l tjectoie du cente d une plnète est une ellipse dont le cente du Soleil est l un des foyes. Deuxième loi : Le yon qui elie le cente du Soleil u cente de l plnète blie des ies égles pendnt les duées égles. oisième loi : constnte : péiode de évolution : demi-gnd xe II. Etude d un mouvement ciculie unifome. On constte que l ccélétion est dile comme l foce qui lui est colinéie. Il possède une vitesse initile non nulle.
Vecteu vitesse v Diection : tngent u cecle Sens : celui du mouvement ds Vleu : v dt (m.s -1 ) L vleu de l vitesse est constnte s : bscisse cuviligne Vecteu ccélétion Diection : dile (nomle à l tjectoie) Sens : centipète (ves le cente du cecle) Vleu : v (m.s - ) L ccélétion deux composntes : - une ccélétion nomle à l tjectoie n v dv - une ccélétion tngentielle τ dt dv pou un mouvement ciculie unifome τ 0 dt III. Enoncé de l loi de gvittion univeselle pou des cops dont l éptition des msses est à symétie sphéique et l distnce gnde devnt leu tille. Univeselle : qui s pplique à tous les cops (plnètes, comètes, potons ) Symétie sphéique : ssimilble à un point. L distnce ente les deux centes est notée. Pou l étude de l foce ttctive du Soleil su l ee F S /, on note le vecteu unitie u S Les vecteus F S / et u S sont opposés.
L foce d intection gvittionnelle qui s execent ente deux objets ponctuels pou expession vectoielle : F m m S S / u S est l constnte de gvittion univeselle. 6,67 10-11 N.m.kg - m S : msse du Soleil m : msse de l ee : distnce ente les centes du Soleil et de le ee. De plus : F S / - F / S L intensité de l foce pou expession : F S/ F /S m IV. Appliction de l deuxième loi de Newton. L ppliction de l deuxième loi de Newton pemet : - d étbli l expession de l ccélétion. - de défini les conditions pou que le mouvement soit ciculie unifome. - de détemine l vitesse et l péiode de évolution d un cops en mouvement ciculie unifome. - de etouve l toisième loi de Képle. 1. Etblissement de l expession de l ccélétion. On étudie l intection gvittionnelle du Soleil su l ee (celle de l Lune étnt négligée). Système : ee Réféentiel : éocentique Biln des foces : foce de gvittion univeselle du Soleil su l ee F Appliction de l deuxième loi de Newton : F ext F S / m m m u S m S / Alos : u S L msse dns l expession de l ccélétion est celle du cops ttcteu (ici le Soleil) Question discussion éponse : Réponde p VRAI ou FAUX en justifint vote éponse - l vleu de l foce execée p le Soleil su l ee est supéieue à celle execée p l ee su le Soleil. - l vleu de l ccélétion que subit l ee dépend de s msse.
Réponse : - FAUX c selon le pincipe des ctions écipoques F S/ F /S - FAUX l vleu de l ccélétion dépend de l msse du cops ttcteu.. Quelles sont les conditions pou que le mouvement soit ciculie unifome? On étudie le mouvement d un plet uto-poteu su une tble à coussin d i. Le plet est ccoché à un fil ccoché à un bod de l tble. Le plet est mis en mouvement vec une vitesse initile hoizontle. Il décit un mouvement ciculie unifome. Système : un plet uto-poteu de msse m Réféentiel : teeste supposé gliléen Biln des foces : poids, éction du pln et l foce execée p le fil. Appliction de l deuxième loi de Newton : F ext m P + R + F m F m Le cente d inetie est soumis à des foces dont l ésultnte est une foce dile et centipète, dont l expession est : F m v m u u : vecteu unitie opposé à F L intensité de cette foce est F m v constnte Les conditions pou qu un solide soit en mouvement ciculie unifome sont : - ccélétion dile - foce centipète - foce d intensité constnte - vitesse initile non nulle. Détemintion de l vitesse et l péiode de évolution d un cops en mouvement ciculie unifome. On étudie le mouvement de l vitesse d un stellite tificiel de msse m S utou de l ee de msse m à une distnce R + h (h : ltitude) Système : stellite Réféentiel : géocentique supposé gliléen Biln des foces : foce de gvittion univeselle Appliction de l deuxième loi de Newton : F ext m m m S m m v S Alos
v m L vitesse est indépendnte de l msse du stellite. L péiode de évolution du stellite utou de l ee est l duée minimle pou que le stellite effectue un tou complet de l ee. π v π π π ( + h) R Avec R 680 km. Il ne fut ps confonde : - péiode de évolution qui l duée nécessie pou un solide toune utou d un cops centl (exemple : l ee toune utou du Soleil en 65,5 jous) - péiode pope de ottion qui est l duée nécessie pou que le solide effectue une ottion su luimême (exemple : l péiode ottion pope de l ee est de h 56 s) 4. Retouve l toisième loi de Keple. On étbli que π Si on élève u cé cette expession, on obtient : 4 π 4 π constnte V. Les stellites géosttionnies. 1. Définition d un stellite géosttionnie. Un stellite géosttionnie une position fixe p ppot à l ee.. Conditions pou qu un stellite soit géosttionnie : - L tjectoie est un cecle contenu dns l pln équtoil. - Son sens de évolution est celui de l ottion de l tee. - S péiode est égl à un jou sidél : h 56 min 86160 s. - Son ltitude (distnce du stellite p ppot u sol) est égl à.
Question discussion éponse En utilisnt l eltion π géosttionnie., détemine à quelle ltitude le stellite doit se touve fin qu il soit R 680 km m 5,98 10 4 kg 6,67 10-11 S.I. 86160 s Réponse : 11 86160 6,67 10 5,98 10 7,5 10 4π 4π 4, 10 7 m h R 4, 10 7 680 10 5 800 000 m h 5 800 km. 4 VI. Notion d impesnteu dns le cs d un stellite en mouvement ciculie unifome. 1. Définition. On dit qu un cops est en étt d impesnteu, losqu il n est soumis qu à l seule foce de gvittion. Il ne s git donc ps d une bsence de gvittion.. Exemples de situtions d impesnteu. Question discussion éponse : Quel est le point commun ente un stonute en obite utou de l ee à bod de l nvette sptile et une pesonne dns une tou de chute libe d un pc d ttction? Souce : NASA Souce : pkfunwold Dns les deux cs, ils sont en chute libe. Ils se etouvent en étt d impesnteu.