Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

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1 Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est à égale distance des extrémités du segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment. La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment qui passe par son milieu. De plus le point appartient au segment, il est donc le milieu de ce segment. Propriété : Un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d intersection de ses diagonales. ABCD est un parallélogramme et O est le milieu de la diagonale [AC]. Le symétrique du point A par rapport à O est le point C. Le symétrique de la droite (AB) par rapport à O est la droite (CD) car les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. La droite (CB) a pour symétrique par rapport à O la droite (AD) car les côtés opposés d un parallélogramme sont parallèles. L intersection des droites (CD) et (AD) est le point D, on en conclut que le symétrique du point B par rapport à 0 est le point D car B est l intersection des droites (AB) et (CB). Le symétrique du parallélogramme ABCD par rapport à O est le parallélogramme ABCD, on en conclut que 0 est un centre symétrie. De plus, B a pour symétrique par rapport à O le point D, donc O est le milieu de [BD]. O est donc le point d intersection de ses diagonales. Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. (Ceci est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) ABCD est un parallélogramme et O est l intersection de ses diagonales [AC] et [BD]. Or, un parallélogramme a un centre de symétrie qui est le point d intersection de ses diagonales. Donc O est le milieu de [AC] et [BD]. Propriété : Si A et A' sont symétriques par rapport à un point O alors O est le milieu du segment [AA']. La définition de la symétrie centrale est la suivante. Dire que deux points sont symétriques par rapport à O signifie que le point O est le milieu du segment [MM ] Propriété : Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle coupe ce segment en son milieu.

2 Par définition de la médiatrice d un segment, c est la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu. Propriété : Si un triangle est rectangle alors son cercle circonscrit a pour centre le milieu de son hypoténuse. Soit ABC un triangle rectangle en A. Soit (C ) le milieu de du segment [AB] et B le milieu du segment [AC]. On trace les médiatrices (d) et (d ) des côtés respectifs [AB] et [AC]. (AB) (AC) et (AB) (d). Or si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles donc (AC) // (d). D après le même raisonnement : (AB) // (d ) D après l un des théorèmes issu du théorème de la droite des milieux : (d) coupe le segment [BC] en son milieu. De même (d ) coupe le segment [BC] en son milieu. Donc le point de concours des médiatrices d un triangle rectangle, qui est le centre du cercle circonscrit, est le milieu de l hypoténuse. Propriété : Si un segment est un diamètre d'un cercle alors le centre du cercle est le milieu de ce segment. Le diamètre est un segment limité par deux points du cercle et qui passe par son centre. Tout point appartenant au cercle est situé à la même distance de son centre. Or i un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment donc le centre du cercle est le milieu du diamètre. Propriété : Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un second côté alors elle passe par le milieu du troisième côté. Soit un triangle ABC et I le milieu de [AB]. La droite passant par I et parallèle au côté [BC] coupe le côté [AC] en J. Place le point J. Place le point E symétrique de J par rapport à I. Le quadrilatère AJBE est un parallélogramme car les diagonales [AB] et [JE] se coupent en leur milieu I. D où AJ = BE Même raisonnement pour le quadrilatère EBCJ est un parallélogramme. On en déduit que JC = BE D où AJ=JC et J appartient au segment [AC] donc J est le milieu de [AC] Propriété : Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. Soit 3 droites (d), (d ) et (d ) telles que (d) //(d ) et (d )// (d ). On utilise les propriétés des angles alternes-internes sur (d) et (d ) puisque (d) et (d ) sont parallèles, même chose entre (d ) et (d ) or si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors ces droites sont parallèles. Donc (d) et (d ) sont parallèles.

3 Propriété : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. Démonstration Les deux droites sont coupés par une sécante et forment de part et d autres 2 angles droits de même mesure. Or Propriété : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles. (Ceci est aussi vrai pour les losanges, rectangles et carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Cela découle de la définition Propriété : Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes de même mesure alors ces droites sont parallèles. Si deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de même mesure alors ces droites sont parallèles.

4 Si, dans un triangle, une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles. Réciproque du théorème de Thalès : Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d') distincts de A. Si les points A, B, M d'une part et les points A, C, N d'autre part sont alignés dans le même AM ordre et si AB AN alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. AC Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Si un triangle est rectangle alors les côtés de l'angle droit sont perpendiculaires. Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une alors elle est perpendiculaire à l'autre. Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai pour le carré qui est un losange particulier.) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. (Ceci est aussi vrai pour le carré qui est un rectangle particulier.) Si une droite est la médiatrice d'un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment. Si une droite est tangente à un cercle en un point alors elle est perpendiculaire au rayon de ce cercle qui a pour extrémité ce point.

5 Réciproque du théorème de Pythagore : Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés alors le triangle est rectangle et il admet ce plus grand côté pour hypoténuse. Si, dans un triangle, la longueur de la médiane relative à un côté est égale à la moitié de la longueur de ce côté alors ce triangle est rectangle et il admet ce côté pour hypoténuse. Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l'un de ses côtés alors il est rectangle et il admet ce diamètre pour hypoténuse. Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés de la même longueur deux à deux alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a ses angles opposés de la même mesure alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère non croisé a un centre de symétrie alors c'est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de la même longueur alors c'est un losange.

6 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c'est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de la même longueur alors c'est un losange. Si un quadrilatère possède trois angles droits alors c'est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de la même longueur alors c'est un rectangle. Si un parallélogramme possède un angle droit alors c'est un rectangle. Si un triangle possède un angle droit alors il est rectangle. Si un triangle a deux angles complémentaires alors il est rectangle. Si un triangle a deux côtés de la même longueur alors il est isocèle. Si un quadrilatère vérifie à la fois les propriétés du losange et du rectangle alors c'est un carré. Si un triangle est isocèle alors il a deux côtés de la même longueur. Si un triangle a deux angles de la même mesure alors il est isocèle. Si un triangle admet un axe de symétrie alors il est isocèle. Si un triangle a ses trois côtés de la même longueur alors il est équilatéral.

7 Si un triangle a ses trois angles de la même mesure alors il est équilatéral. Si un triangle admet trois axes de symétrie alors il est équilatéral. Si un triangle est équilatéral alors il a tous ses côtés de la même longueur. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés ont la même longueur. (C'est également vrai pour les rectangles, les losanges et les carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.) Si un quadrilatère est un losange alors tous ses côtés sont de la même longueur. (C'est également vrai pour les carrés qui sont des losanges particuliers.) Si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont la même longueur. (C'est également vrai pour les carrés qui sont des rectangles particuliers.) Si deux points appartiennent à un cercle alors ils sont équidistants du centre de ce cercle. Si un point appartient à la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est situé à la même distance des côtés de cet angle. Si deux segments sont symétriques par rapport à une droite alors ils ont la même longueur.

8 Si un cercle est l'image d'un autre cercle par une symétrie axiale ou centrale alors ils ont le même rayon. Si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même longueur. Si, dans un triangle, un segment joint les milieux de deux côtés alors sa longueur est égale à la moitié de celle du troisième côté. Théorème de Thalès : Soient deux droites (d) et (d') sécantes en A. B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d') distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles alors AM AB AN AC MN BC Théorème de Pythagore : Si un triangle est rectangle alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l'angle droit a pour longueur la moitié de la longueur de l'hypoténuse. Si deux angles sont symétriques par rapport à une droite alors ils ont la même mesure. Si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors ils ont la même mesure. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure. (C'est également vrai pour les losanges, les rectangles et les carrés qui sont des parallélogrammes particuliers.)

9 Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180. Si un quadrilatère est un parallélogramme alors deux de ses angles consécutifs sont supplémentaires. Si un triangle est rectangle alors ses angles aigus sont complémentaires. Si un triangle est isocèle alors ses angles à la base ont la même mesure. Si un triangle est équilatéral alors ses angles mesurent 60. Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes qu'elles forment sont de même mesure.

10 Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants qu'elles forment sont de même mesure. (voir figure au-dessus) Si une droite est la bissectrice d'un angle alors elle partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. Si deux angles sont inscrits dans un même cercle et s'ils interceptent le même arc de cercle alors ils ont la même mesure. Si un angle inscrit dans un cercle et un angle au centre interceptent le même arc de cercle, alors l'angle au centre mesure le double de l'angle inscrit. Si deux points sont symétriques par rapport à une droite alors cette droite est la médiatrice du segment ayant pour extrémités ces deux points.

11 Si un point est équidistant des extrémités d'un segment alors il est situé sur la médiatrice de ce segment. Si dans un triangle, une droite passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé alors c'est une hauteur du triangle. Si dans un triangle, une droite passe par un sommet et par le milieu du côté opposé alors c'est une médiane du triangle. Si une droite partage un angle en deux angles égaux alors cette droite est la bissectrice de l'angle. Si un point est situé à la même distance des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle.

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