Planning. Table des matières Révisions 2014

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1 BCPST Révisions 214 Planning Semaine Mardi Mercredi (Informatique) Mercredi Vendredi 19 au 23 mai Ex : Ex : Ex : Ex : au 3 mai Ex : Ex : Ex : Ex : au 6 juin Ex : Ex : Ex : Ex : au 13 juin Ex : Ex : Ex : Ex : Table des matières I Analyse 3 Exercice 1 : Exercice 2 : Exercice 3 : Exercice 4 : Exercice 5 : Exercice 6 : Exercice 7 : Exercice 8 : Exercice 9 : Exercice 1 : Exercice 11 : Exercice 12 : II Algèbre 6 Exercice 13 : Exercice 14 : Exercice 15 : Exercice 16 : Exercice 17 : Exercice 18 : Exercice 19 : Exercice 2 : Exercice 21 : Exercice 22 : Exercice 23 : Exercice 24 : III Probabilité 9 Exercice 25 : Exercice 26 : Exercice 27 : Exercice 28 :

2 Exercice 29 : Exercice 3 : Exercice 31 : Exercice 32 : Exercice 33 : Exercice 34 : Exercice 35 : Exercice 36 : Exercice 37 : Exercice 38 : Exercice 39 : Exercice 4 : Exercice 41 : Exercice 42 : Exercice 43 : Exercice 44 : Exercice 45 : Exercice 46 : Exercice 47 : IV Informatique 16 Exercice 48 : Des auteurs et des articles Exercice 49 : Snipper Exercice 5 : Course automobile Exercice 51 : Codage Exercice 52 : Amis Exercice 53 : Avions en vol Exercice 54 : Transport de marchandise Exercice 55 : Somme des nombres d'un carré Exercice 56 : Analyse d'un vecteur Exercice 57 : Fonction booléenne Exercice 58 : Full au pocker Exercice 59 : Au supermarché Exercice 6 : Procédé de Kaprekar Exercice 61 : Preuve par Exercice 62 : La multiplication des paysans russes BCPST2 C. Courant 2

3 I Analyse Exercice 1: On considère les fonctions f et g dénies sur [ ; + [ par : x [ ; + [, f(x) = ln(1 + e x ) et g(x) = 1 ) Étudier les variations de g sur [ ; + [. Déterminer la limite et la branche innie de g en +. Donner l'allure de la courbe représentative de g sur [ ; + [. x f(t) dt. 2 ) On note h la fonction dénie sur [ ; + [ par : x [ ; + [, h(x) = g(x) x. Déterminer le signe de h sur [ ; + [. 3 ) On considère la suite (u n ) n N de premier terme u [ ; + [ et telle que : n N, u n+1 = g(u n ). Déterminer la nature de la suite (u n ) n N selon la valeur de u. Exercice 2: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/fonctions/fonc21.tex On dénit : I n = π 2 (cos t) 2n dt, J n = π 2 t 2 (cos t) 2n dt, K n = J n I n 1 ) Etudier la monotonie de la suite (I n ) et en déduire que celle-ci converge. 2 ) Montrer : n, I n+1 = 2n + 1 2n + 2 I n. En déduire l'expression de I n en fonction de n. 3 ) Montrer : t [, π 2 ], t π sin t. 2 4 ) En déduire la limite de (K n ) Exercice 3: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/integrales/int27.tex 1 ) Montrer que l'équation x 5 + nx 1 = admet une unique solution réelle, notée u n. Montrer de plus que u n ], 1] 2 ) Etudier la monotonie de la suite (u n ) et montrer qu'elle converge. 3 ) Trouver la limite de (u n ) et un équivalent de (u n ) quand n +. 4 ) Déterminer un équivalent de u n 1 n. Exercice 4: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite12.tex Pour tout n de N, on pose : S n = n k=1 ( k ( k ) sin sin n) n 2 1 ) Montrer que la suite (T n ) n N converge et calculer sa limite. et T n = 2 ) Montrer : x, sin(x) x x ) En déduire la convergence de suite (S n ) n N et calculer sa limite. n k=1 k ( k ) n 2 sin. n BCPST2 C. Courant 3

4 Exercice 5: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite25.tex Soit u ] 1, [ et (u n ) n dénie par u n+1 = u n + u 2 n 1 ) Montrer qu (u n ) converge et déterminer sa limite. 2 1 ) La suite ( u n+1 1 u n ) converge t-elle? Donner sa limite. 3 ) Montrer : u n n 1 n Indication : On admettra que si v n n m alors 1 n n k=1 v k n m Exercice 6: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite23.tex On dénit la fonction f par : 2x sin t f(x) = x t 2 dt si x ln(2) si x = 1 ) Étudier la parité de f. Montrer que f est C 1 sur R Etudier les variations de f. { sin x x 2 ) Soit si g(x) = x 2 x si x = a) Montrer que g est C sur R. Déterminer la limite de b) En déduire que C 1 sur R et préciser f () 3 ) Montrer : x R, f(x) < 1 2x 2x x g(t) dt quand x. Exercice 7: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/integrales/int3.tex Soit a >. Pour tout x > 1, on pose f(x) = 1 x ( ln(x) ) a. On dénit alors la suite (u n ) n 2 par : n 2, u n = n f(k). 1 ) Étudier les variations de f sur ]1 ; + [. Tracer l'allure de sa courbe représentative. 2 ) Étudier les variations de la suite (u n ) n 2. 3 ) a) Pour tout k 2, montrer : f(k + 1) b) Montrer alors : n 2, n+1 c) En déduire la nature de la suite (u n ) n N. 2 k=2 k+1 k f(t) dt f(k). f(t) dt u n f(2) + n 2 f(t) dt. Exercice 8: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite24.tex y Soit P (x, y, z) = x 2, Q(x, y, z) = x et + y2 x 2 R(x, y, z) = 2z. + y2 1 ) Donner des conditions pour que P dx+q dy+r dz soit la diérentielle d'une fonction f. (c'est-à-dire : df = P dx + Q dy + R dz.) 2 ) Montrer que ces conditions sont vériées. 3 ) Trouver f. BCPST2 C. Courant 4

5 Exercice 9: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/fpv/fpv32.tex Pour tout n de N, on dénit la fonction g n par : x R, g n (x) = e x ( n 1 ) Pour tout n de N, étudier les variations de la fonction g n. n 2 x ) Montrer que, pour tout n de N, l'équation k k! = ex 2 admet une unique solution sur R, notée a n. 3 ) Étudier la monotonie de la suite (a n ) n N. 4 ) Montrer que la suite (a n ) n N diverge. k= k= x k ). k! Exercice 1: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite28.tex Soit g une fonction continue sur R, strictement croissante sur R et vériant : Pour tout n de N, on note f n la fonction dénie sur [ ; 1] par : x [ ; 1], f n (x) = x g(nt 2 ) dt 1 x g( nt 2 ) dt. lim g(x) =. x 1 ) Montrer que, pour tout n de N, l'équation f n (x) = admet une unique solution sur [ ; 1], que l'on note u n. 2 ) Étudier la monotonie de la suite (u n ) n N. 3 ) La suite (u n ) n N converge-t-elle? Si oui, déterminer sa limite. Exercice 11: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/suites/suite3.tex On note S l'ensemble des fonctions continues sur R telles que x R, f(2x) = f() + 1 ) Montrer que f est dérivable. x (x t)f(2t) dt 2 ) Montrer que f est solution d'une équation diérentielle et la résoudre. 3 ) En déduire l'ensemble S. Exercice 12: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/integrales/int28.tex On pose g(x, y) = (x + y)e (x2 +y 2 ) pour tout (x, y) R 2 1 ) Calculer le gradient de g. Quelles sont les valeurs de (x, y) susceptibles d'être des minima? 2 ) Quels sont les maximum M(r) et minimum m(r) de g sur le cercle C r de centre O et de rayon r? 3 ) Étudier les variations de M et de m sur R +. 4 ) En déduire que g admet un maximum et un minimum global sur R 2. 5 ) On note S la surface d'équation z = g(x, y). Trouver les droites incluses dans cette surface. BCPST2 C. Courant 5

6 II Algèbre Exercice 13: /home/carine/bcpst/basexo/analyse/fpv/fpv33.tex Dans l'espace vectoriel des fonctions C (R, R), on souhaite étudier la liberté de la famille (sin, sin sin, sin sin sin) 1 ) Donner le développement limité de sin à l'ordre 5. 2 ) En déduire le développement limité de sin sin à l'ordre 5. 3 ) La famille est-elle libre? Exercice 14: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/evdimnie/evdimnie43.tex Pour tout m de R, on note C m le cercle d'équation x 2 + y 2 + 2(m 1)x 2my + (m 1) 2 =. On note également C le cercle de centre O et de rayon 1. 1 ) Pour tout m de R, déterminer le centre et le rayon du cercle C m. 2 ) Montrer que tous les cercles C m admettent deux tangentes communes et déterminer des équations de ces tangentes. 3 ) Déterminer une condition nécessaire et susante sur m pour que l'intersection d'un cercle C m avec le cercle C ne soit pas vide. Exercice 15: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/geometrie/geo2.tex Soit E = R 4 [X] et F : P (X 2 1)P (4X + 1)P 1 ) Montrer que F est un endomorphisme de E. 2 1 ) Trouver λ et µ tel que x 2 1 = λ x 1 + µ x ) Noyau de F? 4 ) F est-elle diagonalisable? Exercice 16: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red37.tex Soit A = {M M 2 (R), (M + I 2 )(M + 2I 2 ) = } ( ) ) Soit M =. Montrer que M 1 A et déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres. 2 ) Soit M A. Montrer que si λ est valeur propre de M alors λ = 1 ou λ = 2. Est-il possible que ni 1, ni 2 ne soit valeur propre? 3 ) On suppose que 1 est la seule valeur propre. Montrer que M = I 2. 4 ) En déduire A Exercice 17: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red38.tex Soit E l'ensemble des fonctions de la forme t (a + bt) sin(t) + (c + dt) cos(t), où a, b, c, d sont des réels. On dénit les fonctions f 1 : t sin(t), f 2 : t t sin(t), f 3 : t cos(t) et f 4 : t t cos(t). 1 ) Montrer que E est un espace vectoriel. Montrer que la famille B = (f 1, f 2, f 3, f 4 ) est une base de E. Quelle est la dimension de E? Pour toute fonction f de E, on pose D(f) = f. 2 ) Montrer que D est un endomorphisme de E. Déterminer la matrice A de D dans la base B. 3 ) Pour tout n de N, calculer A n. BCPST2 C. Courant 6

7 Exercice 18: Le plan est rapporté à un repère orthonormal. /home/carine/bcpst/basexo/algebre/evdimnie/evdimnie44.tex 1 ) On note A(1, ) et B(, 1). Donner l'équation du cercle C passant par O, A et B. 2 ) Soit M(a, b) un point du plan. Calculer les coordonnées du projeté orthogonal de M sur la droite (AB). 3 ) Montrer que les projetés de M sur (AB), (OA) et (OB) sont alignés si et seulement si M est sur le cercle C. Exercice 19: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/geometrie/geo21.tex a 1 a 2... a n 1... Soit M = avec (a 1,..., a n ) C n ) Déterminer le rg(m) en fonction de a 1,..., a n 2 ) Montrer λ Sp(M) si et seulement si λ est racine du polynome P = X n a 1 X n 1 a n ) La matrice M = 1 1 est-elle diagonalisable? 1 Exercice 2: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red39.tex Soit E = R n [X] et e k = X k. On dénit : f : P P (X + 1) + XP (X) 1 ) Montrer que f est un endomorphisme. Calculer f(e k ). 2 ) Ecrire la matrice de f dans la base (e, e 1,..., e n ). f est-elle diagonalisable? 3 ) Pour n = 3, déterminer une base de vecteurs propres. Exercice 21: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red4.tex On note B = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) la base canonique de R On considère la matrice A = et f l'endomorphisme de R4 dont la matrice dans la base B 1 1 est A. 1 ) Montrer que A n'est pas inversible. Que peut-on en déduire pour le spectre de A? 2 ) Calculer A 4. Que peut-on en déduire pour le spectre de A? La matrice A est-elle diagonalisable? 3 ) On pose ε 1 = e 1, ε 2 = f(ε 1 ), ε 3 = f(ε 2 ) et ε 4 = f(ε 3 ) et on note C = (ε 1, ε 2, ε 3, ε 4 ). a) Montrer que C est une base de R 4. b) Déterminer la matrice N représentant f dans la base C. Donner une relation entre les matrices A et N. BCPST2 C. Courant 7

8 Exercice 22: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red41.tex On note f l'endomorphisme de R 4 dont la matrice dans la base canonique de R 4 est : 2 3 M = ) Montrer que f est diagonalisable. Déterminer ses deux valeurs prorpres notées a et b et ses sous-espaces propres associés. 2 ) Déterminer deux projecteurs p et q tels que : f = ap + bq, p q = et p + q = id E. 3 ) En déduire, pour tout n de N, la matrice M n. Exercice 23: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/reduction/red42.tex Soit m un réel non nul. Pour tout n N on dénit la matrice M n de M n (R) par m i,j = m j i. 1 ) Donner M 3 et ses valeurs propres. Est-elle diagonalisable? (indication : calculer M 2 3 ). 2 ) Comparer M 2 n et M n. En déduire les valeurs propres de M n. 3 ) Soit A = M n + λi. Donner A k pour k N. 4 ) Le résultat subsiste-t-il pour k négatif? (indication : vérier pour k = 1). Exercice 24: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/matrices/matrices28.tex On considère la suite de polynômes (P n ) n N dénie par : P = 2, P 1 = X et, pour tout n de N, P n+2 = XP n+1 P n. 1 ) Calculer P 2, P 3 et P 4. 2 ) Déterminer, pour tout n de N, le degré et le coecient dominant de P n. ( 3 ) Montrer que, pour tout (n, z) N C, P n z + 1 ) = z n + 1 z z. n 4 ) Soit n N. Résoudre dans C l'équation z n + 1 z n =. 5 ) En déduire, pour tout n de N, les racines de P n. BCPST2 C. Courant 8

9 III Probabilité Exercice 25: /home/carine/bcpst/basexo/algebre/polynomes/poly16.tex On étudie un quizz télévisé. Pour la première manche, le joueur A 1 aronte le joueur A 2. Le gagnant joue la seconde manche contre un nouveau joueur A 3 et le gagnant de cette nouvelle manche aronte A 4 et ainsi de suite. Le jeu s'arrête dès qu'un joueur a gagné en remportant 3 manches consécutives. On note p n la probabilité que le joueur A n joue au moins une fois et q n la probabilité que A n gagne. 1 ) Calculer q 1, q 2, q 3 et q 4. 2 ) Quels joueurs pourront rencontrer A n? 3 ) Montrer : n 5, p n = 1 2 p n p n 2 4 ) Pour tout n N, calculer p n et q n. Exercice 26: /home/carine/bcpst/basexo/proba/espproba/espproba26.tex Soit k un entier non nul. On dispose d'un dés à n faces numérotées de 1 à n qu'on lance un certain nombre de fois. On note X k la variable aléatoire égale à la somme des k premiers lancés. On note Y k le minimum des premiers lancés. 1 ) Montrer, par récurrence par exemple, l'égalité : 2 ) Préciser les valeurs prises par X k. n p, 3 ) Soit i X k+1 (Ω) Montrer : P(X k+1 = i) = 4 ) En déduire P(X k = i) = 5 ) Calculer espérance et variance de X k 6 ) Loi, espérance et variance de Y k. n k=p i 1 j=i n ( ) k = p ( i 1 ) k 1 pour n k k i k + n 1. ( ) n + 1 p n P(X k = j) Exercice 27: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad49.tex Une puce se déplace sur un axe horizontal gradué. A l'origine, elle est en. À chaque seconde, elle peut rester sur place (proabilité p), avancer d'une case (propabilité q) ou de deux cases (probabilité r). On note Y n le temps nécessaire pour atteindre ou dépasser le point n. 1 ) Loi et espérance de Y et Y 1. 2 ) Montrer : n 2, k 2, P(Y n = k) = pp(y n = k 1) + qp(y n 1 = k 1) + rp(y n 2 = k 1) 3 ) Montrer qu'il existe des constantes a, b, c, à déterminer telles que : n 2, E(Y n ) = ae(y n 1 ) + be(y n 2 ) + c 4 ) Montrer qu'il existe une constante d telle que (E(Y n ) nd) n soit linéaire récurrente d'ordre 2. Déterminer E(Y n ). BCPST2 C. Courant 9

10 Exercice 28: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad5.tex Soient(X 1,..., X n ) n variables aléatoires indépendantes suivant une même loi géométriques sur N de paramètre p. On pose Z n = max(x 1,..., X n ) et Y = min(x 1,..., X n ) 1 ) Donner pour tout k N, P(X 1 k). 2 ) Donner la loi de Z et la loi de Y. 3 ) Donner pour (i, k) (N ) 2, P(Y k, z i) Exercice 29: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad3.tex Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3. On considère une urne de n boules numérotées de 1 à n. On tire une boule, on note son numéro et on la remet dans l'urne. On arrête quand on obtient un numéro déjà obtenu. Soit T n le rang de la dernière boule tirée. 1 ) On considère n = 3. Loi de T 3 et son espérance. On suppose maintenant n 3 2 n! ) Déterminer T n (Ω) et montrer P(T n > k) = pour k 1, n. (n k)!nk n 3 ) Montrer E(T n ) = P(T n > k). k= Exercice 3: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad52.tex Une urne contient 3 pièces dont l'une est truquée : la probabilité de tirée face est 2/3. On tire une pièce dans l'urne et on joue à pile ou face N fois. Soit X n la variable aléatoire correspondant au nombre de faces obtenues. 1 ) Dans cette question N = 3. Loi de X 3? Montrer que la probabilité d'avoir tiré le pièce truquée sachant qu'on a obtenu une fois face est 8/35. 2 ) Désormais N N Soit i, N, r = i N a) Montrer que la probabilité qu'on ait tiré la pièce truquée sachant qu'on a obtenu i fois face sur N est de : 1 P N (r) = ( ) 3 N r+1 b) Etudier la limite de P N (r) en fonction de r quand N. Exercice 31: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad53.tex Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On eectue dans cette urne deux tirages avec remise. On note X (resp. Y ) la variable aléatoire égale au plus petit (resp. au plus grand) numéro obtenu. 1 ) Déterminer la loi du couple (X, Y ). 2 ) En déduire la loi marginale de X et la loi marginale de Y. 3 ) Calculer E(X) et E(Y ). BCPST2 C. Courant 1

11 Exercice 32: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad31.tex Soient X 1 et X 2 deux variables aléatoires dénies sur le même espace probabilisé, indépendantes, suivant toutes deux la loi géométrique à valeurs dans N de paramètre p ] ; 1[. 1 ) Déterminer la loi de X 1 X 2. 2 ) Montrer que X 1 X 2 admet une espérance et la calculer. 3 ) On pose T = max(x 1, X 2 ) et U = min(x 1, X 2 ). a) Exprimer T + U, T U et T U en fonction de X 1 et de X 2. b) En déduire l'existence et la valeur de la covariance de (T, U). Exercice 33: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad33.tex Soit n N. On lance n fois un dé équilibré. Le joueur A gagne si l'on obtient un nombre pair de 6 et le joueur B gagne si l'on obtient un nombre impair de 6. 1 ) On note X le nombre de 6 obtenus. Donner la loi de X. Expliciter, pour tout k de X(Ω), P(X = k). Donner enn E(X) et V(X). 2 ) On note a (resp. b) la probabilité que le joueur A (resp. B) gagne. ( 2 ) n. Déterminer a + b et montrer que (a b) = 3 En déduire a et b. Le jeu est-il équitable? 3 ) On dénit les variables aléatoires Y et Z par : { X si X est pair Y = et Z = sinon Calculer E(Y ) E(Z). { X si X est impair sinon 4 ) En supposant que le joueur perdant paie au gagnant le nombre de 6 obtenus dans la partie, quel joueur possède le plus gros gain moyen? Exercice 34: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad55.tex On réalise des lancers successifs d'une pièce amenant pile avec la probabilité p ( < p < 1). L'expérience s'arrête dès que l'on obtient deux piles consécutifs. On note X le nombre de piles alors obtenus et on pose, pour tout n de N, p n = P(X = n). 1 ) Calculer p 2. 2 ) Montrer : n 3, p n = qp n + pqp n 1. En déduire, pour tout n 2, une expression de p n. 3 ) On pose Y = X 1. Reconnaître la loi de Y. 4 ) En déduire l'espérance et la variance de X. Exercice 35: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad56.tex Soient X 1,..., X n indépendantes tels que E(X i ) = 1 et V(X i ) = 1. Soient (a 1,..., a n ) R n. et Y = n i=1 a ix i. 1 ) Déterminer E(Y ) et V(Y ). 2 ) On se place dans le repère R = (O, i, j, k ). Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point O sur le plan d'équation x + y + z = 1. BCPST2 C. Courant 11

12 3 ) On cherche à déterminer les coecients (a i ) tel que E(Y ) = 1 et V(Y ) soit minimal. a) Trouver la solution dans les cas n = 2 et n = 3. b) Déterminer la solution dans le cas général. Exercice 36: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad34.tex 1 ) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que la série de terme général ( P(X = n) ) 2 converge. 2 ) Soit X une variable aléatoire suivant la loi géométrique sur N de paramètre p (avec < p < 1). Calculer + n= ( P(X = n) ) 2. 3 ) Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique sur N de paramètre p. Déterminer p tel que P(X = Y ) = P(X Y ). Exercice 37: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad34.tex Soit X N (, 1). on pose Y = X 2 1 ) Montrer que Y est à densité et en préciser une densité g. Donner l'espérance de Y. pg( x) si x < 2 ) On pose : h(x) = si x = qg(x) si x > On suppose p + q = 1. Montrer que h est une densité d'une variable aléatoire. Déterminer son espérance et sa fonction de répartition. Exercice 38: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad21.tex Soit n N et f n dénie par e t t n f n (t) = si t > n! sinon 1 ) Montrer : x R +, Montrer que + x f n (t) dt = e x x n + n! x f n+1 (t) dt. f n (t) dt = 1. En déduire que f n est une densité de probabilité. 2 ) Soit X n admettantf n comme densité de probabilité. Montrer que X n admet une espérance et une vairance et les calculer. 3 ) Soit Y t P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant et l'instant t. Soit Z n le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées. a) Montrer [Z n t] = [Y t n] b) En déduire que Z n admet une densité de la forme f k avec k à préciser. BCPST2 C. Courant 12

13 Exercice 39: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad32.tex { a si (x, y) D Soit D = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 1 x + y} et f : (x, y) sinon 1 ) Désssiner le domaine D. montrer qu'il existe a tel que f soit une densité de couple de variables aléatoires. 2 ) Soit (X, Y ) un couple de f est une densité. Donner le loi marginale de X et son espérance. Exercice 4: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad28.tex Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètre λ. 1 ) Donner la loi de Z = X + Y 2 ) Donner la loi de U = Y X 3 ) Donner la loi de V = Y X + Y Exercice 41: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad3.tex Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre >. On pose Y = X 2. 1 ) Montrer que Y admet une espérance et la calculer. 2 ) Calculer la probabilité que l'équation t 2 2tY + 1 =, d'inconnue t R, admette deux solutions réelles distinctes, ainsi que la probabilité qu'elle n'admette que des racines complexes. 3 ) Montrer que Y est une variable aléatoire à densité de donner une densité de Y. Calculer ensuite + ye y dy. Exercice 42: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad33.tex 1 ) Déterminer le réel c pour que la fonction f : R R { c six 1 x x(x + 1) sinon variable aléatoire X. soit une densité d'une 2 ) On pose Y = 1/X. Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y. 3 ) Pour tout t de R, on note t le plus grand entier inférieur ou égal à t (c'est-à-dire la partie entière de t). On pose Z = X X. Calculer la fonction de répartition de Z et comparer la loi de Z et celle de Y. Exercice 43: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad34.tex On rappelle que si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes admettant f X et f Y comme densité alors X + Y admet comme densité f(x) = + f X(t)F Y (x t) dt. Soient U, V E(1) indépendantes. Soient S = U + V et Z = (U + V ) 2. 1 ) Donner la loi de S et la loi de Z. 2 ) Soit f(x, y) = c exp( x + y). Déterminer c pour que f soit une densité de couple de variables x + y aléatoires. BCPST2 C. Courant 13

14 3 ) Soit (X, Y ) un couple admenttant f comme densité. Déterminer les densités marginales de X et Y. Déterminer également la densité de X sachant Y = y. Exercice 44: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad31.tex Soit f la fonction dénie par { cxe (x+y) si x y f : (x, y) sinon où c est une constante 1 ) Déterminer c pour que f soit la densité de probabilité d'un couple de variables aléatoires. On considère un couple (X, Y ) admettant cette densité f. 2 ) Déterminer les densités marginales de X et Y 3 ) Soit U = Y X et S = X + Y. Calculer P(U u, S s). Exercice 45: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad32.tex Pour tous m, k de N tels que k m, on pose I k,m = 1 ) a) Pour tout m de N, calculer I,m. 1 x k (1 x) m k dx. b) Pour tous m, k de N tels que k m 1, donner une relation entre I k,m et I k+1,m. 1 c) En déduire, pour tous m, k de N tels que k m : I k,m = (m + 1) ( ). k m 2 ) Soit n N. On considère (2n + 1) variables aléatoires X 1,... X 2n+1, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi uniforme sur [ ; 1]. On note M n la variable aléatoire égale à la médiane, et pour tout x de [ ; 1], N x la variable aléatoire égale au nombre de variables X i tels que X i x. a) Pour tout x de [ ; 1], donner la loi de N x. b) En déduire la fonction de répartition de M n sous forme d'une somme. Montrer que M n est une variable aléatoire à densité. c) Montrer : E(M n ) = 1 P(M n > x) dx. En déduire E(M n ). Exercice 46: /home/carine/bcpst/basexo/proba/vad/vad35.tex Soit (X, y) un couples de variables aléatoires indépendantes. On suppose que X, Y N (, 1) 1 ) Déterminer une densité de X 2. 2 ) Soit Z = X 2 + Y 2. Déterminer une densité de Z. On rappelle la formule du produit de convolution : On pourra poser : t = xu 2 f g(x) = + f(t)g(x t) dt BCPST2 C. Courant 14

15 Exercice 47: /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad33.tex On considère deux variables aléatoires X et Y indépendantes suivant la loi uniforme sur l'intervalle [ ; 1]. On note U = X Y et V = X + Y. On rappelle la formule de convolution : si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de densités f et g, alors X + Y est une variable aléatoire à densité de densité h : x + f(t)g(x t) dt = + 1 ) Déterminer une densité de V. 2 ) Calculer la covariance de (U, V ). ( 3 ) a) Déterminer, en faisant un dessin, P U < 1 ) ( et P V > ) Les variables U et V sont-elles indépendantes? f(x t)g(t) dt. b) Calculer, pour tout u [ ; 1] et pour tout v [ ; 2], P ( [U u] [V v] ). BCPST2 C. Courant 15

16 IV Informatique Exercice 48: Des auteurs et des articles /home/carine/bcpst/basexo/proba/covad/covad35.tex On a n articles, et p auteurs. Chaque article est écrit par un ou plusieurs auteurs, et cite un ou plusieurs autres articles. 1 ) Décrire une structure informatique pour décrire les données du problème. 2 ) Ecrire une fonction qui crée une situation de façon aléatoire. On donnera en paramètre la propabilité t pour un auteur d'écrire un article, et celle r pour un article d'en citer un autre. 3 ) Écrire une fonction donnant tous les articles d'un auteur donné. 4 ) Écrire une fonction donnant tous les articles dans lequel un auteur donné est cité. 5 ) Écrire une fonction donnant tous les auteurs qui ne sont cités dans aucun article (sauf les leurs). Exercice 49: Snipper /home/carine/bcpst/basexo/info/info25.tex Sur un port de 1 cases par 1 cases, on place au hasard 1 conteneurs. 1 snipers doivent se cacher sur le port en sachant que : Un snipper ne peut pas se placer sur une case déjà occupée par un conteneur ou un autre snipper. Les snippers peuvent voir à l'inni sur la ligne, la colonne et les diagonales sur lesquels ils sont placés. Seul un obtacle (conteneur ou snippeur) les empèche de voir plus loin. Les snippers ne doivent pas se voir entre eux. 1 ) Comment représenter les données du problème? Créer un programme répartissant aléatoirement les conteneurs et les snippers. 2 ) Créer une fonction vériant pour chaque snipper s'il est visible ou non par un autre. 3 ) Créer une fonction répartissant les snippers suivant les contraintes du problème. Exercice 5: Course automobile /home/carine/bcpst/basexo/info/info29.tex Pour la qualication du grand départ de formule 1, on a n concurrents qui réalisent 1 tours de circuits. Le meilleur temps parmi les 1 tours détermine l'ordre de départ. Un concurrent peut faire une sortie de route et ne pas terminer son tour (mais faire les suivants) ou bien avoir un accident et être disqualié pour l'ensemble. 1 ) Déterminer une structure qui permet de modéliser le problème et écrire une fonction réalise les tours de qualication. 2 ) Ecrire une fonction qui détermine l'ordre de départ de la course à l'issue des 1 tours. 3 ) Modier la fonction précédente pour donner les classements provisoires après chacun des tours. Exercice 51: Codage /home/carine/bcpst/basexo/info/info31.tex On considère un vecteur de n chires. On désire coder le vecteur en utilisant une stratégie simple : on additionne ou on soustrait à chaque chire du vecteur un chire appelé clé qui varie entre 9 et 9. Le cryptage est circulaire : par exemple si la clé vaut 4, 3 donne 7 mais 8 donne 2. 1 ) Ecrire une fonction permettant de coder un vecteur. 2 ) Ecrire une fonction qui code un vecteur selon le principe suivant : On ajoute la clé quand le chire suivant est pair, on la soustrait quand le chire suivant est impair. (Pour le dernier chire, on regarde le premier). 3 ) Ecrire une fonction qui décode un vecteur codé suivant le principe précédent, la clé étant donnée. BCPST2 C. Courant 16

17 Exercice 52: Amis /home/carine/bcpst/basexo/info/info36.tex Un groupe de n personnes constitue une population. Chaque personne choisit un lot d'amis. L'amitié est considérée comme réciproque! 1 ) Ecrire une fonction qui permet de créer une population aléatoire et les amitiés entre les personnes. 2 ) Ecrire une fonction qui récapitule le nombre d'amis de chacun. 3 ) Ecrire une fonction qui compte le nombre de personnes sans amis. 4 ) Ecrire une fonction qui indique le nombre d'amis de ou des personne(s) ayant le plus d'amis et les numéros de ces personnes. Exercice 53: Avions en vol /home/carine/bcpst/basexo/info/info42.tex On considère qu'on connait le plan de vol d'un avion sous la forme d'un tableau T à 1 ligne dont l'indice donne la distance parcourue depuis l'aéroport de départ ( à 1 km, par pas de un km) et la valeur l'altitude à laquelle est l'avion à cette position (l'altitude prend la valeur 1 pour les positions non encore atteintes par l'avion). 1 ) Ecrire une fonction qui indique si l'avion a atteint une certaine altitude h au cours du vol. 2 ) Ecrire une fonction qui renvoie l'altitude maximale h max atteinte par l'avion et la distance que l'avion a parcouru à cette altitude. 3 ) Ecrire une fonction qui renvoie la position de l'avion lorsqu'il atteint pour la première fois l'altitude h max /2. 4 ) On suppose désormais que le plan de vol de n avions est donné par la matrice M à n lignes. Ecrire une fonction qui renvoie un classement des avions du plus avancé au moins avancé. Exercice 54: Transport de marchandise /home/carine/bcpst/basexo/info/info43.tex L'état français veut envoyer des engins pour chercher des personnes disparues suite à un tremblement de terre. Il dispose d'un avion pouvant transporter 15 tonnes et de n engins de 4 à 1 tonnes chacun. Soit E un vecteur de n cases, chaque case contient le pods de l'engin i qu'elle repésente. 1 ) Ecrire une fonction qui détermine aléatoirement un tel vecteur. 2 ) Un sous-ensemble S de l'ensemble des engins est représenté par un ecteur v de n cases contenant et des 1. Un 1 dans la i-ème case signie que l'engin numéro i fait partie du sous-ensemble. Ecrire une fonction qui détermine aléatoirement un tel sous-ensemble. Ecrire une fonction qui calcule le poids total d'un tel sous-ensemble. 3 ) Ecrire une fonction qui détermine n/1 sous-ensemble adéquats et qui choisit celui ayant le plus d'éléments. 4 ) Ecrire une fonction qui permet de maximiser le nombre d'éléments transportés. Exercice 55: Somme des nombres d'un carré /home/carine/bcpst/basexo/info/info38.tex On eectue les opérations suivantes : On choisit un entier On fait la somme des carré de chaque chire on recommence jusqu'à trouver 1 ou 4 Exemple : (36 + 1) 58(9 + 49) 89( ) 145( ) 42( ) 2(16 + 4) 4 1 ) Ecrire une fonction qui donne la somme des carrés d'un vecteur. 2 ) Ecrire une fonction qui décompose un nombre en le vecteur de ses chires. 3 ) Ecrire une fonction choisit un nombre aléatoire et qui renvoie le nombres d'itérations pour arriver à 1 ou 4 BCPST2 C. Courant 17

18 Exercice 56: Analyse d'un vecteur /home/carine/bcpst/basexo/info/info49.tex 1 ) Ecrire une fonction qui renvoie le nombres d'apparition d'un nombre dans un vecteur. 2 ) Ecrire une fonction permettant de déterminer les valeurs maximales et minimales d'un vecteur. 3 ) Donner une fonction donnant la valeur médiane d'un vecteur (ie la valeur pour laquelle il y autant de valeurs inférieurs et supérieures). Il serait judicieux de classer le vecteur. Exercice 57: Fonction booléenne /home/carine/bcpst/basexo/info/info5.tex On dénit une fonction boléenne, c'est à dire une fonction f telles que f(b 1, b 2 ) = b avec b 1, b 2, b, 1. Il s'agit d'une fonction logique où 1 = vrai et = faux. 1 ) Ecrire une fonction représentant le et logique. 2 ) On peut représenter une fonction booléenne par une matrice de M 4,3 (R) telle que : Représenter la matrice modélisant le et loqique b 1 b 2 f(b 1, b 2 ) f(, ) 1 f(, 1) 1 f(1, ) 1 1 f(1, 1) 3 ) Donner une fonction qui à partir de F, matrice modélisant f, les valeurs b 1 et b 2 renvoie f(b 1, f 2 ) 4 ) on dit que f 1 f 2 signie b 1, b 2, 1, f 1 (b 1, b 2 ) f 2 (b 1, b 2 ) Ecrire une matrice ayant F 1 et F 2 les matrices de f 1 et f 2 renvoie 1 si F 1 f 2 et sinon. Exercice 58: Full au pocker /home/carine/bcpst/basexo/info/info51.tex On joue au pocker avec un jeu de 52 cartes et on veut détecter un full dans une main de 5 cartes. 1 ) Donner une représentation adéquate du jeu 2 ) Ecrire une fonction qui tire aléatoirement 5 cartes. 3 ) Ecrire une fonction qui détecte un full. (1 brelan + 1 paire) Exercice 59: Au supermarché /home/carine/bcpst/basexo/info/info52.tex Dans un supermarché, il y a n caisses avec des les d'attente? À chaque pas de temps, des clients arrivent et se mettent à la caisse qui a la plus petite le d'attente. Une caissière met 2 pas de temps à traiter un client. 1 ) Structure pour modéliser les les d'attente. 2 ) Créer une fonction qui modélise le fonctionnement des caisses ; 3 ) Chaque client a un nombre d'objets c à payer. Les nouveaux clients se répartissent sur les caisses qui ont le moins d'objet à traiter ; Chaque caissière passe un nombre v d'objets aléatoires par pas de temps. Créer une nouvelle fonction qui modélise et donner le nombre d'aticles par caisse. Exercice 6: Procédé de Kaprekar /home/carine/bcpst/basexo/info/info53.tex Kaprekar a démontré qu'en prenant un nombre à 3 chires (par exemple 324), on peut créer avec ces chires le plus grand (432) et le plus petit (234). ensuite, on soustrait les deux, on obtient un nouveau nombre (198= ). En itérant le procédé, on tombe toujours sur 495, saauf si le nombres de départ à 3 chires identiques ou n'est composé que de 1 et de 2. 1 ) Ecrire une fonction qui trie un vecteur par ordre croissant. 2 ) Ecrire une fonction qui décompose un nombre en ses chires. 3 ) Ecrire une fonction qui compte le nombre de fois où il faut itérer le prcessus. 4 ) Ecrire une fonction créant un vecteur de 3 chires non tous identique et non tous égaux à 1 ou 2. BCPST2 C. Courant 18

19 Exercice 61: Preuve par 9 /home/carine/bcpst/basexo/info/info54.tex Soit A, B, R 3 entiers. On veut vérier le produit AB = R. On additionne les chires de chaque entier, en recommançant si nécessaire pour avoir A, B, R avec A 9, B 9 et C 9. On eectue le produit A B = P et on obtient P à partir de P comme précedemment. Si P = R, le produit est probablement juste si ce n'est pas le cas, il est surement faux. 1 ) Faire une fonction qui renvoie le tableau des chires d'un nombres entiers. 2 ) Faire une fonction qui somme les chires jusqu'à ce que le résultat soit inférieur à 9. 3 ) Faire une fonction qui prend en entrée A, B et R et qui renvoie 1 si le résulat est juste sinon. 4 ) Faire une fonction qui calcule produit de 2 vecteurs V A et V B représentant deux entiers A et B sans retranscrire les vecteurs sous forme de nombre. Exercice 62: La multiplication des paysans russes /home/carine/bcpst/basexo/info/info55.tex Pour multiplier deux entiers A et B, on procède de la façon suivante : 1 On prend le premier nombre et on le divise par 2 sans considéré le reste jusquà obtenir 1. 2 En parallèle, on multiplie par 2 l'autre nombre autant de fois qu'on a diviser le premier. 3 Puis on somme les versions du duxièmes nombre qui correspondent aux versions impaires du premiers. exemple : 69*37 : Itération A B = ) Ecrire une fonction qui renvoie la liste des valeurs de A 2 ) Modier la fonction précédente pour qu'elle renvoie le numéro d'itérations qui correspondent aux valeurs impaires de A 3 ) Programmer cette multiplication. BCPST2 C. Courant 19