Cours polycopié pour le module L1 SFA Mathématiques I Analyse

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1 i Cours polycopié pour le module L1 SFA Mathématiques I Analyse [60h de cours/td] À propos de ce module Programme prévu : nombres complexes, polynômes, fractions rationnelles, fonctions réelles usuelles et calcule différentiel, équations différentielles linéaires. Pré-requis : programme de terminale S (sans la spécialité mathématique). À propos de ces notes Ces notes sont rédigées pour aider les étudiants et les enseignants à structurer le contenu du cours et pour fournir une référence rapide pour des notions et des résultats du cours (définitions et théorèmes). Pour bien acquérir la matière, il peut s avérer indispensable de prendre ses propres notes et de ne pas hésiter de poser des questions aux enseignants pendant les cours et TDs. Certaines notions, par exemple les notions de voisinage et de point d accumulation, sont introduites pour raisons de commodité ; la connaissance des énoncés exacts de leurs définitions n est pas exigible, mais leurs significations doivent être comprises pour des exemples particuliers. Conventions On emploie le symbole déf = lorsqu une égalité sert à définir le membre gauche à partir du membre droit. Par exemple : On appelle carré du réel x le réel x 2 déf = x x. On peut aussi introduire un terme sans définition complète et sans que sa connaissance soit exigible. Par exemple : On résume les propriétés de l addition dans R en disant que (R, +) est un «groupe commutatif».

2 ii Table des matières Table des matières 1 Nombres complexes Introduction à C Définition des nombres complexes Plan complexe d Argand-Cauchy Calcul dans C Le corps C Conjugaison Module Racines carrées Cercle unité Argument Exponentielle et logarithme complexes Racines de l unité Applications à la trigonométrie Applications géométriques Similitudes directes Coordonnées polaires Exercices Polynômes Définition des polynômes et règles de calcul Définition de K[X] et ses opérations Propriétés du degré par rapport aux opérations Divisibilité dans K[X], division euclidienne L évaluation, fonctions polynomiales, racines Dérivation des polynômes Polynôme dérivé Dérivées itérées Racines d un polynôme Définition et propriétés Racines multiples Lien avec la factorisation Fonctions polynomiales Propriétés des fonctions polynomiales Rapport entre fonctions et polynômes Propriétés dépendant du corps de base Propriétés de C[X] Propriétés de R[X]

3 Table des matières iii 2.6 Fractions et fonctions rationnelles Définition de K(X) et ses opérations Fonctions rationnelles Décomposition en éléments simples Exercices Étude de fonctions réelles Rappel sur fonctions L opération de composition, la fonction Id E Injections, surjections, bijections La fonction réciproque (ou inverse) Limites Définition des limites Propriétés des limites Bornes inférieure et supérieure Sur l existence des limites Continuité Définition et propriétés de fonctions continues Théorème des bornes Théorème des valeurs intermédiaires Prolongement par continuité Continuité de la fonction réciproque Dérivabilité Définition de la fonction dérivée Propriétés arithmétiques de la dérivée Dérivée de la fonction composée Dérivée de la fonction réciproque Dérivée et variations d une fonction Fonctions usuelles Fonctions polynomiales et rationnelles Fonctions exponentielle et logarithme Fonctions puissance et racine Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques inverses Fonctions hyperboliques Fonctions hyperboliques inverses Étude de fonction Asymptotes, branches paraboliques Position par rapport à une tangente ou une asymptote Plan d étude Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes dans le plan Paramétrage d un ellipse et d une hyperbole Courbes diverses Exercices

4 iv Table des matières 4 Équations différentielles linéaires Fonctions complexes d une variable réelle Équations différentielles linéaires générales Méthode de variation de la constante Équations d ordre Équations différentielles linéaires à coefficients constants Polynôme caractéristique Équations homogènes Équations avec second membre de forme spécial Exercices

5 1 1 Nombres complexes 1.1 Introduction à C Définition des nombres complexes Les nombres complexes sont les «nombres» de la forme a + bi, où a, b R, et i est l unité imaginaire. Les opérations d addition et de multiplication sont définies de manière naturelle, compte tenu de la relation i 2 = 1. L ensemble des nombres complexes est noté C. On admet que les lois associative, commutative, et distributive de l arithmétique réelle sont satisfaites pour les nombres complexes. Par exemple : xy = yx, x(y + z) = xy + xz pour tous x, y, z C. On admet aussi que pour tous a, b, c, d R, si a + bi = c + di, alors a = c et b = d. Ainsi tout nombre complexe x s écrit d une façon unique comme x = a + bi avec a et b réels. On appelle a la partie réelle et b la partie imaginaire de a + bi (a, b R). (Attention : la partie imaginaire est réelle.) On note la partie réelle de x C par Re x, et la partie imaginaire par Im x. Ainsi, pour tout x C, x = Re x + i Im x. On admet que 0i = 0, et ainsi on voit l ensemble R des nombres réels comme une partie de l ensemble C des nombres complexes. Cette «définition» des nombres complexes et des opérations sur eux n est pas précise, mais elle suffit pour des applications. Définitions précises. Deux façons de définir les nombres complexes en fournissant un modèle concret de C nécessitent un peu de la théorie des polynômes ou de l algèbre linéaire. Par exemple, on peut définir les nombres complexes comme les polynômes réels de la forme a + bx, a, b R, et définir les résultats d additions et de multiplications comme les restes de la division euclidienne par 1 + X 2 des résultats des opérations respectives sur les polynômes. On dit que la partie réelle de a + bx est a, et la partie imaginaire est b. Dans ce cas, l unité imaginaire est le polynôme X.

6 2 1 Nombres complexes On peut aussi définir les nombres complexes comme les matrices de la forme ( ) a b, a, b R, b a et définir l addition et la multiplication comme les opérations respectives sur ces matrices. En tout cas on devrait vérifier certains propriétés algébriques Plan complexe d Argand-Cauchy L application (x, y) x + yi, R 2 C, est une bijection entre R 2 et C. Ainsi dès qu on a un plan P avec un repère (O, u, v ), on peut associer à tout point M de P de coordonnées (x, y) le nombre complexe x + yi, qui s appelle l affixe de M et est noté Aff(M). Par exemple, Aff(O) = 0. Réciproquement, tout nombre complexe sera ainsi representé par un unique point de P. Un plan P avec une telle bijection entre ses points et les nombres complexes, où de plus le repère (O, u, v ) est exigé d être orthonormé direct, s appelle un plan d Argand-Cauchy. On va noter [z] le point d affixe z C. Comme les points d un plan d Argand-Cauchy sont en bijection avec les nombres complexes, la difference entre ce plan et le corps C est plutôt linguistique que mathématique. (On peut parler de «points» ou de «nombres».) On définit l affixe d un vecteur M 1 M 2, noté Aff( M 1 M 2 ), par la relation : Aff( M 1 M 2 ) = Aff(M 2 ) Aff(M 1 ). Cela ne depend pas du choix de M 1 et M 2 : si M 1 M 2 = M 1M 2, alors Aff(M 2 ) Aff(M 1 ) = Aff(M 2) Aff(M 1). Si (O, u, v ) est le repère de référence du plan d Argand-Cauchy, alors Aff( u ) = 1, Aff( v ) = i. On va noter [z] le vecteur d affixe z C. Observons la relation suivante entre les opérations vectorielles dans un plan d Argand-Cauchy et les opérations du corps C : pour tous points M 1, M 2, M 3 du plan, si et seulement si OM 1 + OM 2 = OM 3 Aff(M 1 ) + Aff(M 2 ) = Aff(M 3 ). Ainsi l addition complexe correspond à l addition vectorielle. Si M 1, M 2 sont de points du plan, et a est un réel, alors a OM 1 = OM 2 si et seulement si a Aff(M 1 ) = Aff(M 2 ). La signification géométrique de la multiplication complexe sera expliquée plus loin.

7 1.2 Calcul dans C Calcul dans C Le corps C La structure (C, +,, 0, 1, i) satisfait les propriétés suivantes : 1. pour tous x, y, z C, 2. pour tous x, y C, 3. pour tout x C, (x + y) + z = x + (y + z), x + y = y + x, x + 0 = 0 + x = x, 4. pour tout x C, il existe y C tel que x + y = y + x = 0, 5. pour tous x, y, z C, 6. pour tous x, y C, 7. pour tout x C, (xy)z = x(yz), xy = yx, x 1 = 1 x = x, 8. pour tout x C \ {0}, il existe y C tel que xy = yx = 1, 9. pour tous x, y, z C, , i 2 = 0. (x + y)z = xz + yz, x(y + z) = xy + xz, Pour vérifier la propriété (8) l existence de l inverse multiplicatif observons que si a + bi 0 où a, b R, alors ( ) a (a + bi) a 2 + b b 2 a 2 + b i = 1. 2 On peut résumer les propriétés (1 10) en disant que (C, +, ) est un «corps commutatif». Pour obtenir une définition axiomatique de C, il suffit de rajouter aux propriétés (1 11) que : 12. (R, +, ) «fait partie» de (C, +, ), 13. tout z C s écrit comme z = x + yi avec x, y R. À noter : on assume dans la suite qu en plus des opérations arithmétiques + et, et de l unité imaginaire i, C est muni des opérations «la partie réelle» Re: C R et «la partie imaginaire» Im: C R telles que z = Re z + i Im z pour tout z C.

8 4 1 Nombres complexes Exercice. Montrer que les «nombres» de la forme a + eb où a, b R et où l on exige que e 2 = 1 et définit les opérations d addition et de multiplication de façon naturel compte tenu de cette relation, ne forment pas un «corps commutatif». (Indication : montrer que le produit de deux tels «nombres» non nuls peut être nul.) Conjugaison Pour tout z = x + yi, x, y R, on définit le conjugué de z : On a les propriétés suivantes : 1. pour tous z 1, z 2 C, z = x + yi déf = x yi = Re z (Im z)i. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, 2. pour tous z 1, z 2 C, 3. pour tout z C, 4. pour tout z C, 5. pour tout z C, 6. pour tout z C, z 1 z 2 = z 1 z 2, z = z, z + z = 2 Re(z) R, z z = 2i Im(z) ir, z z = Re(z) 2 + Im(z) 2 R +. Dans un plan d Argand-Cauchy de repère de référence (O, u, v ), l opération de conjugaison corresponde à la réflexion orthogonale par rapport à l axe de repère (O, u ) Module Pour tout z = x+yi, x, y R, on définit le module (ou la valeur absolue) de z : z = x + yi déf = x 2 + y 2 = (Re z) 2 + (Im z) 2 = z z R +. Si z est réel, alors le module de z coïncide avec la valeurs absolue habituelle de z. On a les propriétés suivantes : 1. pour tout z C, z = z,

9 1.2 Calcul dans C 5 2. pour tout z C, z z = z 2, et ainsi, pour tout z C = C \ {0}, 3. pour tous z 1, z 2 C, z 1 = z z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 (indication : cela résulte de l identité z 2 = z z). Dans un plan d Argand-Cauchy, la distance entre deux points M 1 et M 2 des affixes z 1 et z 2 est z 1 z 2 : d(m 1, M 2 ) = Aff( M 1 M 2 ) = Aff(M2 ) Aff(M 1 ). Lemme (Inégalité de Cauchy-Schwarz). Pour tous z 1, z 2 C, on a : Re( z 1 z 2 ) z 1 z 2. De plus, pour que l égalité ait lieu, il faut et il suffit que l un des nombres z 1 et z 2 soit multiple de l autre par un réel. Esquisse d une démonstration. Soit w = z 1 z 2. Alors Re( z 1 z 2 ) = Re(w) = Re(w) 2 Re(w) 2 + Im(w) 2 = w = z 1 z 2. En particulier, Re( z 1 z 2 ) = z 1 z 2 si et seulement si w R. Il reste à vérifier que z 1 z 2 R si et seulement si l un des nombres z 1 et z 2 est multiple de l autre par un réel. Théorème (Première inégalité triangulaire). Pour tous z 1, z 2 C, on a : z 1 + z 2 z 1 + z 2. De plus, pour que l égalité ait lieu, il faut, et il suffit, que z 1 et z 2 soient positivement liés. Démonstration. Il s agit d une inégalité entre réels positifs, elle est donc équivalente à l inégalité entre leurs carrés. On calcule : ( z 1 + z 2 ) 2 z 1 + z 2 2 = z z z 1 z 2 z 1 + z 2 2 d après l inégalité de Cauchy-Schwarz. = 2 z 1 z 2 2 Re( z 1 z 2 ) 0 Pour comprendre le nom du théorème, il suffit de l appliquer à la situation suivante : on fixe trois points A, B, C du plan et l on pose z 1 = Aff(B) Aff(A) et z 2 = Aff(C) Aff(B). Alors z 1 + z 2 = Aff(C) Aff(A), et le théorème dit que : d(a, C) d(a, B) + d(b, C), l égalité ayant lieu si, et seulement si, A, B, C sont alignés et dans cet ordre.

10 6 1 Nombres complexes Corollaire (Deuxième inégalité triangulaire). Pour tous z 1, z 2 C, on a : z 1 z 2 z 1 z 2. Par identification entre l ensemble C et un plan d Argand-Cauchy, on peut transmettre à C des notions géométriques. Définition. Soient z 0 C et r > 0. Le disque ouvert de centre z 0 et de rayon r est l ensemble D(z 0, r) déf = { z C z z 0 < r }. Le disque fermé de centre z 0 et de rayon r est l ensemble D(z 0, r) déf = { z C z z 0 r }. Le cercle de centre z 0 et de rayon r est l ensemble Racines carrées D(z 0, r) déf = { z C z z 0 = r }. Rappelons d abord que la notation z n a de sens que lorsque z est un réel positif (ou nul). Même en utilisant les nombre complexes, il n est pas possible de donner un sens logique à z lorsque z n est pas un réel positif. Par exemple, on ne peut pas définir la signification de «1» car il y a deux racines carrées de 1 : i et i. Il y a bien sûr aussi deux racines carrées de 1 : 1 et 1, mais là pour définir 1 on peut décider à toujours choisir la racine positive. Mais il n y a aucune façon mathématiquement raisonnable de choisir entre i et i. Définition. On appelle une racine carrée de z C tout u C tel que u 2 = z. On appelle une racine n-ième de z C, pour n N = N \ {0}, tout u C tel que u n = z. On va chercher maintenant des formules pour toutes les racines carrées d un nombre complexe Z = X + iy, X, Y R, en termes de sa partie réelle X et sa partie imaginaire Y. Commençons par le cas le plus simple : Z = 0. Soit z une racine carrée de Z = 0. Supposons que z 0, alors on sait (voir la section 1.2.1) que z possède un inverse multiplicatif z 1, et ainsi z = z 1 = z(zz 1 ) = z 2 z 1 = Zz 1 = 0 z 1 = 0, qui est l absurde, car on a supposé que z 0. (Par le même raisonnement, si z 1, z 2 C et z 1 z 2 = 0, alors z 1 = 0 ou z 2 = 0.) Donc z = 0, et c est la seule racine carrée de Z = 0. Observons maintenant que si z est une racine carrée de Z C, alors z l est aussi. En effet : ( z) 2 = (( 1)z) 2 = ( 1) 2 z 2 = z 2 = Z.

11 1.2 Calcul dans C 7 Montrerons maintenant que si un nombre Z C admet une racine carrée z, alors il n a pas d autres racines carrées que z et z. Supposons que z 1 et z 2 sont deux racines carrées de Z C, alors : z 2 1 = Z = z 2 2 z 2 1 z 2 2 = 0 (z 1 z 2 )(z 1 + z 2 ) = 0 z 1 z 2 = 0 ou z 1 + z 2 = 0 z 1 = ±z 2 (on a utilisé la propriété que si un produit dans un corps est zéro, alors au moins un des facteurs est zéro). Ainsi, si Z 0 admet une racine carrée, il en admet exactement deux, opposées l une de l autre. Pour savoir s il existe des racines carrées, on se donne Z = X + iy C et l on cherche z = x + iy C tel que z 2 = Z. Cela équivaut au système d équations suivant : x 2 y 2 = X, 2xy = Y. Commençons par un cas facile, celui où Z est réel, c est-à-dire Y = 0 et Z = X. Si X = 0, la seule racine carrée est z = 0. Si X > 0, les racines carrées sont ± X, où X désigne celle qui est positive (comme d habitude). Si X < 0, les racines carrées sont ±i X = ±i X. Il y en a bien deux opposées, mais aucune des deux ne bénéficie d une notation particulière. Passons au cas Y 0. Pour simplifier la résolution du système, on remarque que z 2 = z 2 = Z. On a donc une nouvelle équation : x 2 + y 2 = X 2 + Y 2. En la combinant avec la première, on trouve : x 2 X2 + Y = 2 + X X2 + Y x = ± 2 + X 2, 2 y 2 X2 + Y = 2 X X2 + Y 2 y = ± 2 X 2. (On a le droit, car les quantités mises sous racine sont bien des réels positifs.) On se retrouve donc avec deux valeurs distinctes possibles pour x et deux valeurs distinctes possibles pour y, donc, a priori, quatre valeurs distinctes possibles pour z = x + iy, ce qui en fait trop. Cependant, l équation 2xy = Y impose une liaison de plus entre x et y. Premier cas : Y > 0. Alors x et y sont de même signe, et l on trouve les deux racines carrées : X2 + Y ± 2 + X X2 + Y + i 2 X. 2 2

12 8 1 Nombres complexes Deuxième cas : Y < 0. Alors x et y sont de signe contraire, et l on trouve les deux racines carrées : X2 + Y ± 2 + X X2 + Y i 2 X. 2 2 Pour vérifier que ces valeurs de z = x + iy sont en effet des racines carrées de Z = X + iy, on vérifie que x 2 y 2 = X et 2xy = Y (cela résulte aussi de la façon comment on a trouvé ces valeurs). On peut remarquer de plus que les formules pour les racines carrées dans les cas Y > 0 et Y < 0 s appliquent aussi au cas Y = 0. Équation du second degré dans C L équation du second degré az 2 + bz + c = 0, avec a, b, c C et a 0, se résout à l aide de la forme canonique du trinôme du second degré : ( az 2 + bz + c = a z + b 2a où est le discriminant du trinôme, défini par : déf = b 2 4ac. ) 2, 4a 2 Si = 0, alors az 2 + bz + c = a ( ) 2, z + b 2a et l équation admet une seule solution, la racine double z = b 2a. Si 0, alors soit δ une racine carrée de : = δ 2 (donc l autre racine carrée de est δ). L équation admet dans ce cas exactement deux solutions (racines) : z 1 = b + δ et z 2 = b δ. 2a 2a On a, comme pour le cas des coefficients réels, la factorisation du trinôme : az 2 + bz + c = a(z z 1 )(z z 2 ). On a aussi les relations entre coefficients et racines : z 1 + z 2 = b a et z 1 z 2 = c a. Toutes ces formules sont encore valables lorsque = 0, en prenant δ = 0. Exercice. Calculer les racines carrées de ±i, les racines cubiques de 1.

13 1.2 Calcul dans C Cercle unité Figure 1.1 Cercle unité. Le cercle de centre 0 et de rayon 1 a une importance particulière, il s appelle le cercle unité et sera noté U : U déf = { z C z = 1 }. Le cercle unité U est stable par multiplication, par conjugaison, et par inversion : si z 1, z 2 U, alors z 1 z 2 U (car z 1 z 2 = z 1 z 2 ), et si z U, alors z, z 1 U. Tout complexe z 0 s écrit d une façon unique comme En effet, la seule possibilité est z = ru avec r R +, u U. r = z, u = z z. Cette écriture «z = ru» s appelle la décomposition polaire de z, r ici est positif et u est unitaire (de module 1). Les ensembles R + et U sont stables par multiplication et inversion. Ainsi, si z 1 z 2 = z 3 0, z 1 = r 1 u 1, z 2 = r 2 u 2, z 3 = r 3 u 3, r 1, r 2, r 3 R +, u 1, u 2, u 3 U, alors r 3 = r 1 r 2 et u 3 = u 1 u 2. Cette écriture de nombres complexes non nuls pourra être appliquée au calcul des produits si on aura une forme convenable pour les éléments du cercle unité U et une façon simple pour les multiplier. On peut utiliser la forme trigonométrique pour écrire les éléments de U. On sait (d après les propriétés des fonctions trigonométriques) que l application t (cos t, sin t) est une surjection de R sur le cercle unité dans le plan R 2. Par identification de R 2 avec C, on conclut que l application t cos t + i sin t

14 10 1 Nombres complexes est une surjection de R sur U. Ainsi tout u U s écrit (de façon non-unique) comme u = cos t + i sin t avec t R. Cette écriture s appelle la forme trigonométrique de u U. En utilisant les formules d addition pour sin et cos, on trouve que, pour tous s, t R, Argument (cos s + i sin s)(cos t + i sin t) = cos(s + t) + i sin(s + t). En général, la forme trigonométrique de z C est la form d écriture de z comme : z = r(cos t + i sin t) avec r > 0, t R. D après ce qu on a vu, cette forme existe pour tout z C, et r = z est le module de z. Tout t qui peut apparaître dans cette formule pour z s appelle un argument de z. Théorème. Tout z C = C \ {0} a une infinité des arguments. Si θ est un argument de z C, alors l ensemble de tous les arguments est { θ + 2πk k Z }. On note arg(z) l ensemble des arguments de z. (D après le théorème, on peut dire que arg(z) est une «classe d équivalence modulo 2π».) L unique argument de z qui appartient à ] π, π] s appelle l argument principal de z et est noté Arg(z). La fonction Arg: C ] π, π] est appelée la détermination principale de l argument. On a les propriétés suivantes. 1. Pour tous z 1, z 2 C, arg z 1 z 2 = arg z 1 +arg z 2 et Arg z 1 z 2 = Arg z 1 +Arg z 2 (mod 2π). 2. Pour tout z C, arg z 1 = arg z = arg z. 3. Pour tout z C \ R, Arg z 1 = Arg z = Arg z. 4. Pour tout z C, arg z = 0 (mod 2π) si et seulement si z R +.

15 1.2 Calcul dans C 11 Dans la relation arg z 1 z 2 = arg z 1 +arg z 2, on n additionne pas de véritables réels, mais des «réels modulo 2π», il faut donc préciser ce que peut bien signifier une telle relation. On choisit un argument θ 1 de z 1 et un argument θ 2 de z 2 et on les additionne : on trouve que θ 1 + θ 2 est un argument de z 1 z 2. Si l on choisissait un autre argument θ 1 = θ 1 + 2πk de z 1 (avec k Z) et un autre argument θ 2 = θ 2 + 2πl de z 2 (avec l Z), on obtiendrait θ 1 + θ 2 = θ 1 + θ 2 + 2π(k + l), qui est bien un autre argument de z 1 z 2. La morale de cette histoire, c est que l on peut additionner des «réels modulo 2π». Pour des raisons analogues, on peut également calculer l opposé d un «réel modulo 2π», et l on a la relation arg z 1 = arg z. Exercice. Quels sont les arguments des réels, des imaginaires purs, des réels positifs? Interprétation géométrique de l argument Soient u 1, u 2 deux vecteurs non nuls, d affixes respectives z 1, z 2 (qui sont donc des complexes non nuls). Alors l angle orienté de u 1 à u 2 est égal à l argument de z 2 /z 1 : ( u 1, u 2 ) = arg ( ) Aff( u2 ). Aff( u 1 ) (On peut prendre cette formule pour une définition de l angle orienté, ou on peut définir l angle orienté autrement et démontrer cette égalité après.) Noter que l on a employé la notation arg qui désigne un réel modulo 2π. Ainsi, l angle orienté de deux vecteurs n est connu que modulo 2π. Par exemple, si (O, u, v) est le repère de référence du plan, alors ( u, v) = arg Aff( v) Aff( u) = arg i = π 2 (mod 2π). On connaît la relation de Chasles pour les angles : ( u 1, u 2 ) + ( u 2, u 3 ) = ( u 1, u 3 ). Si l on pose z 1 = Aff( u 1 ), z 2 = Aff( u 2 ) et z 3 = Aff( u 3 ), cela s écrit : arg z 2 z 1 + arg z 3 z 2 = arg z 3 z 1. Posons w 1 = z 2 z 1 et w 2 = z 3 z 2 ; la relation devient : L on déduit aussi la relation : arg w 1 + arg w 2 = arg(w 1 w 2 ). ( u 2, u 1 ) = ( u 1, u 2 ).

16 12 1 Nombres complexes Exponentielle et logarithme complexes L exponentielle complexe Si x R, on définit exp(ix) par la formule exp(ix) déf = cos x + i sin x. Par exemple, exp(iπ) = 1. En général, pour z = x + iy C, x, y C, on définit exp z = exp(x + iy) déf = exp(x) exp(iy) = e x (cos y + i sin y). La propriété fondamentale suivante résulte des propriétés de l exponentielle réelle et des formules d addition pour sinus et cosinus : exp(z 1 + z 2 ) = exp z 1 exp z 2 pour tous z 1, z 2 C. On va aussi écrire e z au lieu de exp(z). 1 Théorème. L application exp: C C est une surjection de C sur C. Esquisse d une démonstration. Soit z C. Écrivons z sous la forme trigonométrique : z = ru = r(cos θ + i sin θ), r > 0, u U, θ R. (Rappelons nous que r est le module de z, et θ est un argument.) Posons λ = ln r = ln z. Posons w = λ + iθ. Alors e w = e λ (cos θ + i sin θ) = z. Théorème. Pour z 1, z 2 C, on a e z 1 = e z 2 si et seulement si z 1 z 2 2πiZ. Esquisse d une démonstration. Résulte des faits que ez 1 e z 2 = ez 1 z 2 et que cos t + i sin t = 1 cos t = 1 et sin t = 0 t 2πZ. L approche de l exponentielle complexe présentée ici repose sur l étude en terminale de l exponentielle réelle, qui est fondée sur de l analyse et peut aisément être rendue rigoureuse ; et sur celle des fonctions trigonométriques, qui est largement basée sur des dessins liés au cercle unité et sur des interprétations heuristiques. De plus, dans cette approche, la formule d Euler e iπ = 1 est une tautologie, qui ne fait que traduire les égalités cos π = 1 et sin π = On n utilise la notation «a b» pour les complexes que dans le cas où a est un réel positif. Si a > 0, on définit a b déf = exp(b ln(a)). En revanche, on ne peut pas définir, par exemple, i i comme un nombre complexe unique d une façon raisonnable.

17 1.2 Calcul dans C 13 La «vraie» définition de l exponentielle complexe (due à Euler) repose sur la formule suivante : exp(z) déf z n = n! = 1 + z + z2 2 + z3 6 + z z z n=0 Bien entendu, il faut donner un sens à la «somme infinie», ce qui revient à définir le passage à la limite dans C à partir des sommes finies. Cela repose sur la notion de «série». On devrait ensuite prouver, à partir de cette définition, diverses propriétés de l exponentielle complexe. En utilisant l exponentielle complexe, on pourrait définir l exponentielle réelle et les fonctions trigonométriques de variable réelle et même complexe. Exercice. À quelle condition a-t-on re iθ = r e iθ avec r, r R et θ, θ R? Le logarithme complexe Définition. Soit z C. Tout complexe w C tel que e w = z s appelle un logarithme de z. D après un calcul effectué plus haut, les logarithmes de z sont les complexes ln z + iθ, où θ arg z. Si l on prend θ = Arg z (l argument principal de z), on obtient le seul logarithme de z dont la partie imaginaire est dans ] π, π] : c est la détermination principale du logarithme, parfois notée log z. On a donc la formule : log z = ln z + i Arg z. Exercice. Calculer les logarithmes de ±1 ± i. Exercice. Calculer (avec discussion) log z Racines de l unité Soit n N un entier naturel non nul. On appelle racine n e de l unité une racine n e de 1. Les racines n es de l unité forment l ensemble : On a les implications : µ n déf = { z C z n = 1 }. z µ n z n = 1 z n = 1 z = 1 z U, d où l inclusion µ n U. Pour déterminer les racines n es de l unité, on les cherche donc sous la forme e iθ. On a les équivalences : (e iθ ) n = 1 e inθ = 1 nθ 0 (mod 2πZ) k Z : nθ = 2kπ, d où µ n = { e 2kiπ/n k Z }. D autre part, si k k (mod n), i.e. si k k est un multiple de n, alors on écrit k = k + mn avec m Z, d où : e 2k iπ/n = e 2kiπ/n+2miπ = e 2kiπ/n e 2miπ = e 2kiπ/n.

18 14 1 Nombres complexes On peut donc choisir k {0, 1,..., n 1} car les autres valeurs de k ne fourniront pas de nouvelles valeurs de e 2kiπ/n. On trouve donc en fin de compte : µ n = { e 2kiπ/n 0 k n 1 }. De plus, ces n valeurs e 2kiπ/n sont deux à deux distinctes, car : e 2kiπ/n = e 2k iπ/n 2kπ/n 2k π/n (mod 2π) k k (mod n). En effet, 2kπ/n 2k π/n = m(2π) k k = mn. Proposition. Pour tout n N, l ensemble des racines n es est stable par conjugaison, par multiplication, et par inversion. L étude des racines de l unité est applée «cyclotomie» à cause de leur très belle propriété géométrique : les racines n es sont les affixes des sommets d un polygone régulier. Ce polygone est invariant par la rotation de centre O et d angle 2π/n (et par chacune de ses «itérées», les rotations de centre O et d angle 2kπ/n). Exercice. Calculer «à la main» µ 1, µ 2, µ 3, µ 4, µ 5. Dessiner les polygones réguliers correspondants Applications à la trigonométrie Elles reposent essentiellement sur les formules d Euler : cos x = eix + e ix 2 et sur la formule de Moivre : et sin x = eix e ix, 2i Signalons également la formule utile : (cos x + i sin x) n = cos nx + i sin nx. e ix 1 = e ix/2 (2i sin x/2). Exercice. Donner une formule analogue pour e ix + 1. La formule du binôme Pour appliquer la formule de Moivre, on aura souvent besoin de la formule du binôme (valable pour n N) : ( ) n n (a + b) n = a k b n k. k Rappelons que les coefficients binomiaux sont définis par la formule : ( ) n déf n! n(n 1) (n k + 1) = =, k k!(n k)! k! k=0

19 1.2 Calcul dans C 15 où les factorielles sont elles-mêmes définies par : n! déf = 1 2 n. Par exemple, 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, etc. On a toujours ( ) ( ) n n = = 1, 0 n ( ) ( ) n n = = n si n 1, 1 n 1 ( ) ( ) n n n(n 1) = = si n 2, 2 n 2 2 etc. Pour calculer les coefficients binomiaux en pratique, on utilise souvent le triangle de Pascal : ( 0 0) 1 ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La formule du binôme se prouve par récurrence sur n en utilisant les relations de Pascal : ( ) ( ) ( ) n + 1 n n = +. k + 1 k k + 1 Expression explicite pour cos nx et sin nx Ecrivons que cos nx et sin nx sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de (cos x + i sin x) n, que l on développe avec la formule du binôme. On prend en compte le fait que i k est réel si k est pair, et imaginaire pur si k est impair : i 2l = ( 1) l et i 2l+1 = ( 1) l i. On trouve : cos nx = sin nx = n/2 l=0 ( ) n ( 1) l (cos x) n 2l (sin x) 2l, 2l ( ) n 2l + 1 (n 1)/2 l=0 ( 1) l (cos x) n 2l 1 (sin x) 2l+1. On a noté a la partie entière de a. Si l on remplace partout sin 2 x par 1 cos 2 x, on constate que cos nx s exprime comme un polynôme en cos x seul, et que sin nx s exprime comme le produit de sin x par un polynôme en cos x seul. Il existe des formules très générales, mais il est aussi simple de savoir les retrouver au coup par coup.

20 16 1 Nombres complexes Linéarisation d une expression trigonométrique Des formules d Euler, on déduit que les puissances de cosinus et de sinus et leurs produits peuvent s exprimer comme des combinaisons linéaires d exponentielles. Voici un exemple de formule générale : cos n x = ( e ix + e ix ) n n = 2 n 2 k=0 ( ) n (e ) ix k ( e ix) n k = 2 n k n k=0 ( ) n e i(2k n)x. k Comme on sait d avance que le résultat est réel, on peut remplacer chaque terme du membre droit par sa partie réelle : cos n x = 2 n Un exercice célèbre n k=0 ( ) n Re ( e i(2k n)x) = 2 n k n k=0 ( ) n cos(2k n)x. k Il s agit du calcul de n cos kx et de n sin kx. Notons respectivement C(x) k=0 k=0 et S(x) ces deux expressions. Alors posons n n W (x) = C(x) + is(x) = (cos kx + i sin kx) = w k, k=0 k=0 où w = cos x + i sin x = e ix. Si w = 1, c est-à-dire si x 0 (mod 2π), la somme vaut n+1 et l on en déduit C(x) = n + 1 et S(x) = 0. Sinon, on reconnaît la somme partielle d une série géométrique : W (x) = wn+1 1 w 1 = ei(n+1)x 1. e ix 1 Grâce à la «formule utile» rappelée plus haut, on en déduit : W (x) = ei(n+1)x 1 e ix 1 Finalement : = ei(n+1)x/2 e ix/2 2i sin(n + 1)x/2 2i sin x/2 inx/2 sin(n + 1)x/2 = e. sin x/2 n cos kx = k=0 n sin kx = k=0 cos nx/2 sin(n + 1)x/2, sin x/2 sin nx/2 sin(n + 1)x/2. sin x/2 1.3 Applications géométriques Dans cette section, on regarde les nombres complexes du point de vue géométrique. On se place donc dans un plan d Argand-Cauchy.

21 1.3 Applications géométriques Similitudes directes Géométriquement, la similitude directe de centre M 0, de rapport r > 0 et d angle θ est la transformation du plan qui transforme M 0 en lui-même et tout point M M 0 en l unique point M M 0 tel que : M 0 M = r M 0 M et ( M 0 M, M 0 M ) = θ (mod 2π). En plus, toute translation est une similitude sans centre. Notons z 0 = Aff(M 0 ), z = Aff(M), z = Aff(M ). Les relations ci-dessus sont équivalentes à : z z 0 = a(z z 0 ), où a = re iθ. On peut encore écrire z = az + b, où a est un complexe non nul, et où b = (1 a)z 0. Quelques cas particuliers importants sont à signaler. 1. Si le rapport est 1, la similitude est une rotation ; dans ce cas, a U. 2. Si θ 0 (mod 2π), la similitude est une homothétie de rapport positif, et a R Si θ π (mod 2π), la similitude est une homothétie de rapport négatif, et a R. Réciproquement, pour étudier la transformation géométrique qui s écrit (en termes d affixes) z z = az + b, avec a C et b C, on doit distinguer trois cas : 1. Si a = 1 et b = 0, alors z = z, c est la transformation identique du plan. C est la similitude directe de rapport 1 et d angle 0 (mod 2π), et tout point du plan en est le centre. 2. Si a = 1 et b 0, alors z = z + b n a aucun point fixe (i.e. transformé en lui-même) et ne peut donc être une similitude. Bien entendu, on sait que c est la translation de vecteur [b]. 3. Si a 1, on cherche d abord un point fixe. Son affixe z 0 doit vérifier z 0 = az 0 + b, et la seule possibilité est z 0 = b 1 a (par hypothèse, 1 a 0). Alors z z 0 = a(z z 0 ) et l on reconnaît la similitude de centre [z 0 ], de rapport a et d angle arg a. Exercice. Quelle similitude directe amène [1] sur [i] et [1 + i] sur [1]? On la calculera algébriquement (forme z az + b) et géométriquement (centre, rapport réel, angle).

22 18 1 Nombres complexes Coordonnées polaires Coordonnées polaires (r, θ), r, θ R, d un point M de coordonnées cartésiennes (x, y) dans un plan sont définies à l aide des équations : x = r cos θ, y = r sin θ. Pour tous x, y R, de solutions (r, θ) existent, et de plus, on peut toujours choisir r 0. Dans ce cas r est défini uniquement par la formule r = x 2 + y 2, et θ est défini uniquement modulo 2π, sauf si r = 0. Le point correspondant à r = 0, de coordonnées cartésiennes (0, 0), s appelle le pôle. Si on se place dans un plan complexe d Argand-Cauchy, alors l affixe du point de coordonnées polaires (r, θ) est re iθ. Donc pour un point d affixe z 0, on peut prendre ( z, Arg z) pour ses coordonnées polaires. Exemples élémentaires de courbes en polaires L équation définit le cercle unité. L équation r = r = ε cos θ définit une hyperbole si ε > 1, une parabole si ε = 1, et une ellipse si ε < 1 (un cercle si ε = 0). Il faut noter que la position de ses courbes est différente que dans le cas des équations standards en coordonnées cartésiennes. Ici un de foyers de la courbe est confondu avec le pôle. On peut décrire l ensemble correspondant dans C (les affixes) comme suit : L équation { e iθ 1 ε cos θ r 2 = 2 cos 2θ } θ R. définit la lemniscate de Bernoulli. L ensemble des affixes est dans ce cas { ± 2 cos 2θ e iθ π 4 θ π }. 4 Exercice. Tracer les (1 + i) n pour n Z. Quelles courbes d équation polaire r = f(θ) les relient?

23 1.4 Exercices Exercices Exercice 1 En utilisant seulement la définition des nombres complexes et de leurs opérations, trouver toutes les racines carrées de i. Exercice 2 1. Pour z 0, exprimer 1 en utilisant z et z. z 2. Calculer l inverse de z = 2 i et faire la division de z = 5 + 2i par z. Exercice 3 Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : 1. le nombre de module 2 et d argument π/3, 2. le nombre de module 3 et d argument π/4. Exercice 4 À quelle condition D(z 0, r) et D(z 0, r ) se rencontrent-ils? Indication : commencer par un dessin. Exercice 5 Déterminer le module et l argument des nombres complexes e eiα et e iθ +e 2iθ. Exercice 6 1. Calculer le module de e ix + 1 pour x R. 2. Calculer l argument de e ix + 1 pour x ] π, π[. Exercice 7 1. Déterminer le module, un argument, les parties réelles et imaginaires de : e (2+3i), e i(2+3i), et e 1 2+3i. 2. Mêmes questions pour e z, e iz, e z, et e 1 z, en fonction z = x + iy. 3. Résoudre e z = 2. Exercice 8 Soit z un nombre complexe de module ρ, d argument θ et soit z son conjugué. Calculer (z + z)(z 2 + z 2 ) (z n + z n ) en fonction de ρ et θ.

24 20 1 Nombres complexes Exercice 9 Calculer (1 + i) n et préciser sa position dans le plan, c est-à-dire les signes de ses parties réelle et imaginaire. Exercice 10 Résoudre dans C : 1. z 3 = 1, 2. z 3 = 1, 3. z 6 = 1, 4. z 6 = 1, 5. z 7 = 1 (sous la forme trigonométrique). Exercice Calculer les racines carrées de i et de i. 2. Calculer les racines carrées de e it pour t dans R. Exercice Calculer les racines carrées de 2i. 2. Résoudre dans C l équation 3. Résoudre dans C l équation z 2 + (1 + i)z + i = 0. z 2 + z(1 5i) 6 2i = 0. Exercice 13 Résoudre dans C : z 2 + iz 2 i = 0. Exercice Calculer les racines carrées du nombre complexes 3 4i. 2. Résoudre dans C, l équation z 2 z(1 + 4i) 3 + 3i = 0. On note z 1 et z 2 les solutions trouvées. 3. Existe-t-il une rotation envoyant z 1 sur z 2? 4. Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique : z 3 = i 1 2, z 4 = 3 i 1, et z = i.

25 1.4 Exercices Représenter graphiquement les points d affixes z 1, z 2, z 3, z 4, et z 5 dans le plan complexe. 6. Déterminer une similitude directe f telle que f(z 3 ) = e i 7π 12 et f(z 5 ) = z 4. Donner le centre, le rapport et l angle de cette similitude. 7. Pour chacun des nombres complexes z 1, z 2, z 3, z 4 et z 5, dire si c est une racine n-ième de l unité. Si c est le cas, préciser pour quelle valeur de n. Dans tous les cas justifiez votre réponse. Exercice 15 Les nombres complexes suivants sont ils des racines n-ième de l unité? Si oui, précisez pour quelle valeur de n. Si non, expliquez pourquoi z 1 = + i, z 2 = 4 i i, z 3 = e i 2, z4 = e i 5π 15, z5 = i 3. i Exercice Linéariser sin 5 x et sin 4 x cos x. 2. Exprimer cos(4x) et sin(5x) sin(x) comme polynômes en sin x et cos x. 3. Exprimer ces mêmes expressions comme polynômes en sin x lorsque c est possible. 4. Exprimer ces mêmes expressions comme polynômes en cos x lorsque c est possible. Exercice Représenter graphiquement les points M 1 et M 2 d affixes 7+i et 3+4i. Déterminer les affixes des points de la droite (M 1 M 2 ). 2. Déterminer l affixe du barycentre des points (M 1, 1 3 ) et (M 2, 2 3 ). 3. Déterminer les affixes des points de la droite passant par M 1 et orthogonale à la droite (M 1 M 2 ). 4. Reprenez toutes ces question avec 2 points quelconques. Exercice Montrez que deux vecteurs z et z du plan complexe sont orthogonaux si et seulement si z z + zz = On rappelle que le cercle de centre z 0 et de rayon a est l ensemble des points z tels que z z 0 2 = r 2. Montrez que le cercle de centre z 0 et de rayon r est le lieu des points tels z que z z z z 0 z 0 z = r 2 z 0 z 0.

26 22 1 Nombres complexes 3. Soient z 1 et z 2 deux points du plan complexe. Montrez que z est sur le cercle dont l un des diamètres est le segment [z 1, z 2 ] si et seulement si z z 1 est orthogonal à z z 2. Exercice 19 Dans cet exercice, on admet les résultats de l exercice Soit C un cercle de centre z 0 et de rayon r, qui ne passe pas par 0. Montrez que l image de C par l application z 1/z est encore un cercle. Précisez son centre et son rayon. 2. Montrez que si le cercle C passe par 0, l image de C \ {0} est une droite orthogonale à z Montrez que l image d une droite qui ne passe pas par 0 est un cercle passant par Montrez que l image d une droite passant par 0 est une droite passant par 0. Exercice 20 On appelle D l ensemble des nombres complexes tels que z < 1 (le disque unité). 1. Soit a un réel tel que a > 1, et φ a (z) = az+1. Montrez que l image de D a+z par φ a est inclus dans D. 2. Montrez que φ a (z) = z 1 si et seulement si φ a (z 1 ) = z. 3. En déduire que φ a est une bijection de D sur D. 4. Montrez (sans refaire de calculs) qu il en est de même lorsque a est un nombre complexe tel que a > 1 et que φ a (z) = az+1 ā+z. Exercice 21 Montrez que l application φ(z) = 1 z est une bijection entre le disque unité 1+z D = { z z < 1 } et le demi-plan positif C + = { z Re(z) > 0 }. Quelle est l application réciproque? Exercice 22 En utilisant les résultats de l exercice 21, trouvez une fraction rationnelle F (z) = P (z) telle que l image par F du quart de plan Q(z) soit le disque unité { z z < 1 }. { z = x + iy x > 0, y > 0 }

27 1.4 Exercices 23 Exercice 23 Soient M = (a, b, c, d) quatre réels tels que ad bc = 1. On note φ M (z) = az+b cz+d, et C + le demi-plan { z Im(z) > 0 }. 1. Montrez que l image de C + par φ M est incluse dans C Pour M et M différents, montrez que la composée φ M φ M est encore de la forme φ N, pour une valeur de N qu on calculera en fonction de M et M. 3. Pour M = (a, b, c, d) donné tel que ad bc = 1, trouver M tel que Φ M Φ M (z) = z. 4. En déduire que Φ M est une bijection de C + sur C +. Exercice Quelle est l image du demi plan C + par l application z exp(z)? 2. Quelle sont les images des ensembles et E 1 = { z = x + iy x 0 }, E 2 = { z = x + iy x 0, 0 y < 2π } par l application z exp(z)? Est-ce que cette application est une bijection entre E 1 ou E 2 et leur image? Si oui, sa fonction réciproque est-elle continue? Exercice 25 On admettra dans cet exercice le fait que l image d un cercle ne passant pas par 0 par l application z 1/z est un cercle, et une droite si le cercle passe par 0 (on convient qu alors l image de 0 n est pas définie) (cf. l exercice 19). 1. Montrez que pour tout a C, l image d un cercle par l application z a + z est un cercle. 2. Montrez que pour tout b C, l image d un cercle par l application z bz est un cercle. 3. En déduire que pour tous (a, b, c, d) C 4, avec cd 0, l image d un cercle par l application z az+b est soit un cercle, soit une droite. Dans cz+d quel cas est-ce une droite? Exercice 26 On appelle φ a,b l application définie pour z i par φ a,b (z) = a + b. z+i 1. Cherchez deux complexes a et b tels que φ a,b ( i) = i, φ a,b (1) = 2 i, φ a,b ( 1) = 2 i.

28 24 1 Nombres complexes 2. En déduire que pour ces valeurs de a et b, l image d un point z du cercle { z z 2 = 1 } par φ a,b est l intersection de la droite passant par z et i avec la droite { z Im(z) = 0 } (c est à dire la tangente au cercle au point i). Indication : on pourra utiliser les résultats de l exercice 25. Exercice 27 Soit n 3. On note z k = e 2kiπ/n et M k le point du cercle unité d affixe z k. Les points M 0, M 1,..., M n 1 sont les sommets d un polygone régulier. 1. Calculer le périmètre de ce polygone. 2. Calculer l aire de ce polygone. 3. Calculer les limites de ces nombres lorsque n +. Exercice Soit x un nombre complexe tel que x i. Démontrer géométriquement que 1+ix = 1 si, et seulement si, x est réel. 1 ix 2. Soit a un réel. Démontrer que les racines de l équation : ( ) n 1 + ix = 1 + ia 1 ix 1 ia sont les x k = tan α+kπ, k = 0, 1,..., n 1. n Indication : mettre a sous la forme tan α pour un α dans ] π/2, π/2[. On discutera la possibilité que l un des x k ne soit pas défini. Exercice 29 On note z 1 = 2i et z 2 = 1 + 3i. 1. Trouver une similitude f 1 de centre z 0 = 1+5i 2 telle que f 1 (z 1 ) = z 2. Quels sont son rapport et son angle? 2. Existe-t-il une similitude f 2 de centre z 3 = 1+7i 3 et de rapport 2 telle que f 2 (z 1 ) = z 2? Si oui quel est son angle?

29 25 2 Polynômes Les «corps commutatifs» On va, où c est possible, traiter indifféremment le cas des polynômes à coefficients réels, complexes, et rationnels. Ce qui nous permettra faire ainsi, c est que R, C, et Q sont des «corps», autrement dit, que l on y dispose d une addition et d une multiplication avec les règles usuelles. On peut étudier les polynômes sur n importe quel corps. Exemple (Le corps Z/(2Z)). Ceux qui s intéressent à l arithmétique «interne» des ordinateurs, connaissent le corps Z/(2Z) : celui qui n a que deux éléments, les «bits» 0 et 1. Voici ces règles de calcul : addition : { = = 0, = = 1, multiplication : { 0 0 = 0 1 = 1 0 = 0, 1 1 = 1. Dans ce chapitre, K dénote un des trois corps : Q (les rationnels), R (les réels), ou C (les complexes). Ainsi on étudie simultanément les polynômes à coefficients dans Q, R, et C. La plupart des résultats restent vrais pour tout autre corps, ou au moins pour tout corps contenant Q. 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul Définition de K[X] et ses opérations Définition et opérations Tout polynôme en une indéterminée X à coefficients dans un corps K (on dit aussi : un polynôme sur K) s écrit comme une «expression formelle» de la forme : a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n, avec n N, a 0,..., a n K. Le symbole X s appelle une indéterminée. Les polynômes constants de la forme a 0, avec a 0 K, sont autorisés, et on les identifie d habitude avec les éléments de K. Parmi eux, il y a un polynôme special : le polynôme nul 0. On admet que X 0 = 1 et que 0X n = 0 pour tout n N. Ainsi deux autres façons d écrire un polynôme à coefficients a 0,..., a n sont les suivantes : n a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n = a k X k = a k X k. k=0 k=0 Dans la dernière écriture, on a posé a n+1 = a n+2 = = 0.

30 26 2 Polynômes La representation d un polynôme par une «expression formelle» n est pas tout-à-fait unique. Par exemple : 1 + 1X = 1 + 1X + 0X 2 + 0X 3. On se permet aussi d écrire X n au lieu de 1X n, d écrire les termes d un polynôme dans un ordre quelconque, et de ne pas écrire les termes nuls : 1 + 0X + 1X 2 + 0X 3 = 1 + X 2 = X Plus précisément, deux polynômes en l indéterminée X, chacun écrit sous une forme standard, sont égaux si et seulement si leurs coefficients auprès des mêmes puissances de l indéterminée sont égaux. (Si X k n intervient pas dans une écriture, cela veut dire que le coefficient auprès de X k est 0.) L ensemble de tous les polynômes en X sur K est noté K[X]. Tout polynôme de la forme a n X n, avec a n K = K \ {0} et n N, s appelle un monôme de degré n. Ainsi, les monômes de degré 0 sont les polynômes constants non nuls. (Le cas du polynôme nul est à part.) Les trois opérations algébriques principales définies dans K[X] sont les suivantes : 1. addition, 2. multiplication par un élément de K (cette opération peut être vue aussi comme un cas particulier de multiplication de deux polynômes), 3. multiplication. Ces opérations sont définies des façons naturelles. Pour la multiplication, on utilise la règle : X m X n = X m+n pour tous m, n N. Nous admettons ici sans démonstration que ces opérations sont bien définies, c est-à-dire que le résultat ne dépends pas du choix d écriture de chaque argument, ni de l ordre dans lequel on applique des règles différents pour développer et après simplifier le résultat. (Une démonstration de ce fait nécessiterait de donner d abord des définitions précises.) Définitions précises Une façon de construire un modèle de K[X] et ainsi de le définir précisément est la suivante. On dit que K[X] est l ensemble de toutes les suites infinies (a n ) n N des éléments de K avec la propriété qu il existe N N tel que pour tout n > N, a n = 0. Après on définit les opérations d addition de deux éléments de K[X] et de multiplication d un élément de K[x] par un élément de K naturellement : pour (a n ) n N, (b n ) n N K[X] et c K, on pose (a n ) n N + (b n ) n N déf = (a n + b n ) n N, c(a n ) n N déf = (ca n ) n N. Pour définir la multiplication, on utilise une opération sur les suites qui s appelle «produit de convolution» : pour (a n ) n N, (b n ) n N K[X], on pose (a n ) n N (b n ) n N déf = (a 0 b n + a 1 b n a n b 0 ) n N. Pour justifier le choix de «X» dans «K[X]», on pose X déf = (0, 1, 0, 0, 0, 0,... ),

31 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul 27 c est-à-dire X est la suite (a n ) n N avec a 0 = 0, a 1 = 1, et a 2 = a 3 = = 0. Les monômes sont les suites avec exactement un terme non nul. Les polynômes constants sont les suite de la forme (a 0, 0, 0, 0,... ), et on identifie (a 0, 0, 0, 0,... ) K[X] avec a 0 K. Le polynôme nul est (0, 0, 0,... ). Ce que on a fait ici pour définir K[X] formellement, c est de representer tout polynôme par la suite de ses coefficients, et de définir les opérations algébriques directement sur ces suites. On peut vérifier maintenant que tout P K[X] s écrit comme P = a 0 + a 1 X + a 2 X a n X n, où n N, a 0,..., a n K. En effet, il suffit d écrire d abord P = (a 0,..., a n, 0, 0, 0,... ). On vérifie également que les opérations d addition et de multiplication qu on a définies dans K[X] satisfont des propriétés usuelles : associativité, commutativité, distributivité, etc. Le monôme de degré n et le coefficient de degré n du polynôme P = k N a k X k sont respectivement le terme a n X n et son coefficient a n. Le monôme de degré 0 est donc a 0 X 0, que l on identifie au coefficient de degré 0, i.e. à a 0 K, et que l on nomme au choix terme constant ou coefficient constant de P. Nous le noterons tc(p ). Si tous ses coefficients sont nuls, le polynôme est le polynôme nul. Dans le cas contraire, soit n N le plus grand indice d un coefficient non nul (il y a bien un tel plus grand indice). On a donc : n P = a i X i = a a n X n avec a n 0. i=0 L entier n est alors appelé le degré de P et noté deg P. Par convention, deg 0 = (l avantage est que cela donne des règles de calcul simples et valables dans tous les cas sans exception). Le monôme de degré deg P, c est-à-dire ici a n X n, est appelé le terme dominant de P et noté td(p ). Son coefficient a n est appelé le coefficient dominant et noté cd(p ). Un polynôme de degré 0 a la forme suivante : son coefficient constant a 0 est non nul, et tous ses autres coefficients sont nuls. C est donc un polynôme constant non nul. Le polynôme nul est aussi constant, mais son degré par définition est. Propriétés algébriques Les opérations d addition et de multiplication dans K[X] satisfont les propriétés suivantes : 1. pour tous P, Q, R K[X], (P + Q) + R = P + (Q + R),

32 28 2 Polynômes 2. pour tous P, Q K[X], P + Q = Q + P, 3. pour tout P K[X], 4. pour tout P K[X], P + 0 = 0 + P = P, 5. pour tous P, Q, R K[X], 6. pour tous P, Q K[X], 7. pour tout P K[X], 8. pour tous P, Q, R K[X], P + ( P ) = ( P ) + P = 0, (P Q)R = P (QR), P Q = QP, P 1 = 1 P = P, (P + Q)R = P R + QR, P (Q + R) = P Q + P R. L addition des polynômes est ainsi associative et commutative ; elle admet le polynôme nul comme l élément neutre ; le polynôme P = a i X i K[X] i N admet pour opposé le polynôme ( a i )X i K[X], que l on notera P. On i N résume ces propriétés en disant que K[X] muni de l addition est un «groupe commutatif». La multiplication des polynômes est associative et commutative ; elle admet pour l élément neutre le polynôme constant 1 ; elle est distributive par rapport à l addition. L ensemble des propriétés (y compris celles de l addition) se résume en disant que K[X] muni de l addition et de la multiplication est un «anneau commutatif». En revanche, K[X] n est pas un «corps», car les seuls polynômes inversibles sont les polynômes de degré 0 les polynômes constants non nuls. (Or, tout élément non nul d un corps admet un inverse multiplicatif.) Substitution de l indéterminée par un polynôme On peut facilement remplacer le X de P = a a n X n par une valeur particulière x K, et obtenir ainsi une valeur de K qu on note P (x) : P (x) déf = a a n x n = Par exemple, P (0) = a 0, P (1) = a a n. n a k x k. k=0

33 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul 29 On peut de la même manière substituer à X d autres objects, en particulier des polynômes. Si l on substitue X à X, cela ne change rien : P (X) = P. Si l on remplace X par X, en utilisant le fait que ( X) k = X si k est pair et ( X) k = X si k est impair, on trouve : P ( X) = a 0 a 1 X + + ( 1) n a n X n. Deux cas particuliers sont intéressants : 1. si tous les monômes effectivement présents dans X sont de degré pair, on a P ( X) = P (X), 2. si tous les monômes effectivement présents dans X sont de degré impair, on a P ( X) = P (X). Définition. Un polynôme P K[X] est dit pair si P ( X) = P, et impair si P ( X) = P. On peut également remplacer X par X + a, où a K est un scalaire quelconque. De la formule du binôme de Newton, on déduit d abord que puis : (X + a) k = k i=0 ( ) k a k i X i, i P (X + a) = a 0 + a 1 (X + a) + + a n (X + a) n n = a k (X + a) k k=0 = ) k a k( a k i X i 0 i k n i n = b i X i, i=0 où l on a posé : ) n k b i = a k( a k i. k=i i Comme b n = a n 0, on voit que P (X + a) est de degré n. En fait, il a le même terme dominant b n X n = a n X n que P. (On verra plus loin au paragraphe que l une des formules de Taylor fournit une expression plus intelligible de P (X + a).)

34 30 2 Polynômes Propriétés du degré par rapport aux opérations Soit P un polynôme non nul. On peut donc l écrire sous la forme P = p a i X i avec a p 0. Rappelons que le terme dominant de P, noté td(p ), est alors a p X p, que son coefficient dominant, noté cd(p ), est a p, et que son degré, noté deg P, est p. (Par convention, le polynôme nul est de degré et n a ni terme dominant ni coefficient dominant.) Soit de même Q = q b j X j avec b q 0 un autre polynôme non nul ; son degré est donc q, son terme dominant b q X q et son coefficient dominant b q. Degré d une somme L addition des polynômes P et Q donne : (a 0 + b 0 ) + + (a p + b p )X p + b p+1 X p b q X q si p < q, P + Q = (a 0 + b 0 ) + + (a q + b q )X q + a q+1 X q a p X p si q < p, (a 0 + b 0 ) + + (a p + b p )X p si p = q. On en déduit que, si p q, le degré de P + Q est le maximum des degrés de P et Q, et que son terme et son coefficient dominants sont ceux de P ou de Q (celui qui a le plus grand degré). Si p = q, le degré de P + Q est en général p, sauf dans le cas exceptionnel où a p +b p = 0 : dans ce cas, les termes dominants se simplifient et le degré de P + Q diminue strictement. Dans tous les cas, on retiendra la règle suivante : deg(p + Q) max(deg P, deg Q), avec égalité en général, la seule exception étant celle où td(q) = td(p ). À noter que l inégalité reste valable si P ou Q est nul. Degré d un produit La multiplication des polynômes P et Q donne : P Q = a 0 b 0 + (a 1 b 0 + a 0 b 1 )X + + (a p b q 1 + a p 1 b q )X p+q 1 + a p b q X p+q. Le terme dominant de P Q est donc a p b q X p+q, et l on a dans tous les cas les formules : j=0 td(p Q) = td(p ) td(q) et cd(p Q) = cd(p ) cd(q), d où l on déduit la règle : deg(p Q) = deg P + deg Q. À noter que la règle reste valable si P ou Q est nul. i=0

35 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul 31 Conséquence : «intégrité» de K[X] Des calculs ci-dessus, il résulte que, si P et Q sont non nuls, alors P Q est non nul. Dit dans l autre sens : si P Q = 0, alors P = 0 ou Q = 0. On exprime cette règle en disant que «l anneau K[X] est intègre». Une conséquence encore plus utile de l intégrité est que l on peut simplifier : si l on a une égalité P Q = P R et si P est non nul, alors Q = R. (Pour le voir on écrit que P (Q R) = 0, d où P = 0 ou Q R = 0, d où Q R = 0.) Remarque. Cette règle ne va pas de soi ; ainsi, le produit de deux fonctions quelconques peut être nul sans qu aucune des deux le soit. Prenons les fonctions f, g : R R définies par les formules : f(x) = x x et g(x) = x + x. (Ces fonctions sont d ailleurs continues.) Alors fg = 0, mais aucune des deux fonctions f, g n est nulle. Ce phénomène est impossible avec des polynômes, ni avec des fonctions polynomiales sur un corps infini. Degré d un polynôme «composé» Soient P, Q K[X]. Le degré du polynôme P (Q) est égal au produit de degrés de P et de Q si Q n est pas constant : deg(p (Q)) = deg P deg Q si deg(q) 1. (On suppose ici que ( )n = pour tout n > 0.) Si deg(q) 0, alors Q est constant, et donc P (Q) est constant aussi et deg(p (Q)) Divisibilité dans K[X], division euclidienne Disons que le polynôme B divise le polynôme A, ou encore que A est multiple de B, et notons B A, s il existe un polynôme C tel que A = BC. Il est facile de vérifier que tout polynôme divise 0, mais que 0 ne divise que lui-même. De même, 1 divise tout polynôme, mais les seuls polynômes qui divisent 1 sont les constantes non nulles. La relation de divisibilité possède les propriétés suivantes : 1. elle est «transitive» : si C B et B A, alors C A, 2. elle est «réflexive» : on a A A. C est donc presque une «relation d ordre», mais elle n est pas «antisymétrique» : on peut avoir A B et B A sans que A et B soient égaux. En fait, pour cela, il faut, et il suffit, qu il existe un scalaire c K = K \ {0} tel que A = cb. De plus, soit A et B sont tous deux nuls et n importe quel c convient ; soit ils sont tous deux non nuls, et un seul c convient. En

36 32 2 Polynômes fait, en comparant les termes dominants, on voit que l unique c possible est c = td(a)/ td(b) = cd(a)/ cd(b). Notation : si un polynôme B divise un polynôme A, et que B est non nul, on va noter A l unique polynôme Q tel que A = BQ. (Exercice : vérifier que B Q est bien unique. Indication : utiliser «l intégrité» de K[X].) Lemme. Si B divise A 0, alors deg B deg A. Démonstration. En effet, si A = BC 0, alors C 0, donc deg C 0, donc deg A = deg B+deg C deg B. (Ce calcul échoue si C = 0, deg C =.) L algorithme de division euclidienne On se pose ici la question suivante : comment savoir si un polynôme B donné divise un polynôme A donné. Si B est nul, cela n est possible que si A est nul ; et, si B est une constante non nulle, c est vrai quelque soit A. On va déterminer un algorithme qui permet de traiter tous les cas. Comme pour les entier, on va utiliser division euclidienne. Exemple. Soient B = 2X 2 7X 4 et A = 3X 4 2X 3 + 8X 2 9X 1. Est-ce que B divise A? On commence par retrancher de A un multiple de B choisi de manière à éliminer son terme dominant. En fait : A = 3 2 X2 B + A 1, où A 1 = 25 2 X3 + 2X 2 9X 1. Le facteur 3 2 X2 a été choisi de telle sorte que 3 2 X2 td(b) = td(a), ce qui garantit la disparition du terme dominant td(a) ; et en effet, le résultat A 1 est de degré strictement plus petit que celui de A. D autre part, puisque A = A 1 + (un multiple de B), il revient au même de demander si A est un multiple de B ou si A 1 est un multiple de B. On recommence donc avec A 1 : A 1 = 25 4 XB + A 2, où A 2 = X2 34X 1. Encore une fois, le choix du facteur td(a 1 )/ td(b) = 25 X a permis de diminuer le degré. On recommence avec A 2 4 : A 2 = B + A 3, où A 3 = X Est-ce que l on peut continuer à simplifier? Non, parce que deg A 3 < deg B et aucun multiple de B ne pourra éliminer td(a 3 ). Est-ce que A 3 est multiple de B? Certainement pas, car son degré est strictement plus petit que celui de B, or il n est pas nul (voir le lemme sur la page 32). Résumons ; on tire de nos calculs l égalité : A = ( 3 2 X X 167 ) ( 1441 B X 169 ), 2

37 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul 33 que l on peut encore écrire : A = BQ + R, avec Q = 3 2 X X et R = X Comme A R = BQ, on a l équivalence entre B A et B R. Comme deg R < deg B, on a équivalence entre B R et R = 0 (grâce au lemme de la page 32). On a retrouvé le principe de la division euclidienne. Théorème (Division euclidienne dans «l anneau» K[X]). Soient A, B K[X] deux polynômes ; on suppose B 0. Il existe alors un unique couple (Q, R) de polynômes dans K[X] tel que : A = BQ + R et deg R < deg B. Démonstration. Prouvons d abord l unicité ; pour cela, nous supposons que : A = BQ 1 + R 1 = BQ 2 + R 2, deg R 1 < deg B, deg R 2 < deg B. On a donc : D un coté, et de l autre coté, R 2 R 1 = B (Q 1 Q 2 ). deg(r 2 R 1 ) max(deg R 1, deg R 2 ) < deg B, deg(r 2 R 1 ) = deg(q 1 Q 2 ) + deg B. Comme B 0, cela n est possible que si Q 1 Q 2 = 0. Ainsi Q 1 = Q 2 et R 1 = R 2, d où l unicité. Pour démontrer l existence de Q et R, nous commençons par écrivant un algorithme qui les calcule : 1. Initialiser les variables «Q» et «R» : Q = 0, R = A. 2. Créer la variable «M» vide. 3. Tant que deg(r) >= deg(b), répéter : M <- td(r)/td(b), Q <- Q + M, R <- R - M * B. 4. Rendre Q et R. Traduisons cet algorithme en language mathématique. Posons Q 0 = 0 et R 0 = A, et posons Q k+1 = Q k + td(r k) td(b) et R k+1 = R k td(r k) td(b) B pour 0 k < n, où n est le premier entier positif tel que deg R n < deg B, si un tel entier existe, et n = sinon (dans le dernier cas on définit Q k et R k

38 34 2 Polynômes pour tout k N). Ainsi (Q k, R k ) est le contenu des variables Q et R après la k e execution du corps de la boucle, et n est le nombre des passages de la boucle. Pour tout k 0 tel que k < n, les polynômes R k et td(r k) B ont le même td(b) terme dominant, et donc deg R k+1 deg R k 1. Ainsi l algorithme s arrête après au plus deg(a) + 1 deg(b) passages de la boucle, s est-à-dire n deg(a) + 1 deg(b) et l algorithme rend le couple (Q n, R n ). Vérifions qu il est le bon. On vérifie par récurrence que pour tout k = 0,..., n, on a : Q k B + R k = A. En effet, Q 0 B + R 0 = 0 B + A = A, et Q k+1 B + R k+1 = ( Q k + td(r k) td(b) ) B + ( R k td(r ) k) td(b) B = Q k B + R k pour 0 k n. Ainsi, Q n B + R n = A et deg R n < deg B. Donc le couple (Q n, R n ) est le bon. Définition. Les polynômes Q et R dans ce théorème sont respectivement appelés le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B. Exemple. Si B = X a, le reste de la division de A par B est de degré deg R < 1 : c est donc une constante. En appliquant l égalité A = Q(X a)+r en X = a, on trouve A(a) = R(a). Le reste est donc la constante A(a). Pour calculer le quotient Q, on peut invoquer l identité remarquable : d où l on tire : Q = p k=0 k 1 b k j=0 X k a k X a = i+j=k 1 p 1 a k 1 j X j = j=0 p k=j+1 a i X j = k 1 j=0 b k a k 1 j X j a k 1 j X j, p 1 = j=0 p j 1 k=0 b k+j+1 a k X j. Exemple. Si B = (X a)(x b), le reste de la division de A par B est de degré deg R < 2 : il est donc de la forme R = αx + β. En appliquant l égalité A = Q(X a)(x b) + R en X = a, on trouve A(a) = R(a) = αa + β. En appliquant la même égalité en X = b, on trouve A(b) = R(b) = αb + β. Si a = b, on a deux fois la même équation, qui ne peut suffire à déterminer les deux constantes inconnues α et β. On verra plus loin (exemple à la fin du

39 2.1 Définition des polynômes et règles de calcul 35 paragraphe 2.2.2, page 40) comment traiter ce cas. Supposons donc a b. Le système : αa + β = A(a), αb + β = A(b), admet pour unique solution α = A(b) A(a), β = ba(a) aa(b), d où le reste : b a b a R = A(b) A(a) X + b a ba(a) aa(b). b a Le quotient est plus compliqué à calculer dans ce cas. Les PGCD et les PPCM Définition. Soient A, B K[X]. Un plus grand commun diviseur (PGCD) de A et B est un diviseur commune D de A et B tel que pour tout autre diviseur commune C de A et B, C divise D. Un plus petit commun multiple (PPCM ) de A et B est un multiple commune de A et B qui divise tout autre multiple commune de A et B. Si D est un PGCD de A et B, alors l ensemble de tous les PGCD de A et B est { cd c K }. Si M est un PPCM de A et B, alors l ensemble de tous les PPCM de A et B est { cm c K }. Théorème. Pour tous A, B K[X], il existe un PGCD et un PPCM. Exemple. 0 est le seul PGCD et au même temps le seul PPCM de 0 et 0. Si A et B ne sont pas tous les deux nuls, notons pgcd(a, B) le seul PGCD unitaire (c est-à-dire avec le coefficient dominant 1) de A et B, et notons ppcm(a, B) le seul PPCM unitaire de A et B. Notons pgcd(0, 0) = 0 et ppcm(0, 0) = 0. Exemple. Trouvons les PGCD et les PPCM de A = X 4 X 3 + 2X 2 X + 1 et B = X Par division euclidienne de A par B, on trouve que Posons C = X 2 X + 1. Alors A = (X 1)B + 2X 2 2X + 2. A = (X 1)B + 2C, C = 1 2 A 1 (X 1)B. 2 Ainsi tout diviseur commune de A et B est aussi un diviseur de C, et tout diviseur commune de B et C est un diviseur de A. Donc les diviseurs communes de A et B sont les mêmes que les diviseurs communes de B et C et donc les PGCD de A et B sont les mêmes que les PGCD de B et C. On recommence avec B et C.

40 36 2 Polynômes Par division euclidienne de B par C, on trouve que B = (X + 1)C. Ainsi C est un PGCD de B et C et donc de A et B. Remarquons que A = (X 1)B + 2C = (X 1)(X + 1)C + 2C = (X 2 + 1)C, et on peut déduire que (X 2 + 1)(X + 1)C = (X 2 + 1)(X 3 + 1) = X 6 + X 3 + X est un PPCM de A et B. Il existe un algorithme pour déterminer un PGCD D de deux polynômes A et B : 1. Initialiser «F» et «G» : si deg(a) < deg (B), F = B, G = A, sinon, F = A, G = B. 2. Si G = 0, rendre F et s arrêter ; continuer sinon. 3. Initialiser «R» : R = le reste de la division euclidienne de F par G. 4. Tant que R n est pas 0, répéter : F <- G, G <- R, R <- le reste de la division euclidienne de F par G. 5. Rendre G. Théorème (Identité de Bézout). Si D est un PGCD de deux polynômes A et B, alors ils existent deux polynômes S et T tels que D = SA + T B. Corollaire (Lemme de Euclide). Si A, B, C sont trois polynômes, C divise AB, et que pgcd(a, C) = 1, alors C divise B. Corollaire. Si A, B, C sont trois polynômes, B et C divisent A, et que pgcd(b, C) = 1, alors BC divise A. Proposition. Soient A et B deux polynômes et D un PGCD de A et B. Posons A = A 1 D et B = B 1 D. Alors A 1 B 1 D est un PPCM de A et B.

41 2.2 Dérivation des polynômes L évaluation, fonctions polynomiales, racines Définition. La substitution d un élément a K dans un polynôme P K[X] s appelle l évaluation de P en a. L evaluation d un polynôme P K[X] en éléments de K donne lieu à une fonction polynomiale f : K K, a P (a). On a déjà vue les fonctions polynomiales réelles (le cas K = R), mais elles sont définies aussi, à l aide d évaluation de polynômes, pour tout corps commutatif K. Définition. Une fonction polynomiale dans K est toute fonction de la forme f : K K, x P (x), où P K[X]. Tout polynôme P K[X] définit ainsi une fonction polynomiale K K. On verra aussi que dans des corps commutatifs infinis, comme Q, R, C, toute fonction polynomiale est définie par un unique polynôme. Cela n est plus le cas si le corps K est fini ; en effet, dans tout corps commutatif fini, toute fonction polynomiale est définie par une infinité de polynômes distincts. 1 Définition. Une racine de polynôme P K[X] est tout x K tel que P (x) = Dérivation des polynômes Polynôme dérivé Définition. Le polynôme dérivé du polynôme P = a 0 + +a n X n K[X] est le polynôme P déf = a 1 + 2a 2 X + + na n X n 1. Par contraste avec la dérivation des fonctions, 2 les règles suivants s appliquent au polynômes sans aucune hypothèse supplémentaire : 1. (P + Q) = P + Q, 2. (P Q) = P Q + P Q («la règle de Leibniz»), 3. (P (Q)) = P (Q)Q, 4. P = 0 si et seulement si P est constant. Observons que si P est non constant, alors deg P = deg P 1. (En tout cas, deg P deg P 1.) 1. Par exemple, le polynôme X +X 2 (Z/2Z)[X] définit la fonction nulle Z/2Z Z/2Z, x Dans le cas de fonctions, on exige normalement que les fonctions en question soient dérivables sur le même ensemble, ou mieux encore qu elles soient dérivables sur R.

42 38 2 Polynômes Dérivées itérées Notons P (k) la dérivée k-ième du polynôme P (k) K[X]. En particulier, pour k = 0, 1, 2, 3, on a : P (0) = P, P (1) = P, P (2) = P, P (3) = P. D après la règle deg P = deg P 1 (valable pour un polynôme non constant P ), on a plus généralement que pour tout k deg P, deg P (k) = deg P k. En particulier, si n = deg P, alors P (n) est un polynôme constant non nul et P (n+1) = 0. Réciproquement, si P est un polynôme tel que P (k) = 0, alors deg P < k. Exemple. Les dérivées successives du polynôme X p sont : X p, px p 1, p(p 1)X p 2,..., p!x, p!, 0. Plus précisément : si 0 k p, k entier, alors la dérivée k e de X p est (X p ) (k) = Cette dérivée est nulle si k > p. La formule de Leibniz p! (p k)! Xp k. Les règles concernant la k e dérivée ressemblent un peu à celles concernant la dérivation. On a évidemment : (P + Q) (k) = P (k) + Q (k). Pour la dérivée k e d un produit, c est plus compliqué. On trouve facilement pour les petites valeurs de k : (P Q) = P Q + 2P Q + P Q et (P Q) = P Q + 3P Q + 3P Q + Q. La ressemblance avec le carré et le cube de (a + b) s impose, et l on peut conjecturer une formule générale utilisant les coefficients binomiaux. C est la formule de Leibniz, qui est en effet vraie : Théorème (Formule de Leibniz). Soient P, Q K[X]. Pour tout entier naturel k : (P Q) (k) = k i=0 ( ) k P (i) Q (k i). i Démonstration. Elle se fait par récurrence sur k. Pour k = 0, on a l égalité P Q = P Q. Pour k = 1, on retrouve la règle de Leibniz (P Q) = P Q + P Q. Supposons la formule vérifiée au

43 2.2 Dérivation des polynômes 39 rang k. Alors : (P Q) (k+1) = = = = ( k i=0 i=0 ( ) k )P (i) Q (k i) i k ( ) k ( P (i) Q (k i)) i k ( ) k ( P (i+1) Q (k i) + P (i) Q (k i+1)) i i=0 k i=0 i=1 ( ) k P (i+1) Q (k i) + i k i=0 k+1 ( ) k = P (i) Q (k i+1) + i 1 k+1 = i=0 i=0 (( ) k + i 1 C est la formule voulue au rang k + 1. Formules de Taylor ( ) k P (i) Q (k i+1) i k i=0 ( )) k P (i) Q (k i+1) i k+1 ( ) k + 1 = P (i) Q (k i+1). i ( ) k P (i) Q (k i+1) i La formule de Taylor pour les polynômes admet de nombreuses formes. Dans tous les cas, elle permet de développer P (A + B), où P est un polynôme et A, B sont deux expressions (polynômes ou autre chose) ou tout simplement deux nouveaux indéterminés différents de X. Commençons par un petit lemme. Lemme. Soit Q = b b p X p. Alors, pour tout entier naturel k : { Q (k) k! b k si k p, (0) = 0 si k > p. Démonstration. C est immédiat à partir du calcul des dérivées successives de chaque X i dans l exemple vu plus haut. Théorème (Formule de Taylor). Soit P K[X] un polynôme de degré n et soit a K.

44 40 2 Polynômes Alors : P (X) = P (0) + P (0)X P (0)X n! P (n) (0)X n = n k=0 1 k! P (k) (0)X k, P (X + a) = P (a) + P (a)x P (a)x n! P (n) (a)x n = n k=0 1 k! P (k) (a)x k, P (X) = P (a) + P (a)(x a) P (a)(x a) 2 + = + 1 n! P (n) (a)(x a) n n k=0 1 k! P (k) (a)(x a) k, P (A + B) = P (A) + BP (A) B2 P (A) n! Bn P (n) (A) = n k=0 1 k! Bk P (k) (A) pour tous A, B K[X]. Démonstration. La première formule est immédiate en appliquant le lemme : si P = a a n X n, alors a k = 1 k! P (k) (0). La deuxième se prouve en appliquant la première au polynôme Q(X) = P (X + a), dont les dérivées sont données par la relation Q (k) (X) = P (k) (X + a). La troisième s obtient en remplaçant X par X a dans la seconde. La dernière est la plus général et s obtient par calcul direct en développant les parties gauche et droite. Exemple. En utilisant la troisième formule, on voit maintenant facilement que le reste de la division euclidienne de P par (X a) 2 est P (a) + P (a)(x a). 2.3 Racines d un polynôme Définition et propriétés Définition. Une racine du polynôme P K[X] est un scalaire (nombre) a K tel que P (a) = 0. Théorème. Le scalaire a K est racine de P si, et seulement si, (X a) P. Démonstration. Si (X a) divise P, on a P = (X a)q avec Q K[X], et donc P (a) = (a a) Q(a) = 0, i.e. que a est racine de P. Supposons réciproquement que a est racine de P. On a vu que la division euclidienne de P par (X a) donne : P = (X a)q + P (a). Or, P (a) = 0 par hypothèse. Donc (X a) divise bien P.

45 2.3 Racines d un polynôme 41 Corollaire. Soient a 1,..., a k des racines distinctes de P K[X]. Alors (X a 1 ) (X a k ) P. Démonstration. Puisque a 1 est racine de P, on peut écrire (d après le théorème) P = (X a 1 )P 1, avec P 1 K[X]. On a alors 0 = P (a i ) = (a i a 1 )P 1 (a i ), donc (les racines a i étant distinctes), P 1 (a i ) = 0 pour i 2. Ainsi, a 2,..., a k sont des racines distinctes de P 1 et l on peut recommencer : P 1 = (X a 2 )P 2, avec P 2 K[X] et a 3,..., a k sont des racines distinctes de P 2, etc. On finit par obtenir P k 1 = (X a k )P k et P = (X a 1 ) (X a k )P k. Corollaire. Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes. Démonstration. Soient a 1,..., a k des racines distinctes de P. D après le corollaire précédent, il existe Q K[X] tel que : P = (X a 1 ) (X a k )Q. Comme P est supposé non nul, Q est non nul aussi, et donc n = deg P = deg((x a 1 ) (X a k )) + deg Q = k + deg Q k. Corollaire. Si la fonction polynomiale associée à P est nulle, alors P = 0. Démonstration. En effet, tous les éléments de K sont alors racines de P, et il y en a une infinité. Une application : l interpolation de Lagrange Il s agit d un processus qui permet de faire passer par un nombre fini de points fixés du plan, d abscisses distinctes, le graphe d un polynôme de degré aussi petit que possible. Si l on n a qu un point (a, b), on prend le polynôme constant b (degré 0) et le graphe est une droite horizontale. Si l on a deux points (a, b) et (a, b ), avec a a, il passe une et une seule droite par ces deux points, qui n est pas verticale ; c est le graphe d une fonction affine, qui est donc polynomiale et associée à un polynôme P = αx + β (degré 1). On peut imaginer que, dans le cas de n points d abscisses distinctes, on s en tirera avec un polynôme de degré n 1. C est bien le cas. Théorème (Interpolation de Lagrange). Soient (a 1, b 1 ),..., (a n, b n ) des points de K 2 d abscisses a i deux à deux distinctes. Il existe alors un unique polynôme P K[X] de degré deg P n 1 dont le graphe passe par ces n points, autrement dit, tel que P (a i ) = b i pour i = 1,..., n.

46 42 2 Polynômes Démonstration. L unicité peut se voir comme suit. Si P et Q sont deux polynômes de degrés deg P, deg Q n 1 et tels que P (a i ) = Q(a i ) = b i pour i = 1,..., n, alors le polynôme P Q, dont le degré est n 1, admet les n racines : a 1,..., a n ; il est donc nul et P = Q. L existence s obtient par une construction explicite. On pose d abord, pour i = 1,..., n : K i = 1 j n j i (X a j ) et L i = 1 K i (a i ) K i. (Il est évident que K i (a i ) 0, ce qui justifie cette dernière définition.) On voit que deg L i = n 1 et que 1 si i = j, L i (a j ) = 0 si i j. En posant n P = b i L i, i=1 on obtient donc un polynôme P de degré deg P n 1 et tel que : n P (a i ) = b j L j (a i ) = b i pour tout i = 1,..., n. j=1 C est bien ce que l on voulait Racines multiples Définition. Soit P K[X] un polynôme. On dit que le scalaire a K est racine d ordre k de P si (X a) k divise P. On dit que a est racine d ordre k de P si (X a) k divise P et (X a) k+1 ne divise pas P. On dit que a est racine simple si c est une racine d ordre 1, et que a est racine multiple si c est une racine d ordre 2. Une racine d ordre 0 de P n en est donc pas une racine du tout, et on évitera cette expression. Une racine est automatiquement d ordre 1. Exemple. Soient a 1,..., a k K deux à deux distincts et soient m 1,..., m k N. Le polynôme P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k admet pour seules racines les a i. Comme (X a i ) m i divise P, la multiplicité de chaque racine a i est m i. En fait, c est exactement m i. En effet, si par exemple (X a 1 ) m1+1 divisait P, on aurait : (X a 1 ) m 1+1 Q = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k, et donc, par «intégrité» de K[X], (X a 1 )Q = (X a 2 ) m2 (X a k ) m k.

47 2.3 Racines d un polynôme 43 L évaluation de la partie gauche et de la partie droite en a 1 donne une contradiction : 0 = (a 1 a 2 ) m2 (a 1 a k ) m k, car a 1 est distinct de a 2,..., a k. Lemme. Pour que le polynôme Q = k i=0 b i (X a) i soit nul, il faut, et il suffit, que tous les b i le soient. Démonstration. La suffisance de la condition est évidente. Réciproquement, vu que Q(X + a) = k b i X i, si Q = 0, alors les b i sont nuls. i=0 Théorème. Pour que a soit racine d ordre k de P, il faut, et il suffit, que les k premières dérivées de P en a, à partir de P lui-même, soient nulles, i.e. P (a) = P (a) = = P (k 1) (a) = 0. Démonstration. Dire que a est racine d ordre k de P, c est dire que le reste de la division euclidienne de P par (X a) k est nul ; mais, d après la formule de Taylor, ce reste est le polynôme P (a) + P (a)(x a) P (a)(x a) k! P (k) (a)(x a) k, et il suffit d appliquer le lemme ci-dessus Lien avec la factorisation On a vu plus haut que, si a 1,..., a k sont des racines distinctes de P K[X], alors (X a 1 ) (X a k ) divise P. Le quotient Q est donc de degré n k. Ainsi, si k = n = deg P, on obtient une factorisation de P : P = a(x a 1 ) (X a n ), où a est une constante non nulle. En comparant les termes dominants des deux membres de l égalité, on voit même que a = cd(p ). Par exemple, si α, β sont deux racines distinctes d un trinôme du second degré T = ax 2 + bx + c, alors T = a(x α)(x β). On voit aussi facilement que si α est une racine double de T = ax 2 + bx + c, alors T = a(x α) 2. Cela reste vrai en général des racines multiples, ce que nous allons à présent expliquer. Lemme. Supposons que P = (X a) k Q et que Q(a) 0, de sorte que a est racine d ordre k de P. Soit b a une racine d ordre l de P. Alors b est également racine d ordre l de Q.

48 44 2 Polynômes Démonstration. On a P = (X b) l S = (X a) k Q pour un polynôme S. Comme (b a) k Q(b) = (b b) l S(b) = 0, on conclut que b est racine de Q. On peut donc écrire Q = (X b)q 1 et, par «intégrité» de K[X], (X b) l 1 S = (X a) k Q 1. Si l > 1, l on recommence avec Q 1 : b est racine de Q 1, Q 1 = (X b)q 2, etc. On va trouver : Q = (X b) l Q l Théorème. Soient a 1,..., a k des racines distinctes de P K[X], de multiplicités respectives m 1,..., m k. Alors (X a 1 ) m1 (X a k ) m k P. Démonstration. Puisque a 1 est racine de P de multiplicité m 1, on a P = (X a 1 ) m 1 P 1. D après le lemme qui précède, a 2,..., a k sont des racines distinctes de P 1, de multiplicités respectives m 2,..., m k. On recommence donc avec P 1, etc. On finira par trouver : P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k P k. Corollaire. Si P est non nul, le nombre de ses racines comptées avec leurs multiplicités est inférieur ou égal à deg P. Démonstration. Puisque (X a 1 ) m1 (X a k ) m k divise P qui est non nul, on a : k m i = deg(x a 1 ) m1 (X a k ) m k deg P. i=1 Si a 1,..., a k sont des racines distinctes de P K[X] de multiplicités respectives m 1,..., m k, et que le degré de P est n, alors P = (X a 1 ) m1 (X a k ) m k Q, où le quotient Q est de degré n k i=1 m i. Ainsi, si k i=1 m i = n, on obtient une factorisation de P : P = a(x a 1 ) m1 (X a k ) m k. où a est une constante non nulle. En comparant les termes dominants des deux membres de l égalité, on voit encore que a = cd(p ). On dit que l on a complètement factorisé P, ou encore qu on l a décomposé. Notons que, lorsqu elle existe, cette factorisation ci-dessus est essentiellement unique : les seules racines de P sont en effet les a i et leurs multiplicités sont les exposants m i.

49 2.4 Fonctions polynomiales Fonctions polynomiales On a déjà défini l évaluation d un polynôme P K[X] en un point a K, c est-à-dire le calcul de P (a). Pour tout polynôme P K[X], on a donc une application a P (a) de K dans K. Toute telle application s appelle une application (ou fonction) polynomiale Propriétés des fonctions polynomiales Soient F, G K[X] polynômes et f, g : K K les fonctions polynomiales définies par : f(a) = F (a), g(a) = G(a) pour tout a K. Notons d abord les propriétés arithmétiques suivantes (qui ne sont pas tout à fait triviales) : pour tout a K, (f + g)(a) = (F + G)(a) et (fg)(a) = (F G)(a). Considérons ensuite le cas K = R. Toute fonction polynomiale R R est continue. En utilisant les formules pour les dérivées de fonctions polynomiales, on trouve que pour tout a R, f (a) = F (a). Il en résulte que pour tout k N, f (k) (a) = F (k) (a). En particulier, si n = deg F, alors f (n+1) = 0 (on pouvait démontrer cela en utilisant uniquement des fonctions polynomiales, mais utilisation de polynômes rend le raisonnement par recurrence plus simple). Toute fonction polynomiale est ainsi indéfiniment dérivable, et une de ses dérivées itérées (comme toutes les suivantes) est nulle. La réciproque est aussi vraie : si f : R R est une fonction telle que f (n+1) (x) = 0 pour tout x R, alors f est une fonction polynomiale définie par un polynôme de degré au plus n. Cela se prouve par récurrence sur n, en utilisant le fait que, si g est une fonction polynomiale, on connait au moins une primitive polynomiale g 0 de g, et donc g elle-même, qui peut être différente de g 0 par l addition d une constante, est polynomiale. Pas toute fonction R R indéfiniment dérivable est polynomiale. Exemple. La fonction exponentielle réelle x e x est indéfiniment dérivable mais n est pas polynomiale, car elle coïncide avec sa dérivée et n est pas nulle Rapport entre fonctions et polynômes Ayant choisi un corps commutatif K, il est naturel de se poser deux questions au sujet des applications polynomiales : 1. Est-ce que toute application de K dans lui-même est polynomiale?

50 46 2 Polynômes 2. Si une application est polynomiale, le polynôme dont elle provient est-il unique? Pour répondre à ces deux questions, utiliserons la propriété suivante : Si P K[X] a une infinité de racines dans K, alors P = 0. Rappelons que K est un corps commutatif parmi les trois : Q, R ou C ; ainsi il est infini. Toute fonction K K qui s annule en une infinité de points sans être nulle, ou qui atteint une même valeur une infinité de fois sans être constante, n est pas une fonction polynomiale. Le seul polynôme qui définit la fonction nulle est le polynôme nul, car K est infini. Ainsi, si deux polynômes définissent une même fonction polynomiale, leur différence définit la fonction nulle, donc elle est le polynôme nul, et ces deux polynômes sont égaux. (On a démontré ici l unicité du polynôme définissant une application polynomiale.) Remarque. Pour démontrer l unicité du polynôme définissant une application polynomiale, on a utilisé le fait que le corps de base K est infini. Pour un corps fini, comme Z/(2Z), il y a toujours une infinité de polynômes définissant une même application polynomiale. Par exemple, le polynôme X 2 +X Z/(2Z)[X] définit l application nulle x Propriétés dépendant du corps de base Propriétés de C[X] Théorème (de Gauss-d Alembert). Tout polynôme non constant de C[X] admet une racine au moins. 3 Nous admettrons ce théorème, qui admet de très nombreuses preuves, toutes reposant sur l analyse. Corollaire. Tout polynôme non constant P C[X] de degré n admet une factorisation de la forme : P = a(x α 1 ) (X α n ), où a C et α 1,..., α n C. Démonstration. D après le théorème, P admet une racine, et l on peut écrire P = (X α 1 )P 1, où deg P 1 = n 1. Si n = 1, alors P 1 est constant, c est terminé ; sinon, on recommence avec P 1, etc. Corollaire. Tout polynôme non constant P C[X] admet une factorisation de la forme : P = a(x a 1 ) m1 (X a k ) m k. où a est une constante non nulle et les a i C sont deux à deux distincts. Cette factorisation est unique à permutation des termes près. 3. On exprime cette propriété en disant que «le corps C est algébriquement clos».

51 2.5 Propriétés dépendant du corps de base 47 Démonstration. On regroupe les racines identiques. L unicité a été vue plus haut (m i est l ordre de la racine a i ). Remarque. Il existe des méthodes pour «exprimer» les racines des polynômes dans C[X] de degré 4 en termes de leurs coefficients. À partir du degré 5, on peut démontrer que, dans un certain sens, il n existe pas de telles formules. 4 Exemple. Les racines du polynôme X n 1, autrement dit les racines n es de l unité, sont les j k = e 2iπk/n pour 0 k n 1. On a donc une décomposition dans C[X] : n 1 X n n 1 1 = (X j k ) = (X e 2iπk/n ). k= Propriétés de R[X] Il n est évidemment pas vrai que tout polynôme non constant de R[X] admet une racine réelle : voir par exemple X 2 +1, et, plus généralement, tout trinôme du second degré dont le discriminant est strictement négatif. Théorème. Tout polynôme de degré impair de R[X] admet une racine réelle. Démonstration. Soit P R[X] un polynôme de degré impaire 2m + 1 et de terme dominant ax 2m+1, a R. La fonction x P (x) est polynomiale et donc continue sur R. Posons Q = P ax 2m+1, alors deg Q 2m et P = ax 2m+1 + Q. Chaque monôme bx k de Q est de degré k 2m, et l on a donc : lim x + bx k ax 2m+1 = lim x En additionnant ces limites, on en déduit : lim x + Q(x) ax 2m+1 = lim x k=0 bx k = 0. ax2m+1 Q(x) = 0. ax2m+1 On a donc : P (x) lim x + ax = lim P (x) = 1. 2m+1 x ax2m+1 D autre part, si a > 0, alors lim x + ax 2m+1 = + et lim x ax 2m+1 =, et si a < 0, alors lim x + ax 2m+1 = et lim x ax 2m+1 = +. En combinant avec les limites précédentes (multiplication de limites) : 1. si a > 0, alors 2. si a < 0, alors lim P (x) = + et lim P (x) =, x + x lim P (x) = et lim P (x) = +. x + x 4. Ce résultat est dû à Lagrange, Abel et Galois.

52 48 2 Polynômes Dans tous les cas, la fonction continue x P (x) prend des valeurs positives et des valeurs négatives. D après le théorème des valeurs intermédiaires, elle doit s annuler quelque part. Ce théorème ne suffit malheureusement pas pour obtenir la factorisation dans R[X]. En effet, si l on part de P de degré 2m + 1 et qu on lui trouve une racine α, on écrit P = (X α)q avec deg Q = 2m, et l on ne peut pas appliquer le théorème à Q. De plus, même si Q n admet aucune racine dans R, il est peut-être factorisable dans R[X]. Par exemple, X n admet évidemment aucune racine réelle, et pourtant : X = (X 4 + 2X 2 + 1) 2X 2 = (X 2 + 1) 2 ( 2X) 2 = (X X)(X X). En fait, tout polynôme de R[X] se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. Les facteurs de degré 1 correspondent aux racines réelles. Les facteurs de degré 2 sont des trinômes du second degré n admettant pas de racine réelle (sinon on les décomposerait en deux facteurs de degré 1), donc de discriminant strictement négatif. Étrangement, la possibilité d obtenir une telle factorisation dans R[X] repose sur la factorisation dans C[X]. Nous allons esquisser le raisonnement et la méthode. Soit donc P R[X] de degré n 1. En le considérant comme un élément de C[X], on voit qu il admet au moins une racine α C. Si α est réelle, on peut écrire P = (X α)q avec Q R[X] ; et, si Q n est pas constant, recommencer, etc. Si α = u + iv est non réelle, donc u, v R et v 0, on voit que le conjugué α est aussi racine : P (α) = P (α) = 0 = 0, où la première égalité est justifiée par le fait que P R[X]. Une fois que l on sait que α et α sont toutes deux racines, comme elles sont distinctes (ceci parce que α R), on sait que P est divisible par : T = (X α)(x α) = (X u iv)(x u + iv) = X 2 2uX + (u 2 + v 2 ). C est un trinôme du second degré de discriminant 4v 2 < 0 et à coefficients réelles. Ainsi P = T Q, et on peut recommencer avec Q, si Q n est pas constant. Pour conclure : on peut factoriser dans P tous les X α où α est une racine réelle ; et tous les trinômes à discriminant strictement négatif T = (X α)(x α) R[X], où α, α est une paire de racines complexes conjuguées non réelles de P. On a ainsi démontré le théorème suivant. Théorème. Tout polynôme de R[X] se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. On peut également montrer que, en un certain sens, cette décomposition est «essentiellement unique».

53 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 49 Exemple. La racine n e de l unité j k = e 2iπk/n (pour 0 k n 1) est réelle pour k = 0 (elle vaut alors 1) ; et, si n = 2p est pair, pour k = p (elle vaut alors 1). Le conjugué de j k est j n k et : (X j k )(X j n k ) = X 2 2 ( ) cos 2πk n X +1. On a donc : ( ( p X n 1 = (X 1) X 2 2 cos 2πk ) ) X + 1 si n = 2p + 1, k=1 n p 1 ( ( X n 1 = (X 1)(X + 1) X 2 2 cos 2πk ) ) X + 1 si n = 2p. n k=1 2.6 Fractions et fonctions rationnelles Les fractions rationnelles sont aux polynômes ce que les nombres rationnels sont aux entiers relatifs. Autrement dit, la construction algébrique du «corps» K(X) des fractions rationnelles à partir de «l anneau» K[X] des polynômes est en tout point semblable à la construction du «corps» Q des rationnels à partir de «l anneau» Z des entiers relatifs Définition de K(X) et ses opérations Définition et opérations L ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans K sera noté K(X) (K peut être Q, R ou C, comme avant). Un élément de K(X) est une «fraction» A, où A, B K[X] et B 0. Les fractions rationnelles A 1 B B 1 et A 2 B 2 sont déclarées égales si et seulement si A 1 B 2 = A 2 B 1. Ainsi chaque fraction rationnelle R K(X) possède une infinité des écritures sous la forme A avec B A, B K[X]. Les opérations d addition et de multiplication dans K(X) sont définies par les formules suivantes : A 1 + A 2 déf = A 1B 2 + A 2 B 1, B 1 B 2 B 1 B 2 On définit aussi les fractions 0 et 1 : 0 déf = 0 1, 1 déf = 1 1, A 1 B 1 A 2 B 2 déf = A 1A 2 B 1 B 2. et les opération de l opposé et de l inverse : A déf = A ( ) A 1 B B, déf = B si A 0. B A On peut «identifier» tout polynôme P K[X] avec la fraction rationnelle P car si l on applique les règles ci-dessus à des fractions rationnelles de cette 1 forme, on retrouve bien les opérations déjà définies pour les polynômes. Alors on peut considérer K[X] comme une partie de K(X) par cette identification : K[X] K(X). Après cette identification, on peut observer que la fraction A, B où A, B K[X], n est rien d autre que le résultat de la division de A = A par 1 B = B dans K(X). 1

54 50 2 Polynômes Propriétés algébriques Les opérations algébriques dans K(X) satisfont les propriétés suivantes : 1. pour tous F, G, H K(X), 2. pour tous F, G K(X), 3. pour tout F K(X), 4. pour tout F K(X), 5. pour tous F, G, H K(X), 6. pour tous F, G K(X), 7. pour tout F K(X), (F + G) + H = F + (G + H), F + G = G + F, F + 0 = 0 + F = F, F + ( F ) = ( F ) + F = 0, (F G)H = F (GH), F G = GF, F 1 = 1 F = F, 8. pour tout F K(X), si F 0, alors 9. pour tous F, G, H K(X), F F 1 = F 1 F = 1, (F + G)H = F H + GH, F (G + H) = F G + F H. Autrement dit, K(X) est un «corps commutatif». Degré d une fraction rationnelle Pour toute fraction rationnelle F = A B par la formule : deg F déf = deg A deg B. K(X), on définit le degré de F Comme B 0 (donc deg B N), cette soustraction a un sens même si A = 0, dans quel cas l on trouve deg 0 =. Cependant, pour être certain que la définition a bien un sens, il faut vérifier qu elle ne dépend pas de l écriture particulière choisie pour F. Supposons donc que F = A 1 B 1 = A 2 B 2. On a : A 1 B 2 = A 2 B 1 deg A 1 + deg B 2 = deg A 2 + deg B 1 deg A 1 deg B 1 = deg A 2 deg B 2, car on peut soustraire deg B 1 + deg B 2. Pour calculer deg F, on peut donc indifféremment utiliser l écriture F = A 1 B 1 ou l écriture F = A 2 B 2.

55 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 51 Exemple. Pour tout polynôme non nul P, on appelle dérivée logarithmique de P la fraction rationnelle P. De la règle de Leibniz, on déduit que la dérivée P logarithmique de P Q est égale à la somme des dérivées logarithmiques de P et de Q. Par exemple, pour un polynôme complètement décomposé, on trouve : n P = C (X a i ) m i P n i=1 P = m i. i=1 X a i Si F n est pas constant, le degré de F /F est 1. Proposition. Soient F et G deux fractions rationnelles. On a alors : deg(f + G) max(deg F, deg G), deg(f G) = deg(f ) + deg G. De plus, si deg F deg G, alors deg(f + G) = max(deg F, deg G). Démonstration. Écrivons F = A et G = C. L inégalité à démontrer résulte de B D la relation deg(ad+bc) max ( deg(ad), deg(bc) ), dont on peut soustraire deg(bd) = deg B + deg D N ; le cas d égalité s obtient alors en remarquant que, si deg F deg G, alors deg(ad) deg(bc). On obtient deg(f G) par soustraction des égalités deg(ac) = deg A + deg C et deg(bd) = deg B + deg D N. Par division euclidienne A = QB + R avec deg R < deg B, on peut écrire toute fraction rationnelle F = A sous la forme F = Q + G où Q K[X] et B deg G < 0 : il suffit de prendre G = R. Cette écriture est de plus unique. Le B polynôme Q est alors appelé partie entière de F. Fractions irréductibles, forme réduite Rappelons que, parmi toutes les écritures 6/9 = 4/6 = ( 2)/( 3) d un même rationnel, il en est une plus simple que toutes les autres, la «forme irréductible» ou «forme réduite» : ici, c est 2/3. De plus, tous les représentants de 2/3 sont de la forme 2k/3k. De manière générale, la forme réduite de a/b s obtient en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD : a/b = a 0 /b 0, où a = da 0, b = db 0 et a 0 et b 0 sont «premiers entre eux», autrement dit, n ont aucun diviseur commun autre que ±1. Quitte à changer le signe au numérateur et au dénominateur, on peut de plus supposer que le dénominateur est positif (donc un entier naturel). Une fois que l on a trouvé la «forme irréductible», ou encore «forme réduite» a 0 /b 0, on constate que toutes les écritures de ce rationnel sont de la forme ka 0 /kb 0, avec k Z. Des propriétés analogues sont valables pour les fractions rationnelles. Nous allons les énoncer précisément, sans toutefois les démontrer. Nous dirons que deux polynômes sont «premiers entre eux» s ils n ont aucun diviseur commun autre que les constantes non nulles.

56 52 2 Polynômes Exemple. Soient T = ax 2 + bx + c et T = a X 2 + b X + c, avec a, a 0. Si T et T ont une racine commune α, ils sont tous deux divisibles par X α et ne sont donc pas premiers entre eux. Si T et T ne sont pas premiers entre eux, ils ont un diviseur commun D de degré 1. Si deg D = 2, la seule possibilité est que T = (a/d)d et T = (a /d)d, où d = cd(d). On a alors T = (a /a)t. Si deg D = 1, alors on peut écrire D = d(x α) et T, T ont la racine commune α. Proposition. Toute fraction rationnelle F K[X] admet un unique représentant A 0 B 0 tel que A 0 et B 0 sont premiers entre eux et B 0 est unitaire (coefficient dominant cd(b 0 ) = 1). Toutes les écritures A de cette fraction rationnelle sont alors de la forme B P A 0 P B 0, où P K[X] est non nul. Les fractions A = P A 0 B P B 0 telles que A et B sont premiers entre eux sont celles telles que P K : on les appelle formes irréductibles de F. Le représentant A 0 B 0 est parfois appelé la forme irréductible de F. Pratiquement, on procède comme avec les rationnels. Tant que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun non constant, on les divise tous les deux par ce facteur commun. Quand on ne peut plus le faire, c est que l on a trouvé une forme irréductible. Si l on désire la forme irréductible, on divise numérateur et dénominateur par le coefficient dominant de ce dernier. Si l on trouve le PGCD D de A et B, cela permet de réduire la fraction rationnelle A à une forme irréductible A 0 B B 0 d un seul coup : on pose A 0 = A/D et B 0 = B/D, qui, par définition du PGCD, sont des polynômes premiers entre eux. Exemple. Prenons A = X 5 1 et B = X 3 1. Pour trouver le PGCD de A et B, on peut effectuer les divisions euclidiennes suivantes : Le PGCD de A et B est donc X 1. Évaluation, zéros, pôles X 5 1 = X 2 (X 3 1) + X 2 1, X 3 1 = X(X 2 1) + X 1, X 2 1 = (X + 1)(X 1) + 0. Soit A 0 B 0 une forme irréductible de F K(X). On dit que F est définie en α K si B 0 (α) 0. On pose alors : F (α) = A 0(α) B 0 (α) K, que l on appelle valeur de F en α. Ces définitions ne dépendent pas du choix d une forme irréductible : si A 1 B 1 est une autre forme irréductible de F,

57 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 53 les conditions B 0 (α) 0 et B 1 (α) 0 sont équivalentes et A 0(α) = A 1(α). De B 0 (α) B 1 (α) plus, pour toute écriture A de F telle que B(α) 0, on a encore F (α) = B A(α) B(α) A(α). Réciproquement, si F n est pas définie en α, alors B(α) aucune écriture A de F. B Exemples. n est définie pour X 1. La fraction rationnelle K(X) est définie en 0, mais cette écriture X 2 +X particulière ne convient pas pour en calculer la valeur, alors que l écriture de la même fraction rationnelle convient. X 1 X La fraction rationnelle Q[X] est définie en tout point de Q mais X pas en tout point de R. La fraction rationnelle R[X] est définie X 2 +1 en tout point de R mais pas en tout point de C. On appelle pôle de F un élément α K en lequel F n est pas définie. Pour toute forme irréductible A 0 B 0 de F, la multiplicité de α en tant que racine de B 0 est la même : on l appelle l ordre du pôle α. On appelle zéro de F un élément α K en lequel F (α) = 0. Pour toute écriture A de F, α est alors une racine de A. Pour toute forme irréductible A 0 B B 0 de F, la multiplicité de α en tant que racine de B 0 est la même : on l appelle l ordre du zéro α. Il existe un unique m Z tel que F = (X α) m G, où G est définie en α et G(α) 0 : si m > 0, α est un zéro d ordre m de F ; si m < 0, c en est un pôle d ordre m ; si m = 0, α n est ni un zéro ni un pôle. L entier m est appelé l ordre de F en α. Fraction rationnelle dérivée Proposition. Soit F = A K(X), A, B K[X]. La fraction rationnelle B A B AB ne dépend que de F et non de l écriture particulière choisie. On l appelle dérivée de F et on la note F B 2. Démonstration. Soit A 0 B 0 la forme irréductible de F. Il existe un polynôme P tel que A = P A 0 et B = P B 0, d où : A B AB = P 2 (A 0B 0 A 0 B 0) A B AB B 2 = A 0B 0 A 0 B 0 B 2 0. Définition. Soit F = A B s appelle la dérivée de F. K(X), A, B K[X]. La fraction rationnelle F déf = A B AB B 2 On vérifie sans peine les propriétés suivantes pour tous F, G K(X) (la deuxième est la règle de Leibniz) : (F + G) = F + G et (F G) = F G + F G.

58 54 2 Polynômes Exemple. La dérivée n e 1 de. Pour calculer les (X α) m (X α) m+n dérivées successives de F lorsque le corps est C, il suffit donc d utiliser la «décomposition en éléments simples» de F (à voir dans la suite). est ( 1)n m(m+1) (m+n 1) Proposition. Si F K(X) est non nulle et de degré non nul, on a deg F = (deg F ) 1. Démonstration. Si F = A, on a deg A deg B, et les coefficients dominants B (deg A)(cd A)(cd B) et (deg B)(cd A)(cd B) de A B et de B A sont différents. Le numérateur AB BA de F est donc de degré deg A + deg B 1 et deg F = deg A + deg B 1 2 deg B = deg F Fonctions rationnelles De même que les polynômes servent à «coder» algébriquement les fonctions polynomiales, les fractions rationnelles servent à «coder» algébriquement les fonctions rationnelles, c est-à-dire les fonctions obtenues en divisant une fonction polynomiale par une autre, par exemple x f(x) = x 1 x 2 + x + 1. Pour attacher une fonction rationnelle à une fraction rationnelle F, il y a une toute petite complication due à la multiplicité des écritures A de F. B Pour toute fraction rationnelle F K(X) écrite sous forme irréductible A, B l ensemble des pôles de F, qui est l ensemble des racines de B dans K, est fini. Son complémentaire dans K est l ensemble D F des α K tels que F (α) est défini. On l appelle ensemble de définition de F. Proposition. Soient F, G K(X). On suppose que, pour tout α D F D G, F (α) = G(α). Alors F = G. Démonstration. Si F = A et G = C, on a (AD BC)(α) = 0 pour tout α B D dans l ensemble infini D F D G, donc AD BC = 0. On peut donc identifier la fraction rationnelle F avec la fonction rationnelle x F (x) de D F dans K. Cette identification est évidemment compatible avec l addition et la multiplication des fractions rationnelles d un côté, des fonctions de l autre. La seule petite difficulté est celle-ci : il peut arriver que F + G ou F G soit défini en un point où F ou G n est pas défini. Par exemple 1 1 X 1 et X sont définies partout. X X X X Décomposition en éléments simples Le but de cette section est d étudier une méthode pour décomposer une fraction rationnelle en somme de fractions rationnelles «plus simples». Cette méthode sera appliquée dans les chapitres suivants pour calcul des primitives des fonctionnes rationnelles.

59 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 55 L étape préliminaire de la décomposition Si F = A K(X) est une fraction rationnelle, A, B K[X], alors on B peut effectuer la division euclidienne de A par B pour écrire : A = QB + R, Q, R K[X], deg R < deg B. Ainsi on obtient la décomposition suivante de F : F = Q + R B, où Q K[X], deg R B < 0. Le polynôme Q s appelle la partie entière de F. La première étape de la décomposition Le principe suivant permet de décomposer certains fractions rationnelles en sommes de fractions avec dénominateurs plus simples. Lemme. Soit F = A une fraction rationnelle non nulle telle que deg A < B deg B. On suppose que B = k B i = B 1 B k, où les B i sont premiers entre i=1 eux deux à deux (pgcd(b i, B j ) = 1 si i j). Il existe alors une unique décomposition k R i F = = R R k B i B 1 B k i=1 avec deg R i < deg B i pour 1 i k. Démonstration de l existence (l unicité est plus facile). Il suffit de faire une démonstration pour k = 2 et appliquer la récurrence, car pgcd(b 1, B 2 B k ) = 1. Supposons donc k = 2, B = B 1 B 2, pgcd(b 1, B 2 ) = 1. Par le théorème de Bézout, il existe deux polynômes S et T tels que SB 1 + T B 2 = 1. Alors A = ASB 1 + AT B 2, et F = ASB 1 + AT B 2 B 1 B 2 = AT B 1 + AS B 2. Effectuons les divisions euclidiens de AT par B 1 et de AS par B 2 : AT = Q 1 B 1 + R 1, AS = Q 2 B 2 + R 2, où deg R 1 < deg B 1, deg R 2 < deg B 2. Ainsi : F = Q 1 + Q 2 + R 1 B 1 + R 2 B 2. Comme deg F < 0, deg R 1 B 1 < 0 et deg R 2 B 2 < 0, on conclut que deg(q 1 + Q 2 ) < 0 et donc Q 1 + Q 2 = 0. Voici un cas particulier. Supposons a 1,..., a k deux à deux distincts. Soit A K[X] tel que deg A < k. Alors la fraction rationnelle F = A (X a 1 ) (X a k )

60 56 2 Polynômes est de degré < 0. Elle admet donc une unique décomposition : A (X a 1 ) (X a k ) = λ λ k, X a 1 X a k avec λ 1,..., λ k K. Pour déterminer les λ i, il y a deux méthodes pratiques. Substitution de a i pour X. Pour trouver λ i, on commence par multiplier les deux membres de la dernière égalité par X a i. Cela donne : A (X a 1 ) (X a i 1 )(X a i+1 ) (X a k ) = λ 1(X a i ) X a λ i 1(X a i ) X a i 1 + λ i + λ i+1(x a i ) X a i λ k(x a i ) X a k. Maintenant on peut substituer a i pour X sans risquer annuler un des dénominateurs : A(a i ) (a i a 1 ) (a i a i 1 )(a i a i+1 ) (a i a k ) = λ i. Identifications des coefficients. On chasse les dénominateurs : autrement dit, on multiplie les deux membres de l égalité par (X a 1 ) (X a k ). On obtient ainsi une égalité dans laquelle les deux membres sont des polynômes de degré k 1, donc définis par k coefficients. En identifiant deux à deux les coefficients, on obtient un système de k équations linéaires à k inconnues, les λ i, et il est possible à démontrer que le système obtenu ainsi admet une unique solution. Exemple. Si l on veut décomposer X 2 + X + 1 X(X 1)(X + 1) X 2 + X + 1 X(X 1)(X + 1) = λ X + µ X 1 + ν X + 1, en multipliant par X(X 1)(X + 1), on trouve : sous la forme X 2 + X + 1 = λ(x 1)(X + 1) + µx(x + 1) + νx(x 1) d où, par identification, le système : λ + µ + ν = 1, µ ν = 1, λ = 1. = (λ + µ + ν)x 2 + (µ ν)x λ,

61 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 57 Ce système admet pour seule solution λ = 1, µ = 3/2, ν = 1/2, d où enfin la décomposition en éléments simples : X 2 + X + 1 X(X 1)(X + 1) = 1 X + 3 2(X 1) + 1 2(X + 1). La substitution de X marche bien quand le dénominateur est complètement décomposé ; sinon, l identification des coefficients est plus sûre. Exemple. On veut décomposer sur R la faction rationnelle X Le dénominateur se factorise en (X X)(X X). On écrit donc X : X X = ax + b X X + cx + d X X. Pour déterminer a, b, c, d, on chasse les dénominateurs : X = (ax + b)(x X) + (cx + d)(x X). Par identification, on obtient le système : a + c = 1, a 2 + b c 2 + d = 0, a + b 2 + c d 2 = 0, b + d = 1. Finalement : X X = 2 2 X X X X X X. La deuxième étape de la décomposition Après que la première étape est appliquée, ou si elle n est pas applicable, il peut y rester de fractions avec le dénominateur une puissance d exposant m 2. Le principe suivant alors s applique. Lemme. Soit F = A une fraction rationnelle non nulle telle que deg A < B deg B. On suppose que B = P m, m 1. Il existe alors une unique décomposition m R i F = P = R 1 i P + + R m P m i=1 avec deg R i < deg P pour 1 i m. Démonstration de l existence (l unicité est plus facile). Effectuons les divisions euclidiennes suivantes : A = Q m P + R m, Q m = Q m 1 P + R m 1,... Q 2 = Q 1 P + R 1.

62 58 2 Polynômes Alors A = Q 1 P m + R 1 P m 1 + R 2 P m R m et donc Comme F = Q 1 + R 1 P + + R m P m. on trouve que donc Q 1 = 0. deg Q m deg A deg P, deg Q m 1 deg Q m deg P,..., deg Q 1 deg A m deg P = deg A deg B < 0, Le dénominateur est une puissance d un polynôme de degré 1. Prenons A F =, avec deg A < k. Dans ce cas, on peut appliquer la formule de (X a) k Taylor : A(X) = A(a) + A (a)(x a) + + A (k 1) (a)(x a) k 1. On n a pas besoin d aller plus loin puisque deg A < k, qui implique A (k) = 0. La décomposition en éléments simples donne ici : A k (X a) = A (k i) (a) k (X a). i i=1 Le dénominateur est une puissance d un polynôme de degré 2. X par exemple F =, à mettre sous la forme (X 2 + X + 1) 2 Prenons ax + b X 2 + X cx + d (X 2 + X + 1). 2 En chassant les dénominateurs : X = (ax + b)(x 2 + X + 1) + cx + d. Notons d ailleurs qu il s agit de la division euclidienne de X 3 +1 par X 2 +X +1. On trouve a = 1, b = 1, c = 0 et d = 2 : X (X 2 + X + 1) = X 1 2 X 2 + X (X 2 + X + 1). 2 La décomposition complète Définition. Soit F K(X) une fraction rationnelle et A sa forme irréductible. B Soient Q et R le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B, c està-dire : A = QB + R, où Q, R K[X], deg R < deg B. Soit B = B m 1 1 B m k k

63 2.6 Fractions et fonctions rationnelles 59 une décomposition de B en facteurs irréductibles (elle sera unique si l on exige en plus que B, B 1,..., B k soient unitaires). Ainsi : F = Q + R 1 B m. k B m 1 Alors une décomposition en éléments simples (ou l on dit encore «en fractions partielles») de F est toute décomposition de F en une somme de la forme : k m i R i,j F = Q + i=1 j=1 B j i = Q + R 1,1 B 1 + R 1,2 B R 1,m 1 B m 1 1 k + R 2,1 B R k,1 B k où R i,j K[X] et deg R i,j < deg B i pour 1 i k et 1 j m i. + + R k,m k B m, k k Il y aura deux principaux cas à distinguer : si K = C, tous les facteurs B i sont de degré 1, si K = R, il peut y avoir des facteurs de degré 1 et de degré 2. (Si K = Q, il peut y avoir des facteurs de n importe quel degré.) Exemple. Soit F = X5 + 1 à décomposer en éléments simples sur R et (X 3 1) 2 sur C. Sur R, le dénominateur se décompose en (X 1) 2 (X 2 + X + 1) 2, et l on cherche une décomposition de la forme : a X 1 + b (X 1) + cx + d 2 X 2 + X ex + f (X 2 + X + 1) 2. En chassant les dénominateurs et en identifiant, on trouve X (X 3 1) = 1 2 9(X 1) + 2 9(X 1) + 8X (X 2 + X + 1) + 1 3(X 2 + X + 1). 2 Sur C, le dénominateur se décompose en (X 1) 2 (X µ) 2 (X µ) 2, où µ = e 2iπ/3 et µ = e 2iπ/3. On cherche alors une décomposition de la forme : a X 1 + b (X 1) + c 2 X µ + d (X µ) + e 2 X µ + En chassant les dénominateurs et en identifiant, on trouve : X (X 3 1) = 1 2 9(X 1) + 2 9(X 1) + 2 f (X µ) µ 9(X µ) 1 9(X µ) + 3 2µ 2 9(X µ) 1 9(X µ). 2 Théorème. Toute fraction rationnelle admet une decomposition en éléments simples. En plus, cette decomposition est unique dans le sense que dans toutes deux telles décompositions, les termes des deux sommes sont les mêmes à l ordre d écriture près.

64 60 2 Polynômes 2.7 Exercices Exercice 1 Trouver a, b, c C tels que : 1. a(x + 2)(X + 3) + b(x + 1)(X + 3) + c(x + 1)(X + 2) = 1, 2. a(x + 2)(X + 3) + b(x + 1)(X + 3) + c(x + 1)(X + 2) = 0, 3. a(x + 2)(X + 3) + b(x + 1)(X + 3) + c(x + 1)(X + 2) = X, 4. a(x + 2)(X + 3) + b(x + 1)(X + 3) + c(x + 1)(X + 2) = X 2, 5. a(x + 2)(X + 3) + b(x + 1)(X + 3) + c(x + 1)(X + 2) = X 3. (Attention : il y a une blague dans cet exercice.) Exercice 2 Trouver a, b, c C tels que : 1. (a + bx)(x + 1) + c(x 2 + 1) = 1, 2. (a + bx)(x + 1) + c(x 2 + 1) = X, 3. (a + bx)(x + 1) + c(x 2 + 1) = X 2, 4. (a + bx)(x + 1) + c(x 2 + 1) = 1 + 2X + X 2. Exercice 3 Trouver P C[X] tel que : 1. deg P 1, P (1) = 2, P (2) = 3, 2. deg P 2, P ( 1) = 2, P ( 2) = 4, P ( 3) = 8 (indication : comparer avec l exercice 1), 3. deg P 3, P (0) = 1, P (1) = P (2) = P (3) = 0. Exercice 4 1. Calculer le reste et le quotient de la division euclidienne de 1+X+X 2 +X 3 par 2 + X. 2. Ecrire la division euclidienne de X 4 +5X 3 X 2 +2X +1 par 2X 2 3X +1. Exercice 5 1. Montrer que z 1 = 3+i 2 est racine du polynôme P (X) = X 4 3X 3 + 3X 1. Donner, sans calcul, une autre racine complexe de ce polynôme. 2. Effectuer la division euclidienne du polynôme P (X) par le polynôme Q(X) = X 2 3X + 1, puis déterminer les 4 racines de P (X). 3. Quelle est la décomposition de P (X) en polynômes irréductibles dans C[X]? Quelle est la décomposition de P (X) en polynômes irréductibles dans R[X]?

65 2.7 Exercices 61 Exercice 6 1. Calculer les racines du polynôme P (X) = X 2 + X Le polynôme P est il un diviseur de (X 8 + 1) 8 X 8? 3. Le polynôme P est il un diviseur de (X 5 + 1) 5 X 5? Exercice 7 Décomposer dans C[X] puis dans R[X] : 1. X X Exercice 8 Factoriser sur C, puis sur R les polynômes suivants en produits de polynômes irréductibles : 1 + X + X 2 + X 3, 1 + X + X 2 + X 3 + X 4, 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + X 5. Exercice 9 1. Calculez le reste de la division euclidienne de X 5 X 4 + 2X 3 + X par X Calculez le reste de la division euclidienne de X 4 2X cos(θ) + 1 par X 2 2X cos(θ) + 1. Exercice 10 Calculez le reste de la division euclidienne de X n + X + 1 par (X 1) 2. Exercice 11 Pour a b, sachant que le reste de la division de P par (X a) est 1 et que celui de la division de P par (X b) est 1 quel est le reste de la division de P par (X a)(x b)? Exercice 12 Pour quelles valeurs de n le polynôme (X + 1) n X n 1 est-il divisible par X 2 + X + 1? (Indication : on pourra utiliser le fait que les racines complexes de X 2 +X+1 = 0 sont des racines de l unité qu on pourra expliciter.)

66 62 2 Polynômes Exercice 13 On admet qu il existe un polynôme de degré n tel que cos(nx) = P n (cos x). 1. Calculez P 2 et P Montrez que sin(nx) = sin(x) P n n(cos x). 3. Montrez que (1 X 2 )P n (X) XP n = n 2 P n (X). Exercice 14 Montrez que si r est une racine de P = a 0 + +a n X n, alors on a la formule suivante : n 1 P (X) X r = n 1 i a j+i+1 r j X i. Exercice 15 i=0 j=0 Montrer que un polynôme P K[X] admet a K comme racine double si, et seulement si, P (a) = 0 et P (a) = 0. Exercice Montrez que pour tout n 1 + X + + X n = Xn+1 1 X En déduire une formule pour 1 + 2X + + nx n En déduire que nx n+1 (n + 1)X n + 1 admet 1 comme racine double. 4. Montrez que (X 1)(1 + 2X + + nx n 1 ) = nx n X n 1 1. Exercice 17 Calculez a et b de telle façon que le polynôme ax n+1 bx n + 1 soit divisible par (X 1) 2. Calculez alors le quotient de ces deux polynômes. Exercice 18 Soit P (x) un polynôme de degré n. 1. Montrez qu entre deux racines réelles de P il y a une racine réelle de P. 2. En déduire que si P a toutes ses racines réelles, il en va de même de P. 3. Est-ce que si P a toutes ses racines réelles, il en va de même pour P?

67 2.7 Exercices 63 Exercice Soient P et Q deux polynômes. Montrez que pour tout entier k, P Q divise P k Q k. 2. En déduire que pour tout P K[X], P X divise P (P ) P. Exercice 20 On dit que deux polynômes P et Q sont premiers entre eux si les seuls polynômes qui divisent à la fois P et Q sont les polynômes constants. On considère deux polynômes Q 0 et Q 1 non nuls, et on suppose que le degré de Q 0 est supérieur ou égal au degré de Q Montrez que si Q 0 = A 0 Q 1 + Q 2, avec A 0 et Q 2 deux polynômes, alors un polynôme R divise à la fois Q 0 et Q 1 si et seulement si il divise à la fois Q 1 et Q En déduire que Q 0 et Q 1 sont premiers entre eux si et seulement si Q 1 et Q 2 sont premiers entre eux. 3. On définit par récurrence à partir que Q 0 et Q 1 une suite de polynômes Q n par Q n = A n Q n+1 + Q n+2, avec deg Q n+1 < deg Q n, et ceci tant que Q n 0. On appelle N le premier indice pour lequel Q N+1 0. Montrez que Q 0 et Q 1 sont premiers entre eux si et seulement si Q N est constant. 4. Montrez par récurrence que pour tout n N, il existe deux polynômes B n et C n tels que Q n = B n Q 0 + C n Q Montrez que si Q 0 et Q 1 sont premiers entre eux, alors il existe deux polynômes C et D tels que CQ 0 + DQ 1 = En déduire l identité de Bézout : deux polynômes Q 0 et Q 1 sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux polynômes C et D tels que CQ 0 + DQ 1 = 1. Exercice 21 Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : sur R. F = 1 (X 1)(X + 1)(X 2)(X + 3) 1 F = 1 X 4 sur C, puis sur R. En déduire une primitive de F.

68 64 2 Polynômes 3. F = X2 3X + 4 X 2 4X + 4, sur R, puis donner une primitive de F. Exercice 22 Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles (pour les deux dernières, sur C et sur R). Exercice 23 X 5 + X X 3 X, X + i X 2 + i, X X 4 + 1, X 2 + X + 1. X Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles Exercice 24 X (X 1), X 2 + X 2 (X 1), (X + 1) n n (X 1). n Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle Exercice 25 2X 6 + 3X 5 3X 4 3X 3 3X 2 18X 5. (X + 2)(X 1) 2 (X 2 + X + 1) Décomposer en éléments simples sur R et sur C les fractions rationnelles suivantes : 1 (X 1)(X + 1)(X 2)(X + 3), 1 1 X 4, X 2 3X + 4 X 2 4X + 4.

69 65 3 Étude de fonctions réelles 3.1 Rappel sur fonctions L opération de composition, la fonction Id E Soient A, B, C trois ensembles quelconques et f : A B, g : B C deux fonctions. Alors on définit la fonction composée g f : A C par la formule : (g f)(x) = g(f(x)), x A. Pour tout ensemble E, on définit la fonction identité Id E : E E par la formule : Id E (x) = x, x E. On a les propriétés «algébriques» de la fonction Id E : 1. pour tout f : A E, Id E f = f ; 2. pour tout f : E A, f Id E = f Injections, surjections, bijections Définition. Une application f : A B est dite injective, et appelée une injection, si x, y A, (x y f(x) f(y)). Une application f : A B est dite surjective sur B, et appelée une surjection de A sur B, si x B, y A tel que f(y) = x. Une application f : A B est dite bijective entre A et B, et appelée une bijection de A sur B, si elle est à la fois injective et surjective sur B, c està-dire, si tout élément de B possède un unique antécédent par rapport à l application f. Proposition. Soit f : A R une fonction strictement monotone sur A R. Alors f est une bijection de A sur f(a).

70 66 3 Étude de fonctions réelles La fonction réciproque (ou inverse) Définition. Soit f : A B une bijection entre A et B. Alors la fonction B A qui, pour tout y dans B, choisit son unique antécédent x par rapport à f, s appelle la fonction réciproque (ou inverse) de f et est notée f 1. En d autres termes, la fonction réciproque f 1 : B A est définie par la formule : x A, y B, (f(x) = y x = f 1 (y)). Une autre façon de définir la fonction réciproque f 1 d une application f : A B est comme suit : f 1 est l unique application B A qui satisfait f 1 f = Id A et f f 1 = Id B. Observons aussi que pour tout bijection f, (f 1 ) 1 = f. Vu que la notation est presque identique, il faut faire attention à ne pas confondre la fonction réciproque avec la valeur inverse de la valeur de la fonction. Par exemple : si f : [0, + [ [0, + [ est définie par f(x) = x 2, alors f 1 (x) = x, mais (f(x)) 1 = (x 2 ) 1 = 1 x 2. L exposant 1 dans la notation de la fonction réciproque n a pas de rapport avec la multiplication des nombres, mais provient de l opération de composition des fonctions. 3.2 Limites Définition des limites Définition. Soit f : D f R une fonction avec l ensemble de définition D f R (ou D f C). On dit que f admet une limite L R au point a R (ou a C) si et seulement si pour tout ε > 0, il existe δ > 0 tel que pour tout x D f \ {a} satisfaisant x a < δ, on a f(x) L < ε. Cette condition s écrit avec les quantificateurs comme suit : ε > 0, δ > 0 tel que x D f \ {a}, ( x a < δ f(x) L < ε ). Dans ce cas, on écrit : f(x) x a L, ou encore : f(x) L lorsque x a (on dit : «f(x) tend vers L lorsque x tend vers a»). À noter : dans les définitions qui suivent, on va dire «si» pour dire «si et seulement si». Définition. Soit f : D f R une fonction, D f R (ou D f C). On dit que + est une limite de f au point a R (ou a C) si (et seulement si) pour tout M R, il existe δ > 0 tel que pour tout x D f \ {a} satisfaisant x a < δ, on a f(x) > M. Cette condition s écrit aussi de la façon suivante : M R, δ > 0 tel que x D f \ {a}, ( x a < δ f(x) > M ).

71 3.2 Limites 67 Figure 3.1 La limite de la fonction x sin x x en 0 est 1. Dans ce cas, on écrit : f(x) x a +. De la même façon, on dit que est une limite de f au point a si pour tout M R, il existe δ > 0 tel que pour tout x D f \ {a} satisfaisant x a < δ, on a f(x) < M. Cette condition s écrit aussi de la façon suivante : M R, δ > 0 tel que x D f \ {a}, ( x a < δ f(x) < M ). Dans ce cas, on écrit : f(x) x a. Définition. Soit f : D f R une fonction, D f R. Alors : 1. on dit que f admet une limite L R en + si pour tout ε > 0, il existe N R tel que pour tout x D f satisfaisant x > N, on a f(x) L < ε ; cette condition s écrit aussi de la façon suivante : ε > 0, N R tel que x D f, ( x > N f(x) L < ε ) ; on écrit alors : f(x) x + L; 2. on dit que f admet une limite L R en si pour tout ε > 0, il existe N R tel que pour tout x D f satisfaisant x < N, on a f(x) L < ε, et on écrit f(x) x L; 3. on dit que + est une limite de f en + si pour tout K R, il existe N R tel que pour tout x D f satisfaisant x > N, on a f(x) > K ; cette condition s écrit aussi de la façon suivante : K R, N R tel que x D f, ( x > N f(x) > K ) ; on écrit alors : f(x) x + +.

72 68 3 Étude de fonctions réelles On définit d une façon analogue la signification de «f(x) +», «f(x) x» et «f(x)». x Définition. Soit a R ou a C. Un voisinage de a dans R est tout ensemble V R qui contient un intervalle ]a δ, a+δ[ pour un δ > 0. Un voisinage de a dans C est tout ensemble V C qui contient un disque { x C x a < δ } pour un δ > 0 (δ réel). Exemples. Les intervalles ], + [ et ] 1, 1[ sont des voisinages de 0 dans R ; l intervalle [0, 1[ ne l est pas. Définition. On dit que a R (ou a C) est un point d accumulation de D R (ou de D C) si dans tout voisinage de a, il y a un élément de D différent de a. C est-à-dire, a est un point d accumulation de D si et seulement si pour tout δ > 0, il existe x D tel que 0 < x a < δ. Exemples. 1. Le nombre 0 est un point d accumulation de R, de [0, 1], de ]0, 1[, et de { 1 n n N }. 2. Le nombre 0 n est pas un point d accumulation de [1, 2], ni de {0}, ni de Z. 3. Les points d accumulation de l intervalle ]0, 1[ forment l intervalle [0, 1]. 4. L ensemble { 1 n n N } a un seul point d accumulation : le nombre L ensemble N n a pas de points d accumulation. Exercice. Définir la signification de «± est un point d accumulation de l ensemble A» pour A R. Vérifier que + est un point d accumulation de N. Théorème. 1. Si f : A R est une fonction, a est un point d accumulation de A, et que f(x) x a L et f(x) x a L, alors L = L. Cela est vrai même si L, L R {± }. 2. Si a n est pas un point d accumulation de A, alors f(x) x a L pour tout L et toute f : A R (selon les définitions données ci-dessus). Démonstration. (1) Démonstration par l absurde : supposons que L L. Soit δ 1 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 1, alors f(x) L < L L 2. Soit δ 2 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 2, alors f(x) L < L L 2. Soit b A tel que 0 < b a < min{δ 1, δ 2 } (un tel b existe parce que a est un point d accumulation de A). x +

73 3.2 Limites 69 Alors, d après l inégalité triangulaire, L L = L f(b) + f(b) L L f(b) + f(b) L < L L. Cela donne une contradiction. (2) Si f : A R et a n est pas un point d accumulation de A, alors soit δ > 0 tel qu il n existe aucun x A avec la propriété que 0 < x a < δ. Alors tout est vrai pour tout x A tel que 0 < x a < δ (il n existe pas de tels x). Définition. Si f : A R est une fonction et a est un point d accumulation de A, alors la limite de f en a, notée lim x a f(x) ou lim a f, est la seule limite de f en a, si elle existe. Donc, si a est un point d accumulation de A, et que lim x a f(x) existe (finie ou infinie), alors les notations suivantes sont équivalentes : f(x) x a L, x a lim f(x) = L, lim a f = L. À noter : dans la suite on va toujours supposer que le point dans lequel on considère la limite est un point d accumulation de l ensemble de définition. Limites à droite et à gauche Définition. Si f : D f B est une fonction et A D f (A est un sous-ensemble de l ensemble de définition D f ), alors la restriction de f à A est la fonction notée f A de l ensemble de définition A définie par : Donc on a f A : A B. (f A )(x) = f(x) pour tout x A. Définition. Si f : D f R est une fonction, D f R (ou bien D f C), a R (ou a C), A R (ou A C), alors on définit : Également, on écrit f(x) déf lim f(x) = lim x a, x A x a (f Df A)(x). x a, x A L au lieu de (f D f A)(x) x a L. En utilisant cette notation, on définit facilement les limites à droite et à gauche. Définition. Si f : D f R est une fonction, D f R, et a R alors : 1. la limite de f en a à droite est déf déf lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) x a + x a, x>a x a, x ]a,+ [ si cette limite existe ; 2. la limite de f en a à gauche est si cette limite existe. déf déf lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) x a x a, x<a x a, x ],a[

74 70 3 Étude de fonctions réelles Limites de suites réelles Définition. Toute application N R s appelle une suite réelle. Pour une suite réelle a: N R, on d habitude écrit a n au lieu de a(n) et (a n ) n N au lieu de a: N R. Ainsi on écrit lim n a n pour noter la limite de cette suite en +, si elle existe Propriétés des limites Proposition (Inégalité triangulaire). Pour tous a et b réels (ou complexes), a + b a + b. Demonstration dans le cas réel. Comme on trouve que et donc a a a et b b b, ( a + b ) a + b a + b, a + b a + b. On a utilisé le fait que si A a A, alors a A. Pour démontrer l inégalité triangulaire pour des nombres complexes a, b, il faut se servir de la définition de la valeur absolue (module) d un nombre complexe. Pour voir le rapport avec un triangle, on peut remplacer a par x y et b par y z, ce qui donne : x z x y + y z. Si on regarde x, y, z comme les sommets d un triangle, on trouve une inégalité entre les longueurs de ses côtés. On va souvent utiliser l inégalité triangulaire sous la forme suivante : si a A et b B, alors a + b A + B. Théorème (Propriétés arithmétiques des limites finies). Supposons que f, g : A R sont deux fonctions réelles qui vérifient lim f(x) = L et lim g(x) = L x a x a avec L, L R. Alors : 1. pour tout α R, 2. ( ) lim x a αf(x) = αl; ( ) lim f(x) + g(x) = L + L ; x a

75 3.2 Limites si L 0, alors ( ) lim x a f(x) g(x) = L L ; lim x a 1 f(x) = 1 L. Démonstration. (1) Soit ε > 0 arbitraire. On cherche à montrer qu il existe δ > 0 avec la propriété suivante : pour tout x A tel que 0 < x a < δ, on a αf(x) αl < ε. Cela suffira pour conclure que lim x a ( αf(x) ) = αl si on n utilise aucune hypothèse sur ε à part de ε > 0. On fait comme suit. Si α = 0, posons δ = 1 (ce cas est facile et pourrait être traité à part). Si α 0, soit δ > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ, alors f(x) L < ε α. On sait qu un tel δ existe parce que lim x a f(x) = L. Alors pour tout x A tel que 0 < x a < δ, on a : Conclusion : lim x a ( αf(x) ) = αl. (2) Soit ε > 0 arbitraire. Soit δ 1 > 0 tel que pour tout x A, αf(x) αl = α f(x) L < ε. si 0 < x a < δ 1, alors f(x) L < ε 2. Soit δ 2 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 1, alors g(x) L < ε 2. Tels δ 1 et δ 2 existent d après les hypothèses que lim f(x) = L et lim g(x) = x a x a L. Soit δ > 0 tel que δ δ 1 et δ δ 2 (par exemple : δ = min{δ 1, δ 2 }). Alors pour tout x A tel que 0 < x a < δ, on a : (f(x) + g(x)) (L + L ) = (f(x) L) + (g(x) L ) Ici on a utilisé l inégalité triangulaire. Conclusion : lim x a ( f(x) + g(x) ) = L + L. (3) Soit ε > 0 arbitraire. Soit δ 1 > 0 tel que pour tout x A, f(x) L + g(x) L < ε 2 + ε 2 = ε. si 0 < x a < δ 1, alors f(x) L 1, et donc f(x) L + 1.

76 72 3 Étude de fonctions réelles Soit δ 2 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 2, alors f(x) L < Soit δ 3 > 0 tel que pour tout x A, ε 2( L + 1). si 0 < x a < δ 3, alors g(x) L 1, et donc g(x) L + 1. Soit δ 4 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 4, alors g(x) L ε < 2( L + 1). Soit δ = min{δ 1, δ 2, δ 3, δ 4 }. Alors δ > 0, et pour tout x A tel que 0 < x a < δ, on a : f(x)g(x) LL = f(x)g(x) Lg(x) + g(x)l L L = (f(x) L)g(x) + (g(x) L )L On conclut que lim x a f(x)g(x) = LL. (Oups, on n a pas utilisé δ 1.) (4) Soit ε > 0 arbitraire. Soit δ 1 > 0 tel que pour tout x A, f(x) L g(x) + g(x) L L ε ε < 2( L + 1) ( L + 1) + L ε. 2( L + 1) si 0 < x a < δ 1, alors f(x) L L L, et donc f(x) 2 2. Soit δ 2 > 0 tel que pour tout x A, si 0 < x a < δ 2, alors f(x) L < εl2 2. Soit δ = min{δ 1, δ 2 }. Alors δ > 0, et pour tout x A, si 0 < x a < δ, alors : 1 f(x) 1 L = f(x) L Lf(x) On conclut que lim x a (1/f(x)) = 1/L. f(x) L L 2 /2 < ε. Théorème (Propriétés arithmétiques des limites infinies). Soient f, g : A R sont deux fonctions réelles qui vérifient : lim f(x) = L et lim g(x) = L x a x a avec L, L R {± }. Alors : 1. si L {± }, alors a) pour tout α R, b) pour tout α > 0, ( ) lim f(x) + α = L, x a ( ) lim αf(x) = L, x a

77 3.2 Limites 73 c) et pour tout α < 0, 2. si L {± } et L R, alors 3. si L = L {± }, alors 4. si L {± } et L ]0, + [, alors ( ) lim αf(x) = L; x a ( ) lim x a f(x) + g(x) = L; ( ) lim x a f(x) + g(x) = L; ( ) lim x a f(x) g(x) = L; si L {± } et L ], 0[, alors 5. si L = L {± }, alors si L = L {± }, alors ( ) lim x a f(x) g(x) = L; ( ) lim f(x) g(x) = + ; x a ( ) lim f(x) g(x) = ; x a 6. si L {± }, alors lim x a 1 f(x) = 0. Théorème (Limite de la fonction composée, «changement de variable»). Soient f : A B et g : B R deux fonctions réelles, A, B R. Supposons que a, b R {± }, lim f(x) = b, lim x a g(x) = L, x b et que au moins une des conditions est satisfaite. Dans ce cas, g(b) = L ou b / f(a) lim g(f(x)) = L. x a

78 74 3 Étude de fonctions réelles Bornes inférieure et supérieure Définition. Soit A R. Alors : 1. un majorant de A est un nombre r R tel que x r pour tout x A, 2. un minorant de A est un nombre r R tel que x r pour tout x A, 3. A est dit majoré s il existe un majorant réel de A, 4. A est dit minoré s il existe un minorant réel de A, 5. A est dit borné s il est à la fois majoré et minoré. Axiome. Pour tout ensemble A R majoré non vide, il existe un majorant le plus petit. Pour tout ensemble A R minoré non vide, il existe un minorant le plus grand. Remarque. Cet axiome de R n est pas vérifié pour Q (les nombre rationnels) : il n existe pas de plus petit majorant rationnel pour { x Q x 2 2 }. Définition. Soit A R un ensemble non vide. Alors : 1. la borne supérieure de A est le plus petit majorant de A si A est majoré, 2. si A n est pas majoré, alors on dit que la borne supérieure de A est +, 3. la borne inférieure de A est le plus grand minorant de A si A est minoré, 4. si A n est pas minoré, alors on dit que la borne inférieur de A est. On note sup A la borne supérieure de A, et inf A la borne inférieure de A. Bien que cela est rarement utile, on pose aussi sup = et inf = +. (On note l ensemble vide.) La borne supérieure s appelle également le supremum, et la borne inférieure s appelle l infimum. Proposition. Pour tout ensemble A R, si max A existe, alors sup A = max A, et si min A existe, alors inf A = min A. Remarque. Si A est un ensemble borné (autrement dit, si inf A et sup A sont finis), alors [inf A, sup A] est le plus petit intervalle fermé contenant A. Définition. Un ensemble A C est dit borné si { x x A } est majoré, ou, autrement dit, si sup x A x < +.

79 3.2 Limites 75 Définition. Soit f une fonction réelle et A un sous-ensemble non vide de son ensemble de définition. Alors on définit les bornes supérieure et inférieure de f sur A par : sup f déf A = sup x A f(x) déf = sup f(a) et inf f déf déf = inf f(x) = inf f(a), A x A où f(a) déf = { f(x) x A }. Un majorant de f sur A est défini comme tout majorant de f(a), un minorant de f sur A est défini comme tout minorant de f(a). On dit aussi que f est majorée sur A si f(a) est majoré, f est minorée sur A si f(a) est minoré, et f est bornée sur A si f(a) est borné. Exemples inf] 1, 1[= inf[ 1, 1[= 1, sup] 1, 1[= sup] 1, 1] = 1, inf{1} = sup{1} = 1, inf Z =, sup Z = +. inf x = inf] 1, 1[= 1, sup x ] 1,1[ x 2 = sup[0, 4[= 4. x [0,2[ Définition. Une fonction f : D f R, D f R, est dite bornée au voisinage de a R s il existe δ > 0 tel que f est bornée sur l intersection de l intervalle ouvert ]a δ, a + δ[ = { x x a < δ } avec l ensemble de définition D f. C est-à-dire, f est dite bornée au voisinage de a s il existe un voisinage V de a tel que f est bornée sur V D f. Exemples. La fonction f(x) = x 2, x R, est bornée au voisinage de tout a R. La fonction f(x) = 1 x, x R = R \ {0}, n est pas bornée au voisinage de Sur l existence des limites Théorème. Supposons que f : A R est une fonction bornée au voisinage de a, a un point d accumulation de A. Supposons que g : A R est une fonction telle que lim x a g(x) = 0. Alors on a lim(f(x) g(x)) = 0. x a Théorème (Théorème d encadrement, théorème des gendarmes). Soient f, g, h trois fonctions réelles du même ensemble de définition A, et a un point d accumulation de A. Supposons que pour tout x A \ {a}, les inégalités suivantes sont vérifiées : f(x) h(x) g(x). De plus, supposons que lim f(x) = lim g(x) = L. x a x a

80 76 3 Étude de fonctions réelles Figure 3.2 Une explication «intuitive» du théorème d encadrement. Alors lim x a h(x) existe, et on a Le même est vrai pour a {± }. lim h(x) = L. x a On peut appliquer ce théorème pour des limites à droite et à gauche aussi. Théorème. Supposons que f est une fonction réelle définie et monotone sur un intervalle ]a, b[, a < b +. Alors lim x a + f(x) et lim x b f(x) existent (finies ou infinies). De plus, si f est croissante sur ]a, b[, alors lim f(x) = inf x a + ]a,b[ et si f est décroissante sur ]a, b[, alors lim x a 3.3 Continuité + f(x) = sup ]a,b[ f et lim x b f(x) = sup f, ]a,b[ f et lim f(x) = inf f. x b ]a,b[ Définition et propriétés de fonctions continues Définition. Une fonction f : D f R est dite continue au point a D f si f(x) x a f(a). Une fonction f : D f R avec D f R est dite continue en a D f à droite si f(x) f(a). x a, x>a Une fonction f : D f R avec D f R est dite continue en a D f à gauche si f(x) x a, x<a

81 3.3 Continuité 77 Ainsi une fonction dont l ensemble de définition est une partie de R est continue en un point a si et seulement si elle y est continue à droite et à gauche. Définition. Une fonction f : D f R est dite continue (ou continue sur son ensemble de définition) si elle est continue en tout point de D f. Une fonction f : D f R est dite continue sur A D f si la restriction f A : A R est continue. Par exemple, une fonction f : R R est continue sur ]a, b[ si et seulement si elle est continue en tout z ]a, b[. Une fonction f : R R est continue sur [a, b] si et seulement si elle est continue en tout z ]a, b[, continue en a à droite, et continue en b à gauche. Exemples. 1. La fonction x 1, [0, 1] R, est continue sur [0, 1]. En général, toute fonction constante est continue sur son ensemble de définition. 2. La fonction f(x) = x, x R, est continue sur R. 3. La fonction g : [ 1, 0] [1, 2] R définie par g(x) = 0 pour x [ 1, 0] et g(x) = 1 pour x [1, 2] est continue sur [ 1, 0] [1, 2]. 4. La fonction h: [ 1, 1] R définie par h(x) = 0 pour x [ 1, 0] et h(x) = 1 pour x ]0, 1] n est pas continue en 0, donc elle n est pas continue sur [ 1, 1], mais elle est continue sur [ 1, 0] et sur ]0, 1]. Théorème. Soient f et g deux fonctions réelles définies et continues sur un ensemble A R (ou A C). Alors 1. pour tous α, β R, αf + βg est continue sur A, 2. f g est continue sur A, 3. si, de plus, g ne s annule pas dans A, alors f/g est continue sur A. Définition. Une fonction polynomiale réelle est une fonction p: R R définie par une formule de la forme p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0, x R, où n N, a 0,..., a n R. Une fonction rationnelle réelle est toute fonction f de la forme f(x) = p(x) q(x) où p et q sont deux fonctions polynomiales, q non nulle. Corollaire. Toute fonction polynomiale réelle est continue sur R. Toute fonction rationnelle réelle est continue sur son ensemble de définition. Théorème. Soient f : A B et g : B C deux fonctions avec A, B, C R. Soit a R, et supposons que lim x a f(x) = b, que b B, et que g est continue en b. Alors lim g(f(x)) = g(b) = g(lim f(x)). x a x a

82 78 3 Étude de fonctions réelles Corollaire (Continuité de la fonction composée). Soient A, B R, et soient f : A B et g : B R deux fonctions continues. Alors g f est continue. Exemple. La fonction f : R R, x x 2 est continue, et la fonction g : R + R, x x est continue (à vérifier). Donc, d après le théorème, la fonction g f : R R, x x est continue Théorème des bornes Théorème (Théorème des bornes, théorème de Weierstrass). Toute fonction réelle définie et continue sur un intervalle fermé borné [a, b] est bornée sur cet intervalle et atteint ses bornes ; plus précisément, il existe c, d [a, b] tels que pour tout x [a, b], f(c) f(x) f(d). Esquisse d une démonstration. Posons M = sup [a,b] f. Montrerons qu il existe d [a, b] tel que f(d) = M. L idée est de choisir une suite infinie d 1, d 2, d 3,... de points dans l intervalle [a, b] convergente vers un point d [a, b] et telle que lim n f(d n ) = M. Par continuité de f, on conclura alors que f(d) = M. Soit (M n ) n N une suite de réels strictement inférieurs à M qui tend vers M. Si M est fini, l on peut poser M 0 = M 1 = M 1, et M n = M 1 n pour n 1 ; si M est infini, l on peut poser M n = n pour tout n. Choisissons d 0 dans l intervalle I 0 = [a, b] tel que f(d 0 ) M 0 ; subdivisons l intervalle I 0 en deux au milieu, choisissons la moitié I 1 où la borne supérieure des valeurs de f est plus grande, et ainsi sup I1 f = sup I0 f = M ; choisissons d 1 dans cet intervalle de sorte que f(d 1 ) M 1 ; ensuite subdivisons I 1 encore en deux au milieu et choisissons la moitiés I 2 où la borne supérieur des valeurs de f est plus grande, donc toujours sup I2 = M ; choisissons d 2 dans I 2 de sorte que f(d 2 ) M 2 ; continuons ainsi à l infinie. «À la fin» de cette procedure infinie, on aura une suite (d n ) n N. En utilisant le critère de Cauchy, 1 on peut démontrer que (d n ) n N converge vers un point d [a, b]. On sait aussi, par le théorème «des gendarmes», que lim n f(d n ) = M. Par continuité de f, on conclut que f(d) = M, et en particulier que M est fini. De la même façon on démontre qu il existe c [a, b] tel que f(c) = inf [a,b] f Théorème des valeurs intermédiaires Théorème (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b]. Alors pour toute valeur γ comprise entre f(a) et f(b), il existe c [a, b] tel que f(c) = γ (voir Fig. 3.3). En d autres termes, ce théorème dit que pour toute fonction réelle continue sur [a, b], toute valeur entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois. 1. Le critère de Cauchy dit que une suite (x n ) n N converge si et seulement si ε > 0, N N tel que m > N, n > N, x m x n < ε.

83 3.3 Continuité 79 Figure 3.3 Une valeur intermédiaire γ atteinte 3 fois. Esquisse d une démonstration. Sans perte de généralité, supposons que f(a) f(b). Posons alors c = sup{ x [a, b] f(x) < γ }. On peut vérifier, en utilisant la continuité de f, que f(c) = γ. Exemple. Soit f(x) = 1 + x x 3, x R. Cette fonction est continue ; en particulier, elle est continue sur [1, 2]. Comme f(1) = 1 et f(2) = 5, et que 0 est compris strictement entre 1 et 5, il existe x ]1, 2[ tel que f(x) = 0, d après le théorème des valeurs intermédiaires. Proposition. Un ensemble A R est un intervalle si et seulement si pour tous x, y, z R tels que x < y < z et que x, z A, on a y A. Corollaire (du théorème des valeurs intermédiaires). L image f(i) d un intervalle I R par une fonction f définie et continue sur I est encore un intervalle de R, dont les bornes sont inf I f et sup I f Prolongement par continuité Définition. Soit f : A B une fonction. On appelle un prolongement de f toute fonction g : A B telle que A A et que f soit la restriction de g sur A : f = g A. Dans ce cas, on dit aussi que g prolonge f sur A. Exemple. La fonction x x, R R, prolonge x ( x) 2, [0, + [ R. Proposition. Soit f : A R une fonction, avec le domaine (l ensemble) de définition A R (ou A C). Soit a R (ou a C) un point d accumulation de A tel que a / A. Alors 1. il existe un prolongement de f sur A {a} continue en a si et seulement si lim x a f(x) existe et est finie, 2. si un prolongement f : A {a} R de f continue en a existe, il satisfait et donc est unique. f(a) = lim x a f(x) = lim x a f(x),

84 80 3 Étude de fonctions réelles Définition. Dans les hypothèses de la proposition précédente, l unique prolongement continue f de f sur A {a}, s il existe, s appelle le prolongement de f en a par continuité. À noter. Parfois, par abus de notation, on dit : «prolongeons f par continuité en a», après quoi on confond f avec son prolongement par continuité en a, ou, plus précisément, on réutilise le symbole «f» pour noter ce prolongement. Par exemple : «Prolongeons f(x) = x sin 1 par continuité en 0 ; alors f(0) = 0.» x Continuité de la fonction réciproque Théorème (Continuité de la fonction réciproque). Soient I R un intervalle et f : I R une fonction strictement monotone sur I. Alors la fonction réciproque f 1 (définie sur l ensemble f(i)) est continue. Esquisse d une démonstration. Soient b f(i) et ε > 0 arbitraires. Soit a = f 1 (b) I. Sans perte de généralité, supposons que f est strictement croissante. Soit δ 1 > 0 tel que pour tout x I, si x a ε, alors f(x) b δ 1. Soit δ 2 > 0 tel que pour tout x I, si x a + ε, alors f(x) b + δ 2. (On peut trouver de tels δ 1 et δ 2 car f est strictement croissante et I est un intervalle.) Posons δ = min{δ 1, δ 2 }. Alors δ > 0 et pour tout y f(i), si y ]b δ, b+δ[, alors f 1 (y) ]a ε, a + ε[. 3.4 Dérivabilité Définition de la fonction dérivée Définition. Soient f : D f R une fonction d une variable réelle et a D f un point d accumulation de D f. On dit que f est dérivable au point a si la limite suivante existe et est finie : f (a) déf f(x) f(a) = lim. x a x a Dans ce cas, la valeur de cette limite, c est-à-dire le nombre f (a), est appelé le nombre dérivé de f en a, ou simplement la dérivée de f en a. Définition. Soit f : D f R une fonction d une variable réelle. L application x f (x) est appelée la fonction dérivée de f, ou simplement la dérivée de f, et notée (naturellement) f. L ensemble de définition de f (qui est un sous-ensemble de D f, et peut être vide) s appelle le domaine de dérivabilité de f. Définition. On dit que f : D f R est dérivable, ou dérivable sur D f, si elle est dérivable en tout point de D f.

85 3.4 Dérivabilité 81 Notons que l existence d une limite finie de f(x) f(a) lorsque x a implique x a que f(x) f(a) tend vers 0 lorsque x a. Pour que f soit dérivable en a, il est donc nécessaire qu elle soit continue en a. La réciproque est fausse. Exemples. 1. La dérivée de la fonction constante f : [0, 1] R, x 1 est la fonction nulle f : [0, 1] R, x 0. En général, la dérivée de toute fonction constante est nulle (dans le domaine de dérivabilité). 2. La dérivée de la fonction g(x) = x, x R, est la fonction g : R R définie par : g (x) = 1 pour tout x > 0, et g (x) = 1 pour tout x < 0. Le domaine de dérivabilité dans ce cas est R =], 0[ ]0, + [. 3. Toute fonction polynomiale h(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 0 est dérivable sur R. Si n = 0 (h est constante), sa dérivée est nulle : h (x) = 0 pour tout x R. Si n 1, h est encore une fonction polynomiale : h (x) = na n x n 1 + (n 1)a n 1 x n a 2 x + a 1. À noter. Parfois on écrit les fonctions sous une forme abrégée : «x 2» au lieu de «x x 2, R R», par exemple. Pour cette situation il existe une autre notation pour la fonction dérivée. Au lieu de «(x x 2 ) = (x 2x)» ou «(x 2 ) = 2x», on écrit plutôt : d dx x2 = 2x. Si on dérive une fonction f : D R, avec D R, on obtient une fonction f, la fonction dérivée de f. Si maintenant on dérive la fonction f, on obtient la fonction (f ), aussi notée f, qui s appelle la dérivée 2-ième de f. Si l on continue ainsi, on obtiendra, pour tout n N, la dérivée n-ième de f, qui est notée f (n). Plus précisément, on pose f (0) = f et f (k+1) = (f (k) ) pour tout k N. Donc f (0) = f, f (1) = f, f (2) = f, f (3) = f, etc. Pour notée la dérivée n-ième d une fonction qui n a pas été «nommée», on utilise «l opérateur» dn comme dans cet exemple : dxn d dx x3 = 3x 2, d 2 dx 2 x3 = 6x, d 3 dx 3 x3 = 6, Propriétés arithmétiques de la dérivée d n dx n x3 = 0 pour n 4. Théorème. 1. Les combinaisons linéaires et produits de fonctions f, g : D R dérivables en a sont dérivables en a. On a les formules : (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a) pour tous α, β R, (fg) (a) = f(a)g (a) + f (a)g(a).

86 82 3 Étude de fonctions réelles 2. Si f, g : D R sont deux fonctions dérivables en a et si g(a) 0, alors f est dérivable en a. On a la formule : g ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a). g g 2 (a) Dérivée de la fonction composée Théorème (Dérivée de la fonction composée). Si f est une fonction dérivable en a, et g une fonction dérivable en b = f(a), alors la fonction g f est dérivable en a, et Démonstration. Posons p(h) = (g f) (a) = g (b)f (a) = g ( f(a) ) f (a). f(a + h) f(a) h et q(h) = g(b + h) g(b) h pour h 0. Posons p(0) = f (a) et q(0) = g (b). Alors on a les égalités : Observons que On cherche à montrer que f(a + h) = f(a) + p(h)h, g(b + t) = g(b) + q(t)t. lim p(h) = f (a) et lim q(t) = g (b). h 0 t 0 En effet, (g f)(a + h) (g f)(a) h ( ) (g f)(a + h) = g f(a + h) ( = g b + p(h)h ( = g(b) + q ) g (b)f (a). h 0 ( = g ) p(h)h p(h)h, ) f(a) + p(h)h et ainsi (g f)(a + h) (g f)(a) h = ( ) g f(a + h) g(b) ( h ) = q p(h)h p(h) q(0)f (a) = g (b)f (a). h 0

87 3.4 Dérivabilité Dérivée de la fonction réciproque Rappelons que si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle établit une bijection entre I et f(i), et f(i) est un intervalle. Théorème. Soit f : I R une fonction strictement monotone sur un intervalle I R. Supposons que f est dérivable en a I et f (a) 0. Alors la bijection réciproque f 1 est dérivable en b = f(a), et (f 1 ) (b) = 1 f (a) = 1 f ( f 1 (b) ). Remarque. Si l on admet que les fonctions f et f 1 sont toutes les deux dérivables, alors on peut déduire la formule pour (f 1 ) de la règle de dérivation d une fonction composée comme suit : f(f 1 (y)) = y d ( ) f(f 1 (y)) = 1 dy f (f 1 (y)) (f 1 ) (y) = 1 (f 1 ) (y) = 1 f (f 1 (y)). Démonstration du théorème. Notons J l ensemble image de f (noté parfois f(i)). Soit y J différent de b. Alors f 1 (y) a, et on calcule : On sait que f 1 (y) f 1 (b) y b Donc pour conclure que = f 1 (y) a f(f 1 (y)) f(a) = 1 f(f 1 (y)) f(a) f 1 (y) a f(x) f(a) x a f (a). x a. f 1 (y) f 1 (b) y b 1 y b f (a), il suffirait de vérifier que lim y b f 1 (y) = a. Cela résulte de la continuité de f 1 en a (voir le théorème de continuité de la fonction réciproque) Dérivée et variations d une fonction Définition. Soit f : A R une fonction, A R. On dit que f atteint au point a A : 1. son maximum si f(a) f(x) pour tout x A ; dans ce cas, on appelle f(a) le maximum de f et le note max A f ; 2. un maximum local s il existe un voisinage ]a δ, a + δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) f(x) pour tout x A ]a δ, a + δ[ ;

88 84 3 Étude de fonctions réelles Figure 3.4 La pente d une tangente est égale à la pente de la sécante. 3. un maximum local strict s il existe un voisinage ]a δ, a + δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) > f(x) pour tout x A ]a δ, a + δ[\{a} ; 4. son minimum si f(a) f(x) pour tout x A ; dans ce cas, on appelle f(a) le minimum de f et le note min A f ; 5. un minimum local s il existe un voisinage ]a δ, a + δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) f(x) pour tout x A ]a δ, a + δ[ ; 6. un minimum local strict s il existe un voisinage ]a δ, a + δ[ de a (δ > 0), tel que f(a) < f(x) pour tout x A ]a δ, a + δ[\{a}. Un extremum est un maximum ou minimum. Théorème. Si une fonction f définie sur un intervalle ouvert I R à valeurs réelles atteint un maximum ou minimum local au point a I, et si f (a) existe, alors f (a) = 0. Théorème (Théorème de Rolle). Soient a, b R, a < b, et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[ telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Ce théorème porte le nome de Michel Rolle ( ), un mathématicien français, qui a publié un cas spécial de ce théorème pour les polynômes réels. Démonstration. Soit le maximum global sur [a, b], soit le minimum global sur [a, b] est atteint à l intérieur de [a, b], c est-à-dire dans ]a, b[ (voir le théorème des bornes). Soit donc c ]a, b[ tel que f(c) = min [a,b] f ou f(c) = max [a,b] f. Alors f (c) = 0 (voir la proposition). Théorème (Théorème des accroissements finis). Soient a, b R, a < b, et f une fonction à valeurs réelles continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que (voir Fig. 3.4). f(b) f(a) = f (c)(b a)

89 3.4 Dérivabilité 85 Démonstration. Posons g(x) = f(a) + La fonction g est la fonction affine telle que f(b) f(a) (x a), h(x) = f(x) g(x). b a g(a) = f(a), g(b) = f(b), et g (x) = f(b) f(a) b a pour tout x. On trouve ainsi que h(a) = h(b) = 0. En appliquant le théorème de Rolle à h sur [a, b], on conclut qu il existe c ]a, b[ tel que h (c) = 0, c est-à-dire que f (c) = g (c) = f(b) f(a). b a Définition. Soit f : A R une fonction d une variable réelle (A R). Alors : 1. la fonction f est dite croissante si pour tous x, y A tels que x < y, on a f(x) f(y) ; 2. elle est dite strictement croissante si pour tous x, y A tels que x < y, on a f(x) < f(y) ; 3. elle est dite décroissante si pour tous x, y A tels que x < y, on a f(x) f(y) ; 4. elle est dite strictement décroissante si pour tous x, y A tels que x < y, on a f(x) > f(y) ; Une fonction est monotone si elle est croissante ou décroissante. Une fonction est strictement monotone si elle est strictement croissante ou décroissante. Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I. De plus, si f > 0 sur I, alors f est strictement croissante sur I. De manière analogue f est décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I. De plus, si f < 0 sur I, alors f est strictement décroissante sur I. Démonstration. Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis. Corollaire. Si f = 0 sur un intervalle I, alors f est constante sur I. Parfois on peut combiner ce théorème avec la proposition suivante. Proposition. Soit f une fonction réelle continue sur un intervalle fermé [a, b]. Alors si f est croissante (ou strictement croissante, ou décroissante, ou strictement décroissante) sur ]a, b[, alors elle l est sur [a, b]. Par exemple, soit f(x) = x 3, x R. Alors f (x) = 3x 2 pour tout x R. La fonction f est strictement positive sur ], 0[ et sur ]0, + [, donc f est strictement croissante sur ], 0[ et sur ]0, + [, donc elle est strictement croissante sur ], 0] et sur [0, + [ (car elle est continue sur R), ainsi elle est strictement croissante sur R.

90 86 3 Étude de fonctions réelles 3.5 Fonctions usuelles Fonctions polynomiales et rationnelles Définition (Rappel). Une fonction polynomiale réelle est toute fonction p: R R définie par une formule de la forme p(x) = a n x n + a n 1 x n a 0, x R, où n N, a 0,..., a n R. Une fonction rationnelle réelle est toute fonction f de la forme f(x) = p(x) q(x) où p et q sont deux fonctions polynomiales, q non nulle. Le domaine de définition de toute fonction polynomiale réelle est R. Le domaine de définition d une fonction rationnelle réelle de la forme p(x), q(x) où p et q sont deux fonctions polynomiales, est l ensemble de tous les réels où le dénominateur q(x) ne s annule pas. On verra plus loin qu une fonction polynomiale définie par un polynôme de degré n ne peut s annuler qu en au plus n points distincts. Donc toute fonction rationnelle est définie partout sauf en un nombre fini de points. Remarque. On peut prolonger toute fonction polynomiale réelle R R en une fonction polynomiale complexe C C. Également, on peut prolonger toute fonction rationnelle réelle en une fonction rationnelle complexe. Toute fonction polynomiale est continue et dérivable sur R, la fonction dérivée est toujours une fonction polynomiale. La n e dérivée itérée d une fonction polynomiale définie par un polynôme de degré n est constante, et donc la n + 1 e dérivée itérée est nulle. Toute fonction rationnelle est continue et dérivable sur son domaine de définition. La dérivée d une fonction rationnelle est toujours une fonction rationnelle Fonctions exponentielle et logarithme La fonction exponentielle Théorème. Il existe une unique fonction f : R R dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1. Cette fonction est strictement positive sur R. Une esquisse d une démonstration de ce théorème sera donnée dans le chapitre 4, mais elle va reposer sur l existence d une primitive de la fonction x 1 x. La démonstration du fait que toute fonction continue possède une primitive utilise la notion de l intégrale de Riemann et ne fait pas partie de ce cours. Définition. On appelle la fonction décrite dans ce théorème la fonction exponentielle (réelle) et on la note exp.

91 3.5 Fonctions usuelles 87 Définition. Le nombre e est défini par : e déf = exp(1). Il est possible de montrer que 2,7 < e < 2,8, et en fait de calculer e avec une précision arbitraire en utilisant la formule e = + n=0 Après avoir définie plus loin la valeur de a b pour a > 0 et b R, on verra que e x = exp(x) pour tout x R. Théorème (Propriétés algébriques de l exponentielle). Quels que soient les réels a et b, on a : 1 n!. exp(a + b) = exp(a) exp(b) et exp( a) = 1 exp(a). Démonstration. La fonction g(x) déf = exp(a + x) exp(a) est dérivable sur R et vérifie g(0) = 1 et g = g, c est donc g(x) = exp x, d où la première égalité. La seconde en découle immédiatement. Corollaire. Pour tout a R et tout n Z, ( a exp(na) = (exp(a)) n et exp = n) n exp(a). Théorème. La fonction exp est une bijection croissante de R sur R +. Démonstration. Il découle de l égalité exp = exp que la fonction exponentielle est indéfiniment dérivable, égale à toutes ses dérivées itérées. Puisque, d après le théorème, exp = exp > 0 sur R, elle y est strictement croissante. Soit g(x) = exp(x) 1. Alors g(0) = 0 et g = exp = exp > 0 sur R +, donc g est croissante sur R +, donc g 0 sur R +. Soit h(x) = g(x) x = exp(x) 1 x. Alors h(0) = 0 et h = g 1 sur R +, donc h 0 sur R +, donc h est croissante sur R +, donc h 0 sur R +. On en déduit l inégalité exp(x) 1 + x valable pour x 0. En particulier, lim x + exp(x) = +. En appliquant l égalité exp( x) = (exp x) 1, on en déduit que lim x exp(x) = 0. La fonction exponentielle réalise donc une bijection de R sur R +.

92 88 3 Étude de fonctions réelles Figure 3.5 La fonction exponentielle et la fonction logarithme naturel. Logarithme naturel Définition. La fonction logarithme naturel (ou encore logarithme népérien) ln est l application réciproque de l application (bijective) exponentielle réelle ; donc on a ln: R + R. ou : Cette définition s écrit aussi comme suit : x R, ln(exp(x)) = x, y > 0, exp(ln(y)) = y. On voit facilement que ln 1 = 0 et ln e = 1. Théorème. Quels que soient les réels a > 0 et b > 0, on a : ln(ab) = ln(a) + ln(b), et ln(a 1 ) = ln a. Corollaire. Pour tout a > 0 et tout n Z, ln(a n ) = n ln(a) et ln ( n a ) = ln(a) n. Théorème. La fonction ln est une bijection strictement croissante de R + sur R, ses limites sont en 0 + et + en +. Proposition. La fonction ln est dérivable et sa dérivée est la fonction x 1 x, ]0, + [ R. Démonstration. Appliquer le théorème sur la dérivée de la fonction réciproque à la fonction exp.

93 3.5 Fonctions usuelles Fonctions puissance et racine Si x est un nombre réel (ou complexe), alors on pose x 1 déf = x, et x n+1 déf = x n x pour tout n N. Par exemple : x 3 = x x x. Si x 0, alors on pose aussi x 0 déf = 1, x n déf = 1 x n pour tout n N. Par exemple : x 1 = 1 x. Pour tout n N, la fonction f(x) = x n, x R, est strictement croissante sur [0, + [ et satisfait : f(0) = 0, lim f(x) = +. x + Donc f [0,+ [ est une bijection croissante de [0, + [ sur [0, + [. Si, de plus, n est impair, alors f est strictement croissante sur R et satisfait : lim f(x) = ; x donc dans ce cas f est une bijection croissante de R sur R. Pour tout n Z strictement négatif, la fonction f(x) = x n, x R, est strictement décroissante sur ]0, + [ et satisfait : lim f(x) = +, lim x 0 + f(x) = 0. x + Donc f ]0,+ [ est une bijection décroissante de ]0, + [ sur ]0, + [. Définition. Une fonction f : D f R (ou f : D f C), dont le domaine de définition D f est symétrique par rapport à 0 (si x D f, alors x D f ), est dite 1. paire si f( x) = f(x) pour tout x D f, 2. impaire si f( x) = f(x) pour tout x D f. Si n Z est pair, alors la fonction x x n est paire. Si n Z est impair, alors la fonction x x n est impaire. Pour tout n N pair, on définit la fonction racine n-ième x n x comme la fonction réciproque de la bijection x x n, [0, + [ [0, + [. C est-à-dire, elle est définie par la formule : x 0, ( n x) n = x et n x 0. Pour tout n N impaire, on définit la fonction racine n-ième x n x comme la fonction réciproque de la bijection x x n, R R. C est-à-dire, elle est définie par la formule : x R, ( n x) n = x.

94 90 3 Étude de fonctions réelles Soit maintenant r R un nombre rationnel quelconque, et x > 0 un nombre réel positif. Écrivons r = p/q avec p Z et q N. Alors on définit : x r = x p q déf = q x p = ( q x) p. (Il faut bien sûr vérifier que cela ne dépend pas du choix de la paire p et q.) On évite de définir x r pour x < 0 en général. On peut vérifier que pour tous x > 0 et r, s Q on a : x r x s = x r+s et (x r ) s = x rs. Soient maintenant a > 0 et b R. On cherche à définir a b. Observons que les propriétés de la fonction x a x, x Q, ressemblent aux propriétés de la fonction exp. On va donc utiliser les fonctions exp et ln pour définir a x pour tout x R. Si a > 0, alors a = exp(ln a), et donc, d après les propriétés de la fonction exp, pour tous p Z, q N, on a : a p q = (exp(ln a)) p q ( = q p ln a (exp(ln a)) p = q (exp(p ln a)) = exp q En prolongeant cette formule sur les nombres réels, on définit : a b déf = exp(b ln a) pour tous a > 0, b R. Observons que selon cette définition, e x = exp x pour tout x R. Théorème. Pour tous a > 0, b > 0, x R, et y R, on a : (ab) x = a x b x, a x+y = a x a y, a xy = (a x ) y Fonctions trigonométriques Cosinus, sinus et l exponentielle complexe Théorème. Il existe un unique couple de fonctions dérivables C, S : R R telles que S = C, C = S, C(0) = 1 et S(0) = 0. 2 Définition. La fonction C du théorème est appelée cosinus et notée cos. La fonction S du théorème est appelée sinus et notée sin. Ainsi, on a les propriétés suivantes de cos et sin : sin x = cos x, cos x = sin x, cos(0) = 1, sin(0) = 0. ). 2. Ce théorème ne sera pas démontré en L1.

95 3.5 Fonctions usuelles 91 Figure 3.6 Fonctions trigonométriques.

96 92 3 Étude de fonctions réelles Il est évident de leur définition que les fonctions x cos x et x sin x sont indéfiniment dérivables. La fonction x cos 2 x + sin 2 x est dérivable, de dérivée x 2 cos x cos x + 2 sin x sin x = 2 cos x sin x + 2 sin x cos x = 0, donc constante ; vues les «valeurs initiales» cos(0) = 1 et sin(0) = 0, on en déduit que cos 2 x + sin 2 x = 1 pour tout x R. Ainsi, l application x (cos x, sin x) est à valeurs dans le cercle unité centré en (0, 0), et les fonctions cos et sin sont à valeurs dans [ 1, 1] (voir Fig. 3.6). En cours d analyse, on pourra démontrer que pour tout réel x, la longueur «parcourue» par un point de coordonnées (cos t, sin t) lorsque t varie de façon monotone de 0 à x est égale à x. Théorème (Formules d addition). Quels que soient a, b R, on a : cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), sin(a + b) = cos(a) sin(b) + sin(a) cos(b), cos( a) = cos(a), sin( a) = sin(a). Remarque. En utilisant la multiplication des matrices, on peut écrire les formules d addition comme suit : ( ) ( ) ( ) cos(a + b) sin(a + b) cos a sin a cos b sin b =. sin(a + b) cos(a + b) sin a cos a sin b cos b Le sens géométrique de cette formule est le suivant : la matrice de rotation par l angle orienté de valeur a + b est le produit des matrices de rotation par les angles orientés de valeurs a et b. En utilisant les fonctions cos et sin, on peut définir la fonction exponentielle complexe exp C : C C qui va prolonger la fonction exponentielle réelle exp: R R et satisfaire la propriété que pour tous a, b C, Pour cela, posons d abord : exp C (a + b) = exp C a exp C b. exp C (ix) déf = cos x + i sin x pour tout x R. Cette formule, prise ici comme une définition, s appelle la formule d Euler. En utilisant les formules d addition pour cos et sin, et l identité i 2 = 1, on peut vérifier facilement que pour tous a, b R, exp C (i(a + b)) = exp C (ia) exp C (ib). Après, pour tous x, y C, définissons : exp C (x + iy) déf = exp(x) exp C (iy) = e x (cos y + i sin y).

97 3.5 Fonctions usuelles 93 Théorème. Quels que soient z 1, z 2 C, on a : exp C (z 1 + z 2 ) = exp C (z 1 ) exp C (z 2 ). Démonstration. Écrivons z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2, avec x 1, y 1, x 2, y 2 R. Alors : exp C (z 1 + z 2 ) = exp(x 1 + x 2 ) exp C (i(y 1 + y 2 )) = exp(x 1 ) exp(x 2 ) exp C (iy 1 ) exp C (iy 2 ) = exp C (z 1 ) exp C (z 2 ). Dans la suite, on va toujours écrire «exp z» ou «e z» et non pas «exp C z». Comme une consequence de la formule d Euler, on a, pour tout x R : Variations de sin et cos cos x = eix + e ix 2, sin x = eix e ix. 2i Proposition. Il existe un plus petit nombre x > 0 tel que sin x = 0. Définition. Le nombre π est le plus petit nombre réel π > 0 tel que sin π = 0. Le nombre π, par ailleurs, est compris entre 3, 14 et 3, 15. Il est aussi égale à la moitié de la longueur d un cercle de rayon 1 dans un plan euclidien. Définition. Une fonction f : R R (ou f : R C) est dite périodique de période T > 0 si pour tout x R, f(x + T ) = f(x). Théorème. Les fonctions cos et sin sont périodiques, la plus petite période de chacune est 2π. De plus, pour tout x R, cos x = sin(x + π 2 ). Selon les formules d addition, la fonction cos est paire, et la fonction sin est impaire. La fonction sin est positive sur [0, π] et négative sur [ π, 0]. Ainsi, la fonction cos est croissante sur [ π, 0] et décroissante sur [0, π]. La fonction cos est positive sur [ π, π] et négative sur [ π, 3π ]. Ainsi, la fonction sin est croissante sur [ π, π] et décroissante sur [ π, 3π] Les fonctions tangente et cotangente Définition. On définit la fonction tangente, notée tan, par : tan x déf = sin x cos x.

98 94 3 Étude de fonctions réelles La fonction tan est définie en tout réel où cos ne s annule pas, c est-à-dire sur R \ { π + πk k Z }. 2 La fonction tan est impaire, π-périodique, strictement croissante sur l intervalle ] π, π [. De plus, 2 2 lim x π + 2 tan x =, lim tan x = +. x π 2 Ainsi tan ] π 2, π 2 [ est une bijection croissante de ] π, π [ sur R. 2 2 Définition. On définit la fonction cotangente, notée cot, par : cot x déf = cos x sin x. La fonction cot est définie en tout réel où sin ne s annule pas, c est-à-dire sur R \ { πk k Z }. La fonction cot est impaire, π-périodique, strictement décroissante sur l intervalle ]0, π[. De plus, lim cot x = +, lim x 0 + cot x =. x π Ainsi cot ]0,π[ est une bijection décroissante de ]0, π[ sur R. Le calcul des dérivées de tan et cot donne : tan x = 1 cos 2 x = 1 + tan2 x, cot x = 1 sin 2 x = 1 cot2 x. Valeurs spéciales Les valeurs suivantes sont à connaître par cœur : cos 0 = 1, sin 0 = 0, tan 0 = 0, cos π 3 6 = 2, sin π 6 = 1 2, tan π 3 6 = 3, cos π 2 4 = 2, sin π 2 4 = 2, tan π 4 = 1, cos π 3 = 1 2, sin π 3 = 3 2, tan π 3 = 3, cos π 2 = 0, sin π 2 = 1, tan n est pas définie en π Fonctions trigonométriques inverses Définition. La fonction arc-sinus est l application réciproque de la bijection sin π [ 2, π 2 ] : [ π, ] [ π 2 2 [ 1, 1]. On la note arcsin: [ 1, 1] π, ] π 2 2. On peut aussi définir arcsin par la formule : x, y R, ( y = arcsin x x = sin y et y [ π 2, π ]). 2

99 3.5 Fonctions usuelles 95 Définition. La fonction arc-cosinus est l application réciproque de la bijection cos [0,π] : [0, π] [ 1, 1]. On la note arccos: [ 1, 1] [0, π]. On peut aussi définir arccos par la formule : x, y R, (y = arccos x x = cos y et y [0, π]). Définition. La fonction arc-tangente est l application réciproque de la bijection tan π ] 2, π 2 [ : ] π, [ ] π 2 2 R. On la note arctan: R π, [ π 2 2. On peut aussi définir arctan par la formule : x, y R, ( ] y = arctan x x = tan y et y π 2, π [). 2 On peut définit la fonction arc-cotangente arccot: R ]0, π[ d une façon analogue. Exercice. Montrer que arcsin x + arccos x = π/2 pour tout x [ 1, 1], et que arctan + arccot x = π/2 pour tout x R. Exercice. Calculer les dérivées des quatre fonctions trigonométriques inverses Fonctions hyperboliques Cosinus et sinus hyperboliques Définition. Les fonctions cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique sont respectivement définies par les formules : cosh x déf = ex + e x 2 et sinh x déf = ex e x 2 Les fonctions cosh et sinh satisfont l identité pour tout x R. cosh 2 z sinh 2 z = 1 pour tout z R. Remarque. On peut utiliser les mêmes formules pour définir cosh z et sinh z pour tout z C. De la même façon, on peut utiliser les formules provenant de la formule d Euler pour définir cos z et sin z pour tout z C. Les fonctions cosh et sinh sont continues et dérivables sur R, et on a : On a aussi les propriétés suivantes : 1. cosh(0) = 1, sinh(0) = 0 ; cosh x = sinh x, sinh x = cosh x. 2. cosh est paire, sinh est impaire ; 3. lim cosh x = lim sinh x = + ; x + x +

100 96 3 Étude de fonctions réelles 4. cosh est strictement décroissante sur ], 0] et strictement croissante sur [0, + [ ; 5. sinh est strictement croissante sur ], + [ ; 6. cosh [0,+ [ réalise une bijection de [0, + [ sur [1, + [ ; 7. sinh réalise une bijection de R sur R. Définition. La fonction tangente hyperbolique est définie par la formule : tanh x déf = sinh x cosh x = e2x 1 e 2x + 1 pour tout x R. Elle est définie, continue et dérivable sur R, c est une fonction impaire et sa dérivée vaut : tanh 1 x = cosh 2 x = 1 tanh2 x. Elle est donc strictement croissante. Ses limites en et + sont respectivement 1 et 1. Elle réalise donc une bijection de R sur ] 1, 1[ Fonctions hyperboliques inverses Définition. La fonction argument du sinus hyperbolique est la réciproque de sinh: R R. On la note argsinh: R R. La fonction argument du cosinus hyperbolique est la réciproque de cosh R+ : R + [1, + [. On la note argcosh: [1, + [ R +. La fonction argument de la tangente hyperbolique est la réciproque de tanh: R ] 1, 1[. On la note argtanh: R R. 3.6 Étude de fonction Asymptotes, branches paraboliques Définition. Soit f une fonction réelle d une variable réelle. Une asymptote verticale du graphe de f est une droite d équation x = a telle que lim x a x a f(x) = ± ou lim f(x) = ±. + Une asymptote horizontale du graphe de f est une droite d équation y = b telle que lim f(x) = b ou lim f(x) = b. x + x Une asymptote oblique du graphe de f est une droite d équation y = ax + b avec a 0 telle que ( ) ( ) f(x) ax b = 0 ou lim f(x) ax b = 0. lim x + x Proposition. Si la droite d équation y = ax + b est une asymptote oblique du graphe de f en +, alors a = f(x) lim x + x ( ) et b = lim f(x) ax. x +

101 3.7 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes dans le plan 97 Définition. Soit f une fonction réelle d une variable réelle. On dit que le graphe de f possède une branche parabolique en + d axe vertical si f(x) lim x + x = ±. On dit que le graphe de f possède une branche parabolique en + d axe de direction y = ax si f(x) lim x + x ( ) = a et lim f(x) ax = ±. x Position par rapport à une tangente ou une asymptote Pour placer le graphe de f par rapport à une tangente au point a d équation y = bx + c (b = f (a), c = f(a) f (a)a), il faut déterminer si la différence f(x) bx c est positive ou négative au voisinage de a. Pour placer le graphe de f par rapport à une asymptote oblique en + d équation y = bx + c, il faut déterminer si la différence f(x) bx c est positive ou négative au voisinage de Plan d étude D habitude on suit ce plan : 1. domaine de définition ; 2. continuité ; 3. limites aux bornes, asymptotes horizontales et verticales, position de la courbe par rapport aux asymptotes horizontales ; 4. dérivabilité : domaine de dérivabilité, la fonction dérivée ; 5. tableau de variations, maxima, minima ; 6. convexité ; 7. tangentes aux points remarquables de la courbe, position de la courbe par rapport à ces tangentes ; 8. complément d étude des branches infinies : asymptotes obliques, branches paraboliques ; position de la courbe par rapport aux asymptotes obliques ; 9. le graphe. 3.7 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes dans le plan Tracés élémentaires, pas de point stationnaire à ce niveau (sera vu au S2 avec les DL). Définition. Soient A R et f : A R 2, x (f 1 (x), f 2 (x)), une application. (Ici donc f 1, f 2 : A R sont deux fonctions réelles.) Alors f est dite continue (resp. continue au point a A) si les deux applications f 1 et f 2 sont continues (resp. continues au point a).

102 98 3 Étude de fonctions réelles Figure 3.7 Ellipse. Définition. Soit C un ensemble dans R 2 (d habitude il s agit d une «courbe»). Alors tout application continue f : I C d un intervalle I R qui réalise une surjection de I sur C s appelle un paramétrage de C. Définition. Une courbe paramétrée dans R 2 est un ensemble C R 2, éventuellement séparé en un nombre fini de parties, avec un paramétrage continu de chaque partie. Définition. Un ensemble C R 2 est dit borné si les ensembles { x (x, y) C } et { y (x, y) C } sont majorés. Définition. Soit C R 2 avec une surjection f : ]α, β[ C une courbe paramétrée dans R (la double flèche ici indique que l application est surjective sur C). On dit que C admet une asymptote L lorsque le paramètre tend vers β à gauche si 1. la distance entre f(t) et (0, 0) tend vers + lorsque t β, et 2. L est une droite dans R 2 telle que la distance entre f(t) et L tend vers 0 lorsque t β (si elle existe, elle est unique). On définit de la même manière l asymptote de C lorsque le paramètre tend vers α à droite, si elle existe. Proposition. Soit L une droite dans R 2 d équation ax + by = c, et soit f : ]α, β[ R 2, t (f 1 (t), f 2 (t)) une application. Alors la distance entre f(t) et L tend vers 0 lorsque t β si et seulement si lim t β (af 1 (t) + bf 2 (t)) = c Paramétrage d un ellipse et d une hyperbole Pour paramétrer un cercle d équation x 2 +y 2 = 1, on peut poser x = cos t, y = sin t, t R (ou t [0, 2π]). Soient maintenant a > 0, b > 0. Considérons l ellipse d équation : x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Posons x = a cos t, y = b sin t. Cela donne un paramétrage de l ellipse (à vérifier). Soient a > 0, b > 0. Considérons l hyperbole d équation : x 2 a 2 y2 b 2 = 1.

103 3.7 Courbes paramétrées en coordonnées cartésiennes dans le plan 99 Figure 3.8 Hyperbole. Posons x = a cosh t, y = b sinh t, t R. Cela donne un paramétrage d une branche de l hyperbole. Il y a deux asymptotes d équations x a y b = 0 et x a + y b = 0. On peut paramétrer la deuxième branche par x = a cosh t, y = b sinh t, t R. Elle a les deux mêmes asymptotes Courbes diverses Le folium de Descartes Le folium de Descartes dans le plan R 2 est donné par l équation : x 3 + y 3 = 3xy. Posons y = tx (si x = 0, alors y = 0). Alors on trouve : x = y = 3t 1 + t 3, 3t2 1 + t 3. Pour t < 1 et pour t > 1, cela donne deux paramétrages de deux «morceaux» de la courbe. En étudiant le comportement lorsque t 1 et t 1 +, on trouve une asymptote d équation x + y = 1. La lemniscate de Bernoulli La lemniscate de Bernoulli dans le plan R 2 est donnée par l équation : (x 2 + y 2 ) 2 = 2(x 2 y 2 ).

104 100 3 Étude de fonctions réelles Figure 3.9 Folium de Descartes. Figure 3.10 Lemniscate de Bernoulli. Observons que y x. Posons y = x sin t (si x = 0, alors y = 0). Alors on trouve : 2 cos t x = 1 + sin 2 t, 2 sin t cos t y = 1 + sin 2. t Ceci est un paramétrage de la courbe. Cette courbe est bornée.

105 3.8 Exercices Exercices Exercice 1 Soient f : x égales? x 2 (x 2 1) et g : x x x 2 1. Ces fonctions sont-elles Exercice 2 Montrer que si une fonction f : R R admet une limite finie en x 0 alors elle est unique. Indication : on pourra raisonner par l absurde et faire un dessin... Exercice 3 En utilisant les suites, montrer que la fonction f(x) = cos 1 x limite en 0. n admet pas de Exercice 4 Déterminer les limites suivantes quand elles existent : 1. x 2 1 x quand x. 2. x 2 + x x quand x. Indication : utiliser les quantités conjuguées. Exercice 5 Determiner les limites lim x ± x x x 4x Indication : utiliser les quantités conjuguées. Exercice 6 Soient a, b R +. Déterminer si elle existe la limite de x + a x a f(x) = x + b x b lorsque x +. Exercice 7 Soit h: R R définie par h(x) = x pour x R. 1. Calculer lim h(x) et lim h(x). x 0,x>0 x 0,x<0 2. La fonction h admet-elle une limite lorsque x 0? x

106 102 3 Étude de fonctions réelles Exercice 8 En utilisant le théorème des gendarmes, montrer que la fonction f(x) = x cos 1 admet une limite en 0. x Exercice 9 1. Soit f : D R et x 0 un point isolé de D. Montrer que f admet une limite en x Etudier la limite en 0 de x x 2 (x 2 1). Exercice 10 Soient a < b < c et f une fonction continue sur [a, b] et sur [b, c]. La fonction f est-elle continue sur [a, c]? Exercice 11 Etudier la continuité en 0 de la fonction définie sur R par f(x) = x x si x 0 et f(0) = 0. Exercice Montrer que la fonction x x 2 est continue en x 0 = Montrer que la fonction x x 2 1 est continue en x 0 = 2. Exercice 13 Montrer que f : x 2 sin x est continue sur R. Exercice 14 On considere la fonction 1 x 2 si x < 1, f(x) = ax 2 + bx + c si x 1. Existe-t-il des réels a, b, c pour lesquels f soit continue? Exercice Montrer que l image d un intervalle I de R par une fonction continue f est un intervalle. Cet intervalle a-t-il la même forme que I? Donner des exemples. 2. A-t-on la réciproque : si f transforme tout intervalle I en un intervalle J, la fonction f est-elle continue? Indication : considerer la fonction f(x) = sin 1 pour x 0 et f(0) = 0. x

107 3.8 Exercices 103 Exercice 16 Montrer que tout polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle. Exercice Donner des exemples de fonctions continues mais non dérivables en Donner un exemple de fonction R R, dont la dérivée est nulle sur R mais qui n est pas constante. 3. Donner un exemple de fonction dont la dérivée s annule en un point x 0 mais qui n admet pas d extremum en x 0. Exercice 18 Soit f(x) = Exercice 19 x. La fonction f est-elle dérivable en 0? Déterminer a, b de maniere que la fonction f définie sur [0, + [ par soit derivable sur son domaine. Exercice 20 x si 0 x 1, f(x) = ax 2 + bx + 1 sinon Montrer que si f est dérivable sur R et paire, alors f est impaire. Exercice 21 Montrer que si f, g : R R sont deux fonctions telles que f = f et g = g, alors la fonction x f(x)g( x) est constante. En déduire que s il existe une fonction f : R R telle que f = f et f(0) = 1, alors telle f est unique. Exercice 22 On considère la fonction définie par f(x) = e (x2 1). 1. Quel est le domaine de définition de f? La fonction f, est-elle dérivable sur son domaine de définition? 2. Calculer la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Donner un intervalle de R sur lequel la fonction est strictement décroissante. On note I cet intervalle.

108 104 3 Étude de fonctions réelles 4. Montrer que f est une bijection de I sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 5. La fonction g est-elle monotone sur J? 6. La fonction g est-elle dérivable sur J? 7. Donner l expression de g. 8. Etudier les branches infinies des fonctions f et g. 9. Représenter graphiquement ces deux fonctions. Exercice 23 Montrer que l équation x = cos x admet une solution dans l intervalle [0, π/2]. Est-ce que l équation sin x = x admet une solution dans le même intervalle? Exercice 24 On considère la fonction définie par h(x) = sin x sin x. 1. Quel est le domaine de définition de h? 2. a) Montrer que lim x 0 h(x) = 1. b) Comment peut on prolonger par continuité h en 0? 3. a) Montrer que h et dérivable sur ]0, π[ et que lim 2 x 0 h(x) h(0) + = x (on pose h(0) = 1). b) La fonction définie par : h(x) = (sin x) sin x si x ]0, π [, h(0) = 1, est 2 elle dérivable droite en 0? Exercice 25 Pour tout α > 0, on définit la fonction ϕ α : x R + x α e x R. 1. ϕ α est-elle prolongeable par continuité en 0? 2. Montrer que ϕ α est bornée sur R Déterminer la limite de ϕ α quand x +. Exercice Calculer la dérivée n-ième de cosh x. 2. Calculer la dérivée n-ième de sinh(2x). Exercice Calculer arcsin 3 1, arccos, arctan , arcsin sin 5π, arccos cos 5π, sin arcsin 1, 6 6 arcsin sin 1, tan arctan 3, arctan tan Calculer arccos(sin 3π 2 11π ), arcsin(sin ), arcsin(cos π 17π ), et arctan(tan )

109 3.8 Exercices 105 Exercice 28 Tracer les courbes représentatives de f(x) = arccos(cos x) et g(x) = arctan(tan x). Exercice Montrer que pour tout x [ 1, 1], arcsin x + arccos x = π Montrer que pour tout x R, arctan x + arctan 1 = sign(x) π. x 2 Exercice 30 Soit arctan x si x < 0, f(x) = 0 si x = 0, e 1/x si x > 0. Étudier la continuité et déterminer l ensemble des réels tel que f soit dérivable en x. Exercice 31 Calculer les dérivées des fonctions suivantes apres avoir indiqué sur quels intervalles elles sont dérivables : Exercice 32 f(x) = e cos sin x, g(x) = ln(ln(x)), h(x) = 1 cosh(x) 2 + sinh(x). On considère la fonction définie par f(x) = arcsin( x2 1 x 2 +1 ). 1. Montrer que f est dérivable sur R et calculer sa dérivée. (On simplifiera au maximum l expression de f.) 2. En déduire une autre expression de f par une fonction usuelle du cours. Exercice 33 On considère la fonction définie par : ax + b si x ], 1 f(x) = [, x + arctan x 2 si x [ 1, + [ Trouver les réels a et b de sorte que f soit continue et dérivable sur R. 2. Calculer la dérivée de f et étudier ses variations. 3. Montrer que l équation f(x) = 0 a une solution unique dans R. 4. a) Calculer les limites : lim f(x), lim f(x) x + x + x et lim f(x) x. x +

110 106 3 Étude de fonctions réelles b) En déduire que f a une asymptote oblique et donner son équation. 5. Montrer que f est une bijection de R sur un domaine J à déterminer. On note g sa fonction réciproque. 6. Donner le tableau de variation de g. 7. Calculer g (y 0 ) pour g(y 0 ) = 1 2. Exercice 34 On considère la fonction définie par f(x) = e (cos x+sin2 x). 1. Montrer que f est définie et dérivable sur R. 2. Calculer la dérivée de f et étudier son signe sur l intervalle I = [0, 2π]. 3. En déduire le tableau de variations de f sur l intervalle I. 4. Combien l équation f(x) = e ( 1 2 ) a-t-elle de solutions dans l intervalle I? Exercice 35 On considère la fonction définie par g(x) = arctan 1 x. 1. Montrer que g est continue sur I =]0, + [. 2. Calculer lim x 0 + g(x). 3. Montrer qu on peut prolonger g par continuité en Montrer que g est dérivable sur I et calculer g. 5. Montrer que g est une bijection de ]0, + [ sur un intervalle J à déterminer. 6. La fonction g 1 est-elle croissante, décroissante? 7. En utilisant la relation arctan y + arctan( 1) = π, pour y > 0, montrer y 2 que g n est pas dérivable en 0. Exercice 36 Etudier la courbe paramétrée définie par (x(t), y(t)) = ( t ln t, ln t t ).

111 107 4 Équations différentielles linéaires 4.1 Fonctions complexes d une variable réelle Une fonction complexe de variable réelle est une application f : D f C où D f R. Pour telle f, on va noter Re f l application t Re f(t) et Im f l application t Im f(t), et on va les appeler la partie réelle de f et la partie imaginaire de f. Définition. Une fonction complexe de variable réelle est dite continue si ses parties réelle et imaginaire sont continues. Elle est dite dérivable si ses parties réelle et imaginaire sont dérivables. La dérivée de fonction f : I R est la fonction f déf = (Re f) + i(im f) (aussi notée df dt ). Propriétés arithmétiques des dérivées des fonctions complexes de variable réelle sont les même que pour les fonctions réelles. Théorème. Les combinaisons linéaires et produits de fonctions f, g : D C dérivables en a sont dérivables en a. On a les formules : (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a) pour tous α, β C, (fg) (a) = f(a)g (a) + f (a)g(a). Si f, g : D C sont deux fonctions dérivables en a et si g(a) 0, alors f g est dérivable en a. On a la formule : ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a). g g 2 (a) Les dérivées successives d une fonction à valeurs complexes, si elles existent, sont définies, comme dans le cas réel, par : f (0) déf = f, f (1) déf = f, f (k+1) déf = (f (k) ) pour k N. Définition. Si f : I C est une fonction complexe de variable réelle, et I est un intervalle ouvert, on appelle primitive de f sur I toute fonction complexe F, dérivable sur I, telle qu en tout point t de I, F (t) = f(t).

112 108 4 Équations différentielles linéaires Théorème. Toute fonction f à valeurs réelles ou complexes, définie et continue sur un intervalle ouvert I, admet une primitive sur cet intervalle. Si F est une primitive de f sur I, l ensemble des primitives de f sur I est { F + C C C }. Comme l étude des intégrales ne fait pas partie de ce cours, on va admettre ce théorème sans démonstration. 4.2 Équations différentielles linéaires générales Une équation différentielle linéaire d ordre p N sur un intervalle réel ouvert I est une équation de la forme : a p (t)y (p) (t) + a p 1 (t)y (p 1) (t) + + a 0 (t)y(t) = f(t) pour tout t I, (E) où l inconnue est la fonction y : I C dérivable jusqu à l ordre p sur I, et les fonctions f et a j sont données, en général continues sur I et avec a p (t) 0 en tout t I. L equation (E) est dite sans second membre (ou homogène) si f est nulle. Exemple. Pour toute fonction continue f : R R, l ensemble des solutions réelles de l équation différentielle est l ensemble des primitives de f. y = f sur R Exemple. Pour tout n N, l ensemble des solutions réelles de l équation différentielle y (n) = 0 sur R est l ensemble des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à n 1. Proposition. Il existe une unique fonction f : R R dérivable sur R telle que f = f et f(0) = 1. Cette fonction est strictement positive sur R. Esquisse d une démonstration. Montrons d abord l unicité. Supposons que f et g sont sont deux fonctions R R telles que f = f, g = g, f(0) = g(0) = 1. Alors en dérivant les fonctions t f(t)g( t) et t g(t)g( t), l on trouve qu elles sont constantes, donc f(t)g( t) = 1 = g(t)g( t) pour tout t R. Donc pour tout t R, f(t) = 1/g( t) = g(t). Comme f ne s annule pas, elle est strictement positive par le théorème des valeurs intermédiaires. Montrons l existence. Posons l: R + R la primitive de la fonction x 1 x, x > 0,

113 4.2 Équations différentielles linéaires générales 109 telle que l(1) = 0. Alors l est strictement croissante et donc injective. On peut montrer par récurrence sur n, en utilisant le théorème des accroissements finis, que pour tout n N, l(2 n ) 1 + n 2 et l(2 n ) 1 n 2. Ainsi lim x 0 + l(x) =, lim x + l(x) = +, et donc l est une bijection entre R + et R, par le théorème des valeurs intermédiaires. Posons ensuite f = l 1 : R R + la fonction réciproque. Alors f(0) = 1, et f (t) = 1 l (f(t)) = f(t) pour tout t R, d après le théorème sur la dérivée de la fonction réciproque. Rappelons que la fonction dont l existence est établie dans cette proposition s appelle l exponentielle réelle, notée exp ou t e t, et sa fonction réciproque s appelle le logarithme naturel, notée ln. Donc d d (exp t) = exp t, dt dx (ln x ) = 1 x. Exemple. L ensemble des solutions réelles de l équation différentielle y = y sur R est l ensemble des fonctions de la forme t Ce t, avec C R. Théorème. Soient I un intervalle réel ouvert et a 0,..., a p des fonctions complexes (ou réelles) continues sur I, et que a p ne s annule pas sur I. Pour toute fonction continue f : I C, soit (E f ) l équation différentielle linéaire sur l intervalle I : a 0 y (p) + a 1 y (p 1) + + a p y = f. (E f ) 1. Si f 1,..., f n : I C sont des fonctions continues, y j est solution de (E fj ) pour tout j = 1,..., n, et λ 1,..., λ n C sont des constants, alors ni=1 λ j y j est solution de (E n i=1 λ jf j ). 2. Si y 0 est une solution de (E f ), alors l ensemble des solutions de (E f ) est : { y 0 + y y solution de (E 0 ) }. («La solution générale de (E f ) est somme d une solution de (E f ) et de la solution générale de l équation associée homogène (E 0 )».) Esquisse d une démonstration. La démonstration de la partie (1) se fait en utilisant la linéarité de la dérivée k-ième : ( n ) (k) n λ j y j = λ j y (k) j. i=1 La partie (2) résulte de la partie (1). i=1

114 110 4 Équations différentielles linéaires Exemple. L ensemble des solutions réelles de l équation différentielle y y = 1 sur R est l ensemble des fonctions de la forme t Ce t 1, avec C R. L ensemble des solutions réelles de l équation différentielle y = 2 sur R est l ensemble des fonctions de la forme t t 2 + At + B, avec A, B R. Théorème. Si les fonctions coefficients a 1,..., a p de l équation : a p (t)y (p) (t) + a p 1 (t)y (p 1) (t) + + a 0 (t)y(t) = f(t) pour t I, (E f ) sont réels (c est-à-dire à valeurs réelles), pour que y soit solution de cette équation, il faut et il suffit que Re y soit solution de l équation : a p (t)y (p) (t)+a p 1 (t)y (p 1) (t)+ +a 0 (t)y(t) = Re f(t) pour t I, (E Re f ) et que Im y soit solution de l équation : a p (t)y (p) (t)+a p 1 (t)y (p 1) (t)+ +a 0 (t)y(t) = Im f(t) pour t I. (E Im f ) Esquisse d une démonstration. Supposons y est une solution de (E f ) (note : d ici jusqu au la fin du paragraphe «y» dénote une solution particulier de (E f ) et pas une variable). Application de la fonctions Re aux deux cotés de l égalité E f montre que Re y est une solution de (E Re f ) (on trouve (E Re f ) avec la variable y remplacé par Re y). De même, application de Im à E f montre que Im y est une solution de (E Im f ). Pour montrer que si Re y satisfait (E Re f ) et que Im y satisfait (E Im f ), alors y satisfait (E f ), on utilisera un argument similaire, plus la propriété que deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires sont égales Méthode de variation de la constante Soit a p y (p) + a p 1 y (p 1) (t) + + a 0 y(t) = f(t), t I, (E f ) une équation différentielle avec coefficients fonctions a 1,..., a p, f : I C continues. Supposons qu on à trouver une solution particulière y 0 de l équation homogène associe a p y (p) + a p 1 y (p 1) + + a 0 y = 0 sur I. (E 0 ) Pour résoudre (E f ) (ou (E 0 )), on peut utiliser le changement de variable y = y 0 u,

115 4.2 Équations différentielles linéaires générales 111 où u est le nouvelle fonction inconnue, comme si on remplaçait la constante C dans la solution Cy 0 de (E 0 ) par la fonction inconnue u. Pour cela, cette méthode de résolution de l équation (E f ) (ou (E 0 )) s appelle la méthode de variation de la constante. Après simplifications, elle résulte en une équation de la forme : b p u (p) + b p 1 u (p 1) + + b 1 u = f(t). Après un nouveau changement de variable v = u, on obtient une équation d ordre p 1 : b p v (p 1) + b p 1 v (p 2) + + b 1 v = f(t), et on continue ainsi Équations d ordre 1 Il s agit des équations différentielle de la forme a(t)y (t) + b(t)y(t) = f(t), t I, où a, b, f : I C sont trois fonctions données, et a ne s annule pas sur I. En divisant par a(t), on peut toujours se ramener à une équation de la forme Équation homogène y (t) + b(t)y(t) = f(t), t I. Pour résoudre une équation différentielle de la forme y (t) = k(t)y(t), t I, (E 0 ) où k : I C est une fonction continue donnée, on peut commencer par chercher une solution particulière qui ne s annule pas dans I. Il est plus ou moins claire qu on peut la chercher sous la forme exp(v(t)). On va donc utiliser le changement de variable y(t) = exp(v(t)). Après substitution et simplification, cela donne : v (t) = k(t). Donc l ensemble des solutions pour v est l ensemble des primitives de la fonction k. Soit K une primitive arbitraire de k. Alors y 0 (t) = exp(k(t)) est une solution de (E 0 ) qui ne s annule pas dans I. On peut maintenant utiliser la «variation de la constante» pour trouver toutes les solutions de (E 0 ) : posons y(t) = u(t)y 0 (t) dans (E 0 ). Après simplification, cela donne une équation équivalente : u (t) = 0.

116 112 4 Équations différentielles linéaires Donc l ensemble des solutions pour u est l ensemble des constantes, et la solution générale de (E 0 ) est y(t) = Cy 0 (t) = Ce K(t) où K : I C est une primitive de k et C C est une constante arbitraire. Équation avec second membre Pour résoudre une équation différentielle de la forme y (t) + b(t)y(t) = f(t), t I, (E f ) où b, f : I C sont deux fonctions données, il suffit de trouver une solution particulier de l équation (E f ) et y rajouter la solution générale de (E 0 ). On peut aussi directement chercher toutes les solutions de (E f ) après avoir determiner une solution non nulle de (E 0 ) en utilisant la méthode de variation de la constante, comme suite. Soit B une primitive de b sur I. Alors y 0 (t) = exp( B(t)), t I, est une solution de (E 0 ) qui ne s annule pas. Pour trouver toutes les solutions de (E f ), posons y(t) = y 0 (t)u(t), t I, où u est la nouvelle fonction inconnue. Après substitution dans (E f ) et simplification, on trouve : y 0 (t)u (t) = f(t), t I. D où l ensemble des solutions pour u est l ensemble des primitives de la fonction t f(t) y 0 (t). Pour résumer : soit B une primitive de b sur I et G une primitive de t f(t)e B(t) sur I. Alors l ensemble des solutions de (E f ) est l ensemble des fonctions de la forme avec C C arbitraire. Exemple. Soit y(t) = (G(t) + C)e B(t), t I, y (t) + ty(t) = t, t > 0, (E) une équation différentielle réelle pour une fonction inconnue réelle y. Soit (H) son équation homogène associée : Une équation équivalente : y (t) + ty(t) = 0, t > 0. (H) y (t) = ty(t), t > 0. (H)

117 4.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants Cherchons toutes les solutions de (H). On remarque que t = d ( ) t 2. dt 2 D après ce qu on a vu, la solution générale de (H) est l ensemble des fonctions de la forme où C R. y(t) = Ce t2 2, t > 0, 2. Cherchons toutes les solutions de (E). Pour se rappeler la formule, posons y(t) = u(t)e t2 2, où u est la nouvelle fonction inconnue. Substitution dans (E) et simplification donnent : u (t) = te t2 2. L ensemble des primitives de la fonction t exp ( t 2 2 ) t est l ensemble des fonctions de la forme t exp ( ) t C, avec C R quelconque. Donc l ensemble des solutions de (E) est l ensemble des fonctions de la forme y(t) = e t2 2 (e t22 + C ) = 1 + Ce t2 2, où C R. Ici on a résolu (E) sans utiliser la solution générale de (H) trouvée dans (2). 3. Cherchons toutes les solutions de (E) autrement, en utilisant la solution générale de (H) trouvée dans (2). Il suffit alors de trouver une solution particulier de (E). On peut remarquer que la constante 1 est une solution. Ainsi, la solution générale de (E) est l ensemble des fonctions de la forme ( ) t 2 y(t) = 1 + C exp 2 avec C R quelconque. 4.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants Polynôme caractéristique Définition. Soit a p y (p) (t) + a p 1 y (p 1) (t) + + a 0 y(t) = f(t) (E)

118 114 4 Équations différentielles linéaires une équation différentielle linéaire à coefficients constants a 0,..., a p C. Son polynôme caractéristique est le polynôme a p X p + + a 0 C[X], et son équation caractéristique est l équation : où λ est l inconnue. a p λ p + + a 0 = 0, Remarque. Si P est le polynôme caractéristique de (E), alors (E) s écrit aussi comme : ( ) d P (y) = f (E) dt (à gauche, l indéterminé du polynôme P est remplacé par «l opérateur différentiel» d dt, et le résultat est appliqué à la fonction y). Proposition. Soient P = a p X p + + a 0 C[X] et λ C. Alors a p d p dt p eλt + a p 1 d p 1 dt p 1 eλt + + a 0 e λt = P (λ)e λt. (En d autres termes, P ( d dt )(eλt ) = P (λ)e λt.) Équations homogènes Proposition. Soit a p y (p) (t) + a p 1 y (p 1) (t) + + a 0 y(t) = 0 une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants, et soit P = a p X p + a p 1 X p a 0 son polynôme caractéristique. Soit λ C. Alors y 0 (t) = exp(λt) est une solution de (H) si et seulement si λ est une racine de P. Démonstration. Si y 0 (t) = exp(λt), alors a p y (p) 0 (t) + a p 1 y (p 1) 0 (t) + + a 0 y 0 (t) = P (λ) exp(λt). (C) (H) Équations homogènes d ordre 1 Ces équations sont les équations de la forme : ay + by = 0 sur I. (E) Théorème. L ensemble des solutions de (E) est celui des toutes fonctions de la forme : ( ) b y(t) = C exp a t, t I, avec C C quelconque. On peut aussi écrire l ensemble des solutions comme suite : { ( ) } b t I C exp a t C C

119 4.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants 115 Esquisse d une démonstration. Faisons changement de variable : posons y(t) = e b a t u(t), où u est la nouvelle fonction inconnue. Il reste à vérifier que la dérivée de u est nulle, et donc u est constante. Équations homogènes d ordre 2 Ces équations sont les équations de la forme : ay + by + cy = f sur I, (E f ) où I est un intervalle réel, a, b, c sont des nombres complexes donnés et f une fonction continue donné à valeurs complexes sur I. L équation homogène associée à (E f ) est l équation différentielle ay + by + cy = 0 sur I. (E 0 ) Théorème. Soient λ 1, λ 2 racines distinctes ou confondues, réelles ou complexes, de l équation caractéristique (C). Alors l ensemble des solutions complexes de (E 0 ) est : { Ae λ 1t + Be λ 2t A, B C } si λ 1 λ 2 (si b 2 4ac 0), { (At + B)e λ 1t A, B C } si λ 1 = λ 2 (si b 2 4ac = 0). Démonstration. On va se ramener à une équation d ordre 1 par changements de variables. Posons y(t) = exp(λ 1 t)u(t), où u est la nouvelle fonction inconnue. Après substitution dans (E 0 ) et simplification, on trouve : au + (2aλ 1 + b)u = 0. ( ) Posons u = h. On a l équation d ordre 1 pour h : ah + (2aλ 1 + b)h = 0. ( ) Si λ 1 = λ 2 est une racine double de (C), alors 2aλ 1 + b = 0 (car 2aX + b = (ax 2 + bx + c) ), donc la solution générale pour h est l ensemble des constants sur I, la solution générale pour u est l ensemble des fonctions affines sur I (c est-à-dire fonctions de la forme t I (At + B)), et ainsi la solution générale de (E 0 ) est l ensemble des fonctions I C de la forme : où A, B C. y(t) = (At + B)e λ 1t, Si λ 1 λ 2, alors 2aλ 1 + b 0 et λ 1 + λ 2 = b, et la solution générale de a l équation ( ) est l ensemble des fonctions de la forme : (( ) ) h(t) = C exp 2λ 1 b a t = Ce (λ 2 λ 1 )t,

120 116 4 Équations différentielles linéaires avec C C. Ainsi la solution générale de l équation ( ) est l ensemble des fonctions de la forme : u(t) = C λ 2 λ 1 e (λ 2 λ 1 )t + A = Be (λ 2 λ 1 )t + A, avec A, B C. D où la solution générale de (H) : avec A, B C. y(t) = Ae λ 1t + Be λ 2t, Théorème. Si a, b, c sont réels, l équation homogène (E 0 ) admet des solutions à valeurs réelles. L ensemble de ces solutions est { Ae λ 1t + Be λ 2t A, B R } si b 2 4ac > 0, { e Re λ 1t ( A cos(im λ 1 t) + B sin(im λ 1 t) ) A, B R } si b 2 4ac < 0, { (At + B)e λ 1t A, B R } si b 2 4ac = 0. Esquisse d une démonstration. Il suffit d applique le théorème sur la forme générale des solutions complexes de l équation (E 0 ), et parmi toutes ces solutions, distinguer celles qui sont réelles. Dans le cas b 2 4ac < 0, on simplifiera la forme des solutions pour utiliser sin et cos au lieu de l exponentielle complexe. Voici le cas b 2 4ac < 0 détaillé. Toute solution réelle de (E 0 ) est la partie réelle de lui-même, et, de plus, comme les coefficients sont réels, la partie réelle de toute solution complexe est une solution, elle aussi. Ainsi l ensemble de solutions réelles est { Re(C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t ) C 1, C 2 C }. Soit α = Re λ 1 = Re λ 2, β = Im λ 1 = Im λ 2. Alors λ 1 = α+iβ, λ 2 = α iβ, et C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t = e αt ((C 1 + C 2 ) cos(βt) + i(c 1 C 2 ) sin(βt)). Si on pose A = C 1 + C 2, B = i(c 1 C 2 ), alors C 1 = A ib, C 2 = A + ib. 2 2 Donc l ensemble de solutions de (E 0 ) s écrit comme { Re(e αt (A cos(βt) + B sin(βt))) A, B C } = { e αt (Re(A) cos(βt) + Re(B) sin(βt)) A, B C } = { e αt (A cos(βt) + B sin(βt)) A, B R } Équations avec second membre de forme spécial Lemme. Soient P, Q C[X] deux polynômes et z C. Écrivons P = a 0 + a 1 X + + a n X n.

121 4.3 Équations différentielles linéaires à coefficients constants 117 Soit Alors y(t) = e zt Q(t). Théorème. Soit a 0 y(t) + a 1 y (t) + + a n y (n) (t) ( = e zt P (z)q(t) + P (z)q (t) + + P (n) ) (z) Q (n) (t) n! = e zt n k=0 P (k) (z) Q (k) (t). k! a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 0 y(t) = e zt Q(t), t R (E) une équation différentielle linéaire à coefficients constants où z C, Q C[X]. Soit P = a n X n + a n 1 X n a 0 son polynôme caractéristique. Soit m la multiplicité de z comme racine de P : P = (X z) m P 1, P 1 (z) 0. (Si z n est pas racine de P, posons m = 0.) Alors l équation (E) admet une unique solution de la forme avec S C[X] et deg S deg P. y(t) = e zt t m S(t), Proposition. Si z C et Q C[X], alors l équation ay (t) + by(t) = e zt Q(t), t R admet une unique solution de la forme y(t) = e zt t m S(t) où S est un polynôme, deg S deg Q, et m = 0 si az + b 0, m = 1 si az + b = 0. Esquisse d une démonstration. On pose y(t) = e zt S(t). Substitution dans l équation originale donne : (az + b)e zt S(t) + ae zt S (t) = e zt Q(t), (az + b)s(t) + as (t) = Q(t). Ensuite il est possible de trouver les coefficients de R par identification. Proposition. Si z C et Q C[X], alors l équation ay (t) + by (t) + cy(t) = e zt Q(t), t R admet une unique solution de la forme y(t) = e zt t m S(t) où S est un polynôme, deg S deg Q, et

122 118 4 Équations différentielles linéaires m = 0 si z n est pas racine de ax 2 + bx + c, m = 1 si z est racine simple de ax 2 + bx + c, m = 2 si z est racine double de ax 2 + bx + c. Esquisse d une démonstration. On pose y(t) = e zt S(t). Substitution dans l équation originale donne : (az 2 + bz + c)e zt R(t) + (2az + b)e zt S (t) + ae zt S (t) = e zt Q(t), (az 2 + bz + c)s(t) + (2az + b)s (t) + as (t) = Q(t). Si z est une racine de l équation caractéristique, alors az 2 + bz + c = 0. Si, en plus, z est une racine double de l équation caractéristique, alors 2az + b = 0. Ensuite il est possible de trouver les coefficients de S par identification. 4.4 Exercices Exercice 1 1. Résoudre l équation homogène y + y = 0 (H). et donner toutes les solutions à valeurs réelles de (H). 2. Trouver une solution particulière de l équation y + y = (x 2 + 1)e x (E 1 ). a) Donner toutes les solutions à valeurs réelles de (E 1 ). b) Déterminer la solution de (E 1 ) qui vérifie la condition initiale y(0) = 0. On considère l équation différentielle y + y = xe x (E 2 ). a) Résoudre dans R l équation différentielle (E 2 ). b) Déterminer la solution f de (E 2 ) qui vérifie la condition initiale f(0) = 1. c) Quelle est la limite de f en + et en?

123 4.4 Exercices 119 Exercice 2 Résoudre dans R les équations différentielles : 1. 2y + y = 0, y + y = x 2 e x, 2y + y = x e x, 2y + y = xe x cos x. Exercice 3 1. Résoudre dans R l équations différentielle y = y x, x > Résoudre la même équation dans C. 3. Résoudre dans R l équations différentielle y + (cos x)y = 2 cos x. 4. Résoudre dans C l équations différentielle y + (cos x)y = cos x. 5. Trouver la solution réelle de l équations différentielle ( 1 x 2 )y + y = ( 1 x 2 )e x + e x, x ] 1, 1[ qui vérifie la condition y(0) = 1 + π. Exercice 4 Donner toutes les solutions à valeurs complexes de : y + iπy = (1 + 3iπt)e 2iπt. Exercice 5 Résoudre dans R l équation différentielle y y = cosh(x).

124 120 4 Équations différentielles linéaires Exercice 6 On considère la fonction définie par f(t) = sinh(t 3 ). 1. Montrer que f est deux fois dérivable sur R, et que f est solution de l équation différentielle (E) : y y + y = 3t(2 t) cosh t 3 + (9t 4 + 1) sinh t Résoudre l équation homogène : y y + y = Déduire des questions précédentes, toutes les solutions à valeurs réelles de (E). 4. Déterminer la solution vérifiant les conditions initiales Exercice 7 On considère l équation différentielle y(0) = 0 et y (0) = 1. y = 1. Résoudre l équation homogène 2x (1 + x 2 ) 2. (E) y = 0 (H) et donner toutes les solutions valeurs réelles de (H). 2. Trouver une solution particulière de l équation (E). 3. Donner toutes les solutions à valeurs réelles de l équation (E). 4. Déterminer la solution g de l équation différentielle (E) telle que g(0) = 0 et g (0) = Déterminer les limites de g en + et. 6. Montrer que g est une bijection de R sur R.