2010/2011 Préparation au devoir surveillé N 2 Terminale S 4. Problème 1 : On considère la fonction f définie pour tout réel x différent de 3 par : =

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1 Problème 1 : On considère la fonction f définie pour tout réel x différent de par : 2x² + 11x + 40 f ( x) = x 1) Calculer les limites de f aux bornes de l ensemble de définition (donc en -, en et en + ). c 2) Déterminer trois réels a, b, c tels que pour tout réel x dans D f : f ( x) = ax + b + x ) Dresser le tableau de variation de f, en le justifiant (utiliser 2). 4) Calculer les coordonnées des points d intersection de la courbe (C), représentative de f, avec les axes des coordonnées. 5) Préciser les asymptotes à la courbe (C). En particulier, justifier que (C) admet une asymptote oblique et préciser la position de (C) par rapport à. 6) Représenter rapidement (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormal. (Prendre pour unité de longueur 0,5 cm et faire le dessin sur une feuille complète de format A4). Problème 2 : 1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout x réel par : P ( x) = x + x + 8 a) Étudier les variations de P. b) Montrer que l'équation P(x) = 0 admet une racine réelle et une seule α, et donner un encadrement de α d amplitude 0,01. c) Préciser le signe de P(x) suivant les valeurs de x. 2. On considère la fonction f définie sur IR, par : f (x) = x 4 x 2. On note C sa courbe représentative + 1 dans un repère orthonormal (O; i, j ) (unité 1 cm). a) Calculer la dérivée f ' de f et étudier son signe. (On pourra habilement utiliser la question 1). b) Calculer les limites de f en + et en -. c) Dresser le tableau complet des variations de f sur IR. d) Prouver que, pour tout x dans IR, f (x) = x x + 4 x² + 1. e) En déduire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une équation. Discuter, suivant les valeurs de x, la position de par rapport à la courbe C. Vérifier en particulier que C rencontre en un point A et un seul. Préciser les coordonnées de A. f) Déterminer les abscisses des points B et B de C en lesquels la tangente est parallèle à. g) Vérifier que f (α) = α. En déduire une valeur approchée de f (α). 2 h) Représenter et C ainsi que les points A, B et B et la tangente en B à C en convenant que B est le point d abscisse positive. Prendre une feuille au format A4 dans le sens «portrait». Page 1 sur 7

2 CORRIGÉ. 1) Notons D f = IR privé du réel. La fonction f est un quotient de deux polynômes. Sa limite en + (respectivement en ) est égale à la limite en + (respectivement en ) du quotient des monômes de plus haut degré. Donc lim f(x) = lim x + x + -2x² x = lim x + En, on a : lim (-2x²+11x+40) = 55 (>0) puis : lim ( x ) = 0 x > + et lim( x ) = 0 x < (-2x) = -. De même : lim f(x)= lim (-2x) = +. x - x - donc lim f ( x) = + x > et lim f ( x) =. c (ax+b)(x ) + c ax² + (-a + b)x + c b 2) Pour tout réel x dans D f, ax + b + = =. x x x On identifie alors les coefficients des polynômes se trouvant aux deux numérateurs et on obtient : a = -2, b = 5 et c = ) La fonction x est strictement décroissante sur]- ; [ et sur ] ; + [ (associée à la x fonction de référence x 1 x ) donc la fonction f 1 : x 55 1 est strictement décroissante x sur ]- ; [ et sur ] ; + [ (multiplication par un nombre positif), de plus la fonction f 2 : x -2x + 5 est la restriction à D f d une fonction affine strictement décroissante (car a = -2). Finalement f = f 1 + f 2 est strictement décroissante sur ]- ; [ et sur ] ; + [ comme somme de deux fonctions strictement décroissantes sur ces intervalles. x < x - + f ) Intersection de la courbe (C) avec l axe (Oy) : on calcule f(0) = - 40 et donc le point de coordonnées (0 ;- 40 ) est le point commun à la courbe (C) et à l axe (Oy). Intersection de la courbe (C) avec l axe (Ox) : on résout f(x) = 0 (-2x²+11x+40) = 0. Le discriminant de cette équation du second degré est 441 = 21² et ses solutions sont 8 et 5 2. Concluons : les points de coordonnées (8 ; 0) et ( - 5 ; 0) sont les points communs à la courbe 2 (C) et à l axe (Ox). 5) On a vu en 2) que lim f ( x) = + et lim f ( x) = on peut en déduire que la droite x > x < d équation x = est asymptote verticale à la courbe (C). De plus, pour tout réel x dans D f on a : f(x) (-2x+5) = 55 x Or lim = 0 ainsi que lim x + x x - x = 0. On peut en déduire que la droite d équation y = (-2x+5) est asymptote oblique à la courbe (C) en + et en -. Page 2 sur 7

3 55 Or > 0 x > et donc pour tout réel x dans ] ; + [ la courbe (C) est «au-dessus» de x son asymptote oblique et pour tout réel x dans ]- ; [ la courbe (C) est «en dessous» de son asymptote oblique. Problème 2 : 1. On considère la fonction polynôme P définie pour tout x réel par : P ( x) = x + x + 8 a) Étudier les variations de P. P est une fonction polynôme donc elle est dérivable sur IR. On a pour tout réel x : P '( x) = x² + > 0 donc P est strictement croissante sur IR. b) Montrer que l'équation P(x) = 0 admet une racine réelle et une seule α, et donner un encadrement de α d amplitude 0,01. P est une fonction polynôme donc elle est continue sur IR et elle est strictement croissante sur IR d après a). De plus lim P(x) = lim x = + et de même lim P(x) = lim x = - x + x + x - x - Donc P est une bijection de IR sur IR et donc l'équation P(x) = 0 admet une racine réelle et une seule α. Par dichotomie, on obtient un encadrement de α d amplitude 0,01 : 1,52 < α < 1,51 c) Préciser le signe de P(x) suivant les valeurs de x. On a alors compte tenu de la stricte croissance de P : P(x) < 0 sur ]- ; α [ et P(x) > 0 sur ]α ; + [ 2. On considère la fonction f définie sur IR, par : f (x) = x 4 x 2. On note C sa courbe représentative + 1 dans un repère orthonormal (O; i, j ) (unité 1 cm). Page sur 7

4 a) Calculer la dérivée f ' de f et étudier son signe. (On pourra habilement utiliser la question 1). f est dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR, le dénominateur ne s annulant pas sur IR. On a pour tout réel x : f ' (x ) = x (x + x + 8) x P(x) = (x ² + 1)² (x ² + 1)² Merci à Xcas b) Calculer les limites de f en + et en -. Comme f est un quotient de fonctions polynômes on a : lim f(x) = lim x + x + x x ² = + et de même lim f (x ) = lim x - x - c) Dresser le tableau complet des variations de f sur IR. x x ² = - x α 0 + x 0 + P(x ) 0 + (x ² + 1)² toujours positif signe de f f (α) + f 4 - d) Prouver que, pour tout x dans IR, f (x) = x x + 4 x² + 1. pour tout x dans IR, x x + 4 x ² + 1 = x + x x 4 x ² + 1 dénominateur). = f (x ) (il suffit de réduire au même Page 4 sur 7

5 e) En déduire que la courbe C admet une asymptote dont on donnera une équation. Discuter, suivant les valeurs de x, la position de par rapport à la courbe C. Vérifier en particulier que C rencontre en un point A et un seul. Préciser les coordonnées de A. On a pour tout x dans IR, f (x ) x = x + 4 x + 4 et comme est un quotient de x ² + 1 x ² + 1 fonctions polynômes on a : x + 4 lim x + x ² + 1 = x lim x x + 4 = 0 et de même lim + x ² x - x ² + 1 = x lim x - x ² = 0 On en déduit que la courbe C admet en + et en -, une asymptote dont une équation est : y = x. On a pour tout x dans IR, f (x ) x = x + 4 x ² + 1 x (x + 4) 0 + (x ² + 1)² toujours positif f (x ) x + 0 On en déduit que la courbe C est au-dessus de son asymptote sur ]- ; 4[ et que la courbe C est en dessous de son asymptote sur ] 4 ; + [. Enfin C et son asymptote ont un point commun A d abscisse 4 et d ordonnée 4. f) Déterminer les abscisses des points B et B de C en lesquels la tangente est parallèle à. Une tangente à C est parallèle à si et seulement si son coefficient directeur est égal à celui de, lequel vaut 1. La question revient donc à résoudre, dans IR, l équation d inconnue x : f ' (x ) = 1 On a : f ' (x ) = 1 x (x + x + 8) = 1 x (x + x + 8) = (x ² + 1)² x x 1 = 0 (x ² + 1)² Le discriminant vaut 68 et les solutions sont : et Concluons : les abscisses des points B et B de C en lesquels la tangente est parallèle à sont : et g) Vérifier que f (α) = α. En déduire une valeur approchée de f (α). 2 Raisonnons par équivalence : f (α) = 2 α α 4 α² + 1 = 2 α 2α 8 = α + α α + α + 8 = 0 P(α) = 0 or cette dernière égalité est vraie par définition même de α qui est l unique racine du polynôme P. On en déduit : 2 ( 1,52 ) < f (α) < 2 ( ) 1,51 soit 2,280 < f (α) < 2,265 h) Représenter et C ainsi que les points A, B et B et la tangente en B à C en convenant que B est le point d abscisse positive. Prendre une feuille au format A4 dans le sens «portrait». Page 5 sur 7

6 SUR TRACEUR : y 6 C 1-10 O 1 A ( -4 ; -4 ) B B' -9 Page 6 sur 7

7 SUR GEOGEBRA Page 7 sur 7