Flexion simple. x Soit E le module d Young du matériau. L élément porte une force uniformément répartie d intensité linéique (0,q,0).

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1 Yves DEBARD Avril 1 Institut Universitaire de Technologie du ans Département Génie écanique et Productique Avenue Olivier essiaen 785 e ans Cede 9 leion simple Rappels : Soit un élément de poutre droite (i-), d ae, de longueur, de section constante (moment quadratique I ), sollicité en fleion simple. y q Soit E le module d Young du matériau. élément porte une force uniformément répartie d intensité linéique (,q,). i a matrice de rigidité élémentaire est égale à : EI [ k] e vecteur force élémentaire équivalent à la charge répartie est égal à : [f eq q q 1 ] q q 1 e vecteur déplacement élémentaire [δ] et le vecteur force élémentaire [f] sont égau à : vi i [ δ] et v [ f ] f m f m iy i y On a la relation : f ] [k][ δ] + [f ]. [ eq

2 Posons : ξ. a flèche, la pente, le moment fléchissant et l effort tranchant ont pour epression le long de la poutre : - lèche: v( ξ) (1 ξ q + + ξ ξ ) v i (1 ξ ) + ( ξ ξ + ξ ) i + (ξ ξ ) v + ( ξ + ξ ) - Pente : dv() () d où : d ( ξ) ( 6 ξ + 6ξ q + 1 ) v i + (1 ξ + ξ ξ (1 ξ ) (1 ξ ) ) i + ( 6 ξ 6ξ ) v + ( ξ + ξ ) - oment fléchissant : d v() f () d où : d q + 1 f ( ξ) ( ξ ) v remarque : f (1 6 ξ + 6 ξ i + ( + 6ξ ) ) q ( ξ ) m + f y (1 ξ ) + (1 ξ ) i + ( 6 1ξ ) v + ( + 6 ξ ) - Effort tranchant : df () Ty () d où : d T ( ξ ) 1 v y i i + 1 v q + (1 ξ ) remarque : T ( ξ ) f + q (1 ξ ) y y

3 Eemple 1 Enoncé : Une poutre droite (1,,) de section droite constante est encastrée en 1 et repose en sur un appui simple. Soit E le module d'young du matériau et EI la rigidité linéique de fleion. y -P 1 Elle porte en une charge ponctuelle de composantes (,-P,) avec P>. Résolution : I Etude élémentaire. es deu éléments (1-) et (-) qui composent la poutre sont identiques et leur matrice de rigidité est égale à : [ k ] II Etude globale : assemblage. 'assemblage conduit à la relation efforts-déplacements globale : y y 1??? EI P v 6 v v 1 1???

4 Compte-tenu des conditions au limites, la relation globale se réduit à :? 1? y? P v III Résolution. 1 Calcul des déplacements inconnus. Ils sont les solution du système d'équations linéaires : P v On en déduit : P, v 7 P 1, P Calcul des actions de liaisons. Elles sont égales à : 1 y 6 1 v 6 d où : P, P 1 y 1 y, 5 P Vérification. équilibre de la structure est vérifié : + 1 y + + y + + y + y

5 Calcul des forces élémentaires. Elles sont calculées à l'aide de la relation [f] [k] [δ] : 1.5 P élément (1-) :.5P [ f ], élément (-) : 1.5 P P [ f ] P P P IV Diagrammes. Déformée : v() 7 P 1 Effort tranchant : T y () 1.5P -P oment fléchissant : f ().5P -P

6 Eemple Enoncé : Une poutre droite (1,,), de section droite constante, est encastrée en 1 et repose sur un appui simple en et. Soit E le module d'young du matériau et EI la rigidité linéique de fleion linéique de la poutre. y -p -p 1 Elle porte : - sur l élément (1-) une charge uniformément répartie d'intensité (,-p,) avec p >. - sur l élément (-) une charge uniformément répartie d'intensité (,-p,) Résolution : I Etude élémentaire. es éléments (1-) et (-) sont identiques et leur matrice de rigidité est égale à : [ k] es vecteurs élémentaires équivalents au forces réparties sont égau à : élément (1-) : p p 6 [f eq ] élément (-) : p p 6 [f eq p p ] p p 1 1

7 II Etude globale : assemblage. a relation efforts-déplacements globale s'écrit : y y 1??? EI? v 6 v v 1 1 p p 6 p +? p 1 p? p 1 a relation globale se réduit à : y y 1 EI p p 6 p + p 1 p p 1 III Résolution. 1 Calcul des déplacements inconnus. es déplacements inconnus sont les solutions du système d'équations linéaires : EI 8 p + p 1 1 On en déduit : p 168 p 56 p.595 p.17857

8 Calcul des actions de liaison. es actions de liaison sont égales à : 1 y y EI p p 6 + p p soit : 9 p 5p 1.6 p, p 8 8 5p 1.67 p 8, 5 p 1 y y Vérification. équilibre de la structure est vérifié :.57 p 1 + y + + y + p p + y + y p 1.5p Calcul des forces élémentaires. Elles sont calculées à l'aide de la relation [f] [k] [δ] + [f eq ] : - élément (1-) : [f] - élément (-) : [f] 9 p p 5p p 7 p 8.96 p p 7.1p 9 p 1.6p p 7.1p 5p 1.57 p

9 IV Diagrammes. effort tranchant est nul pour : et Déformée : v() p 1.e e p 1.6.e p Effort tranchant : T y ().96 p.57 p -.6 p -1.6 p oment fléchissant : f ().9 p.6 p p -.1 p

10 Programme e programme se trouve sur le site : Source (PASCA) : poutre.dpr (application console DEPHI éditeur : BORAND). Eécutable : poutre.ee. ichiers de données : Eemple 1 : pou_1.tt Eemple : pou_.tt es données sont lues dans un fichier dont l'etension est :.tt. es données et les résultats sont édités dans un fichier qui se termine par : r.tt. ormat du fichier de données : e fichier est structuré à l aide de mots clés. a partie utile du fichier est comprise entre les mots clés : $debut du fichier et $fin du fichier. $debut du fichier $nœuds - nombre de nœuds pour chaque nœud : - numéro - (m) $elements - nombre d éléments pour chaque élément : - numéro - nœud origine - nœud etrémité - module d'young (Pa) - I (cm ) $liaisons - nombre de liaisons pour chaque liaison : - type de liaison : (1 : flèche nulle, : pente nulle, : encastrement) - noeud lié $charges - nombre de charges pour chaque charge : - type de charge : (1 force nodale, force répartie uniformément) - pour une force nodale : noeud chargé, y (N), (N.m) - pour une force répartie uniformément : élément chargé, q y (N/m) $fin du fichier

11 Eemple 1 : On donne :.8 m E 1 Pa I 9 cm P 1 N ichier pou_1.tt : $debut du fichier $noeuds // noeuds // abscisse en m $elements // éléments // origine, etrémité, module d'young (Pa) I (cm ) 1 9 $liaisons // noeuds liés 1 encastrement, noeud 1 v, noeud $charges 1 // charges 1-1 force nodale, noeud, y (N), (N.m) $fin du fichier Eemple : On donne :.8 m E 1 Pa I 9 cm p 1 N/m ichier pou_.tt : $debut du fichier $noeuds // noeuds // abscisse en m $elements // éléments // origine, etrémité, module d'young (Pa) I (cm ) 1 9 $liaisons // noeuds liés 1 encastrement, noeud 1 v, noeud 1 v, noeud $charges // charges 1 - // force répartie, élément, q(n/m) 1 force répartie, élément, q(n/m) $fin du fichier