Mathématiques 1 Niveau 1 & 2 Fonctions Exercices

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1 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices Remarque pour tout le chapitre : Les résultats seront donnés si possible sous forme exacte, autrement, sauf indication contraire, avec une approximation de décimales 1. Compléter le tableau (approximation à 5 décimales): Radians Degrés, Transformer les mesures des angles données en degrés, minutes et secondes sous forme décimale (précision à décimales) : a) 15 b) 8 5 c) d) 17. Déterminer la mesure, en degrés, minutes et secondes des angles dont la mesure est donnée en degrés sous forme décimale. a) 8, b),7116 c) 1,19 d) 0,0189. Langle au sommet dun triangle isocèle mesure 7. Calculer la mesure en radians, des angles de ce triangle (on donnera la valeur exacte et la valeur approximée avec décimales). 5. Calculer la mesure, en degrés puis en radians, des angles en un sommet des figures suivantes : a) triangle équilatéral b) carré c) pentagone régulier d) hexagone régulier 6. Calculer, à 1 mm près, le diamètre dun cercle sur lequel a) un arc de 1 mesure mm b) un arc de 0,0 mesure 0,0 mm 7. On appelle mille marin la distance entre deux points dun méridien terrestre dont la différence de latitude est de 1. Sachant que la longueur dun méridien terrestre est de 0000 km, calculer la mesure en mètres dun mille marin. 8. Deux points distincts sur le même méridien terrestre ont des latitudes qui diffèrent de 1,5. Quelle est leur distance? (prendre 670 km pour le rayon de la terre). 9. La distance à vol doiseau entre Lausanne et Genève est de 50 km. Quel est langle entre une verticale à Lausanne et une verticale à Genève? 10. Dessiner un cercle trigonométrique et placer les angles suivants : a) b) c) d) Collège Sismondi chapitre, p.1

2 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 11. a) Pour chacun des angles ci-dessous et donner la mesure en degré (multiple de 15) et en radian. b) Dessiner les segments représentant respectivement le sinus (en bleu), le cosinus (en noir) et la tangente (en rouge). a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) 1. En utilisant les données de l exercice ci-dessus, compléter le tableau suivant : x 0 cos(x) sin(x) Collège Sismondi chapitre, p.

3 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 1. Calculer au moyen de la calculatrice (approximation à 5 décimales) : a) sin 80 b) sin 0 c) cos d) cos - e) sin - f) sin g) tg 900 h) tg 180 i) tg 1800 j) tg 990 k) sin 5 1 l) sin 0, m) cos n) sin o) cos p) tg q) -sin 7 r) sin -7 s) cos -7 t) -cos 7 u) sin 115 v) sin,8 w) tg x) cos 5 1. A laide de la table numérique, déterminer les valeurs exactes : a) tg 0 b) sin c) tg d) sin 0 e) cos 15 f) tg 15. Chercher la mesure en degrés (approximation à décimales), comprises entre 0 et 90 de langle α tel que : a) sin α = 0,58 b) sin α = 0,98 c) cos α = 0,98 d) cos α = 0,7005 e) tg α = -0,656 f) cos α = -1,8 16. Chercher tous les angles α dont la mesures en degrés, est comprise entre 0 et 60 tel que : a) sin α = 0,58 b) sin α = 0,99996 c) cos α = -0,98 d) cos α = - e) tg α = -1,8 f) tg α = 0, Chercher les mesures en radians, comprises entre 0 et de langle α tel que : a) sin α = 1 b) cos α = 0,01 c) tg α = 1000 d) sin α = 18. Sans utiliser la calculatrice, compléter le tableau suivant par des nombres rationnels ou irrationnels ayant une forme fractionnaire. On donne : On demande : sinα = 5 sinβ = 5 cos γ = 1 tg δ = < α < cos α = tg α = < β < cos β = tg β = < γ < sin γ = tg γ = < δ < cos δ = sin δ = Collège Sismondi chapitre, p.

4 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 19. Déterminer les valeurs exactes de sin(x), cos(x) et tg(x) pour les angles x suivants : a) 5 b) -15 c) 150 d) 7 6 e) 15 f) - 0. Soit sin(x) = 5 et x ]- ; [. Calculer cos(x) et tg(x) 1. Calculer sans laide de la table ni de la calculatrice : a) tg( ).tg( 6 ) + tg( 7 6 ) + tg( ).tg ( 6 ) b).sin( ).cos( ) - sin(- ). Soit la fonction f définie par f(x) = sin(x). Compléter le tableau suivant : x f(x) Au moyen du tableau ci-dessus, établir la représentation graphique de la fonction f. a) Même exercice que ci-dessus avec les fonctions f et g définies par f(x) = sin(x) et g(x) = sin(x). b) Même exercice avec les fonctions f et g définies par f(x) = cos(x) et g(x) = cos(x).. Sur un même graphique orthonormé, tracer les trois fonctions suivantes définies par leurs images f(x) = sin(x) g(x) = sin(x) et h(x) = sin (x) 5. Quel est lensemble des images des fonctions définies ci-dessous par leurs images : a) f(x) = sin (x) b) f(x) = 1 cos(x) c) f(x) = 1 + cos(x) d) f(x) = sin (x) + cos (x) 6. Quel est le domaine de définition des fonctions suivantes définies par leurs images : a) f(x) = sin(x) b) f(x) = 1 cos(x) c) f(x) = sin(x).tg(x) 7. Déterminer les périodes des fonctions suivantes définies par leurs images : a) f(x) = sin(x) b) f(x) = tg(x) c) f(x) = sin(x) d) f(x) = 1 cos( x ) e) f(x) = tg(x) 8. Faire les croquis (on demande les caractéristiques principales de la courbe représentative) des fonctions ci-dessous, puis indiquer celles dentre elles qui sont égales : a) x! sin(-x) b) x! sin(x - ) c) x! -sin(x + ) d) x! sin( - x) e) x! cos(x) f) x! -cos(x) g) x! cos(-x) h) x! cos(x + ) Collège Sismondi chapitre, p.

5 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 9. Déterminer les périodes des fonctions : a) x! sin ( x ) b) x! cos( 5x ) c) x! -tg( x ) 0. Déterminer la fonction et la période correspondante de chacune des représentations graphiques cidessous (les repères sont normés) : a) b) c) d) e) Collège Sismondi chapitre, p.5

6 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 1. Déterminer lexpression mathématique et la période des fonctions trigonométriques représentées cidessous. a) b) c) d) Collège Sismondi chapitre, p.6

7 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices e) f) g) h) Collège Sismondi chapitre, p.7

8 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices i) j) k). Résoudre les équations suivantes : a) sin(x) = 0,87 (en degrés) b) tg(t) = -0,90 (en degrés) c) cos(x) = 1,5 (en degrés) d) tg(5t) =,9 (en degrés) e) cos(t) = 1 g) sin( t ) = - 1 (en radians) f) sin(t) = - (en radians) h) sin( t - ) = (en radians) (en radians) Collège Sismondi chapitre, p.8

9 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices. Soit léquation sin 5x + ( = sin x 6 ). ( Son ensemble des solutions est S = 8 + k ; k et k Z ( ) * a) Donner (sous forme dune unique fraction) chacune des solutions correspondantes à k = 0, k = 1 et k =. b) Montrer par le calcul que les deux solutions obtenues pour la valeur 0 de k vérifient léquation donnée.. Soit léquation sin x ) = sin(x). ( Son ensemble des solutions est S = 5 + k; 1 + k et k Z ( ) * Représenter sur le cercle trigonométrique, les solutions de cette équation. 5. Résoudre les équations suivantes : a) cos(x) = - 1 b) tg(x) = c) tg x ( ) = 1 d) tg x ) = tg (x) ( e) cos (x) = cos x + ( f) cos (x) = g) sin (x) = sin x ( ) h) sin (x) = sin x + ( i) sin (x) = sin ( j) sin (x) = sin + x ( k) tg x + ( = - Exemples : " t a) Résoudre léquation suivante : cos + + sin t 7 ( = 0 6 " t cos + = - sin t 7 ( 6 " t cos + = sin t 7 6 ( ( = sin t ( = cos 7 t + (( 6 " t cos + = cos t (, doù : i) t + = t - + k. ii) t + t = k. 6 5 Remarque : Les relations entre fonctions trigonométriques se trouvent dans la table numérique. = - t ( + k. t = 8 + k. 6 7 Collège Sismondi chapitre, p.9

10 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices b) Résoudre léquation suivante (réponse en degrés) : cos (t) + 8 sin (t) + 1 = 0 Léquation peut être écrite sous la forme : (1 - sin (t)) + 8 sin(t) + 1 = 0 sin (t) - 8 sin(t) - = 0. On a donc : sin(t) = ± 8 i) sin(t) = -0,050 t 1 = 05,50 + k.60 t =,50 + k.60 ii) sin(t) =,09716 impossible { } d où S = 05,50 +k. 60 ;,50 +k Résoudre les équations suivantes (réponses en radians) : a) cos x + ( = sin 5x 6 ( ) b) cos x + 6 ( = sin(x) c) cos (x) = sin d) sin (x) + cos(x) = 0 e) cos (x) - ( - 1) cos(x) - = 0 f) cos (x) - cos(x) + 1 = 0 g) sin (x) + sin (x) - = 0 h) cos (x) - 5 cos (x) + 1 = 0 i) sin (x) - (1 - )sin(x) - = 0 j) sin (x) - 5 sin(x) + = 0 k) tg (x) - tg (x) + = 0 7. Résoudre les équations suivantes (dabord dans [0;], puis dans ) a) sin(x) - 1 = 0 b) sin(x).cos(x) = 0 c) (tg(x) - 1).(sin (x) - ) = 0 d) sin (x) + sin(x) - = 0 e) cos (x) = sin (x) f) cos (x) = 1 - sin(x) g) sin(x) = - i) cos(x) = tg(x) h) cos( x ) = 1 8. Résoudre les équations suivantes : a) sin (t) = sin t ( b) tg t ( = tg (t) c) cos t " t ( = -cos + 6 d) sin x ( - sin 5 x ( = 0! e) sin 5x! x + cos " " = 0 f) cos " t + + sin(t - ) = 0 " 5 g) cos 6 + t = sin t ( h) cos " t + " - sin + t = 0 9. Résoudre les équations suivantes : a) cos (t) = 1 b) sin (x) = sin x + ( c) cos (x) - cos(x) + 1 = 0 d) sin (x) - 5 sin(x) + = 0 e) sin (t) + cos (t) - = 0 f) cos (x) - ( + )cos(x) + = 0 Collège Sismondi chapitre, p.10

11 Mathématiques 1 Niveau 1 Fonctions Exercices 0*. Résoudre les équations suivantes (dabord dans [0;], puis dans ) a) sin(x) + cos(x) = 0 b) sin(x) = cos(x) c) cos " x = cos (x) (en degrés) d) cos(x) + cos(x) + 1 = 0 1*. Résoudre les inéquations suivantes (x [0;]) a) cos(x) b) cos(x + ) > 0 c) tg(x) d) cos(x) + > 0 e) cos( x ).cos( x ) = 0 f) cos (x) - < 0 g) (tg(x) - 1)( sin (x) - ) > 0 *. Résoudre les équations trigonométriques suivantes pour tous les x tels que 0 x a) sin (x) = cos (x) b) sin (x) = cos (x) c) sin (x) + sin (x) = 0 d) tg (x). sin (x) = tg (x) *. Résoudre les équations suivantes dans R: a) cos(x) + sin(x) = b) sin (x) + cos (x) =,5 c) cos(x) + 5sin(x) = d) 1 - sin( x ) = cos(x) e) 1 tg(x) + tg(x) = f) sin (x + ) = 1 g) sin (6x) + cos (x) = h) tg (x) - 10 tg (x) + = 0 i) sin (x) + ( +1) sin(x) + = 0 *. Résoudre léquation trigonométrique suivante pour tous les x tels que 0 x a) tg (x) + sin(x) = 0 b) sin (5x) - sin (x) - sin (x) = 0 Formulaire : sin(x + y) = sin(x).cos(y) + sin(y).cos(x) cos(x + y) = cos(x).cos(y) - sin(x).sin(y) tg(x + y) = tg(x) + tg(y) 1 tg(x). tg(y) sin(x) = sin(x) cos(x) cos(x) = cos (x) - sin (x) = cos (x) -1 = 1 - sin (x) tg(x) tg(x) = 1 tg (x Collège Sismondi chapitre, p.11