( ) dans lequel on donne les points suivants :

Transcription

1 Exercices de géométrie dans l espace Exercice On considère le parallélépipède ci-contre : G F B E D A C O Exprimer en fonction de OA, OB et OC les vecteurs suivants : OF, AC, BF et AG. Exercice H G On considère le parallélépipède ci-contre : E F Les vecteurs suivants sont-ils linéairement dépendants? Si oui, exprimer l un d eux D C comme combinaison linéaire des autres. ) GH, AE et DG A B ) GF, EH et CD 3) DB, EG et AB Exercice 3 On considère l espace muni de la base i, j, k ( ) dans lequel on donne les points suivants : M ( ;- 3 ;) N(0 ;8 ; - 5) P ( ;8 ; - ) Q (35 ; 4 ; - 0) R (- ; - ; 0). Exprimer les vecteurs suivants relativement à la base i, j, k ( ) : OD = OM " ON + OQ et OE = OM " 3 OQ. Montrer que les vecteurs OM, ON et OP sont linéairement dépendants. Exercices de géométrie dans l espace /8

2 Exercice 4 i, j, k ( ) est une base de l espace. Les points suivants sont-ils alignés?. M( 3;;" ) N( ;0;4) P ("3;;5 ). M( ;";0 ) N( ;;" ) P( 4;"5;") " 3. M 3;; # & ' N " ; ; # & ' P " 9;4; # ' & Exercice 5 Déterminer si les trois vecteurs a, b et c sont coplanaires... # & ( a = 3 ( "' # 3 & ( a = " ( ' # & ( " ( ' " ' ' # & # & ( c = "9 ( ' " ' c = 4 ' # 3& Exercice 6 On donne les points M, N, P et Q dans l espace. Dans chacun des cas suivants, les droites D MN et D PQ sont-elles strictement parallèles, confondues, sécantes ou ni l un ni l autre? Si elles sont sécantes, trouver leur point d intersection.. M( 6;4;"4) N( 4;0;") P( 7;0;") Q( ;"4;0 ). M ("4;;) N (";;3 ) P( 0;5;") Q( 9;;4) 3. M( 8;0;3) N (";4; ) P( 8;3;" ) Q( 0;0;5) 4. M( ;"3; ) N( 3;";3 ) P( 0;"5;3) Q( 5;0;7) 5. M( ;";" ) N ("4;;4) P( 0;4;3) Q( 0;"6;") Exercices de géométrie dans l espace /8

3 Exercice 7 Même consigne qu à l exercice 6, mais les droites sont données par leurs équations. # x =+ 3t # x = " " 6k. y = " " 5t y = 3+0k & z = 5 + t & z = 4 " k. # x = " 5t y = 3+ t & z = 5 " 4t # x = " 5k y = 3" k & z = 5 " 4k 3. x " 5 = y " 3 4 = z " 6 # x = + 5k y = 3+ 4k & z =+ 5k Exercice 8 On considère les vecteurs : " " " # & ' ' ' ( a = ( c = d = ' ' ' ( # & # 4 & # 3& "3' # & #"& # 4& ( ( ( g = h = 0 m = ( ( ( "' ' ' Déterminer les paires de vecteurs orthogonaux # & ( e = ( 0' # 3& ( f = ( ' Exercice 9 Montrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle. A (-4 ; 5 ; 3) B (- ; ; 5) C (5 ; 5 ; 4) D ( ; 9 ; ). Exercice 0 Calculer les coordonnées du symétrique de A ( ; 0 ; -3) par rapport à la droite (OB ) avec B (-5 ; 5 ; 0). Exercices de géométrie dans l espace 3/8

4 Exercice On donne les vecteurs : " ' a = 0 ' # 3& " 0 ' 4 ' # & "( ' c = ' # 5 &. Calculer les produits vectoriels a " b, a " c, b " c, ( a + b ) " c, ( a " b ) " c, a " ( b " c ).. Calculer les produits mixtes a " ( b # c ), a " ( c # b ), a + b ( ) " (( b + c ) # c ) Exercice On donne les vecteurs a " ' = ' et " 4 ' 5 ' # 3& # 7&. Existe-t-il un vecteur x tel que a " x = b? Exercice 3 Les points A, B, C et D sont - ils coplanaires? A(0;0;0) B(8;";4) C("3;;") D(0;"3;6). Exercice 4 Calculer l aire du triangle ABC pour A ( 3 ; - ; 3) B (4 ; 0 ; 3) et C (6 ; 0 ;-3). Exercice 5 Soit les points A " # ;0;0 & ' B " ;0; # ' et C ( ; ; ). Pour quels points M (0 ; 0 ; z) le volume & du tétraèdre ABCM vaut-il 3 8? Exercice 6 Soit A ( ; ; -), B (3 ; 0 ; ) et C ( ; - ; 3). Déterminer les coordonnées du point E situé sur l axe des y sachant que le volume du tétraèdre vaut 5. Exercice 7 Soit P (0 ; 0 ; 4) et Q ( ; ; ). Trouver un point E sur l axe des x tel que l aire du triangle PQE soit minimale. Exercices de géométrie dans l espace 4/8

5 Exercice 8 Déterminer l équation cartésienne du plan P défini par les propriétés suivantes :. P passe par les points A (0 ;- ;), B (- ; ;-3) et C (0 ; 0 ;-).. P passe par les points A (5 ; - ; 0), B (-3 ; 4 ; ) et l un de ses vecteurs directeurs est le vecteur u " ' = '. # & 3. P passe par O et est parallèle à la droite D et à la droite D données par # x =" 4k # x = "3 + h ( D) y = + k ( D' ) y = 4 " h. & z = 3" k & z = 3h 4. P passe par le point A ( ; - ; -) et contient la droite D d équation 3x "= y + = z " 3. # x = 4 " 3a 5. P passe par le point A (-5 ; 6 ; -) et contient la droite D d équation y = "3+ a. & z = "a 6. P passe par le point (3 ; ; ) et est perpendiculaire à la droite D BC passant par les points B ( ; 0 ; 5) et C (3 ; -3 ; 8). 7. P passe par le point (- ; - 4 ; ) et a comme vecteur normal le vecteur u # 5 & ( = " (. 5 ' 8. P passe par l origine et est perpendiculaire à chacun des plans d équation respective 3x " y + 5z = 0 et x " y " z = 0. Exercices de géométrie dans l espace 5/8

6 Exercice 9 On donne les équations paramétriques d un plan P. Déterminer une équation cartésienne de P. # x = + s " 3t. y = 5 " s + t & z =+ s " t # x = + t + s. y =+ t " s & z = " " t + s Exercice 0 Déterminer, par ses équations paramétriques, la droite D satisfaisant aux conditions données.. D passe par A (- ; 0 ; ) et est parallèle aux plan P et P donnés par leurs équations : P : 3x " y + z " 5 = 0 P': x " y + z = 0.. D passe par A (- 4 ; 5 ; -) et a pour vecteur directeur le vecteur u " 3 ' = '. # & 3. D passe par les points (, 3 ; 5) et ( ; 5 ; 7). 4. D passe par le point ( ; 3 ; 5) et est perpendiculaire à la droite d équations # x =+ t paramétriques y =" t. & z =+ t Exercice On donne les équations de deux plans. Déterminer si ces plans sont sécants, strictement parallèles ou confondus.. 3x " y + 5z = 4 3x +y +5z = 4. 3x " y + 5z = 4 6x - 4y +0z = 7 # x = 4 +s +5t 3. 3x " y + 5z = 4 y = + 3s & z = -3t # x =+ 3s " t # x = + u + 5v 4. y = " s + t y = " v & z = 3 + s " t & z = + v Exercices de géométrie dans l espace 6/8

7 Exercice On donne une droite D et un plan P. La droite D est-elle disjointe de P, incluse dans P ou coupe-t-elle P? # x = 3+ t. D : y = 5 " t P : x + y " z = 0 & z = 3+ t # x " y + z = 4. D : P : 3x " y + 4z = 0 x + 3y " z = 0 # x = " 3t 3. D : y = 3+ t P : 4x + y "z = 0 & z =" t Exercice 3 Déterminer le point d intersection des trois plans suivants : P : x + y " 3z = 6 P': x + 4 y " z =8 P'': 3x " y + z = Exercice 4 Déterminer le point d intersection de la droite D et du plan P donnés par leurs équations respectives :. ( D) " x = 4 + 3t # y = 3 +t z = 4 - t ( P) " x = 3+ 3u & v # y = & & 5u + v z = 7 + 3u & v. ( D) " x = - 4-5t # y = 8 +6t z = 3- t ( P) x + 3y - z = 5 Exercices de géométrie dans l espace 7/8

8 Exercice 5 On donne deux droites (D ) et (D ). Montrer qu elles se coupent en un point P et donner l équation cartésienne du plan (P) qu elles déterminent.. ( D ) " x = 5 +t # y = z = -- t ( D ) " x = 5 + s # y = 9 + 4s z = 7 + s. ( D ) x - 3 = y - 6 = z - 4 ( D ) " 3x - y + 7z = -3 # x + y +z = 0 Exercice 6 On considère les droites (D ) et (D ) suivantes : ( D ) " x = s # y =- s z = 3s ( D ) " x =& t # y =& t z =+ t Soit P sur (D ) et Q sur (D ) ; quelle condition les réels s et t doivent-ils vérifier pour que la droite (D PQ ) soit parallèle au plan d équation z = 0? Exercice 7 On donne un point A et une droite (D). Calculer la distance de A à (D) lorsque :. A = ( ;;3 ) ( D). A = ("5;4;") ( D) x " 3 = y # x = 3- s y = + 3s & z = - +s = z " 6 Exercice 8 Déterminer l équation cartésienne du plan passant par le point (0 ; 0 ; 4) et qui est perpendiculaire à chacun des plans d équation x " 3y = 5 et x " 4z = 3. Exercices de géométrie dans l espace 8/8