TD 1 - Trigonométrie. Département S.T.I.D. - IUT de Paris Option Math - S4

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1 Département S.T.I.D. - IUT de Paris Option Math - S4 TD 1 - Trigonométrie Exercice 1 Exprimer en fonction de sin α, cos α et tan α les sinus et cosinus suivants (il faudra trouver les réponses grâce au cercle trigonométrique) : 1) sin(α + 2π) =, cos(α + 2π) =, tan(α + 2π) = 2) sin(α + π) =, cos(α + π) =, tan(α + π) = 3) sin(α + π 2 ) =, cos(α + π 2 ) =, tan(α + π 2 ) = 4) sin(α π 2 ) =, cos(α π 2 ) =, tan(α π 2 ) = 5) sin( α) =, cos( α) =, tan( α) = 6) sin( π 2 α) =, cos(π 2 α) =, tan(π 2 α) = 7) sin(π α) =, cos(π α) =, tan(π α) = Exercice 2 1) Soit x R tel que 0 x π et cos(x) = 1 3. Combien vaut sin(x)? 2) Soit x R tel que x π 2 et sin(x) = 1 4. Combien vaut cos(x)? 3) Soit x R tel que π x 2π et cos(x) = 1 3. Combien vaut sin(x)? 4) Soit x R tel que 0 x π 2 et sin(x) = 3. Combien vaut cos(x)? Exercice 3 En utilisant que cos 2 x + sin 2 x = 1, montrer que sin π 4 = 2 2 Exercice 4 Montrer que Exercice 5 1 cos 2 (θ) = 1 + tan2 (θ) pour tout θ R\{ π 2 + kπ ; k Z}. 1) Rappeler l'expression de cos(2α) en fonction de cos(α) et en déduire cos( π 12 ) et sin( π 12 ). 2) Exprimer en fonction de cos(x) et sin(x) : ( cos x π ) ( sin x + π ) ( cos x + π ) ( sin x + π ) 3 cos (x π) ( sin x π ) 6 Exercice 6 Donner le domaine de dénition et la période des fonctions suivantes : f(x) = cos(2x) g(x) = cos(3x) + sin(x) h(x) = tan( π 2 + 3x) 1

2 Exercice 7 Donner le domaine de dénition et la dérivée des fonctions suivantes : f(x) = x cos(x) sin(2x) g(x) = sin(x) x h(x) = cos(3x) sin(2x) cos(x) 2 Exercice 8 En utilisant la dénition du nombre dérivé, déterminer : sin(x) lim x 0 x lim x π 2 cos(x) x π 2 Exercice 9 Donner une primitive de chacune des fonctions suivantes : f(x) = sin(x) 2 cos(x) g(x) = sin(x) cos(x) h(x) = sin(x) cos 2 (x) k(x) = cos(x) sin 2 (x) l(x) = cos(x) 2+sin(x) tan 1 tan Exercice 10 1) Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties π π I = x sin(x)dx J = x cos(3x)dx 0 0 2) Calculer les intégrales suivantes à l'aide de deux intégrations par parties K = π/2 Exercice 11 Donner les valeurs suivantes : 0 x 2 sin(x)dx L = π/2 0 e x sin(x)dx M = π/2 a = arcsin(1), b = arccos(1/2), c = arctan(1), 0 e 2x cos(x)dx d = arccos( 3/2), e = arctan( 3), f = arcsin( 1/2). Exercice 12 Donner le domaine de dénition et la dérivée des fonctions suivantes : f(x) = arcsin(3x) g(x) = arccos(1 x) x h(x) = x arctan(x) 1 arctan(x) Exercice 13 Calculer les intégrales suivantes : I = 3/2 1/2 dx 1, J = 1 x 2 1 dx 1 + x 2. Exercice 14 En calculant sa dérivée, montrer que la fonction suivante est constante sur ] 1, 1[ et donner sa valeur f(x) = arccos(x) + arcsin(x). 2

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11 Département S.T.I.D. - IUT de Paris Option Math - S4 TD 2 - Nombres complexes Exercice 1 ( ) x On considère le vecteur u =, le point M de coordonnées (x; y), et le nombre complexe z = x+i y. y On dit que u est le vecteur-image et M(x; y) le point-image du nombre complexe z. Et que z est l'axe du vecteur u ou du point M(x; y). ( ) ( ) 3 1 1) Soient u 1 =, u 1 2 =, calculer u u 2. Représenter dans un repère orthonormé (axes orthogonaux, même unité sur les 2 axes) les vecteurs u 1, u 2, u 1 + u 2. Tracer les traits de construction de la méthode du parallélogramme. 2) Soient les points M 1 (3; 1), M 2 ( 1; 2) et le point M 3 tel que OM 1 + OM 2 = OM 3. Représenter ces trois points dans un autre repère orthonormé, d'origine O(0; 0). 3) Soient les nombres complexes z 1 = 3 + i, z 2 = i, calculer z 3 = z 1 + z 2. Représenter ces trois nombres dans le plan complexe. Exercice 2 a) Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z 1 = 3+3i, z 2 = 1 3i, z 3 = 4 3 i, z 4 = 2. b) Calculer ( 1+i 3 2 ) Exercice 3 Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres : 3 + 6i 3 4i ; ( ) 1 + i i 2 i 3 4i ; 2 + 5i 1 i + 2 5i 1 + i, et (plus dicile) : ( i 3 2 ) 3 ; (1 + i) 9 (1 i) 7, et enn, mettre sous la forme a + ib (a, b R) le nombre complexe de module 2 et d'argument π/3. Exercice 4 Soit a un nombre réel. 1) Calculer le module du nombre complexe z = 1 + i a (1). 1 i a 2) Démontrer que, réciproquement, pour tout nombre complexe z de module 1, il existe un unique nombre réel a 0 tel que z peut s'écrire de manière unique sous la forme (1). Exercice 5 Calculer (1 + i 3) 5 + (1 i 3) 5 et (1 + i 3) 5 (1 i 3) 5. Exercice 6 Trouver les nombres complexes z dont le carré vaut : (1) 5 12 i (2) i (3) i (4) 21 4 i (5) 3 e i π 5 (6) 1 + i 1 i (7) 1 + cos θ ± i sin θ 1

12 Exercice 7 1) Résoudre dans R l'équation z 2 2 z + 5 = 0. 2) Résoudre dans C l'équation z 2 2 z + 5 = 0. Que peut-on dire des solutions de cette équation? Les représenter dans le plan complexe. Exercice 8 Résoudre dans C les équations suivantes, représenter leurs solutions dans le plan complexe. Que peut-on dire des deux solutions de chaque équation? Quelles sont leurs propriétés géométriques. 1) z = 0. 2) z z 20 = 0. Exercice 9 1) Résoudre dans C l'équation z 2 (3 2 i) z i = 0. 2) Représenter les solutions de cette équation dans le plan complexe. Ont-elles les mêmes propriétés géométriques que les solutions des équations des exercices?? et??. Exercice 10 Combien l'équation z 6 = 1 a t-elle de solutions? Les donner sous la forme exponentielle (polaire). Exercice 11 Trouver les racines complexes de l'équation x 2 30x = 0 (indication : 256 = 16 2 ). Exercice 12 On note j = e 2π Mettre j et j 2 sous forme algébrique (càd sous la forme a + ib, avec a, b R). 2. Vérier que 1 + j + j 2 = 0. Exercice 13 a) Pour quelles valeurs de z C a-t-on 1 + iz = 1 iz? ( ) n b) On considère dans C l'équation 1+iz 1 iz = 1+ia 1 ia, où a R. Montrer, sans les calculer, que les solutions de cette équation sont réelles. c) Trouver alors les solutions. Exercice Montrer que, pour tout n N et tout nombre z C, on a : et en déduire que, si z 1, on a : (z 1) ( 1 + z + z z n 1) = z n 1, 1 + z + z z n 1 = zn 1 z Vérier que pour tout x R, on a exp(ix) 1 = 2i exp ( ) ( ix 2 sin x ) 2. 2

13 3. Soit n N. Calculer pour tout x R la somme : et en déduire les valeurs de Z n = 1 + exp(ix) + exp(2ix) exp((n 1)ix), X n = 1 + cos(x) + cos(2x) cos((n 1)x) Y n = sin(x) + sin(2x) sin((n 1)x). Exercice 15 Soient A, B des points du plan d'axes respectives les nombres complexes a, b. On suppose a b. Quel est l'ensemble des points M du plan dont l'axe z vérie z a = 1? Exercice 16 Soit f la fonction de C\{i} vers C dénie par f(z) = z + i z i. a) On suppose (dans cette question seulement) z R. Quel est le module de f(z)? b) Résoudre, dans C\{i}, l'équation f(z) = z. z b 3

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23 Département S.T.I.D. - IUT de Paris Option Math - S4 TD 2 - Développements limités e x = 1 + x 1! + x2 2! + + xn n! + o(xn ) cos x = 1 x2 2! + x4 4! + + ( 1)n. x2n (2n)! + o(x2n+1 ) x 2n+1 sin x = x x3 3! + x5 5! + + ( 1)n. (2n + 1)! + o(x2n+2 ) tan x = x + x x x7 + o(x 8 ) (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ! x = 1 x + x2 + + ( 1) n x n + o(x n ) 1 1 x = 1 + x + x2 + + x n + o(x n ) x 1 + x = x = 1 x x2 + + ( 1) n. α(α 1) (α n + 1) x n + o(x n ) n! x2 + + ( 1) n (2n 3). 2 n x n + o(x n ) n! (2n 1) 2 n x n + o(x n ) n! ln(1 + x) = x x2 2 + x ( 1)n 1. xn n + o(xn ) ln(1 x) = x x2 2 x3 3 +.xn n + o(xn ) arcsin x = x + 1 x x (2n 1) 2 n n! x 2n+1 arctan x = x x3 3 + x ( 1)n. x2n+1 2n o(x2n+2 ) 2n o(x2n+2 ) 1

24 Exercice 1 Soit f et g deux fonctions admettant les développements limités f(x) = x + x 2 + x 3 + o(x 3 ) et g(x) = 1 + 2x + 4x 2 + 5x 3 + o(x 3 ) au voisinage de Donner le développement limité de f + g à l'ordre Donner le développement limité de f g à l'ordre Donner le développement limité de g f(x) = g(f(x)) à l'ordre Donner le développement limité de f g à l'ordre 3. Exercice 2 Donner les limites des fonctions suivantes lorsque x 0 : f(x) = cos(x) 1 x 2, g(x) = ex 1 x x 2 ln(1 + x) x, h(x) = Exercice 3 Calculer les développements limités en 0 et à l'ordre indiqué : Exercice x 1 x/2 + x 2 e x 1 x 3x 2. f 1 (x) = e x (cos x + sin x) à l'ordre 4 f 2 (x) = ln(1 x) à l'ordre 5 f 3 (x) = cos 2 x à l'ordre 4 f 4 (x) = sin x 1+x à l'ordre 4 f 5 (x) = tan x à l'ordre 3 f 6 (x) = cos x 1+x x 2 à l'ordre 4 f 7 (x) = e sin x à l'ordre 5 f 8 (x) = ln(cos x) à l'ordre 4 Calculer les développements limités au point et à l'ordre indiqués : f 1 (x) = x à l'ordre 2 en 2 f 2 (x) = 1 sin x à l'ordre 4 en π 2 f 3 (x) = x ln(x) à l'ordre 2 en 1 f 4 (x) = x2 +1 x 3 à l'ordre 3 en + x+1 Exercice 5 Soit f(x) = x + x 5. a) Montrer que f est une bijection R R (on admettra que sa réciproque f 1 a des dérivées de tout ordre). b) Prouver que f 1 est une fonction impaire : x R, f 1 ( x) = f 1 (x). c) Prouver qu'il existe a, b, c R tel que f 1 (x) = ax + bx 3 + cx 5 + o(x 5 ) as x 0. d) Calculer a, b, c en utilisant le fait que f 1 f(x) = x. Exercice 6 On considère la fonction sh : R R x ex e x 2 1) Donner le DL d'ordre 5 en 0 de sh(x). 2) Montrer que sh réalise une bijection de R sur R. Elle admet donc une fonction réciproque que l'on note Argsh. On admet que Argsh est dérivable sur R et que, pour tout x R, Argsh (x) = Déterminer le DL d'ordre 5 en 0 de Argsh(x) x 2 2

25 Exercice 7 Déterminer un équivalent de f(x) = x x x au voisinage de 1. x x x En déduire lim x 1 x 1. Exercice 8 Étudier l'existence et la valeur éventuelle des limites suivantes 1. lim x π/2 (sin x) 1/(2x π) 2. lim x π/2 tan x cos x ) n 3. lim n + (cos( nπ nπ 3n+1 ) + sin( 6n+1 ) 4. lim x 0 (cos x) ln x 5. lim x π/2 cos x.e1/(1 sin x) 6. lim x π/3 2 cos 2 x+cos x 1 7. lim x 0 ( 1+tan x 1+tanh x 2 cos 2 x 3 cos x+1 ) 1/ sin x 8. lim x e, x<e (ln x) ln(e x) 9. lim x 1, x>1 x x 1 ln(1 x 2 1) 10. lim x + x ln(ch(x) 1) x 2 +1 (sin x) 11. lim x x sin x x 0, x>0 ln(x x 2 )+x ln x ( ) x 12. lim ln(x+1) x + ln x 13. lim (arcsin(x)) 2 π 2 16 x 1/ 2 2x 2 1 ( cos(a+ 1 ) x 14. lim ) x x + cos a (où cos a 0) Exercice 9 Soit f la fonction dénie sur R par f(0) = 1 et f(x) = 1. Déterminer le DL à l'ordre 3 de f en 0. (ln(1+x) x) cos x x 2 pour x On note C la courbe représentative de f. Déterminer une équation de la tangente T à C en Préciser la position relative de T et C. Exercice 10 Montrer que la courbe C d'équation y = x2 +2 x+1 exp( 1 x ) admet quand x tend vers + ou une asymptote D dont on donnera une équation. Préciser la position relative de C et D. Exercice 11 Soit f la fonction dénie sur R \ {1} par f(x) = x ln(x) x Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 et préciser f(0). 2. Montrer que lim f(x)/x = +. x 0+ Ceci implique que la tangente en 0 à la courbe est verticale. 3

26 3. Déterminer lim x + f(x) 4. Eectuer un DL de f en 1 à l'ordre 2. En déduire que f est prolongeable par continuité et dérivable en 1. Préciser f(1) et f (1). 5. Soit g dénie sur R par g(x) = ln(x) s'annule en 1. x Montrer que g est strictement croissante et 6. Déterminer f sur R \ {1} et montrer que f (x) 0 si et seulement si g(x) 0. En déduire les variations de f. 7. Tracer la courbe de f. 4

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