Tronc Commun. Série 1 : Produit scalaire Exercice 1 :

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1 Série : Produit scalaire Exercice : Soit ABC un triangle, tel que : AB, et BC 3. Calculer cos ( B ) et montrer que : AB.. On considère le point M tel que : AM AB a. Calculer AM. b. Montrer que les droites ( MB ) et ( ) sont orthogonaux. Exercice : Soit ABC un triangle, tel que : AB 3, et AB. 3. Trouver la mesure d angle B. BC, calculer BC et en déduire la valeur de AI.. Soit I le milieu du segment [ ] Exercice 3 : Soit ABC un triangle, tel que : AB 6, et BC. Montrer que : cos B. a. calculer AB. b. en déduire que : BA. BC Soit H le projeté orthogonal du point A sur [ ] Exercice : Soient A et B deux points du plan tel que : AB 6 BC. calculer la distance BH.. Montrer que pour tout point M du plan, MA. MB MI AB milieu du segment [ AB ].. En déduire l ensemble des points M du plan dans les cas suivants : a. MA. MB 9 b. MA. MB c. MA. MB d. MA. MB 0 tel que I est le / Math.ma 09/08

2 Exercice : Soit ABC un triangle, tel que : AB, et BC. montrer que : AB... montrer que : cos B. 3. soit H le projeté orthogonal du point C sur la droite ( AB ). Calculer la distance AH.. soit I le milieu du segment [ BC ].calculer la distance AI.. On considère le point M tel que : AM AB + a. Calculer AM. b. Montrer que les droites ( MB ) et ( ) sont orthogonaux. Corrigé de l exercice :.. a) D après le théorème d Al-kashi, on a : On sait que : b) on a : AB () + 3 ( ) ( ) AB AM. AB () + ( ) 3 6 BC AB + AB cos ( B ) / Math.ma 09/08

3 BM. ( BA+. ( AB+. + AM. Donc BM Donc BM Et par suite les droites ( MB ) et ( ) sont orthogonaux. Corrigé de l exercice :. On sait que : cos B AB 3 3 π π π cos cos π cos Donc l une des mesures de l angle B est π ( 0 ) 6. D après le théorème d Al-kashi, on a : () BC BC AB + Et par suite : BC 9 En appliquant le théorème de la médiane, on a : AB + AI + BC AI + AI ( 3) () ( 9) Et par suite : AI 3/ Math.ma 09/08

4 Corrigé de l exercice 3 :. D après le théorème d Al-kashi, on a : BC AB + AB cos B cos( B) AB ( 6) + () ( ) ( 6) () 60 Et par suite : cos( B ). a) on sait que : AB cos( B ) donc : 6 et par suite : 6 b) BA.BC BA. ( BA + ) BA + BA. BA BA.BC BH.BC BH BC car BA.BC > 0 BA.BC BH BC 30 BH 3. on a : donc : donc : / Math.ma 09/08

5 Corrigé de l exercice :. soit M du plan, on a : [ AB ]) MA. MB MI + IA. MI + IB MI + MI. IA + IB + IA. IB MI + MI.0 + AB. AB MI AB pour tout point M du plan, MA. MB MI AB. a) on pose E { M P / MA. MB 9} M E équivaut à MA. MB 9 MI AB Equivaut à Equivaut à MI Equivaut à MI 0 Et par suite E { I} b) on pose on pose F { M P / MA. MB } M F équivaut à MA. MB Equivaut à MI AB Equivaut à Equivaut à MI 6 MI 6 Equivaut à MI ( ) Et par suite F est le cercle de centre I et de rayon c) on pose on pose G { M P / MA. MB } M G équivaut à MA. MB Equivaut à MI AB ( Car I est le milieu du segment / Math.ma 09/08

6 Equivaut à Equivaut à MI Et par suite G MI 6 3 d) on pose on pose H { M P / MA. MB 0} M G équivaut à MA. MB 0 Equivaut à MI AB 0 Equivaut à MI 6 0 Equivaut à MI ( 3) Et par suite H est le cercle de centre I et de rayon 3 ( Rq : M G équivaut à MA. MB 0 AB ) Et par suite H est le cercle de diamètre [ ] Corrigé de l exercice :. D après le théorème d Al-kashi, on a : + ( ) () Et par suite :. On sait que : cos( B) AB cos( B ) Et par suite : cos B 3. Puisque > 0 alors. AH AB AH AB AB AH BC AB + 6/ Math.ma 09/08

7 . En appliquant le théorème de la médiane, on a :. a) AB + AI + BC AI + AI () Et par suite : AI AM. AB+. + ( ) + () b) on a : BM. ( BA+. ( AB+. + AM. + 0 Donc BM. 0 Donc BM Et par suite les droites ( MB ) et ( ) sont orthogonaux. つづく / Math.ma 09/08