Année nde 1. Trigonométrie

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1 Chap 0 : Trigonométrie I. Le cercle trigonométrique Définition n munit le plan d un repère orthonormé ; i, j Définition : n appelle cercle trigonométrique le cercle C de centre et de rayon, muni d un sens de parcours sens inverse des aiguilles d une montre. Le sens de parcours est appelé sens trigonométrique. C j. C i D n peut associer à tout réel x un point et un seul de C : Si x 0 on imagine une corde de longueur x. n fixe une extrémité en et on enroule la corde dans le sens trigonométrique. n appelle M l autre extrémité de la corde sur le cercle. Exemple : Le cercle a pour périmètre..., donc si x = M est en.... Si x = 4, M est en...; Si x =, M est en...; Si x =, M est en.... Si x 0 on réalise la même chose mais en enroulant la corde dans le sens négatif. Exemple : Si x =, M est en...; Si x =, M est en... Cosinus et sinus d un réel x n se place dans le repère orthonormé ; i, j muni du cercle trigonométrique. tout réel x on associe le point M du cercle. Définition : Le cosinus de x, noté cosx, est l abscisse de M. sinx Le sinus de x, noté sinx, est l ordonnée de M. M cosx Page /5

2 Remarque : D après le graphique précédent on a pour tout x réel : cosx = cosx et sinx = sinx. De même on tire la propriété suivante : Propriété : Pour tout réel x on a : cosx sinx =. II. Les radians Définition Les définitions de cosinus et sinus que nous venons de voir sont compatibles avec les définitions de cosinus et sinus d un angle vu au collège. Il suffit pour cela de prendre une autre unité que le degré pour mesurer les angles : le radian. n note alors les mesures en rad. Définition : tout réel x de [0; [ on associe le point M du cercle trigonométrique. La mesure en radians de l angle ÂM est x rad. Exemple : Si M est en on a ÂM =... rad; Si M est en on a ÂM =... rad; Si M est en D on a ÂM =... rad. Propriété : Il y a un lien entre la mesure d en degrés d un angle et la mesure α de ce même angle en radians: α = d 80. La correspondance entre certaines mesures en degré et en radians est à connaître : mesure en degrés mesure en radians Correspondance des définitions 6 n considère le point M du cercle trigonométrique associé au nombre réel x comme dans le dessin ci-dessous : Q 4 M P Page /5

3 vec la définition de seconde on a cosx = P, vec la définition du collège on a, dans le triangle PM rectangle en P, cos ÂM P car M = puisque le cercle est de rayon. n a donc bien cosx = cos ÂM. vec la définition de seconde on a sinx = Q, vec la définition du collège on a, dans le triangle MQ rectangle en Q, sin ÂM P. n a donc bien sinx = sin ÂM. III. Les fonctions sinus et cosinus La fonction f : x cosx a Ensemble de définition La fonction f est définie pour tout x réel. Son ensemble de définition est donc.... b Périodicité Propriété : Pour tout réel x : cosx = cosx. n dit que la fonction f est -périodique sur R. Parité Propriété 4 : La fonction cosinus est paire c est-à-dire que pour tout réel x on a : a Tableau de variation cos x =..... Puisque la fonction f est -périodique, il suffit de déterminer ces variations sur [0; [. x 0 fx = P M = = Q M = b Courbe représentative Grâce aux renseignements précédents on peut tracer la courbe représentative de f : 5 5 Remarque : n voit bien sur la courbe la parité et la périodicité de la fonction cosinus. Page /5

4 La fonction f : x sinx a Ensemble de définition La fonction f est définie pour tout x réel. Son ensemble de définition est donc... b Périodicité Propriété 5 : Pour tout réel x : sinx = sinx La fonction f est -périodique sur R. 4 Parité Propriété 6 : La fonction sinus est impaire c est-à-dire que pour tout réel x on a : sin x =..... a Tableau de variation Puisque la fonction f est -périodique, il suffit de déterminer ces variations sur [0; [. x 0 fx b Courbe représentative Grâce aux renseignements précédents on peut tracer la courbe représentative de f : 5 5 Remarque : n voit bien sur la courbe la parité et la périodicité de la fonction sinus. Page 4/5

5 IV. Valeurs remarquables Voici un cercle trigonométrique relativement détaillé : Voici le tableau des valeurs remarquables à connaître pour les fonctions cosinus et sinus : x 0 cosx sinx Page 5/5