ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière PCSI. Durée de l'épreuve : 4 heures

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1 lim x k k + ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière PCSI Durée de l'épreuve : 4 heures LES CALCULATRICES NE SONT PAS AUTORISÉES L énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre. Le sujet comporte 2 problèmes et 2 exercices qui sont indépendants. Problème 1 : étude d'une famille d'endomorphismes. Problème 2 : analyse (fonctions, suites) Exercice 1 : étude de fonctions de C dans. Exercice 2 : caractérisation des affixes d'un triangle équilatéral. Les problèmes et les exercices peuvent être traités dans n'importe quel ordre. Pour chaque question, un résultat peut être admis et être utilisé pour la suite. NUMEROTEZ CHAQUE PAGE EN INDIQUANT LE NOMBRE TOTAL DE PAGES. MENTIONNEZ LE NUMERO D'UNE QUESTION AVANT D'Y REPONDRE. 1/5

2 Problème 1 Dans tout ce problème, n désigne un entier naturel non nul, a et b sont deux nombres réels. La notation R n [X] désigne le R espace vectoriel des polynômes à coefficients dans R et ayant un degré inférieur ou égal à n. Pour tout P R n [X], on pose : φ n (P)=(X a)(x b)p' n ( X a+b 2 ) P Partie A : étude de φ 1 Dans toute cette partie, on suppose que n=1. On pose donc : P R 1 [X], φ 1 (P)=(X a)(x b)p ' ( X a+b 2 ) P 1- Démontrer que φ 1 est un endomorphisme de R 1 2- Soit B 1 =(1,X) la base canonique de R 1 Déterminer M 1 =Mat B1 (φ 1 3- Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que φ 1 soit bijective. 4- On suppose dans cette question seulement, que a b. 4-a- Démontrer que la famille B=(X a,x b) est une base de R 1 4-b- Calculer φ 1 (X a) et φ 1 (X b) puis déduire M=Mat B (φ 1 4-c- Déterminer la matrice de passage de la base B à la base B 1, notée P B, B1. Déterminer de même la matrice de passage de la base B 1 à la base B notée P B1, B. 4-d- Donner, sans démonstration, une égalité reliant les matrices M, M 1, P B, B1, P B1, B. 4-e- Soit p N. Calculer M p puis en déduire une expression de M 1 p (on donnera l'expression de chacun des coefficients de cette matrice). 5- On s'intéresse dans cette question à l'ensemble Γ={αI 2 +β M 1 +γ M 1 2 +δ M 1 3 }. 5-a- Démontrer que Γ est un sous-espace vectoriel de M 2 (R) 5-b- Prouver que les matrices M 1 2 et M 1 3 sont des combinaisons linéaires de M 1 et I 2. 5-c- Déterminer une base de Γ. 6-a- On suppose dans cette question que a=4 et b=2. En utilisant les résultats de la question 5-b, déterminer l'application φ 1 2. En déduire la nature de φ 1. 2/5

3 6-b- Soient E 1 ={P R 1 [X],φ 1 (P)=P} et E 1 ={P R 1 [X],φ 1 (P)= P}. Montrer que E 1 et E 1 sont deux sous-espaces vectoriels dont on précisera une base, pour chacun d'eux. 6-c- Que représentent E 1 et E 1 pour φ 1? Partie B : quelques généralités sur φ n. 7- Démontrer que φ n est un endomorphisme de R n 8- On se propose dans cette question de déterminer Ker(φ n On pose α=max(a, b) et on considère l'intervalle I=]α,+ [. 8-a- Démontrer que la fonction f définie par f (x)= 2x (a+b) x 2 (a+b)x+ab est continue sur I. 8-b- Déterminer une primitive F de la fonction f sur I. 8-c- Résoudre sur l'intervalle I l'équation différentielle (E) : nx n (a+b) 2 y ' (x a)(x b) y=0 8-d- On suppose que n est pair et on écrit n=2p avec p N. Déduire de la question 8-c une base de l'espace vectoriel Ker(φ 2p 8-e- On suppose que n est impair et on écrit n=2p+1 avec p N. Déduire de la question 8-c une base de l'espace vectoriel Ker(φ 2p+1 ) (on pourra discuter suivant les valeurs de a et b ). Partie C : intersections de courbes dans le cas n=2. Dans toute cette partie, on suppose que n=2, a=b, et a>1. On munit la plan d'un repère orthonormal R=(O, i, j) avec i = j =1 cm. 9- Calculer φ 2 (1), φ 2 (X) et φ 2 (X 2 Dans toute la suite, on désigne par f et g les fonctions polynomiales associées respectivement aux polynômes φ 2 (1) et φ 2 (X 2 On note C f et C g les courbes représentatives de ces deux fonctions. 10-a- Montrer que les courbes C f et C g admettent exactement deux points d'intersection : les points A a et B a dont les coordonnées cartésiennes dans R sont respectivement A a (a,0) et B a( 1 a, 2 a +2a 10-b- Démontrer que lorsque a varie dans ]1,+ [, tous les points B a appartiennent à un même ensemble E (indépendant de a ) dont on précisera une équation cartésienne. 3/5

4 10-c- Montrer que l'ensemble E est une conique dont on précisera (en le justifiant) la nature (aucune autre information n'est demandé sur E). 10-d- Après une rapide étude, tracer l'allure de la courbe E dans R. Problème 2 : Étude de deux fonctions. On considère dans tout ce problème les deux fonctions F et G définies sur R + par : F(x)= sin(x) x et G(x)= 1 cos(x) x 1-a- Montrer que les fonctions F et G sont continues sur R +. 1-b- Montrer que F et G sont prolongeables par continuité en 0. On notera encore F et G ces prolongements. 2-a- Montrer que les fonctions F et G sont dérivables sur R + et calculer leurs dérivées. 2-b- Démontrer à l aide de développements limités, que les fonctions F et G sont dérivables en 0. Préciser les valeurs de F '(0) et G '(0 3-a- Montrer que les réels strictement positifs tels que F(x)=0 constituent une suite (a k ) k 1 strictement croissante. On donnera explicitement la valeur de a k. 3-b- Montrer que les réels strictement positifs tels que G(x)=0 constituent une suite (b k ) k 1 strictement croissante. Existe-t-il un lien entre les suites (a k ) k 1 et (b k ) k 1? 4-a- Soit k N. Montrer sans calcul qu il existe un réel x k ]a k,a k+1 [, tel que F '(x k )=0. 4-b- Montrer que la fonction F ' est de même signe que la fonction h définie par : x R +, h(x)=xcos(x) sin(x 4-c- Démontrer que pour tout k N, la fonction h est strictement monotone sur [a k, a k+1 ]. 4-d- En déduire l unicité du réel x k défini dans la question 4-a. 4-e- Établir que : k N, x k ] a k,a k + π 2[. 4-f- Calculer lim k + x k puis déterminer un équivalent simple de la suite (x k 5-Tracer l allure de la courbe représentative C F de la fonction F lorsque l abscisse x varie dans [0,4 π]. On se placera dans un repère orthogonal (O, i, j) tel que i =1cm et j =10cm. On fera apparaître clairement les tangentes horizontales à la courbe et on précisera les abscisses des points d intersection de C F avec l axe (O, i 4/5

5 Exercice 1 Soient H le demi-plan de Poincaré défini par H={z C/ Im(z)>0} et D={z C/ z <1}. Soit a, b, c et d des nombres réels tels que ad bc>0. On considère la fonction f définie par f (z)= az+b cz+d et la fonction φ définie par φ(z)= z i z+i. 1-a- Quel est l'ensemble de définition de f? 1-b Montrer que H est stable par f. 2-a- Quel est l'ensemble de définition de φ? 2- b- Montrer que φ(h ) D. 2-c- Démontrer que φ est une bijection de H sur D, et exprimer la bijection réciproque φ 1. Exercice 2 Soient A,B et C trois points distincts du plan complexe d'affixes a, b, et c. Montrer que les 3 propositions suivantes sont équivalentes : 1- ABC est un triangle équilatéral. 2- j ou j est solution de az 2 +bz+c=0. 3- a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ca *** Fin du sujet *** 5/5