I Dipôle électrostatique

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1 I Dipôle électrostatique. Étude des symétries et des invariances. z θ M e r e φ P O e θ y Q x a. N φ FIGURE b. Tous les plans contenant les deux charges sont des plans de symétrie pour la distribution de charge, ce sont des plans de symétrie pour le champ électrique. Donc en tout point de la droite qui passe par les deux charges le champ électrique a la même direction que celle de la droite. Le plan passant par le point situé au milieu du segment N P et perpendiculaire à N P est un plan d antisymétrie pour la distribution de charges, donc en tout point de ce plan le champ électrique est parallèle à N P. c. Le plan Π M, e r, e θ est plan de symétrie de la distribution de charge, donc le champ électrique en M a une direction incluse dans ce plan, ainsi E ϕ = e ϕ E = 0. d. Comme la distribution est invariante par rotation autour de l axe Oz, on déduit le champ électrique dans le plan ϕ=ϕ de celui qu on a étudié dans le plan ϕ=ϕ 0 par rotation d angle ϕ ϕ a. Au voisinage du dipôle les lignes de champ partent de la charge +Q où le potentiel est maximal et vont jusqu à la charge Q où le potentiel est minimal. Elles sont représentées en gris sur le graphe ci-dessous et orientées par une flèche. b. Les équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ. Elles sont représentées en pointillé sur le dessin cidessous et de couleur rouge pour les potentiels positifs et bleu pour les potentiels négatifs, en choisissant le potentiel nul à l infini, en noir le plan perpendiculaire au dipôle passant par son milieu, il s étend jusqu à l infini, il est une surface équipotentielle, de potentiel nul. LDC E V > 0 V = 0 V < 0 FIGURE 2 Tracé des lignes de champ et des équipotentielles au voisinage des deux charges dans un plan ϕ=ϕ 0 3. a. Le potentiel électrique en M est la somme des potentiels créés par les charges Q en P et Q en N : V M= Q 4πǫ 0 P M Q 4πǫ 0 N M. Or P M = 2, PO+ OM, on en déduit le module P M = P M puis. De plus comme on étudie le potentiel à grande P M P.S.I. 206/207

2 distance du dipôle r >> a, on effectue un développement limité en a r : 2= P P M OM 2PO OM P M 2 = OM 2 2ar cosθ + 2r 2 + a2 4r 2 P M = ar cosθ + OM r 2 + a2 2 4r 2 P M = +a cosθ + + reste OM 2r En procédant de même pour le calcul de, on obtient : N M N M = +a cosθ + reste, r 2r et le potentiel s en déduit, en limitant le développement limité au premier ordre en a r : V M= Q a cosθ 4πǫ 0 r 2 V M= p cosθ 4πǫ 0 r 2, b. Le champ électrique est lié au potentiel par la relation : E = gradv, soit : E r = V r = p cosθ 2πǫ 0 r 3 E θ = r V θ = p sinθ 4πǫ 0 r 3 E ϕ = 0 Pour établir l équation des lignes de champ, je pars de la définition de celles-ci. Une ligne de champ est une courbe en tout point tangente au champ électrique, orienté dans le sens de celui-ci. Pour établir son équation on utilise : dom E M= 0, où dom est un déplacement le long de la ligne de champ au niveau du point M où règne le champ électrique E M. Soit : dr E r 0 r dθ E θ 0 = r sinθdϕ 0 E ϕ P.S.I. 206/207 2

3 Sur e ϕ cette équation donne dr E θ E r r dθ= 0 p dr sinθ 2r dθ cosθ=0 4πǫ 0 r 3 dr 2r = dθ cosθ sinθ dlnr = 2 dsinθ sinθ r = K sinθ 2. En conclusion une ligne de champ correspond à une valeur de K, sont représentées ci-dessous les lignes de champ obtenues pour diverses valeurs K i de constantes K : r = K i sinθ 2. Les lignes de champ ne sont pas fermées, parce que l étude ne vaut que pour le champ à grande distance. c. Représentation des lignes de champ à grande distance : x p z FIGURE 3 Représentation des lignes de champ du dipôle à grande distance r >> a 4. a. La charge Q > 0 subit une force qui l entraîne dans la direction et le sens du champ électrique alors que la force Q subit une force qui l entraîne dans la direction du champ, mais en sens opposée. Il en résulte un mouvement de rotation du dipôle qui tend à l aligner sur le champ électrique. Placé dans un champ électrique uniforme E 0, le dipôle subit un couple de résultante : F = Q E0 Q E 0 = 0, P.S.I. 206/207 3

4 et de moment : Γ = ON Q E 0 + OP +Q E 0 Γ = N P Q E 0 Γ = Q N P E0 Γ = p E0. b. L énergie potentielle E p électrique du dipôle p soumis au champ électrique E 0 de potentiel V 0 M uniforme, est : E p = QV 0 P QV N E p = Q [V 0 P V N ] [ ] E p Q gradv 0 N P E p Q N P [ ] E 0, finalement : E p = p E 0. L énergie potentielle est minimale quand le dipôle est orienté col-linéairement et dans le même sens que le champ électrique extérieur. C est sa position d équilibre stable. 5. a. Les forces subies par les les deux charges ne sont pas exactement opposées, puisque le champ n est pas uniforme. D où la mise en mouvement du dipôle. b. Le champ électrique créé par p = p ex au niveau du point M, avec OM = x e x est non uniforme. On l exprime à l aide de l expression établie précédemment en coordonnées sphériques, avec θ = 0 et r = x : E 2 M= p 2πǫ 0 x 3 ex. Le dipôle p 2 s oriente parallèlement au champ E 2 M, soit p 2 = p 2ex. Ainsi l énergie potentielle du dipôle p 2 est : E p2 = 2 p E 2 M= p p 2 2πǫ 0 x 3. La force qu il subit est : F 2 = grade p2 = 3p p 2 ex 2πǫ 0 x 4. La force est attractive, le dipôle p attire le dipôle p 2. c. En reprenant raisonnement précédent avec l énergie potentielle du dipôle induit est : p2 = α E 2 = αp 2πǫ 0 x 3 ex, E p2 = 2 2 p p E 2 M= α 2πǫ 0 x 6, soit : F 2 = grade 2 p p2 = 6α ex 2πǫ 0 x 7. L interaction entre deux molécules d eau est une interaction du type dipôle dipôle. L application numérique donne : F N. P.S.I. 206/207 4

5 II Champ électrique créé par une sphère en matériau isolant polarisé 6.. Le schéma ci-dessous représente les deux sphères chargées pratiquement superposées. Comme les densités volumiques de charges sont exactement opposées, il ne reste des charges que dans les zones de non recouvrement des deux sphères. z θ M e r e θ O O O 2 2. En un point M situé en r < R, le champ électrique est la somme des deux champs créés par les deux boules chargées, champ calculé dans le cas où le point est à l intérieur de chacune des sphères. Le calcul du champ électrique à l intérieur d une boule de centre O chargée uniformément en volume a été fait en cours, E int = ρ 0 OM. Pour le point M situé à l intérieur des deux sphères on obtient donc : 3ǫ 0 E = E + E 2 ρ 0 E = O M ρ 0 O 2 M 3ǫ 0 3ǫ 0 ρ 0 E = O O 2 3ǫ 0 3. Le champ en un point M situé à l extérieur des deux sphères, est le même que le champ créé par deux charges ponctuelles 4 4 +Q = ρ 0 3 πr3, et Q = ρ 0 3 πr3, situées respectivement en O et O 2, en un point situé à une distance r >> a, du centre O. C est le champ d un dipôle électrostatique. On peut donc utiliser le résultat obtenu précédemment : Qa cosθ E r = 2πǫ 0 r 3 E θ = E ϕ = 0 Qa sinθ 4πǫ 0 r 3 4. L allure des lignes de champ est la suivante : P.S.I. 206/207 5

6 O O 2 O M e r e θ θ 5. On constate que le champ électrique est discontinu au passage de la surface de la sphère de rayon R, le champ électrique n est donc pas défini sur cette sphère, celle-ci porte donc une charge surfacique. Pour calculer la densité surfacique de charge on utilise la relation de passage : La normale à la sphère est portée par le vecteur e r. E N + E N = σn ǫ 0 n +. σθ=ǫ Qa cosθ 0 e r e 2πǫ 0 R 3 r ρ 0 O O 2 3ǫ 0 4 a cosθ σθ=ρ 0 πr3 3 2πR 3 + ρ a cosθ 0 3 σθ=ρ 0 a cosθ P.S.I. 206/207 6