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1 COPULES. Alexandre Popier Université du Maine, Le Mans Septembre 2010 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

2 PLAN DU COURS 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

3 MODÉLISER DE LA DÉPENDANCE. SIMULATION MASTER 1 : v.a. indépendantes (ou supposées comme telles)! PROBLÈME : comment créer de la dépendance (non triviale)? EXEMPLES : en finance : instants de défaut (prêts, CDS, CDO, etc.) ; en assurance ou actuariat : dates de sinistre, de catastrophes ; en théorie des réseaux, de la fiabilité ; A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

4 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

5 NOTATIONS ET DÉFINITIONS. NOTATIONS : Pour x = (x 1,..., x d ) R d, x = (x x 2 d )1/2. L p = L p d = {X = (X 1,..., X d ), X k v.a. réelle et E X p < }. Si X L 1, E(X) = (E(X 1 ),..., E(X d )). DÉFINITION On appelle vecteur aléatoire toute v.a. à valeurs dans R d. Les coordonnées de X = (X 1,..., X d ) sont alors des v.a.r., dont les lois µ X1,..., µ Xd sont les lois marginales de X. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

6 VECTEURS ALÉATOIRES ET DENSITÉS. Soit X un vecteur aléatoire de densité q. PROPOSITION Alors X k a pour densité q k (y) = q(x 1,..., x k 1, y, x k+1,..., x d )dx 1... dx k 1 dx k+1... dx d. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

7 VECTEURS ALÉATOIRES ET DENSITÉS. Soit X un vecteur aléatoire de densité q. PROPOSITION Les composantes X 1,..., X d sont indépendantes ssi q(x 1,..., x d ) = q 1 (x 1 )... q d (x d )p.p. avec q k densité de X k. COROLLAIRE Les composantes X 1,..., X d sont indépendantes ssi q(x 1,..., x d ) = g 1 (x 1 )... g d (x d )p.p. et alors X k a pour densité q k (y) = g k (y)/ g k. R A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

8 MATRICE DE COVARIANCE. NOTATIONS : Si M est une matrice, M T est sa transposée. Un vecteur x R d est une matrice d 1. x, y = x T y. DÉFINITION Pour X L 2 d, la matrice de covariance de X est définie par [ ] K (X) = E (X E(X))(X E(X)) T = E(XX T ) E(X)E(X) T. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

9 MATRICE DE COVARIANCE. LEMME Soit X L 2. Alors K (αx) = α 2 K (X), α R ; K (X + a) = K (X), a R d ; K T (X) = K (X). Pour tout λ R d, λ T K (X)λ 0. Si M est une matrice déterministe r d, alors K (MX) = MK (X)M T. PROPOSITION Soient X et Y dans L 2 des vecteurs aléatoires indépendants. Alors K (X + Y ) = K (X) + K (Y ). PROPOSITION Soit X L 2. On a P(X E(X) Im (K (X))) = 1. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

10 CALCUL DE LOIS. PROPOSITION Soit X un vecteur aléatoire. Une probabilité µ sur R d est la loi de X ssi pour toute f : R d R mesurable et bornée, E(f (X)) = fdµ. CHANGEMENT DE VARIABLE DANS R d : LEMME Soit φ un difféomorphisne de l ouvert U sur l ouvert V. Pour toute fonction f bornée f (v)dv = f (φ(u)) J(φ)(u) du. V U J(φ) est le déterminant de la matrice des φ j / u k. Rappelons que J(φ)(u) = {J(φ 1 )(φ(u))} 1. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

11 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

12 LOI DES GRANDS NOMBRES. THÉORÈME Soit (Y i ) i N une suite de variables aléatoires. HYPOTHÈSES indépendance distribution identique (comme une v.a. Y ) E( Y ) < +. Alors presque sûrement : lim Y 1 n = lim n + n + n (Y Y n ) = E(Y ). Autrement dit, pour n assez grand 1 n Y i E(Y ). n i=1 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

13 MÉTHODE DE MONTE CARLO. MÉTHODE Pour calculer µ = E(f (X)), simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X, poser : ˆµ N = 1 N N i=1 f (X i ) = f (X 1) f (X N ). N Loi des grands nombres : ˆµ N µ pour N grand. PROBLÈME : quelle est l erreur commise? A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

14 LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

15 LOI DE PARETO (0,5) PAS D ESPÉRANCE A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

16 THÉORÈME CENTRAL LIMITE. THÉORÈME Soit (Y i ) i N une suite de v.a. HYPOTHÈSES indépendance distribution identique (comme une v.a. Y ) E( Y 2 ) < +. Alors Y n = N (0, 1) : pour tout a < b ( lim P a < ) n Y n µ < b = P(a < Z < b), Z N (0, 1). n + σ A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

17 INTERVALLE DE CONFIANCE. TCL : µ = E(Y 1 ), Y n = 1 n (Y Y n ) P (Y n a n σ µ Y n + a n σ ) ( = P a ) n Y n µ a σ P( Z a), où σ 2 = Var (f (X)). Pour un niveau de confiance α [0, 1] fixé, il existe c α > 0 tel que Donc avec a = c α, pour n grand avec P( Z c α ) = α. P (µ I α,n ) P( Z c α ) = α ] σ σ I α,n = [Y n c α n, Y n + c α n : intervalle de confiance. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

18 MÉTHODE DE MONTE CARLO : ERREUR. MÉTHODE Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. Poser : ˆµ N = 1 N N i=1 f (X i ) = f (X 1) f (X N ). N Erreur donnée par un intervalle de confiance : P ( µ I α,n ) α avec [ ] σ σ I α,n = ˆµ N c α N, ˆµ N + c α N, σ 2 = Var (f (x)). Problème : on ne connaît pas en général la variance σ 2. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

19 ESTIMATION DE LA VARIANCE. On estime σ 2 grâce à l estimateur Sn 2 = 1 n 1 montrer que ES 2 n = σ 2 = Var (Y ) et n (Y i Y n ) 2. On peut i=1 lim n + S2 n = σ 2. MÉTHODE Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. Poser : ˆσ N = 1 N (f (X i ) ˆµ N ) N 1 2. i=1 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

20 MÉTHODE DE MONTE CARLO COMPLÈTE. MÉTHODE 1 Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X. 2 Poser : ˆµ N = 1 N f (X i ) = f (X 1) f (X N ), N N i=1 ˆσ N = 1 N (f (X i ) ˆµ N ) N Erreur donnée par intervalle de confiance avec niveau de confiance α [ ] ˆσ N ˆσ I α,n = ˆµ N c α N, ˆµ N + c α. N N i=1 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

21 LOI EXPONENTIELLE (2) (ESPÉRANCE 1/2) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

22 LOI EXPONENTIELLE (2) (DÉCROISSANCE EN 1/ N) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

23 PARETO (1,5) (ESPÉRANCE 3, PAS DE VARIANCE) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

24 PARETO (1,5) (TAILLE INTERVALLE CONFIANCE) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

25 MÉTHODE DE MONTE CARLO : REMARQUES. OBLIGATOIRE Donner ˆµ N sans intervalle de confiance n a aucune valeur! ERREUR Pour diminuer la taille de IC, diminuer le niveau de confiance α, augmenter N, diminuer σ ( réduction de variance). AVANT : SIMULATION Que signifie «Simuler N v.a. (X n ) 1 n N i.i.d. de même loi que X»? A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

26 THÉORÈME FONDAMENTAL DE LA SIMULATION. THÉORÈME Toute variable aléatoire X à valeurs dans R d peut être simulée sous la forme X = en loi f (U 1, U 2,..., U n ) où (U 1, U 2,..., U n ) est uniformément répartie sur [0, 1] n, la fonction f : R n R d est borélienne et a ses points de discontinuité dans un ensemble Lebesgue-négligeable. Il est même possible de réaliser ceci en imposant n = 1 ou n = d ou encore n 1 donné. REMARQUE : f est «explicite». A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

27 MÉTHODE D INVERSION. DÉFINITION Fonction de répartition de X v.a.r., notée F X, définie sur R par : x R, F X (x) = P(X x). PROPOSITION Soit F X la fonction de répartition d une v.a.r. X. Alors : 1 F X (x) [0, 1]. 2 F X est croissante. 3 lim F X (x) = 0 et lim F X (x) = 1. x x + 4 F X est continue à droite et a une limite à gauche en tout point. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

28 MÉTHODE D INVERSION. Fonction pseudo-inverse q X de F X : u (0, 1), q X (u) = inf{x R, F X (x) > u}. THÉORÈME Si U suit une loi uniforme sur [0, 1], q X (U) suit la même loi que X. LOI EXPONENTIELLE X = 1 ln(1 U) suit la loi exponentielle de paramètre λ. λ LOI DE BERNOULLI Si U < 1 p, X = 0, sinon X = 1 : suit la loi de Bernoulli de paramètre p [0, 1]. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

29 QUELLES VÉRIFICATIONS? DEUX TYPES de vérifications : histogramme normalisé contre densité, fonctions de répartition empirique contre théorique. Dans les deux cas, il faut d abord simuler un grand nombre de fois la loi en question. Pour n N, on obtient un vecteur (x 1,..., x n ) qui contient n réalisations de la loi de X. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

30 HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. HISTOGRAMME NORMALISÉ 1 regrouper les n termes dans un certain nombre m de classes (avec m < n). Dans chaque classe r m réalisations de X avec r m = n. m 2 normalisation : la somme des aires des colonnes fait 1 r m /(n(c m+1 C m )). 3 tracé : sur l axe des abscisses, placer les m centres des m classes, et mettre une colonne de hauteur r m /(n(c m+1 C m )). CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ r m n(c m+1 C m ) n + 1 C m+1 C m P(X [C m, C m+1 [). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

31 HISTOGRAMME VS. DENSITÉ. CONVERGENCE VERS LA DENSITÉ CONCLUSION r m n(c m+1 C m ) n + 1 C m+1 C m P(X [C m, C m+1 [). Si X discrète avec C k espacés de 1, approximativement p k. Si X à densité, alors P(X [C m, C m+1 [) C m+1 C m = 1 C m+1 C m Cm+1 C m f (t)dt C m+1 C m 0 f (C m). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

32 RÉPARTITION EMPIRIQUE VS. THÉORIQUE. FONCTION DE RÉPARTITION EMPIRIQUE t R, F n (t) = 1 n n 1 ],t] (x i ). i=1 THÉORÈME DE KOLMOGOROV-SMIRNOV t R, lim F n (t) = F X (t). n + A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

33 EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). n=100 Histogramme vs densite Fcts de repartition empirique theorique !0.2! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

34 EXEMPLE SUR LA LOI EXPONENTIELLE(2). n=10000 Histogramme vs densite Fcts de repartition empirique theorique !0.2! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

35 EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). n=100 Histogramme Fcts de repartition empirique theorique ! !0.2!1.0! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

36 EXEMPLE SUR LA LOI DE BERNOULLI(0.3). n=10000 Histogramme Fcts de repartition empirique theorique ! !0.2!1.0! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

37 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

38 DÉFINITIONS. DÉFINITION Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire à valeurs dans R 2. La loi de (X, Y ) est caractérisée par F(x, y) = P(X x, Y y), (x, y) R 2. F est la fonction de répartition bivariée de (X, Y ). Lois marginales ou marginales de (X, Y ) : lois de X et de Y prises séparément. Décrites par : F 1 (x) = P(X x) = F 2 (y) = P(Y y) = lim F(x, y) = F(x, + ), y + lim F(x, y) = F(+, y). x + A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

39 EXEMPLES. Indépendance : F(x, y) = F 1 (x)f 2 (y). F(x, y) = min(f 1 (x), F 2 (y)) : variables comonotones (ou parfaitement positivement corrélées) : X = F 1 1 (F 2(Y )). X est une fonction croissante de Y (et vice-versa). F(x, y) = max(f 1 (x) + F 2 (y) 1, 0) : variables contra-monotones (ou parfaitement négativement corrélées) : X = F 1 1 (1 F 2(Y )). X est une fonction décroissante de Y (et vice-versa). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

40 PROPRIÉTÉS. PROPOSITION Soit F fonction de répartition bivariée. 1 F est continue à droite : lim F(x, y) = F(x 0, y 0 ). x x 0,y y 0 2 lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0. x y 3 lim F(x, y) = 1. x +,y + 4 F est 2-croissante : pour tout (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) avec a 1 b 1 + et a 2 b 2 +, F(b 1, b 2 ) F(a 1, b 2 ) F(b 1, a 2 ) + F(a 1, a 2 ) 0. PROPOSITION Une fonction de deux variables vérifiant les quatre propriétés précédentes est une fonction de répartition bivariée. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

41 REMARQUES SUR LA CROISSANCE DE F. F croissante par rapport à x et par rapport à y n implique pas F 2-croissante. F 2-croissante n implique pas F croissante par rapport à x et par rapport à y. Mais F 2-croissante et lim F(x, y) = lim F(x, y) = 0 implique x y F croissante par rapport à x et par rapport à y. Si F est de classe C 2, être 2-croissante équivaut à 2 F x y 0. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

42 BORNES DE FRÉCHET-HOEFFDING. THÉORÈME Pour tout (x, y) R 2, max(f 1 (x) + F 2 (y) 1, 0) F(x, y) min(f 1 (x), F 2 (y)). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

43 COPULE : DÉFINITION. DÉFINITION On appelle copule (de dimension 2 ou 2-dimensionnelle) toute fonction de répartition bivariée C ayant pour marginales la loi uniforme sur [0, 1]. Autrement dit, C vérifie les quatre propriétés d une fonction de répartition bivariée avec en plus : C(x, y) = 0 si x 0 ou y 0, C(x, y) = 1 si x 1 et y 1, C(x, y) = x si y 1, C(x, y) = y si x 1. REMARQUE Il suffit de définir C sur [0, 1] 2! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

44 THÉORÈME DE SKLAR. THÉORÈME 1 Si C est une copule, si F 1 et F 2 sont deux fonctions de répartition, alors F(x, y) = C(F 1 (x), F 2 (y)) est une fonction de répartition bivariée, ayant F 1 et F 2 pour marginales. 2 Soit F une fonction de répartition bivariée de marginales F 1 et F 2. Il existe une copule C telle que pour tout (x, y) R 2 : F(x, y) = C(F 1 (x), F 2 (y)). Si de plus F 1 et F 2 sont continues, C est unique. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

45 COMMENTAIRES. La loi d un vecteur aléatoire (X, Y ), c est deux fonctions de répartition, qui capturent les marginales, et une copule qui mesure la dépendance. En pratique, on connaît «bien» les marginales et mal la dépendance. Difficulté : choisir la copule qui capture le mieux les structures de dépendance entre les données. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

46 PROPRIÉTÉS DES COPULES. 1 Toute copule C satisfait : (u, v) [0, 1] 2 W (u, v) = max(u + v 1, 0) C(u, v) min(u, v) = M(u, v). 2 M et W sont deux copules «extrêmes» : M : composantes fonctions croissantes l une de l autre, W : composantes fonctions décroissantes l une de l autre. 3 C (u, v) = uv : composantes indépendantes. 4 Si u 1, u 2, v 1, v 2 sont dans [0, 1], C(u 1, v 1 ) C(u 2, v 2 ) u 2 u 1 + v 2 v 1. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

47 INVARIANCE PAR TRANSFORMATIONS CROISSANTES. PROPOSITION Si C X,Y est la copule de (X, Y ), toute transformation croissante de (X, Y ) a la même copule. CONSÉQUENCES : Si f et g, C f (X),g(Y ) (u, v) = C X,Y (u, v) ; Si f et g, C f (X),g(Y ) (u, v) = u C X,Y (u, 1 v) ; Si f et g, C f (X),g(Y ) (u, v) = u + v 1 + C X,Y (1 u, 1 v). DÉFINITION Si (U 1, U 2 ) C, alors copules associées à (1 U 1, U 2 ), (U 1, 1 U 2 ) et (1 U 1, 1 U 2 ). Pour la dernière, on parle de copule de survie. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

48 PREMIERS EXEMPLES. C, M et W. FAMILLE DE FRÉCHET (1958) à deux paramètres (α, β) [0, 1] 2 avec α + β 1 : C α,β (u, v) = αm(u, v) + βw (u, v) + (1 α β)c (u, v). A une structure de dépendance peu riche... FAMILLE DE FARLIE-GUMBEL-MORGENSTERN (1960) à un paramètre θ [ 1, 1] : C θ (u, v) = uv(1 + θ(1 u)(1 v)). Prieger (2002) : sélection dans des plans d assurance-santé. Dépendance faible entre les composantes. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

49 COPULES ET DENSITÉS. INDÉPENDANCE : densité constante : 1 [0,1] 2. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

50 COPULES ET DENSITÉS. COPULE M : A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

51 COPULES ET DENSITÉS. COPULE W : A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

52 COPULES ARCHIMÉDIENNNES. DÉFINITION Soit φ strictement décroissante et convexe de [0, 1] dans [0, + ]. C(u, v) = φ 1 (φ(u) + φ(v)). COPULE DE CLAYTON pour θ [ 1, + [\{0} : φ(x) = u θ 1 ( 1/θ, C θ (u, v) = u θ + v θ 1). θ C θ M si θ + et C θ C si θ 0. Pas de dépendance négative : risques positivement corrélés. Utilisation : syndrôme du cœur brisé, risque de défaut et récession. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

53 COPULES ARCHIMÉDIENNNES. DÉFINITION Soit φ strictement décroissante et convexe de [0, 1] dans [0, + ]. C(u, v) = φ 1 (φ(u) + φ(v)). COPULE DE GUMBEL pour θ [1, + [ : [ ( φ(x) = ( ln u) θ, C θ (u, v) = exp ( ln u) θ + ( ln v) θ) ] 1/θ. C θ M si θ + et C θ C si θ 1. Pas de dépendance négative : risques positivement corrélés. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

54 COPULES ARCHIMÉDIENNNES. DÉFINITION Soit φ strictement décroissante et convexe de [0, 1] dans [0, + ]. C(u, v) = φ 1 (φ(u) + φ(v)). COPULE DE FRANK pour θ R \ {0} : φ(x) = ln ( e θu ) 1 e θ, C θ (u, v) = 1 [ 1 θ ln 1 + (e θu 1)(e θv ] 1) e θ. 1 C θ C si θ 0, C θ M si θ + et C θ W si θ. Très populaire : atteint toutes les extrêmes, dépendance faible par rapport aux gaussiennes. Invariance : (u, v) (1 u, 1 v) et (u, v, θ) (1 u, v, θ). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

55 COPULES ARCHIMÉDIENNNES. DÉFINITION Soit φ strictement décroissante et convexe de [0, 1] dans [0, + ]. AUTRES EXEMPLES. C(u, v) = φ 1 (φ(u) + φ(v)). Indépendance : φ(u) = ln(u). ( ) 1 θ(1 u) Ali-Mikhail-Haq : φ(u) = ln, θ [ 1, 1]. u ( ) Fang-Fang-Rosen : φ(u) = ln 1 θ(1 u 1/k ) u 1/k, θ [ 1, 1], k > 0. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

56 COPULE MINMAX. LEMME Soit X 1,..., X n i.i.d. de loi F, et X (1),..., X (n) les statistiques d ordre associées. Loi de X (r) : F r (x) = n CnF i i (x)(1 F(x)) n i. i=r Loi du Max et du min : Loi du couple (min,max) F M (x) = F n (x), F m (x) = 1 (1 F(x)) n. F (m,m) (x, y) = n CnF i i (x)(f (y) F (x)) n i 1 x<y + F n (y)1 x y. i=1 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

57 COPULE MINMAX. En résolvant : C (m,m) (F m (x), F M (y)) = F (m,m) (x, y), DÉFINITION COPULE MINMAX : [ ] v v 1 n + (1 u) 1 n 1 n 1, si 1 (1 u) n < v 1 n, C (m,m) (u, v) = v, si 1 (1 u) 1 n v 1 n. RELATION AVEC CLAYTON Pour α = 1/n : v C (m,m) (1 u, v) = Cα Clayton (u, v). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

58 COPULES GAUSSIENNES. NOTATIONS : φ : fonction de répartition de la loi normale N (0, 1) ; Φ ρ : distribution ( du vecteur ) gaussien (X, Y ) centré de matrice de 1 ρ covariance : ρ 1 x y [ 1 Φ ρ (x, y) = 2π (1 ρ 2 ) exp (s2 + t 2 ] 2ρst) 2(1 ρ 2 dsdt. ) DÉFINITION Copule gaussienne de paramètre ρ ] 1, 1[ : C ρ (u, v) = Φ ρ (φ 1 (u), φ 1 (v)). De loin la plus populaire (=Black-Scholes des copules!). C ρ W si ρ 1, C ρ C si ρ 0 et C ρ M si ρ 1. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

59 t-copules. DÉFINITION Loi t n de degré ν, de matrice de dispersion Σ, notée t n (ν, Σ), et définie par densité : t n (ν, Σ)(X) = Γ ( ) ν+n 2 Γ ( ν 2) (νπ) n det Σ ( 1 + X t Σ 1 ) ν+n 2 X. ν t ν : fonction de répartition de la loi t 1 de degré ν avec σ = 1 ; T n (ν, Σ) : fonction de répartition multivariée de t n (ν, Σ) ; X de loi t n (ν, Σ) si X = W Z avec Z N (0, Σ), ν/w χ 2 ν, W Z. W est une inverse gamma de paramètres (ν/2, ν/2) A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

60 t-copules. DÉFINITION t-copule de corrélation ρ ] 1, 1[ et de degré de liberté ν : C ρ,ν (u, v) = Ici Σ = ( 1 ρ ρ 1 ). t 1 ν (u) t 1 ν (v) Très proches des gaussiennes, Γ ( ) ν+2 2 2πΓ ( ν 2) (1 ρ 2 ) [ 1 + (s2 + t 2 2ρst) ν(1 ρ 2 ) ] ν+2 2 dsdt. corrélations très fortes pour les mouvements de même signe. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

61 COPULES ET DENSITÉS. GAUSSIENNES : A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

62 COPULES ET DENSITÉS. DE STUDENT : A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

63 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

64 MESURE DE DÉPENDANCE. COEFFICIENTS DES COPULES : à quoi correspondent-ils? MESURE DE DÉPENDANCE : doit vérifier 1 Symétrie : δ(x, Y ) = δ(y, X). 2 Normalisation : 1 δ(x, Y ) 1. 3 Extrêmes : δ(x, Y ) = 1 (X, Y ) comonotone (copule M) ; δ(x, Y ) = 1 (X, Y ) contre-monotone (copule W ). 4 T : transformation monotone { δ(x, Y ) pour T croissante ; δ(t (X), Y ) = δ(x, Y ) pour T décroissante. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

65 COEFFICIENT DE CORRÉLATION. DÉFINITION Coefficient de corrélation appelé aussi Pearson s r : ρ(x, Y ) = Cov (X, Y ) σ X σ Y. n existe pas toujours. mesure de dépendance linéaire. Propriétés : ok. Propriété 4 : invariance par transformations linéaires (pas pour des transformations monotones générales). PROPOSITION Si X Y, ρ(x, Y ) = 0. Réciproque fausse (sauf si (X, Y ) gaussien). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

66 V.A. CORRÉLÉES PAR COPULES GAUSSIENNES. EN FONCTION DE ρ : A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

67 RANK CORRELATION ( CORRÉLATION DE RANG). DÉFINITION Spearman s ρ : ρ S (X, Y ) = ρ(f 1 (X), F 2 (Y )). Kendall s τ : τ K (X, Y ) = P((X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0) P((X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) < 0) avec (X 1, Y 1 ), (X 2, Y 2 ) i.i.d. PROPOSITION ρ S (X, Y ) = 12 τ K (X, Y ) = (C(u, v) uv)dudv, C(u, v)dc(u, v) 1. Et ρ S = τ K = 1 C = M, ρ S = τ K = 1 C = W. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

68 LIEN ENTRE CORRÉLATIONS ET PARAMÈTRES. REMARQUE GÉNÉRALE. Il n y a pas de lien simple entre les paramètres des copules et les mesures de corrélation! Farlie-Gumbel-Morgenstern (θ [ 1, 1]) : τ K = (2/9)θ, ρ S = θ/3. Gaussienne (ρ [ 1, 1]) : τ K = 2 π Arcsin (ρ) et ρ S = 6 Arcsin (ρ/2). π t-copule (ρ [ 1, 1], ν R +) : τ K = 2 π Arcsin (ρ). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

69 LIEN ENTRE CORRÉLATIONS ET PARAMÈTRES. REMARQUE GÉNÉRALE. Il n y a pas de lien simple entre les paramètres des copules et les mesures de corrélation! Archimédienne : τ K = Clayton (θ R +) : τ K = θ θ+2 ; φ(t) φ (t) dt. Gumbel (θ [1, + [) : τ K = 1 1 θ ; Frank (θ R) : τ K = D 1(θ) D k (x) = k x x 0 s k e s 1 θ ds (fonctions de Debye)., ρ S = 1 12 D 1(θ) D 2 (θ) θ, avec A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

70 LIEN ENTRE CORRÉLATIONS ET PARAMÈTRES. REMARQUE GÉNÉRALE. Il n y a pas de lien simple entre les paramètres des copules et les mesures de corrélation! MinMax : τ = 1 2n 1, ρ = 3 12n C n 2n n i=0 ( 1) i 2n i Cn+k 2n + 12( 1) n (n!)3 (3n)!. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

71 DÉPENDANCE DES QUEUES DE DISTRIBUTION. DÉFINITION Soit X et Y v.a. avec fonction de répartition F X et F Y. Coefficients de dépendance à gauche et à droite (upper and lower dependency) : ( ) λ L = lim P Y F 1 1 u 0 Y (u) X FX (u), ( ) λ U = lim P Y > F 1 1 u 1 Y (u) X > FX (u). Si λ L 0 (resp. λ U 0), les queues de distribution de X et Y sont asymptotiquement dépendantes à gauche (resp. à droite). PROPOSITION C(u, u) 1 + C(u, u) 2u λ L = lim, λ U = lim. u 0 u u 1 1 u A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

72 EXEMPLES. COPULES EXTRÊMES : pour M, λ L = λ U = 1, pour W, λ L = λ U = 0. FARLIE-GUMBEL-MORGENSTERN : λ L = λ U = 0. GAUSSIENNES : λ L = λ U = 0. t-copules : λ L = λ U = 2 2t ν+1 ( CLAYTON : λ U = 0, λ L = (1/2) 1/θ. GUMBEL : λ L = 0, λ U = 2 2 1/θ. MINMAX : en exercice. ) (ν + 1)(1 ρ). 1 + ρ A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

73 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

74 DÉFINITIONS. DÉFINITION Soit X = (X 1,..., X n ) vecteur aléatoire à valeurs dans R n. La loi de X est caractérisée par F(x) = P(X i x i, i = 1,..., n), x = (x 1,..., x n ) R n. F est la fonction de répartition multivariée de X. Lois marginales ou marginales de X : lois des X i prises séparément. Décrites par : F i (x i ) = P(X i x i ) = lim x j +, j i F(x) = F(+,..., +, x i, +,..., + ). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

75 PROPRIÉTÉS. F est continue à droite. lim F(x 1, x 2,..., x n ) = 0 pour tout i = 1,..., n. x i + lim F(x 1,..., x n ) = 1. x i +, i F is n-croissante : si a k b k pour tout k, et si H = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ], alors V F (H) = sgn (c)f(c) 0, la somme étant prise sur les sommets de H, avec { 1 si ck = a sgn (c) = k pour un nombre pair de sommets; 1 si c k = a k pour un nombre impair de sommets. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

76 BORNES DE FRÉCHET-HOEFFDING. THÉORÈME Si F est une fonction de répartition multivariée de marginales F i, alors pour tout x R n, ( n ) max F i (x i ) n + 1, 0 = W (x) F(x) ATTENTION! i=1 M(x) = min(f 1 (x 1 ),..., F n (x n )). M est toujours une fonction de répartition multivariée. W ne l est a priori que si n = 2. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

77 COPULE : DÉFINITION. DÉFINITION On appelle copule (de dimension n ou n-dimensionnelle) toute fonction de répartition multivariée C ayant pour marginales la loi uniforme sur [0, 1]. Autrement dit, C vérifie les quatre propriétés d une fonction de répartition multivariée avec en plus : C(x) = 0 si x i 0 pour au moins un i, C(x) = 1 si x i 1 pour tout i, C i (x i ) = x i pour tout i. REMARQUE Il suffit de définir C sur [0, 1] n! A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

78 THÉORÈME DE SKLAR. THÉORÈME 1 Si C est une copule n-dimensionnelle, si F i sont n fonctions de répartition, alors F(x) = C(F 1 (x 1 ),..., F n (x n )) est une fonction de répartition multivariée, ayant F i pour marginales. 2 Soit F une fonction de répartition multivariée de marginales F i. Il existe une copule C telle que pour tout x R n : F(x) = C(F 1 (x 1 ),..., F n (x n )). Si de plus les F i sont continues, C est unique. REMARQUE En général C n est unique que sur le produit des images des F i. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

79 PROPRIÉTÉS DES COPULES. 1 Toute copule C satisfait : u = (u 1,..., u n ) [0, 1] n ( n ) W (u) = max u i + n 1, 0 i=1 C(u) min(u i ) = M(u). i 2 W n est pas une copule si n 3. M en est toujours une. 3 C (u) = i u i : composantes indépendantes. 4 Si X est distribuée suivant F et si C est de classe C n, alors la densité de X est : f (x 1,..., x n ) = n C u 1... u n (F 1 (x 1 ),..., F n (x n )) n f i (x i ). i=1 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

80 EXEMPLES. COPULES ARCHIMÉDIENNNES : soit φ strictement décroissante et convexe de [0, 1] dans [0, + ]. C(u) = φ 1 (φ(u 1 ) + φ(u 2 ) φ(u n )). Exemples : Clayton, Frank, Gumbel, etc. COPULES GAUSSIENNES : φ : fonction de répartition de la loi normale N (0, 1) ; Φ Σ : distribution d un vecteur gaussien centré de matrice de covariance Σ. C Γ (u) = Φ Σ (φ 1 (u 1 ),..., φ 1 (u n )). t-copules : t ν : fonction de répartition de la loi t 1 (ν, 1) ; T n (ν, Σ) fonction de répartition de la loi t n (ν, Σ) Σ : matrice de covariance ; C ν,σ (u) = T n (ν, Σ)(tν 1 (u 1 ),..., tν 1 (u n )). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

81 PLAN 1 RAPPELS SUR LES VECTEURS ALÉATOIRES 2 RAPPELS SUR LA MÉTHODE DE MONTE CARLO Principe Simulation par inversion Vérifications 3 COPULES 2-DIMENSIONNELLES Fonctions de répartition bivariées Copules et théorème de Sklar Exemples 4 MESURER LA DÉPENDANCE 5 COPULES MULTI-DIMENSIONNELLES 6 GÉNÉRER DES VARIABLES CORRÉLÉES A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

82 PRINCIPE. 1 Choisir une copule C de dimension n et des marginales F 1,..., F n. 2 Générer U 1,..., U n, toutes uniformes sur [0, 1], via la copule C. Les v.a. U i sont donc corrélées. 3 Poser X i = F 1 i (U i ). Chaque X i a la loi marginale souhaitée, et les (X i ) 1 i n sont corrélés. REMARQUE. Les coefficients de corrélation linéaires des X i peuvent être très différents de ceux de la copule C. En revanche le ρ S et le τ K ne dépendent que de C. MATLAB La Statistics Toolbox connaît cinq types de copules : gaussienne, t, Clayton, Gumbel, Frank. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

83 GÉNÉRER DES COPULES. PAR MÉLANGE : une somme convexe de copules est une copule. Hu (2004) : sur indices (S&P 500, FTSE, Nikkei, Hang Seng). Combinaison convexe de gaussienne, de Gumbel, et de Gumbel Survival : C(u, v) = u + v 1 + C Gumbel (1 u, 1 v). Oakes (1982), Wang (2003) : occurence d un choc ou d un désastre. Très lié à l assurance-vie. Li (2000), etc. : risque de crédit. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

84 COPULES ARCHIMÉDIENNES. MÉTHODE 1 Générer R et S uniformes sur [0, 1] et indépendantes. 2 Résoudre S = T φ(t ) φ (T ), inconnue T. 3 Poser U = φ 1 (Rφ(T )), V = φ 1 ((1 R)φ(T )). PROPOSITION U et V sont uniformes sur [0, 1] et leur copule est archimédienne donnée par φ. EXEMPLE φ(u) = (u 1 1) θ, θ > 0. A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

85 EXTENSION EN DIMENSION n. MÉTHODE 1 Simuler n v.a. i.i.d. V 1,..., V n uniformes sur [0, 1]. 2 Pour k = 1, 2,..., n 1, poser S k = V 1/k k. 3 Trouver la solution (d inconnue T ) de : V n = F(T ). 4 Poser U 1 = φ 1 (S 1... S n 1 φ(t )), U n = φ 1 ((1 S n 1 )φ(t )) et pour k = 2,..., n 1 : U k = φ 1 (1 S k 1 ) Avec φ 1(n) dérivée n-ième de φ 1 et F(t) = n 1 j=k S j φ(t ). 1 t φ 1(n) (x)[φ(x)] n 1 φ (x)dx. (n 1)! 0 A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

86 COPULES GAUSSIENNES ET t-copules. V.A. GAUSSIENNES CORRÉLÉES : Γ R n n matrice de covariance. 1 Calculer A racine de Γ : Γ = AA T. 2 Générer n v.a. i.i.d. Z i, i = 1,..., n de loi N (0, 1). Z = (Z 1,..., Z n ). 3 Poser X = AZ T. LEMME X est un vecteur gaussien, de dimension n, centré et de matrice de covariance Γ. COPULES GAUSSIENNES : U i = N (X i ) avec N fonction de répartition de la loi N (0, 1) (normcdf en Matlab). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72

87 COPULES GAUSSIENNES ET t-copules. V.A. GAUSSIENNES CORRÉLÉES : Γ R n n matrice de covariance. 1 Calculer A racine de Γ : Γ = AA T. 2 Générer n v.a. i.i.d. Z i, i = 1,..., n de loi N (0, 1). Z = (Z 1,..., Z n ). 3 Poser X = AZ T. LEMME X est un vecteur gaussien, de dimension n, centré et de matrice de covariance Γ. t-copules : 1 Générer une v.a.r. S de loi χ 2 ν. 2 Poser Y = ν S X. 3 Calculer U i = T (Y i ), avec T fonction de répartition de la loi t de Student (tcdf en Matlab). A. Popier (Le Mans) Copules. Septembre / 72