Mathématique - Cours

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1 Mathématique - Cours Filière PRO Centre de Formation aux Métier de la Montagne Marine Estorge Le programme se compose ainsi : partie seconde PRO partie première PRO partie terminale PRO

2 Sommaire 1 Ensemble 2 Équations et inéquations - Système du 1 er degré 2.1 Équations du type f(x)=g(x) Résolution graphique Résolution algébrique 2.2 Équations - produits 2.3 Inéquations 2.4 Intervalles 2.5 Systèmes de deux équations à deux inconnues 2.6 Équation de droite 3 Équation du second degré Résolution algébrique Résolution graphique Factorisation 3.1 Inéquations 4 Fonctions 4.1 Vocabulaire 4.2 Représentation graphique Fonction affine 4.3 Opérations avec les fonctions 4.4 Résolution graphique 4.5 Fonction de référence 4.6 Fonctions du second degré 4.7 Tangente à une courbe - nombre dérivé 4.8 Dérivée et sens de variation d une fonction 4.9 Fonctions logarithmes 4.10 Fonctions exponentielles 4.11 Intégrale 5 Statistiques 5.1 Vocabulaire 5.2 Représentation des données 5.3 Indicateurs de tendance centrale 5.4 Indicateurs de dispersion 5.5 Diagramme en boîte à moustaches 5.6 Fluctuation d une fréquence 6 Probabilité 7 Suites 8 Géométrie 8.1 Les solides 8.2 Aires et Volumes 8.3 Agrandissement et réduction 8.4 Figure plane 8.5 Thalès et Pythagore

3 1 Ensemble N contient les nombres 0,1,2,3... C est l ensemble des entiers naturels. Z contient les nombres précédents ainsi que..., 2, 1,0,1,2... C est l ensemble des entiers relatifs. D contient les nombres précédents ainsi que les nombres qui peuvent s écrire sous la forme un entier naturel. C est l ensemble des nombres décimaux. Q contient les nombres précédents ainsi que toutes les fractions par exemple : 48,9;54, C est l ensemble des rationnels. R contient les nombres précédents ainsi que π, 2... C est l ensemble des nombres réels. ( 3 2, 10 3, 562 ) a avec a un entier relatif et n 10n C contient les nombres précédents ainsi que les nombres imaginaires (ex : i tel que i2 = -1) C est l ensemble des nombres complexes. (étudié en filière S) Nous avons donc les inclusions suivantes N Z D Q R C Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 3/40

4 2 Équations et inéquations - Système du 1 er degré 2.1 Équations du type f(x)=g(x) Résolution graphique Résoudre graphiquement une équation du type f (x) = g (x) revient à définir le ou les points d intersection des courbes représentatives des fonctions f et g. On peut voir sur le graphique que la solution de l équation f (x) = g (x) est le point d intersection des deux courbes. On peut lire graphiquement que l abscisse et l ordonnée du point [1;2]. Algébriquement ( on retrouve le point de coordonnées 12 7 ; 11 ) comme solution. 7 Résolution algébrique Résoudre une équation (respectivement une inéquation) d inconnue x, c est trouver toutes les valeurs possibles que l on peut donner à x pour que l égalité (respectivement l inégalité) soit vérifiée. Ce sont les solutions de l équation ((respectivement l inéquation). (1) 5x + 2 = 3x 4 5x = 3x 4 2 5x = 3x 6 5x 3x = 3x 6 3x 2x = 6 2x = x = 3 (2) 4x (x 2) = 5(1 + 2x) on développe : 4x x + 2 = x on réduit : 3x + 2 = x 3x = x 2 3x = 10x + 3 3x 10x = 10x x 7x = 3 7x = x = 3 7 (3) x 3 1 = x On réduit au même dénominateur 2x 6 1 = x 6 on multiplie chaque membre par 6 2x 1 = 9 6x 2x 1+1 = 9 6x+1 2x = 10 6x 2x+6x = 10 6x+6x 8x = 10 8x = x = 10 8 = 5 4 (4) Un grossiste livre 88 plantes à un fleuriste. Il y a des cyclamens et des azalées. Il y a trois fois plus d azalées que de cyclamens. Combien y a-t-il de cyclamens? Choix de l inconnue : Soit x, le nombre de cyclamens. - Mise en équation : 3x + x = 88 - Résolution de l équation 4x = 88 4x 4 = 88 4 x = 22 Conclusion : Il y a 22 cyclamens. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 4/40

5 2.2 Équations - produits Propriété P 1 : Un produit de facteurs est nul si l un, au moins, des facteurs est nul. (1) (3x 2)( x + 7) = 0 or P 1 donc 3x 2 = 0 ou x + 7 = 0 3x = 2 ou x = 7 x = 2 3 ou x = 7 L équation a deux solution : 2 3 et 7 (2) (2 3x)(x 4) (x 4)(5 + 2x) = 0 On factorise : (x 4)((2 3x) (5 + 2x)) = 0 (x 4)(2 3x 5 2x) = 0 (x 4)( 7 5x) = 0 or P 1 donc x 4 = 0 ou 7 5x = 0 3x = 4 ou x = 7 5 L équation a deux solution : 7 5 et 4 (3) x 2 = 9 x 2 9 = 0 (x 3)(x + 3) = 0 or P 1 donc x 3 = 0 ou x + 3 = 0 x = 3 ou x = 3 L équation a deux solution : 3 et Inéquations En ajoutant (ou retranchant) un même nombre aux deux membres d une inégalité, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. En multipliant (ou divisant) les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une nouvelle inégalité de même sens. En multipliant (ou divisant) les deux membres d une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire. (1) Résoudre 4x 9 2x 7 4x x x + 2x 2x x 2x 2 2x 2 2 < 0 x 1 Solutions 1 (2) Résoudre 1 2 x 1 < x x 2 < x (2x 2) < x 24 On réduit 5 2x < x x+2x < x 24+2x Solutions < 3x < 3x < x Intervalles x appartient à l intervalle C est l ensemble des nombres rééls x tel que Sa représentation graphique est [a;b] ]a;b] [a;b[ ]a;b[ a x b a < x b a x < b a < x < b L intervalle I =] 2;4] est l ensemble des rééls tels que 2 < x 4-2 n appartient pas à l intervalle I. On dit que le crochet devant 2 est ouvert. 4 appartient à l intervalle I. On dit que le crochet devant 4 est fermé. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 5/40

6 2.5 Systèmes de deux équations à deux inconnues Une solution d un système de deux équations à deux inconnues est un couple de nombre qui vérifie chacune des deux équations. x + 3y = 11 (2 ;3) est solution du système 2x y = 1 car = 11 et = 1 Un système de deux équations à deux inconnues peut se résoudre algébriquement par substitution ou par addition. (méthode pour la substitution) Substituer, c est remplacer par (mettre à la place de) : 3x + y = 7 (1) Avec le système suivant : 2x 3y = 1 (2) 1. Première étape : Isoler y dans l équation (1) et remplacer y par sa valeur dans l équation (2) y = 7 3x (1 ) 2x 3(7 3x) = 1 2. Deuxième étape : Conserver l équation (1 ) et effectuer les calculs dans l équation (2) y = 7 3x 2x ( x) = 1 y = 7 3x 11x 21 = 1 3. Troisième étape : Conserver l équation (1 ) et Calculer la valeur de x y = 7 3x 11x = = 22 y = 7 3x x = = 2 4. Quatrième étape : Remplacer x dans (1 ) par la valeur trouvée, et calculer y Conserver la valeur de x y = x = 2 y = 1 x = 2 x = 2 5. CONCLUSION : y = 1 ou S = (2 ;1). 3x + y = 7 Phrase de conclusion : Le système admet pour solution (2 ;1). 2x 3y = = 7 (1) Vérification : Égalités vérifiées = 1 (2) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 6/40

7 (méthode pour l addition) 3x + 2y = 7 (1) Résoudre le système : 5x 2y = 1 (2) Remarque : Coefficient de y dans (1) : 2 Coefficient de y dans (2) : -2 Ce sont deux nombres opposés Propriété à utiliser : On obtient une égalité en ajoutant membre à membre deux égalités. 1. Première étape : Écrire l équation obtenue en ajoutant membre à membre les équations (1) et (2) et conserver l une des deux équations ( (1) ou (2) ) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y = 7 (1) 3x + 2y + 5x 2y = (2) 8x = 8 (2) x = 1 (2) 2. Deuxième étape Conserver la valeur de x et remplacer x par sa valeur et calculer y y = 7 (1) 4 + 2y = 7 (1) 2y = 7 4 (1) 2y = 3 (1) x = 1 (2) x = 1 3. CONCLUSION : y = 3 2 Phrase de conclusion : Le système Vérification : = 7 (1) x = 1 (2) ou S = (1 ; 3 2 ). 3x + 2y = 7 5x 2y = = 1 (2) Égalités vérifiées x = 1 (2) admet pour solution (1 ; 3 2 ). x = 1 (2) y = 3 2 (1) x = 1 (2) 2.6 Équation de droite Détermination de l équation d une droite passant par 2 points (son équation peut se mettre sous la forme y = ax + b ) Détermination de l équation de la droite passant par les points : A( 1; 5) et B(2;4) 5 = a + b (1) 4 = 2a + b (2) Remplaçons a par sa valeur dans l équation (1) = L équation de la droite est y = 3x 2. (1) (2) 9 = 3a a = 9 3 = 3 5 = 3 + b b = = 2 b = 2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 7/40

8 3 Équation du second degré Une équation du second degré a pour forme générale : ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Les solutions, si elle existent, sont les abscisses les points d intersection de la parabole P d équation y = ax 2 + bx + c et l axe (ox) d équation y = 0 Résolution algébrique Pour résoudre l équation ax 2 + bx + c = 0 (avec a 0) : 1. On calcul le nombre = b 2 4ac. Ce nombre est appelé discriminant de l équation. Trois cas sont possible : a) si < 0, l équation n a pas de solution b) si = 0 l équation a une solution unique : x 0 = b 2a c) si > 0 l équation a deux solutions distinctes : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a Résoudre : 3x 2 + 5x 5 = 0 1. Identification : a = 3, b = 5 et c = 5 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 3) ( 5) = 35 D où = 35 < 0, donc l équation n a pas de solution. Résoudre : 4x 2 4x + 1 = 0 1. Identification : a = 4, b = 4 et c = 1 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 4) = 0 D où = 0, donc l équation a une solution. 3. Calcul de la solution : x 0 = b 2a = ( 4) 2 4 = 1 2 Résoudre : 2x 2 5x 3 = 0 1. Identification : a = 2, b = 5 et c = 3 2. Calcul de : = b 2 4ac = ( 5) ( 3) = 49 D où = 49 > 0, donc l équation a deux solutions. 3. Calcul des solutions : x 1 = b 2a x 2 = b + 2a = ( 5) = ( 5) = = = 1 2 = 12 4 = 3 4. La solution de l équation est Les solutions de l équation sont 1 2 et 3 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 8/40

9 Résolution graphique 1. La parabole (P) coupe l axe des abscisses (ox) en deux points A et B : Les deux solutions distinctes sont les abscisses des points d intersection de (ox) et P. L équation x 2 + x 6 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 + x 6 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Les points d intersection A et B ont pour coordonnées respectives ( 3,0) et (2,0) Les abscisses x A = 3 et x B = 2 sont solutions de l équation x 2 + x 6 = 0. Vérification : ( 3) 2 + ( 3) 6 = 0 et = 0 2. L axe (ox) est tangent à la parabole (P) au point I : La solution est l abscisse du point de tangence de la droite à la parabole. L équation x 2 4x + 4 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 4x + 4 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) Le point d intersection I a pour coordonnées (2, 0) L abscisse x I = 2 est solutions de l équation x 2 4x + 4 = 0. Vérification : = 0 3. L axe (ox) ne coupe pas la parabole (P) : L équation n a pas de solution dans ce cas. L équation x 2 x 2 = 0 a) On trace la parabole P d équation y = x 2 x 2 b) On lit sur l axe (ox) d équation y = 0 c) On ne trouve aucun point commun In n existe donc pas de réel x pour lequel x 2 x 2 = 0. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 9/40

10 Factorisation 1. si > 0 le polynôme ax 2 + bx + c a deux racines x 1 et x 2 et il se factorise comme suit : ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) 2. si = 0, ax 2 + bx + c admet une seule racine x 0 telle que : ax 2 + bx + c = a(x x 0 ) 2 3. si < 0, ax 2 + bx + c n a pas de racine, il ne peut être factorisé. Remarque : Dans le cas où l équation à résoudre peut se mettre immédiatement sous forme de produit de facteur, on n utilise pas la méthode du discriminant. Il sera plus rapide de factoriser l équation. 3.1 Inéquations Résoudre : 3x 2 9x = 0 3x 2 9x = 0 3x(x 3) = 0 3x = 0 x = 0 ou x 3 = 0 x = 3 D où les solutions x 1 = 0 et x 2 = 3 Objectif : trouver le signe du trinôme ax 2 + bx + c avec a 0 1. Cas où > 0 on a le schéma suivant : x x 1 x 2 + Signe de ax 2 + bx + c Signe de a 0 Signe de a 0 Signe de a Signe de a pour x ] ; x 1 [ ]x 2 ;+ [ et Signe de a pour x ]x 1 ; x 2 [ 2. Cas où = 0 ou < 0 : dans ce cas le polynôme ax 2 + bx + c est toujours du signe de a Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 10/40

11 4 Fonctions 4.1 Vocabulaire (Notion de fonction) Définir une fonction f sur un intervalle [a;b], c est donner un procédé qui, à chaque valeur de la variable x de l intervalle [a,b], fait correspondre un nombre noté ( f (x). On dit que le nombre x a pour image le nombre f (x) par la fonction f. Inversement, le nombre f (x) a pour antécédent le nombre x. (Fonction affine) Soient a et b des nombres quelconques. Définir la fonction affine f,c est associer à tout nombre x le nombre ax +b. On note Cas particuliers : si a = 0, alors f est une fonction constante. si b = 0, alors f est une fonction linéaire. f : x ax + b Toute situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire. (Extremum) Un extremum est un maximum ou un minimum. f : x 4x + 2 L image de 3 par f est f ( 3) = 4 ( 3) + 2 = 10. Un nombre qui a pour image 4 par f est un nombre x tel que : f (x) = 4 soit 4x + 2 = 4 c est-à-dire 4x = 2 soit x = 0,5. L image de 2 est 2 L image de 1 est 2 L antécédent de 4 est 2 Les antécédents de 2 sont 4 et 4 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 11/40

12 4.2 Représentation graphique (Ensemble de définition) L ensemble de définition d une fonction f est l ensemble des nombres réels qui ont une image par la fonction f. (Domaine d étude) Le domaine d étude d une fonction f est la partie du domaine de définition sur laquelle la fonction f doit être étudiée. (Graphe d une fonction) Le graphe d une fonction f dans le plan muni d un repère est composé de tous les points dont l abscisse est un nombre du domaine d étude de la fonction et dont l ordonnée est l image de cette abscisse par la fonction f. Remarque Toute courbe n est pas le graphe d une fonction. Un nombre x du domaine de définition ne peut avoir, au plus, qu une seule image par la fonction f. Ici trois points de la courbe x 2 + x y + x y 3 + 3y 2 y = 1 ont pour abscisse 0 : Fonction affine La représentation graphique de la fonction f dans un repère est l ensemble des points de coordonnées (x; f (x)) dans ce repère. La représentation de la fonction affine f : x ax+b est la droite (d) d équation y = ax+b. Cette droite passe par le point de coordonnées (0;b). a est le coefficient directeur de (d), b est l ordonnée à l origine de (d). Cas particuliers : La représentation graphique de la fonction constante f : x b est la droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par le point de coordonnées (0 ; b). La représentation graphique de la fonction linéaire f : x ax est la droite qui passe par l origine du repère et par le point de coordonnées (1; a). (Sens de variation d une fonction affine) Soit la fonction affine f : x ax + b ; x 1 et x 2 désignent deux nombres distincts. On a : a = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 Une fonction affine est croissante si a > 0 et décroissante si a < 0 Ci joint à droite : Fonction constante : y = 3 a = 0 et b = 3 Fonction linéaire décroissante : y = 2x a = 2 et b = 0 Fonction affine croissante : y = 4x + 2 a = 4 et b = 2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 12/40

13 Cours- Filière PRO 4.3 Opérations avec les fonctions (Variations et représentations) Les fonctions h : x 1, g : x x et f : x x 2 sont des fonctions de référence. Les représentations graphiques de ces fonctions sont données ci-contre. La fonction h : x 1 est définie pour tout x : D h = R =] ; + [. Elle est constante sur D h. Elle est représentée par la droite horizontale d équation y = 1 La fonction g : x x est définie pour tout x : D g = R =] ; + [. Elle est croissante sur D g. Elle est représentée par la droite d équation y = x. C est la fonction identité. La fonction f : x x 2 est définie pour tout x : D f = R =] ; + [. Elle est décroissante sur R =] ; 0] et croissante sur R+ = [0; + [. Elle est représentée par la parabole d équation y = x 2 (Addition d une constante) Lorsqu onajoute une constante k à une fonction f, on obtient une fonction g qui a le même sens de variation que f. Les fonctions h : x x 2 2, g : x x ont le même sens de variation que la fonction de référence f : x x 2 (Multiplication par une constante) Lorsqu on multiplie une fonction f par une constante k positive (k R+ ), on obtient une fonction g qui a le même sens de variation que f. Lorsqu on multiplie une fonction f par une constante k négative (k R ), on obtient une fonction g qui varie en sens contraire de f. La fonction i : x 0, 5x 2 a le même sens de variation que la fonction de référence f : x x 2 La fonction i : x 2x 2 varie en sens contraire par rapport à la fonction de référence f : x x 2 (Résolution graphique f (x) = c ) Les solutions, si elles existent, de l équation f (x) = c (où c est un nombre donné) sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative C f de la fonction f et de la droite D d équation y = c. Les solutions de l équation i (x) = 2 sont 2 et 2. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 13/40

14 4.4 Résolution graphique (Signe d une fonction) Soit c la courbe représentative de la fonction f définie sur un intervalle I. Lorsqu elles existent, les solutions de l équation f (x) = 0 sont les abscisses des points d intersection de C avec l axe des abscisses. Lorsqu elles existent, les solutions de l inéquation f (x) > 0 (respectivement f (x) < 0) sont les abscisses des points de c situés au-dessus (respectivement en dessous) de l axe des abscisses. Soit la fonction f définie par f (x) = x 3 x 2 2x sur l intervalle [-1,5 ;3]. La courbe représentative C f de f coupe l axe des abscisses en trois points d abscisses : -1, 0 et 2. L équation f (x) = 0 a donc trois solution qui sont -1, 0 et 2. Les solution de l inéquation f (x) 0 sont les nombres x tels que : 1 x 0 et 2 x 3 Les solutions de l inéquation f (x) < 0 sont les nombre x tels que : 1,5 < x < 1 ou x < 2. (Comparaison de deux fonctions) f et g sont deux fonctions définies sur un intervalle I. Soit c f la courbe représentative de la fonction f et C g celle de la fonction g. Lorsqu elles existent, les solutions de l équation f (x) = g (x) sont les abscisses des points d intersection des courbes C f et C g. Lorsqu elles existent, les solutions de l inéquation f (x) > g (x) (respectivement f (x) < g (x)) sont les valeurs de x telles que le point de C f d abscisse x est au-dessus (respectivement en dessous) du point de C g de même abscisse. Soit f définie précédemment. On donne de plus la fonction g telle que : g (x) = 0.5x 0.5 sur l intervalle [-1,5 ;3]. Elle est représentée par C g. La courbe C f et la courbe C g se coupent en deux points d abscisses : -1,3 et 0.2. L équation f (x) = g (x) a donc deux solution qui sont -1,3 et 0.2. Les solution de l inéquation f (x) g (x) sont les nombres x tels que : 1.3 x 0.2 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 14/40

15 4.5 Fonction de référence (Fonction carré) Elle est définie par f : x x 2 pour tout x Elle est décroissante sur R =] ;0] et croissante sur R + = [0;+ [. Elle est représentée par une parabole (Fonction inverse) Elle est définie par f : x x 2 pour tout x 0 Elle est décroissante sur R =] ;0[ et décroissante sur R + =]0;+ [. Elle est représentée par une hyperbole (Fonction cube) Elle est définie par f : x x 3 pour tout x Elle est croissante sur R =] ;+ [. (Fonction racine carré) Elle est définie par f : x x pour tout x 0 Elle est croissante sur R + = [0;+ [. 4.6 Fonctions du second degré (second degré) Une fonction polynôme de degré 2 f est définie sur R par f (x) = ax 2 + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels donnés et a 0 Propriété (1) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c, alors f admet un extremum pour α = b 2a Propriété (2) Soit f une fonction polynôme de degré 2, telle que f (x) = ax 2 + bx + c : Si a est positif, f est d abord décroissante, puis croissante ( l extremum est un minimum) Si a est négatif, f est d abord croissante, puis décroissante ( l extremum est un maximum) Propriété (3) L équation f (x) = 0 à une, deux ou aucune solution. (cf. équations du second degré). Même équation que partie équation du second degré : f (x) = 2x 2 5x 3 : a > 0 et > 0 g (x) = 4x 2 4x + 1 : a > 0 et = 0 h(x) = 3x 2 + 5x 5 : a < 0 et < 0 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 15/40

16 4.7 Tangente à une courbe - nombre dérivé (Approximation affine) La droite qui approche au mieux la courbe représentative d une fonction au voisinage d un point A est appelée tangente à la courbe au point A. Elle représente la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage de ce point. En ce point, et uniquement, en ce point précis, la tangente et la courbe se confondent. (Nombre dérivé) Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point α d abscisse x α. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point de coordonnées (x α, f (x α )) est appelé nombre dérivé de f en x α. Le nombre dérivé de f en x α est noté f (x α ). Soit C f la courbe représentative d une fonction f, T α la tangente à C f au point α d abscisse 2 et T β la tangente à C f au point β d abscisse 1 3. On trouve l équation de la tangente : Par lecture graphique : On lit sur le graphique le coefficient directeur de la tangente à C f au point α d abscisse 2 : il vaut 10. Donc le nombre dérivé de f en 2 vaut 10 : f (2) = 10 D où : T (x) = 10x + b Puis on lit b au niveau de l intersection de la courbe T α avec l axe des ordonnées : b = 13 T (x) = 10x 13 f (x) = 3x 2 2x 1 et f (x) = 6x 2 L équation de la tangente au point α d abscisse 2 est donc : T (x) = f (2)(x 2) + f (2) T (x) = [6 2 2)](x 2) + [ ] T (x) = [12 2](x 2) + [12 4 1] T (x) = 10(x 2) + 7 = 10x 13 La courbe T α représente la tangente pour x = 2. (Équation réduite d une tangente) Soit f une fonction dont la courbe représentative admet une tangente au point α d abscisse x α. La tangente passe par α et a pour coefficient directeur f (x α ). L équation réduite de la tangente est y = f (x α )x + b ou y = f (x α ) (x x α ) + f (x α ) Le point α de l exemple précédent a pour coordonnées (2 ;7) et le nombre dérivé de f en 2 vaut 10 : f (2) = 10 La tangente T à C f au point α a pour équation réduite : y =f (x α ) (x x α ) + f (x α ) y =f (2) (x 2) + f (2) y =10 (x 2) + 7 y =10x y =10x 13 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 16/40

17 4.8 Dérivée et sens de variation d une fonction (Fonction dérivée) Soit f une fonction admettant un nombre dérivé pour tout point d un intervalle I. La fonction dérivée de f est la fonction qui, à tout point de I, fait correspondre le nombre dérivé de f en ce point. Elle est noté f (Calcul d une dérivée) Si f (x) = Domaine de dérivabilité Alors f (x) = 1 k, k R R 0 2 kx, k R R k 3 kx + b, k R R k 4 x 2 R 2x 5 x 3 R 3x 2 6 x n R nx n x, x 0 R 1 x 2 8 x, x 0 R + 1 =]0;+ [ 2 x 9 u(x) + v(x) D u D v u (x) + v (x) 10 k u(x), k R D u k u (x) f (x) = x x x + 2 : 1. ensemble de définition : R = R\{0} 2. dérivons chaque membre : g (x) = x 2 g (x) = 2x d après (3) h(x) = 1 x h (x) = 1 x 2 d après (6) i(x) = x i (x) = 1 d après (2) j (x) = 2 j (x) = 0 d après (1) Or f (x) = g (x)+h (x)+i (x)+ j (x) d après (8) D où f (x) = 2x 1 x = 1 x 2 + 2x 1 (Signe de la dérivée et sens de variation d une fonction) Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I = [a;b]. Pour toute valeur de x appartenant à I : Si f (x) = 0, alors f est constante sur I Si f (x) > 0, alors f est croissante sur I Si f (x) < 0, alors f est décroissante sur I x a b Signe de f (x) + Variations f (b) de f f (a) x a b Signe de f (x) - Variations f (a) de f f (b) Soit f la fonction définie sur I = [ 5;6] par f (x) = 3x + 5. Sa dérivée f est égale à : f x) = 3 qui est positif pour tout x I. Donc la fonction f est croissante sur I. x 5 6 Signe de f (x) + Variations f (6) de f f ( 5) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 17/40

18 4.9 Fonctions logarithmes (Fonction logarithme népérien) La fonctions logarithme népérien, notée ln, est la fonction définie pour x > 0 (D ln =]0;+ [, dont la dérivée est la fonction x 1 x sur ]0;+ [, et qui s annule en 1. ln : x ln(x) Par définition, ln(1) = 0 et ln (x) = 1 x La fonction ln est croissante sur l intervalle ]0; + [ Le nombre e est le nombre tel que ln(e) = 1. Une valeur approchée de e au dixième est 2,7 La courbe représentative de la fonction ln : Propriété a et b sont deux nombres strictement positifs ; n est un entier positif ou négatif. ( a,b R + et n Z) ln(a b) = ln(a) + ln(b) ; log(a b) = log(a) + log(b) ( a ) ( a ) ln = ln(a) ln(b) ; log = log(a) log(b) ; b b ln(a n ) = n ln(a) ; log(a n ) = n log(a) ln(21) = ln(3 7) = ln(3) + ln(7) ; log(4) + log(5) = log(4 ( ) 5) = log(20) 10 ln(10 ln(3) = ln ; ( ) 3 3 log = log(3) log(4) 4 ln(25) = ln(5 2 ) = 2ln(5) ; 3 log(4) = log(4 3 ) = log(64) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 18/40

19 4.10 Fonctions exponentielles (Fonction exponentielle de base e) Soit b un nombre quelconque. Le nombre noté e b est la solution unique de l équation ln(x) = b. La fonction exponentielle de base e est définie pour tout nombre x et s écrit : x e x Valeurs particulières : e 0 = 1, e 1 = e et e x > 0 pour tout x Propriété : Pour x > 0, si ln(x) = b, alors x = e b Pour b > 0, si e x = b, alors x = ln(b) Dérivé : Si f (x) = e x alors f (x) = e x Variations : ] ;+ [ Courbe représentative : La fonction exponentielle de base e est croissante sur Si ln(x) = 5, alors x = e 5. Si e x = 3,5, alors x = ln(3,5) (Fonction exponentielles du type x e ax ) Soit la fonction définie pour tout x par f (x) = e ax (a constante non nulle) alors f (x) = a e ax. f est croissante si a > 0 et décroissante si a < 0. f (x) = e 0,5x f (x) = 0,5 e 0,5x 0,5 > 0 : la fonction f est donc croissante : f (x) = e 0,5x f (x) = 0,5 e 0,5x 0,5 > 0 : la fonction f est donc décroissante : Propriété Pour x et y deux nombres quelconques et n un entier positif ou négatif : e x e y = e x+y e x e y = ex y (e x ) n = e x n e 1,2 e 3 = e 1,2+( 3) = e 1,8 ; e 2+x = e 2 e x ; e 5 e 8 = e5 8 = e 3 (e 3 ) 4 = e 3 4 = e 12 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 19/40

20 4.11 Intégrale (Primitive d une fonction) Une fonction F est une primitive d une fonction f sur un intervalle I si, pour tout x de ect intervalle I, la fonction f est la dérivée de F : F (x) = f (x) Toutes les primitives de la fonction f sont les fonctions F définies par F (x) + k où k est une constante réelle quelconque (k R). Fonction f f (x) = a Primitive F F (x) = ax + k f (x) = x f (x) = x 2 f (x) = x 3 F (x) = 1 2 x2 + k F (x) = 1 3 x3 + k F (x) = 1 4 x4 + k f (x) = x n ; n 1 F (x) = 1 n + 1 xn+1 + k f (x) = 1 x ; x > 0 F (x) = ln(x) + k Soit f la fonction définie pour tout x par f (x) = 4x 2 5x : Les primitives F de f sont données par F (x) = 4 3 x3 5 2 x2 + k Soit g la fonction définie pour tout x strictement positif par g (x) = 3 x : Les primitives G de g sont données par G(x) = 3ln(x) + k f (x) = u(x) + v(x) f (x) = a u(x) ; a R F (x) = U(x) +V (x) F (x) = a U(x) (Intégrale définie d une fonction) Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle [a;b]. Le nombre F (b) F (a) (indépendant de a primitive F choisie) est appelé intégrale définie de la fonction f entre les valeurs a et b de la variable. Les nombres a et b sont les bornes d intégration. On écrit : b a f (x)dx = F (b F (a) ou b a f (x)dx = [F (x)] b a = F (b F (a) Le symbole b a f (x)dx se lit somme de a à b de f (x)dx Dans le cas d une fonction f positive et définie sur l intervalle [a;b], l aire A du domaine limité par la courbe représentative de f, l axe des abscisses et les droites d équations x = a et x = b est égale à l intégrale définie de f sur l intervalle [a; b]. Elle s exprime en unité d aire du repère : A = b a f (x)dx Soit l intégrale I = 2 1 f (x)dx, f étant définie pour tout x par f (x) = 2x + 3 Une primitive de f est : F (x) = x 2 + 3x. On a : F (2) = 10 et F (1) = 4 I = 2 1 (2x + 3)dx = F (2) F (1) = 10 4 = 6 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 20/40

21 5 Statistiques 5.1 Vocabulaire On appelle population statistique l ensemble des individus sur lesquels porte l étude statistique. On appelle effectif total de la population statistique le nombre d éléments de l ensemble de cette population. On appelle variable statistique ou caractère, la chose que l on étudie et qui est commune à tous les individus de la population de référence. L ensemble des résultats s appelle série statistique. Une série statistique est composée de valeurs. Le nombre de fois où une valeur est répétée s appelle l effectif de cette valeur. La somme des effectifs donne l effectif total de la série statistique. Au CFMM, il y a 82 élèves en filière PRO (seconde, première, terminales) il y a 58 élèves en filière TECH il y a 90 élèves en filière BTS La population statistique est l ensemble des élèves du CFMM. L effectif total est = 230 La variable statistique étudiée est la filière de chaque élèves. L effectif des élèves en filière PRO est 82. Une variable est dite quantitative si elle est représentée par un nombre. Une variable qui n est pas quantitative est qualitative. Une variable quantitative est dite discrète si elle ne prend que des valeurs isolées. Une variable quantitative est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs comprises entre 2 nombres. Un âge, une distance, une durée, une note sont des variables quantitatives. Une couleur, un diplôme, un prénom sont des variables qualitatives. Un âge, une note arrondie au demi-point sont des variables discrètes. La distance entre le domicile et le collège est une variable quantitative continue. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 21/40

22 5.2 Représentation des données tableau (1) une enquête réalisée dans un village porte sur le nombre d enfants à charge par famille. Chaque famille interrogée a donc donné un chiffre correspondant au nombre d enfants. Les résultats sont donnés dans la liste ci dessous (une case par résultat) (2) Voici les notes obtenues par des élèves lors d un examen ,2 17,5 14,6 16,3 8,8 12 7,7 7 15,1 5,9 19,3 6,2 10,6 5 8,4 7,1 12 9,5 2, ,5 17,2 14,1 8 3,1 10,5 11,1 18,1 3,4 12 9,3 4,3 13,3 11,5 13,8 14,9 5,2 6,4 10, ,7 16,4 7,6 4 (Représentation en tableau) La présentation brute des résultats n est guère exploitable, il est donc usuel de regrouper les résultats par valeurs identiques dans un tableau. Pour l exemple 1, 8 familles n ont pas d enfants, donc 8 sous la case 0. Nombre d enfants TOTAL Nombre de familles Pour l exemple 2, il n est pas pratique de prévoir une case par note! Les variables continues sont donc "toujours" regroupées par classes d amplitudes égales. Ici, on a choisi de regrouper les notes par classes d amplitude 4. Notes obtenues [0; 4[ [4; 8[ [8; 12[ [12; 16[ [16; 20[ TOTAL Effectifs (amplitude) Si une distance d est comprise entre 2 km (valeur incluse) et 5 km (valeur exclue), on notera 2 d < 5 ou bien d [2;5[. On parle alors de la classe deux-cinq, l amplitude de cette classe est 5 2 = 3. Diagrammes en barres ou bâtons Ce type de représentation est adapté aux variables discrètes, quantitatives ou qualitatives. On affecte une barre à chaque valeur possible de la variable. Règles de construction : La longueur de chaque barre est proportionnelle à l effectif d une valeur. La largeur de chaque barre est identique. Deux barres voisines ne se touchent pas. Si la largeur des barres est nulle, on parle de bâtons. On peut ne pas représenter l étendue complète des valeurs, mais on prend au minimum toutes les valeurs entre les 2 valeurs extrêmes. Pensez à mettre des légendes sur les axes et un titre au dessin. Avec l exemple 1 : Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 22/40

23 Histogramme Ce type de représentation est adapté aux variables continues (donc quantitatives) regroupées en classes. On affecte un rectangle à chaque classe. A la différence des barres du diagramme précédent qui représentent une unique valeur, un rectangle correspond à toutes les valeurs possibles entre les 2 valeurs extrêmes de la classe. Règles de construction : La largeur de chaque rectangle est proportionnelle à l amplitude de la classe. L aire de chaque rectangle est proportionnelle à l effect if d une valeur. On peut ne pas représenter l étendue complè te des valeurs, mais on prend au minimum toutes les valeurs entre les 2 valeurs extrêmes. Pensez à mettre des légendes sur les axes et un titre au dessin. Avec l exemple 2 (par classe) : Diagramme en secteurs Ce type de représentation est adapté aux variables qualitatives. On affecte un secteur à chaque valeur possible de la variable. Règles de construction : L aire des secteurs est proportionnelle à la fréquence. Le rayon de chaque secteur est identique. On peut ne pas représenter l étendue complète des valeurs, mais on prend au minimum toutes les valeurs entre les 2 valeurs extrêmes. Pensez à mettre des légendes sur les axes et un titre au dessin. Avec l exemple des élèves de CFMM Pour 300 acheteurs sur Internet, on illustre les caractères situation géographique (qualitatif), nombre d acheteurs (quantitatif discret) et montant de la dépense (quantitatif en classes). Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 23/40

24 5.3 Indicateurs de tendance centrale (Moyenne) La moyenne d une série statistique est obtenue en divisant la somme des valeurs par l effectif total n. A faire la somme des produit de chaque valeur par son effectif divisé par l effectif total. Remarque : Lorsque les valeurs sont regroupées en classes, la somme des valeurs est obtenue en multipliant chaque valeurs centrale par l effectif de la classe. (Médiane) La médiane d une série statistique de n valeurs classées par ordre croissant est : la valeur du milieu si n est impair la demie somme des deux valeurs du milieu, si n est pair La médiane est le nombre se trouvant au "milieu" de la série, c est-à-dire qu il y a autant d effectif à droite de ce nombre qu à gauche. Interprétation : 50% des valeurs de la série sont inférieures, réciproquement supérieures, ou égales à la médiane. Avec l exemple 1 : Moyenne : x = = = ,02 Médiane : 46 valeurs donc la médiane est la somme de la 23 ème et de la 24 ème valeurs divisée par 2 soit : = 2 2 Avec l exemple 2 (par classe) : Moyenne : x = = = ,53 Médiane : 45 valeurs donc la médiane est la valeur centrale de la 23 ème valeurs : 10 (mode) Le mode est la valeur la plus fréquente. Lorsque les données sont regroupées par classe on parle alors de classe modale. 5.4 Indicateurs de dispersion (Étendue) L étendue de la série quantitative est la différence entre le plus grand caractère et le plus petit. (Quartile) Le premier quartile Q 1 est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 25% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Le troisième quartile Q 3 est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 75% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Avec l exemple 1 : Étendue : 7-0 = 7 Q 1 : 25% de 46 = 11,5 12 ème valeurs : 1 Q 3 : 75% de 46 = 34,5 35 ème valeurs : 3 Avec l exemple 2 (par classe) : Étendue : 18-2 = 16 Q 1 : 25% de 45 = 11,... valeur centrale de la 12 ème valeurs : 6 Q 3 : 75% de 45 = 33,... valeur centrale de la 34 ème valeurs : 14 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 24/40

25 (écart interquartile) L écart interquartile Q 3 Q 1 est un indicateur de dispersion associé à la médiane. Interprétation : c est l écart maximal entre les valeurs de la moitié centrale de la série ; plus l écart interquartile est grand, plus la dispersion est importante. (écart type) L écart type σ (sigma), fourni par la calculatrice ou le tableur, est un indicateur de dispersion associé à la moyenne. Interprétation : plus l écart type est grand, plus la dispersion est importante. Avec l exemple 1 : Q 3 Q 1 : 2 σ : 1,81 Avec l exemple 2 (par classe) : Q 3 Q 1 : 8 σ : 4, Diagramme en boîte à moustaches La boîte est limitée par Q 1 et Q 3 et montre la médiane ; sa longueur est Q 3 Q 1. Les moustaches sont limitées par les valeurs extrêmes. Avec l exemple 1 : Avec l exemple 2 (par classe) : 5.6 Fluctuation d une fréquence (fréquence) La fréquence d une donnée est le quotient de son effectif par l effectif total. effectif de la valeur effectif total effectif de la valeur On calcule la fréquence d une valeur en pourcentage, en effectuant le calcul suivant : 100 effectif total Prendre au hasard un élément d une population signifie que chaque élément a les mêmes chances d être tiré. Un échantillon aléatoire de taille n est obtenu lorsqu on prend au hasard n éléments de la population. Si la population est peu importante, on effectue ces tirages avec remise. Le fichier d une entreprise comporte les fiches de ses nombreux clients. Pour effectuer une enquête, on prélève 50 fiches au hasard. C est un échantillon aléatoire de taille 50. Une urne contient 30 boules rouges et 20 boules bleues. On effectue 10 tirages avec remise (on note la couleur de chaque boule prise au hasard et on la remet dans l urne). On a obtenu : R, R, B, R, R, B, R, R, R, B. C est un échantillon aléatoire de taille 10. On considère une population où la fréquence d un caractère est p. On prélève dans cette population un échantillon aléatoire de taille n. La fréquence du caractère dans cet échantillon est notée f. Il est probable que f soit proche de p, mais ces fréquences peuvent ne pas être égales, voire éloignées, sous les effets du hasard. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 25/40

26 Cours- Filière PRO On reprend l exemple de l urne précédente, où l on s intéresse aux boules rouges. La fréquence des boules rouges dans l urne (la population) est p = 7 30 = 0, 6. La fréquence des boules rouges dans l échantillon est f = = 0, Si l on prélève plusieurs échantillons de même taille, les fréquences obtenues varient. On dit que la fréquence étudiée fluctue. Pour mesurer cette fluctuation, on peut calculer l étendue des fréquences en effectuant la soustraction de la plus grande fréquence et de la plus petite. Dans le cas de l urne précédente, on prélève 6 échantillons de taille 10. Pour la fréquence des boules rouges, on observe (par exemple) les fluctuations suivantes entre les 6 échantillons : 0, 7 ; 0, 8 ; 0, 6 ; 0, 6 ; 0, 7 ; 0, 5. L étendue des fréquences est 0, 8 0, 5 = 0, 3 (Distribution d échantillonnage d une fréquence) On considère une population où la fréquence d un caractère est p, dans laquelle on prélève au hasard N échantillons de même taille n. La liste des fréquences f 1, f 2,..., f N du caractère, obtenue sur les N échantillons, constitue une distribution d échantillonnage de la fréquence étudiée. Une urne contient 60% de boules rouges et 40% de boules bleue. On prélève avec remise N = 50 échantillons aléatoires de même taille n = 100. On observe la distribution d échantillonnage suivante de la fréquence des boules rouges. Numéro de l échantillon Fréquence des boules rouges ,61 0,60 0,64 0,53 0, ,55 0,62 0,60 0,51 (Moyenne d une distribution d échantillonnage) Lorsque la taille n ou le nombre N des échantillons sont assez importants, la moyenne f de la distribution d échantillonnage est proche de la fréquence p dans la population. f = (0, , , , , , , , , 51) 50 = 0, 5994 Cette valeur est très proche de la fréquence dans l urne : p = 0, 60 (Intervalle de fluctuation à 95%) Sous certaines conditions (n assez grand, p ni très petit, ni très grand), la probabilité d une échantillon aléatoire de taille n 1 1 fournisse une fréquence dans l intervalle p p ; p p est au moins 0,95. n n On a p = 0, 6 et n = 100. L intervalle de fluctuation à 95% est [0, 6 0, 1 : 0, 6+0, 1], c est-à-dire [0, 5; 0, 7]. Sur les 50 échantillons ci-dessus, 2 fournissent une fréquence en dehors de cet intervalle et 48, soit 96%, à l intérieur de l intervalle. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 26/40

27 Statistique à deux variables (Nuage de points et point moyen) Une série statistique à deux variables est donnée sous forme d un tableau : Variable 1 : x i x 1 x 2 x 3... x n Variable 2 : y i y 1 y 2 y 3... y n Dans un repère, les points de coordonnées (x i ; y i ) constituent le nuage de points représentant la série statistique. Le point moyen du nuage a pour coordonnées ( x; ȳ) où x est la moyenne des x i et ȳ est la moyenne des y i. Il est situé au centre du nuage. (Ajustement affine) Lorsque le nuage a une forme allongée, on peut rechercher une droite passant par le point moyen et au plus près des autres points : c est un ajustement affine du nuage. L équation y = ax + b de la droite d ajustement donne la tendance de l évolution de y en fonction de x. La série suivante correspond au poids et aux tailles de 9 nouveaux-nés d une maternité. Poids x i en kg 2,76 3,56 3,38 2,92 3,22 2,84 2,93 4,28 3,72 Tailles y i en cm Le point moyen G a pour coordonnées le poids moyen des 9 bébés, x = 3,29 kg, et la taille moyenne ȳ = 50 cm. Il semble que plus un bébé est lourd, plus sa taille a tendance à être grande. Le tableur fournit la droite d équation y = 3,9034x + 37,158 comme ajustement affine du nuage précédent. Cette équation indique comment la taille des bébés à la naissance a tendance à augmenter lorsque leur poids de naissance augmente. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 27/40

28 6 Probabilité (Expérience aléatoire) Une expérience aléatoire est une expérience réelle, décrite de façon assez précise pour être reproductible, et dont le résultat est imprévisible. Le lancer d un ou de plusieurs dés, le tirage de cartes ou de numéros sont des expériences aléatoires : on connait les résultats possibles mais on ne sait pas lequel va se produire avant l expérience réalisée (Éventualités - Univers) Les résultats possibles d une expérience aléatoire sont appelés éventualités ou issues. L ensemble des éventualités est appelé univers ; on le note souvent Ω On lance un dé cubique. Les issues sont : 1, 2, 3, 4, 5 et 6. L univers est Ω = {1;2;3;4;5;6} (ensemble des nombres) (Événements) Une partie de l univers est appelée événement. Un événement élémentaire est un événement constitué d une seule éventualité Deux événements, A et B sont contraires lorsque leur réunion est l univers (A B = Ω) et leur intersection est vide (A B = ) On lance un dé cubique. L événement obtenir un nombre impair est constitué des nombres 1 ; 3 ; 5 ; L événement contraire est constitué de 2 ; 4 ; 6 L événement obtenir six est constitué du nombre 6 : c est un événement élémentaire. L événement obtenir 8 est, ensemble vide : c est l événement impossible. L événement obtenir un nombre inférieur à 10 est égal à l univers Ω : c est l événement certain (Probabilité) La probabilité d un événement est un nombre compris entre 0 et 1 0 est la probabilité de l événement impossible et 1 est la probabilité de l événement certain. Modéliser une expérience aléatoire consiste à attribuer une probabilité à chacun des résultats possibles. La somme de ces probabilités doit être égale à 1. Propriété Plus la probabilité d un événement est proche de 1, plus l événement a des chances de se réaliser La probabilité d un événement est égale à la probabilité des événements élémentaires qui le composent (Loi de probabilité) On définit une loi de probabilité sur l ensemble des n issues d une expérience aléatoire, en associant à chaque issue notée x i un nombre p i positif de sorte que la somme p 1 + p 2 + p p n = 1 1. Les statistiques effectuées sur les naissances permettent d estimer qu il naît 100 filles pour 205 naissances, soit environ 48.8% de naissances de filles. On peut définir une probabilité sur l univers lié aux deux événements F : l enfant à naître est une fille et G : l enfant à naître est un garçon en utilisant ces statistiques : p(f ) = et p(g) = La probabilité d obtenir un nombre impair lorsqu on lance un dé cubique est égale à : p(1) + p(3) + p(5) Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 28/40

29 Cours- Filière PRO (Tirages répétés dans une urne) Une urne contient deux sortes de boules, rouges et bleues. La proportion p des boules rouges dans l urne est inconnue. On prélève, au hasard et avec remise, un échantillon de plus en plus grand dans l urne. Lorsque la taille de l échantillon augmente, la fréquence f des boules rouges dans l échantillon a tendance à se rapprocher de la valeur p. Le graphique montre une fréquence observée se rapprochant de 0,4. L urne contient sans doute 40% de boules rouges. (Stabilisation des fréquences et évaluation de la probabilité) Lorsqu on répète n fois, de façon indépendante, une expérience aléatoire, la fréquence f d un résultat a tendance à se stabiliser, lorsque n augmente, autour d une valeur p. On prend alors cette valeur p comme probabilité du résultat étudié. On lance un très grand nombre de fois un dé qui nous semble truqué. La fréquence de sortie du 6 se stabilise autour de 0, 25. On prend 1/4 comme probabilité de sortie du 6. (Équiprobables) Lorsque chaque événement élémentaire a la même probabilité de se réaliser, on dit que les événements élémentaires sont équiprobables 1. Le lancer d un dé non pipé (= bien équilibré) est associé à six événements élémentaires équiprobables : p(1) = p(2) = p(3) = p(4) = p(5) = p(6) = On peut aussi estimer qu il y a une chance sur deux d avoir une fille quand on attend un enfant. Dans ce cas, on a défini une probabilité sur l univers de sorte que les événements élémentaires soient équiprobables : p(f ) = p(g) = 1 2 (Opérations sur les événements) A est l élément contraire de A. On a P (A) = 1 P (A) A B est l ensemble des issues réalisant A et B (les deux à la fois). A B est l ensemble des issues réalisant A ou B (au moins l un des deux). On a p(a B ) = p(a) + p(b ) p(a B ) Partie hachurée : A B Partie hachurée : A Au lancer d un dé cubique, on considère A : Obtenir au moins 5 et B : Obtenir un bombre pair : A={5 ;6} ; B={2 ;4 ;6} A = {1; 2; 3; 4} ; A B = {2, 4, 5, 6} ; A B = {6} Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 29/40

30 7 Suites (Suite numérique) Des nombres réels u 1,u 2,u 3,...,u n,... rangés dans un certain ordre, constituent une suite numérique. Ces nombres réels sont les termes de la suite. u 1 est le premier terme de la suite, u 2 le deuxième... u n est le n-ième terme de la suite. Le terme qui suit u n est noté u n+1. Prix d un litre de gazole relevé au 1er janvier entre 1999 et 2008 : 0,62 0,95 0,82 0,78 0,81 0,80 0,92 1,05 1,01 1,20 Le premier terme est 0,62 ; le deuxième terme est 0,95... (Suite arithmétique) Une suite arithmétique est une suite de nombres où chaque terme, à partir du deuxième, est obtenu en ajoutant au précédent un même nombre, appelé raison : u n+1 = u n + r, r est la raison de la suite arithmétique Pour une suite arithmétique, la différence entre deux termes consécutifs quelconques est constante. Soit la suite de nombres : 10,6 14,4 18, ,8 29,6 On constate que 14,4-10,6=3,8 ; 18,2-14,4=3,8 ; 22-18,2=3,8 ; 25,8-22=3,8 et 29,6-25,8=3,8. La suite est donc arithmétique et sa raison est 3,8 : 10,6 14,4 18, ,8 29,6 +3,8 +3,8 +3,8 +3,8 +3,8 Dans une suite arithmétique, de raison r, le terme u n est obtenu à partir du premier terme, par la relation : u n = u 0 + nr lorsque le premier terme est noté u 0 u n = u 1 + (n 1)r lorsque le premier terme est noté u 1 Soit la suite numérique arithmétique (u n ), de premier terme u 0 = 3,6 et de raison r = 8,8. On choisit u n = u 0 + nr. Donc, par exemple, u 9 = 3,6 + 9 ( 8,8) = 75,6 Soit la suite numérique arithmétique (u n ), de premier terme u 1 = 2 et de raison r = 4. On choisit u n = u 1 + (n 1)r. Donc, par exemple, u 100 = 2 + (100 1) 4 = 394 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 30/40

31 (Suite géométrique) Une suite géométrique est une suite de nombres où chaque terme, à partir du deuxième, est obtenu en multipliant le précédent par un même nombre, appelé raison. u n+1 = u n q q est la raison de la suite géométrique, q > 0 Pour une suite géométrique, le quotient de deux termes consécutifs quelconques est constant. Le premier terme d une suite est 200 ; le deuxième terme est 160 ; le troisième terme est 128, le quatrième est 102,4 et le cinquième 81,92. On calcule les rapports : = 0,8 ; = 0,8 ; 102,4 128 = 0,8 ; et 81,92 102,4 = 0,8 ; Ces rapports sont égaux. La suite est géométrique, sa raison est 0,8 : ,4 81,92 0,8 0,8 0,8 0,8 Dans une suite géométrique, de raison q, le terme u n est obtenu à partir du premier terme, par la relation : u n = u 0 q n lorsque le premier terme est noté u 0 u n = u 1 q n 1 lorsque le premier terme est noté u 1 Soit la suite numérique géométrique (u n ), de premier terme u 0 = 15,2 et de raison q = 1,7. On choisit u n = u 0 q n. Donc, par exemple, u 11 = 15,2 1, ,33 Soit la suite numérique géométrique (u n ), de premier terme u 1 = 1200 et de raison q = 0,2. On choisit u n = u 1 q n 1. Donc, par exemple, u 6 = ,1 6 1 = ,1 5 = 0,384 Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 31/40

32 8 Géométrie 8.1 Les solides (Perspective cavalière) Dans une représentation en perspective cavalière d un solide, on applique les règles suivantes : Les droites parallèles sur le dessin Deux arêtes parallèles et de même longueur restent parallèles et de même longueur Les arêtes cachées sont tracées en pointillés Les faces qui ne sont pas dans un plan frontal sont déformées : les rectangles deviennent des parallélogrammes et les cercles des ellipses ABCDEFGH est un cube dessiné en perspective cavalière. la face avant, le carré ABF E, n est pas déformé par le dessin : les angles sont droits et AB = AE. La face de dessus, le carré EFGH, est déformée par le dessin : dans la réalité D AB = HEF est un angle droit (=90 ) et AB = AD Les solides usuels : Un tétraèdre régulier est une pyramide dont les quatre faces sont des triangles équilatéraux. Propriété Deux droites de l espace sont parallèles si elles appartiennent à un même plan et n ont pas de point commun. Une droite et un plan sont parallèles s ils n ont pas de point commun. Deux droites de l espace sont orthogonales si, en un point de l espace, leurs parallèles sont perpendiculaires. ABC DEFG H est un parallélépipède rectangle ( ou pavé droit). Les droites (AC) et (EG) sont parallèles Les droites (DB) et (D H) sont perpendiculaires Les droites (AC) et (HG) ne sont pas parallèles bien qu elles n aient pas de point commun Les droites (DB) et (CG) sont orthogonales. La droite (BF) est perpendiculaire au plan ABCD Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 32/40

33 8.2 Aires et Volumes (Périmètre P et Aires A) P car r é = c 4 A car r é = c 2 P cer cle = 2 π r A di sque = π r 2 P rect ang le = 2 (L + l) A rect ang le = L l P tr i ang les =somme des côtés A tr i ang le = 1 2 b h Un DVD a pour rayon 6 cm. Le périmètre du DVD est : p = 2 π 6, soit p 37,7 cm. L aire du DVD est : A = π 6 2, soit A 113,1cm 2 (Volumes) V cube = a 3 V pavédr oi t = L l h Le volume d un cube de 4 cm de côté est : V = 4 3, soit V = 64cm 3. Une gomme en forme de pavé droit a pour dimensions : L = 5,8cm ; l = 0,9cm ; h = 1,8cm Le volume de la gomme est : V = 5,8 0,9 1,8, soit V = 9,396cm Agrandissement et réduction (Échelle) Si l échelle d un document (carte, croquis... ) est égale à 1, 1 cm sur le document représente r cm dans la réalité. r Lors d un agrandissement ou d une réduction de rapport k d une figure géométrique : Les longueurs sont multipliées par k Les aires des surfaces sont multipliées par k 2 Les volumes sont multipliés par k 3 Si k > 1, on a un agrandissement de la figure. Si k < 1, on a une réduction de la figure. Marine Estorge Centre de Formation aux Métiers de la Montagne 33/40