Chapitre 13 Calcul vectoriel dans l'espace. I.1 Notions de vecteur, de représentant d'un vecteur, égalité de deux vecteurs

Transcription

1 Chapitre 13 Calcul vectoriel dans l'espace I Principes du calcul vectoriel dans l'espace On définit un calcul vectoriel dans l'espace avec les mêmes principes que ceux utilisés pour le calcul vectoriel dans le plan. Rappelons quelques-uns de ces principes. I.1 Notions de vecteur, de représentant d'un vecteur, égalité de deux vecteurs Pour tout vecteur u et tout point A de l'espace, il existe un unique point de l'espace M tel que : u = AM On dit que AM est un représentant du vecteur u. Soient quatre points A, B, C et D. On a AB = CD si et seulement si A, B, C et D sont coplanaires et ABDC forme un parallélogramme (éventuellement aplati). On a donc notamment : * AB = CD et si les points A et B sont distincts * et les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On appelle vecteur nul et on note 0 le vecteur tel que pour tout point A de l'espace 0 = AA On définit alors la longueur, la direction et le sens d'un vecteur de la façon suivante. Si A et B sont deux points distincts tels que u = AB alors : * la longueur (ou la norme) de u, notée u, est le réel positif tel que u = AB ; * la direction de u est la direction de la droite (AB) ; * le sens de u est le sens de parcours de la droite lorsque l'on va de A vers B. Ces trois définitions ne dépendent pas du choix du représentant AB. Remarque : On admet que le vecteur nul possède une longueur nulle mais ni direction, ni sens. I.2 Somme et différence de deux vecteurs A partir de deux vecteurs u et v, on définit le vecteur somme des vecteurs u et v noté u + v qui vérifie les propriétés suivantes. Relation de Chasles : Si A, B et C sont trois points de l'espace, alors on a : AB + BC = AC Soient u, v et w trois vecteurs. Alors on a : (1) u + 0 = u. (2) u + v = v + u. (3) u + v + w = u + v + w. 13. Calcul vectoriel dans l'espace 1 Cours Tle S,

2 A partir d'un vecteur u, on définit l'opposé du vecteur u, noté u, de la façon suivante : si u = AB alors u = BA. A partir de deux vecteurs u et v, on définit la différence de u par v, notée u v, de la façon suivante : u v = u + ( v) Remarque : par la relation de Chasles, on a alors pour tout vecteur u : u u = 0 I.3 Produit d'un vecteur par un réel A partir d'un réel k et d'un vecteur u, on définit le produit du vecteur u par le réel k noté ku de la façon suivante : (1) Si k = 0 ou u = 0 alors ku = 0. (2) Si k 0 et u 0 alors : * la longueur de ku est égale au produit de k par la longueur de u ; * ku a la même direction que u ; * le sens de ku est le même que celui de u si k > 0, et il est opposé à celui de u si k < 0. Soient deux réels k et k et deux vecteurs u et v. Alors on a les égalités suivantes : (1) 1 u = u. (2) k + k 7 u = ku + k u. (3) k u + v = ku + kv. (4) k k 7 u = kk 7 u. II Caractérisation vectorielle d'une droite et d'un plan II.1 Caractérisation vectorielle d'une droite a) Colinéarité de deux vecteurs Définition : Soient u et v deux vecteurs. On dit que u et v sont colinéaires s'il existe trois points alignés A, B et C tels que : u = AB et v = AC Remarques : (a) Si u ou v est égal au vecteur nul alors u et v sont colinéaires. Par contraposée, si u et v ne sont pas colinéaires alors ni u ni v n'est égal au vecteur nul. (b) On admet que si A, B et C sont trois points quelconques tels que u = A B et v = A C, on a l'équivalence suivante : u et v sont colinéaires <=> A, B et C sont alignés Propriété : Soient u et v deux vecteurs où u 0. u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel t tel que v = tu b) Vecteur directeur d'une droite 13. Calcul vectoriel dans l'espace 2 Cours Tle S,

3 Définition : Soient D une droite et u un vecteur. On dit que u est un vecteur directeur de D s'il existe deux points distincts A et B de D tels que u = AB. Remarque : Un vecteur directeur de droite n'est pas nul puisque les points A et B sont distincts. Propriétés : (1) Deux droites sont parallèles si et seulement si elles possèdent des vecteurs directeurs colinéaires. (2) Si A est un point et u un vecteur non nul alors il existe une unique droite qui passe par A et dont u est un vecteur directeur. On dit que cette droite est définie par le point A et le vecteur u et on note parfois cette droite (A ; u). (3) Soit D une droite et u est un vecteur directeur de D. Un vecteur v est un vecteur directeur de D si et seulement si v est non nul et colinéaire à u. c) Caractérisation vectorielle d'une droite Propriété : Soit A un point et u un vecteur non nul. La droite qui passe par le point A et qui a u pour vecteur directeur est l'ensemble des points M de l'espace tels qu'il existe un réel t vérifiant : AM = tu Remarques : (a) La condition AM = tu traduit la colinéarité des vecteurs AM et u. (b) Autrement dit, un point M appartient à la droite définie par le point A et le vecteur u si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. II.2 Caractérisation vectorielle d'un plan a) Vecteurs d'un plan de l'espace et repère d'un plan Définition : Soient P un plan et u un vecteur. On dit que u est un vecteur du plan P s'il existe deux points A et B appartenant au plan P tels que u = AB. On considère trois points non alignés A, B et C du plan P. On définit alors deux vecteurs u et v tels que : u = AB et v = AC Remarque : u et v sont donc deux vecteurs non colinéaires du plan P (donc ils sont non nuls). Propriété et définition : Le plan P est l'ensemble des points M de l'espace tels qu'il existe deux réels x et y vérifiant : AM = xu + yv On dit alors que les deux vecteurs u et v dirigent le plan P. Remarque : Autrement dit, un point M appartient au plan P défini par le point A et les vecteurs non colinéaires u et v si et seulement s'il existe deux réels x et y tels que AM = xu + yv b) Vecteurs coplanaires 13. Calcul vectoriel dans l'espace 3 Cours Tle S,

4 Définition : Soient u, v et w trois vecteurs. On dit que u, v et w sont coplanaires s'il existe quatre points coplanaires A, B, C et D tels que : u = AB, v = AC et w = AD Remarque : Si deux des trois vecteurs sont colinéaires alors les trois vecteurs sont coplanaires. Par contraposée, si trois vecteurs sont non coplanaires alors ils ne sont pas colinéaires deux à deux et donc aucun n'est nul. Propriété : Soient u, v et w trois vecteurs. u, v et w sont coplanaires si et seulement s'il existe trois réels α, β et γ non tous nul tels que : αu + βv + γw = 0 Remarque : En particulier, si u et v sont non colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires si et seulement il existe deux réels x et y tels que : w = xu + yv c) Parallélisme Propriété : Deux plans dirigées par un même couple de vecteurs sont parallèles. Propriété : Soient D une droite de vecteur directeur u et P un plan dirigé par le couple de vecteurs v ; w. La droite D et le plan P sont parallèles si et seulement si les vecteurs u, v et w sont coplanaires. III Base et repère dans l'espace III.1 Base et repère Théorème et définitions : Soient O un point de l'espace et ı, ȷ et k trois vecteurs non coplanaires. Alors pour tout point M de l'espace il existe un unique triplet de réels x ; y ; z tel que : OM = xı + yȷ + zk On dit alors que * O ; ı ; ȷ ; k forme un repère de l'espace ; * x ; y ; z sont les coordonnées du point M dans ce repère et on note M x ; y ; z. Remarque : Si x ; y ; z sont les coordonnées du point M, on dit que x est l'abscisse, y est l'ordonnée et z est la côte du point M. Démonstration : Existence du triplet x ; y ; z Soient les points I, J et K tels que : ı = OI, ȷ = OJ et k = OK. Puisque les vecteurs ı, ȷ et k ne sont pas coplanaires, les points O, I, J et K ne sont pas non plus coplanaires. Donc le point K n'appartient pas au plan (OIJ). Donc la droite OK est sécante au plan (OIJ). 13. Calcul vectoriel dans l'espace 4 Cours Tle S,

5 Considérons la droite D parallèle à la droite (OK) qui passe par le point M. Cette droite est aussi sécante avec le plan (OIJ). Notons M le point d'intersection entre la droite D et le plan (OIJ). Puisque les points O et M appartiennent au plan (OIJ), il existe deux réels x et y tels que OM = xı + yȷ Puisque la droite D est parallèle à la droite (OK), elle est dirigée par le vecteur k. Puisque les points M' et M appartiennent à la droite D, il existe un réel z tel que M M = zk Finalement, on a : OM = OM + M M = xı + yȷ + zk Unicité du triplet x ; y ; z Soient deux triplets tels que : OM = xı + yȷ + zk = x ı + y ȷ + z k On a alors (x x )ı + (y y )ȷ + (z z )k = 0 Or les vecteurs ı, ȷ et k sont non coplanaires. Donc x x = y y = z z = 0 D'où x = x, y = y et z = z Il n'existe donc qu'un seul triplet x ; y ; z tel que OM = xı + yȷ + zk Propriété : Soient ı, ȷ et k trois vecteurs non coplanaires. Alors, pour tout vecteur u, il existe un unique triplet x ; y ; z de réels tel que : u = xı + yȷ + zk On dit alors que : * ı ; ȷ ; k forment une base de l'espace ; * x ; y ; z sont les coordonnées du vecteur u dans la base ı ; ȷ ; k et on note u x ; y ; z. III.2 Formules pour déterminer les coordonnées d'un point ou d'un vecteur On considère que l'espace est muni d'un repère O ; ı ; ȷ ; k. Propriétés : Soient deux vecteurs u (x ; y ; z) et v (x ; y ; z ) alors : (1) u + v a pour coordonnées x + x 7 ; y + y 7 ; z + z (2) Pour tout réel k, ku a pour coordonnées kx ; ky ; kz. Démonstration : Puisque les coordonnées des vecteurs u et v sont (x ; y ; z) et (x ; y ; z ) a dans le repère O ; ı ; ȷ ; k, on a : u = xı + yȷ + zk et v = x ı + y ȷ + z k D'où u + v = xı + yȷ + zk + x ı + y ȷ + z k = (x + x )ı + (y + y 7 )ȷ + (y + y 7 )k u + v a donc pour coordonnées x + x 7 ; y + y 7 ; z + z. On a aussi 13. Calcul vectoriel dans l'espace 5 Cours Tle S,

6 ku = k xı + yȷ + zk = (kx)ı + (ky)ȷ + (kz)k Donc ku a pour coordonnées kx ; ky ; kz. Propriétés : Soient A et B deux points de l'espace. (1) Le vecteur AB a pour coordonnées x K x L ; y K y L ; z K z L. 2) Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées O P QO R S ; T PQT R S ; U PQU R S Démonstration : (1) On a par définition des coordonnées d'un point : OA = x L ı + y L ȷ + z L k et OB = x K ı + y K ȷ + z K k Or, par la relation de Chasles, on a : AB = AO + OB = OB OA = x K ı + y K ȷ + z K k (x L ı + y L ȷ + z L k) = (x K x L )ı + (y K y L )ȷ + (z K z L )k Finalement les coordonnées de AB sont x K x L ; y K y L ; z K z L. (2) I est le milieu du segment [AB] donc On a alors : AI = 1 2 AB OI = OA + AI = x L ı + y L ȷ + z L k (x K x L )ı + (y K y L )ȷ + (z K z L )k = x L (x K x L ) ı + y L (y K y L ) ȷ + z L (z K z L ) k = x L + x K ı + y L + y K 2 2 Finalement, les coordonnées du point I sont x L + x K ; y L + y K 2 2 ȷ + z L + z K 2 ; z L + z K 2 III.3 Représentation paramétrique d'une droite et d'un plan Propriété : Soit D une droite. On considère A x L ; y L ; z L un point de D et u (a ; b ; c) un vecteur directeur de D. Pour tout point M x ; y ; z de l'espace on a : M D si et seulement si il existe un réel t tel que : x = x L + ta y = y L + tb z = z L + tc On dit que ce système est une représentation paramétrique de la droite D de paramètre t. Démonstration : Soit M x ; y ; z un point de l'espace. * Le vecteur AM a pour coordonnées x x L ; y y L ; z z L. On a alors les équivalences suivantes : Le point M appartient à la droite D <=> les vecteurs AM et u sont colinéaires <=> il existe un réel t tel que AM = tu <=> il existe un réel t tel que : x x L = ta y y L = tb z z L = tc <=> il existe un réel t tel que : k 13. Calcul vectoriel dans l'espace 6 Cours Tle S,

7 x = x L + ta y = y L + tb z = z L + tc Propriété : Soit P un plan. On considère A x L ; y L ; z L un point de P et u (a ; b ; c) v (a ; b ; c ) deux vecteurs qui dirigent le plan P. Pour tout point M x ; y ; z de l'espace on a : M P si et seulement si il existe deux réels t et t tels que : x = x L + ta + t a y = y L + tb + t b z = z L + tc + t c On dit que ce système est une représentation paramétrique du plan P de paramètres t et t'. Remarque : Puisque les vecteurs u et v dirigent le plan P, ils sont non colinéaires. Démonstration : Soit M x ; y ; z un point de l'espace. * Le vecteur AM a pour coordonnées x x L ; y y L ; z z L. On a alors les équivalences suivantes : Le point M appartient au plan P <=> les vecteurs AM, u et v sont coplanaires <=> il existe deux réels t et t tels que AM = tu + t v <=> il existe deux réels t et t tels que : x x L = ta + t a y y L = tb + +t b z z L = tc + t c <=> il existe deux réels t et t tels que : x = x L + ta + t a y = y L + tb + t b z = z L + tc + t c 13. Calcul vectoriel dans l'espace 7 Cours Tle S,