L espace vectoriel R n

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1 Faculté des Sciences Économiques et Sociales - Université de Lille Licence 3 SIAD Algèbre linéaire L espace vectoriel R n M. Pelini, V. Ledda 18 septembre 2017 Table des matières 1 Structure de R n Exemples Définitions Propriétés (R n,+, ) : un espace vectoriel Contre-exemples Sous-espaces vectoriels Combinaisons linéaires de p vecteurs Sous-espace vectoriel de E Caractérisation Sous-espace vectoriel engendré par p vecteurs Intersection de deux sous-espaces vectoriels de E Somme de sous-espaces vectoriels Définition et premières propriétés Somme directe Sous-espaces supplémentaires dans E

2 1 Structure de R n 1.1 Exemples Exemple 1. Plaçons-nous dans un plan muni d un repère et considérons une droite passant par l origine. Cette droite est dirigé par un vecteur non nul, en réalité il existe une infinité de vecteurs qui dirige cette droite. Considérons V, l ensemble des vecteurs directeurs de cette droite auquel on ajoute le vecteur nul. Si l on prend 2 vecteurs de cet ensemble, leur somme est soit nulle, soit un vecteur directeur de la droite. Donc le vecteur somme appartient à V, on dit que V est stable pour la somme. La multiplication d un vecteur de V par un nombre réel est également un vecteur de V. On dit que V est stable par la multiplication par un réel. L ensemble V est un espace vectoriel. Exemple 2. De la même manière les plans de l espace (muni d un repère) qui passent par l origine fournissent des exemples d espace vectoriel. 1. Le plan y0z d équation x = 0 2. Le plan d équation x + y + z = 0 «dirigé» par les vecteurs u ( 1 1 ) 0 et v ( 1 ) Définitions 2 M. Pelini, V. Ledda

3 Définition 1. Soit n N. On appelle R n l ensemble des n-uplets (x 1,...,x n ) avec x 1,...,x n réels. Le n-uplet (0,...,0) sera noté 0 n. } {{ } n fois Nous allons munir R n des lois suivantes : i) L addition notée + : Soit x = (x 1,...,x n ) et y = (y 1,...,y n ) dans R n, on définit x + y de la manière suivante x + y = (x 1,...,x n ) + (y 1,...,y n ) = (x 1 + y 1,...,x n + y n ) ii) La multiplication externe notée : Soit x = (x 1,...,x n ) dans R n et λ R, on définit λ x de la manière suivante. λ x = (λx 1,...,λx n ) Remarque 1. On voit que : La somme de deux éléments de R n est encore un élément de R n, c est pourquoi on dira que l addition est une loi de composition interne sur R n (ou encore que R n est stable par + ). La multiplication d un élément de R n par un nombre réel est encore un élément de R n, c est pourquoi on dira que la multiplication par un réel est une loi de composition externe sur R n (ou encore que R n est stable par ). 1.3 Propriétés Soit n N, dans la suite du chapitre, on notera E = R n. Proposition 1. La loi + vérifie les propriétés suivantes : 1- La loi + est associative : Pour tout triplet (x,y,z) de E, (x + y) + z = x + (y + z). 2- x E,x + 0 n = 0 n + x = x. L élément 0 n est appelé élément neutre pour la loi Pour tout élément x de E, il existe y E tel que x + y = y + x = 0 n. Cet élément est appelé symétrique (ou encore opposé) de x. On le note généralement x. 4- La loi + est commutative : Pour tout couple (x,y) de E, x + y = y + x. La loi vérifie les propriétés suivantes : 5- (λ,µ) R 2, x E,λ (µ x) = (λµ) x, 6- x E,1 x = x, 7- (λ,µ) R 2, x E,(λ + µ) x = λ x + µ x, (l addition des réels est distributive par rapport à ) 8- λ R, (x,y) E 2,λ (x + y) = (λ x) + (λ y). (l addition des éléments de E est distributive par rapport à ) 3 M. Pelini, V. Ledda

4 Remarque 2. le symétrique de chaque élément de E est unique. Soit x E, x = (x 1,...,x n ) on a alors x = ( x 1,..., x n ) = ( 1).x Proposition 2. (Règles de calculs) (λ,µ) R 2, (x,y) E 2, on a : (i) 0 x = 0 n et λ 0 n = 0 n. (ii) λ x = 0 n λ = 0 ou x = 0 n (iii) λ x = λ y x = y (si λ 0) (iv) λ x = µ x λ = µ (si x 0 n ) (v) ( λ) x = λ ( x) = (λx) 1.4 (R n,+, ) : un espace vectoriel Les huit propriétés ci-dessus étant vérifiées, on dira que l ensemble R n muni des lois + et est un espace vectoriel sur R. Les éléments de R n sont appelés des vecteurs et 0 n = (0,...,0) est le vecteur nul. Les éléments de R sont appelés des scalaires. Nous travaillerons très souvent dans les ensembles suivants : R 2 l ensemble des couples (x,y) où x et y sont des réels. R 3 l ensemble des triplets (x,y,z) où x, y et z sont des réels. Remarque 3. Il existe d autre espace vectoriel. Par exemple l ensemble des polynômes est un espace vectoriel. L ensemble des matrices de taille (n;m) est également un espace vectoriel. 1.5 Contre-exemples L ensemble N des entiers naturels n est pas un espace vectoriel sur R. En effet, 1 (par exemple) ne possède pas de symétrique dans N. Le symétrique de 1 pour la loi + est 1 qui n est pas dans N. Cela nous conduit tout naturellement à considérer l ensemble Z des entiers relatifs. Mais Z lui non plus n est pas un espace vectoriel sur R. En effet, 1 Z et 1,5 R mais 1,5 1 = 1,5 n est pas dans Z. Autrement dit, Z n est pas stable par Remarque 4. On peut aussi montrer que R n muni de certaines lois n est plus un espace vectoriel. 2 Sous-espaces vectoriels Dans ce paragraphe, E désigne l espace vectoriel R n, (avec n N ). 2.1 Combinaisons linéaires de p vecteurs 4 M. Pelini, V. Ledda

5 Définition 2. Soient (u 1,...,u p ) p vecteurs de E. x est une combinaison linéaire (CL) de u 1,...,u p s il existe p réels λ 1,...,λ p tels que : x = λ 1 u λ p u p = p λ i u i i=1 Exemple 3. - Dans R 2, le vecteur (1, 3) est une CL des vecteurs (2,1), (1,1) et ( 2,1). En effet, (1, 3) = 5(2,1) + 5(1,1) 3( 2,1), ou encore (1, 3) = 4(2,1) 7(1,1) + 0( 2,1) - Dans R 3, le vecteur ( 1,0,4) est une CL des vecteurs (3, 2,2) et ( 2,1,1). En effet, 2.2 Sous-espace vectoriel de E ( 1,0,4) = (3, 2,2) + 2( 2,1,1) Définition 3. Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel (sev) de E s il vérifie : - F est non vide, - F est stable par + (i.e. (u,v) F 2,u + v F), - F est stable par (i.e. λ R, u F,λ u F). Remarque 5. Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors 0 n F. En effet, comme F n est pas vide, il existe u F, alors 0 u F et donc 0 n F. Par exemple, le sous-ensemble F de R 3 défini par F = {(x,y,1), avec x et y réels} n est pas un sous-espace vectoriel de R 3 car il ne contient pas le vecteur nul. Exemple 4. E et {0 n } sont deux sous-espaces vectoriels de E Remarque 6. Lorsque F est un sous-espace vectoriel de E, on constate que : + est une loi de composition interne dans F (car F stable par +) et est une loi de composition externe dans F (car F stable par ), toutes les propriétés de l addition et de la multiplication par un réel, valables dans E, sont encore valables dans le sous ensemble F, tout vecteur u F possède un opposé dans F (car u = ( 1) u et F est stable par ). Donc F est un espace vectoriel. Cette remarque est très utile dans la pratique. En effet, pour montrer qu un ensemble est un espace vectoriel, nous montrerons souvent que c est en fait un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel connu. 2.3 Caractérisation 5 M. Pelini, V. Ledda

6 Proposition 3. Soit F un sous-ensemble de E. F est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si { i) 0n F ii) (λ,µ) R 2, (u,v) F 2, λ u + µ v F Remarque 7. Dans la pratique, pour montrer que F est non vide, on vérifie que F contient le vecteur nul. Pour le ii), on dira que F est stable par combinaisons linéaires. Preuve. Supposons que F soit un sous-espace vectoriel de E. Par définition, F est non vide car contient 0 E. De plus, si u et v sont des vecteurs de F et si λ et µ sont des réels alors, F étant stable par, λ u et µ v sont dans F. Enfin, F étant stable par +, λ u + µ v est aussi dans F. Supposons que F soit non vide et stable par combinaisons linéaires. En prenant λ = 1 dans la définition, on obtient que F est stable par +, en prenant µ = 0 dans la définition, on obtient que F est stable par. Donc F est bien un sous-espace vectoriel de E. cqfd Exemple 5. Soit F le sous-ensemble de R 2 défini par F = { (x,y) R 2 / 3x 4y = 0 }. Montrons que F est un sous-espace vectoriel de R = 0 donc (0,0) F. Soient u = (x,y) et u = (x,y ) des vecteurs de F et soient λ et µ des réels. On pose v = λu + µu = (λ(x,y) + µ(x,y ) = (λx + µx,λy + µy ). Vérifions que v F : 3(λx + µx ) 4(λy + µy ) = λ(3x 4y) + µ(3x 4y ) = λ 0 µ 0 = 0, donc F est bien stable par combinaisons linéaires. F est bien un sous-espace vectoriel de R 2. Exemple 6. L ensemble S des solutions de l équation homogène (E) : ax + by + cz = 0 est un sousespace vectoriel de R 3. En effet 0 3 S. De plus, si X = (x,y,z) et X = (x,y,z ) sont deux éléments de S, λx + µx est aussi un élément de S : a(λx + µx ) + b(λy + µy ) + c(λz + µz ) = λ(ax + by + cz) +µ(ax + by + cz ) = λ 0 + µ 0 = 0. } {{ }} {{ } Donc S est non vide et stable par combinaisons linéaires. On en déduit que c est bien un sous-espace vectoriel de R Sous-espace vectoriel engendré par p vecteurs Soit p N et soient u 1,..., u p p vecteurs de E. On note F le sous-ensemble de E formé de toutes les CL de u 1,..., u p : =0 =0 F = {λ 1 u λ p u p, λ 1,...,λ p réels } 6 M. Pelini, V. Ledda

7 Proposition 4. L ensemble F ainsi défini est un sous-espace vectoriel de E. Preuve. 0 E F (prendre λ 1 =... = λ p = 0) donc F est non vide. Soient v = λ 1 u λ p u p et v = λ 1 u λ pu p deux éléments de F et α et β deux réels. αv + βv = (αλ 1 + βλ 1 )u (αλ p + βλ p)u p donc αv + βv F. F est stable par combinaisons linéaires. Donc F est bien un sous-espace vectoriel de E. cqfd Définition 4. Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace vectoriel engendré par u 1,..., u p. On le note F = Vect{u 1,...,u p }. F = Vect{u 1,...,u p } = {λ 1 u λ p u p, λ 1,...,λ p réels } Exemple 7. Reprenons l exemple 5, soit F le sous-ensemble de R 2 défini par F = { (x,y) R 2 / 3x 4y = 0 }. Nous avons déjà démontré que F est un sous-espace vectoriel de R 2. Plus précisément, montrons que F est le sous-espace vectoriel de R 2 engendré par le vecteur u = (4;3). F = { (x,y) R 2 / 3x 4y = 0 } = {( 4 } 3 y,y), y R. ( ) 4 On a donc F = Vect{ 3,1 } = Vect{(4;3)}. Exemple 8. Grâce à cette propriété, on dispose d une méthode simple pour démontrer qu un ensemble est un sous-espace vectoriel de R n. Nous allons démontrer que F = { (x,y,z) R 3 /x = 2y + 3z } est un sous-espace vectoriel de R 3. En effet F = { (2y + 3z,y,z), (y,z) R 2} = { y (2,1,0) + z (3,0,1),(y,z) R 2} F est en fait l ensemble des CL des vecteurs u = (2,1,0) et v = (3,0,1) Donc F est le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u et v. Remarque 8. Si u 1,..., u p sont dans Vect(v 1,...,v k ) alors Vect(u 1,...,u p ) Vect(v 1,...,v k ). 2.5 Intersection de deux sous-espaces vectoriels de E Théorème 1. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E alors F G est un sous-espace vectoriel de E. Preuve. F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, en particulier ils contiennent le vecteur nul donc 0 F G. On en déduit que F G est non vide. 7 M. Pelini, V. Ledda

8 Soient u et v dans F G et soient λ et µ des réels. u et v sont dans F et F est un sous-espace vectoriel de E donc stable par combinaisons linéaires d où λ u + µ v F. De même, λ u + µ v G donc λ u + µ v F G. F G est bien stable par combinaisons linéaires. F G est un sous-espace vectoriel de E. Remarque 9. Ce résultat est faux pour le réunion de deux sous-espaces vectoriels de E. On peut montrer que : F G est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F G ou G F. Le théorème 1 permet de montrer que l ensemble des solutions d un système linéaire homogène à n inconnues est un sous-espace vectoriel de R n. En effet, considérons par exemple un système de 3 équations à trois inconnues. a 1 x + b 1 y + c 1 z = 0 (E 1 ) E a 2 x + b 2 y + c 2 z = 0 (E 2 ) a 3 x + b 3 y + c 3 z = 0 (E 3 ) Notons S i l ensemble des solutions de l équation (E i ), pour i {1,2,3} et S celui de E. On a alors 3 S = i=1 Or chaque S i est un sous-espace vectoriel de R 3 (non vide et stable par combinaison linéaire) et donc S est aussi un sous-espace vectoriel de R 3. 3 Somme de sous-espaces vectoriels 3.1 Définition et premières propriétés S i cqfd Définition 5. Soient F 1 et F 2 des sous-espace vectoriel de E. On appelle somme de F 1 et F 2, on note F 1 + F 2 l ensemble des vecteurs v de E qui peuvent s écrire v = v 1 + v 2, avec v 1 F 1 et v 2 F 2. F 1 + F 2 = {v E (v 1,v 2 ) F 1 F 2 tels que v = v 1 + v 2 } Proposition 5. Si F 1 et F 2 sont des sous-espace vectoriel de E alors F 1 +F 2 est un sous-espace vectoriel de E. Preuve. F 1 et F 2 sont des sous-espace vectoriel de E donc 0 F 1 et 0 F 2 d où = 0 F 1 + F 2. Soient u et v dans F 1 + F 2 et λ et µ des réels. Par définition, (u 1,u 2 ) F 1 F 2 tels que u = u 1 + u 2 (v 1,v 2 ) F 1 F 2 tels que v = v 1 + v 2 Donc λu + µv = λ(u 1 + u 2 ) + µ(v 1 + v 2 ) = (λu 1 + µv 1 ) + (λu 2 + µv 2 ), or F 1 et F 2 sont stables par combinaisons linéaires donc λu 1 + µv 1 F 1 et λu 2 + µv 2 F 2 donc 8 M. Pelini, V. Ledda

9 λu + µv F 1 + F 2. F 1 + F 2 est stable par combinaisons linéaires. Donc F 1 + F 2 est un sous-espace vectoriel de E. cqfd Exemple 9. Soit F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels de R 2 définis par : F 1 = Vect{(1,1)} et F 2 = Vect{(1, 1)}. On sait que F 1 + F 2 est un sous-espace vectoriel de R 2. En fait, on a même F 1 + F 2 = R 2. En effet, Soit X = (x,y) un vecteur de R 2, alors : X = x + y 2 (1,1) + x y 2 (1, 1) donc X F 1 + F 2. D où R 2 F 1 + F 2 et donc F 1 + F 2 = R Somme directe Définition 6. Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels de E. On dit que la somme F 1 + F 2 est directe si tout vecteur v de F 1 + F 2 peut s écrire de manière unique sous la forme v = v 1 + v 2, avec v 1 F 1 et v 2 F 2. Soit encore : v F,!(v 1,v 2 ) F 1 F 2 tel que v = v 1 + v 2. On note alors la somme F 1 F 2. Proposition 6. La somme F 1 + F 2 est directe si et seulement si F 1 F 2 = {0} Preuve. Supposons que la somme soit directe. Soit v F 1 F 2 alors on peut écrire : v = v + 0 avec v F 1 et 0 F 2 et v = 0 + v avec 0 F 1 et v F 2, d où, par unicité de la décomposition dans F 1 F 2, v = 0. On a donc bien F 1 F 2 = {0}. Supposons que F 1 F 2 = {0}. Soit v F 1 + F 2 tel que v = v 1 + v 2 = v 1 + v 2 avec v 1 et v 1 dans F 1 et v 2 et v 2 dans F 2. On a donc v 1 v 1 = v 2 v 2, or v 1 v 1 F 1 et v 2 v 2 F 2. Comme F 1 F 2 = {0}, on en déduit que v 1 v 1 = v 2 v 2 = 0 et donc v 1 = v 1 et v 2 = v 2. La décomposition de v est donc unique et la somme F 1 + F 2 est directe. cqfd Exemple 10. Reprenons l exemple précédent : On peut montrer que F 1 = Vect{(1,1)} et F 2 = Vect{(1, 1)} sont en somme directe dans R Sous-espaces supplémentaires dans E Définition 7. Soient F 1 et F 2 deux sous-espaces vectoriels de E. F 1 et F 2 sont dits supplémentaires dans E si tout vecteur de E se décompose de manière unique comme somme d un élément de F 1 et d un élément de F 2. Ce qui signifie que leur somme est directe et égale à E. (c est à dire : F 1 et F 2 sont dits supplémentaires dans E si F 1 F 2 = E) 9 M. Pelini, V. Ledda

10 Proposition 7. F 1 et F 2 sont supplémentaires dans E si et seulement si { F1 F 2 = {0} F 1 + F 2 = E Remarque 10. F 1 et F 2 étant deux sous-espaces vectoriels de E, F 1 + F 2 est aussi un sous-espace vectoriel de E. Dans la pratique, on se contentera de vérifier que E F 1 + F 2, c est à dire que tout vecteur de E se décompose comme somme d un vecteur de F 1 et d un vecteur de F 2. Exemple 11. D après ce qui a été fait plus haut, on peut dire que F 1 = Vect{(1,1)} et F 2 = Vect{(1, 1)} sont supplémentaires dans R 2. Exemple 12. Soient F 1 = { (x,y,z) R 3 x = 2y + 3z } et F 2 = {(x,0,0) où x R}. Nous avons déjà démontré que F 1 est le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par les vecteurs (2,1,0) et (3,0,1). De la même manière F 2 est le sous-espace vectoriel de R 3 engendré par le vecteur (1,0,0). Montrons que F 1 et F 2 sont supplémentaires dans R 3. - Soit v F 1 F 2, alors v = (2y + 3z,y,z) = (x,0,0). On en déduit que y = z = 0 et donc x = 2y + 3z = 0. Par suite, v = 0. D où F 1 F 2 = {0}. - Soit à présent v R 3, v = (x,y,z). On cherche u 1 F 1 et u 2 F 2 tels que v = u 1 + u 2. Donc (x,y,z) = (2y 1 + 3z 1,y 1,z 1 ) + (x 2,0,0) = (x 2 + 2y 1 + 3z 1,y 1,z 1 ). On choisit donc y 1 = y, z 1 = z et x 2 = x 2y 1 3z 1 = x 2y 3z. On obtient v = (x 2y 3z,0,0) + (2y + 3z,y,z). Donc v peut s écrire comme somme d un vecteur de F 1 et d un vecteur de F 2. - On a donc bien F 1 F 2 = R 3. F 1 F 2 10 M. Pelini, V. Ledda