Formes modulaires. Michèle Feltz. Université de Fribourg (Suisse) 14 novembre 2007

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1 Formes moulaires Michèle Feltz Université e Fribourg (Suisse) 14 novembre 2007

2 Table es matières 1 Introuction 1 2 Formes moulaires entières e pois k 1 3 Représentation comme polynôme en G 4 et G L espace vectoriel M k et le sous-espace vectoriel M k,0 4 5 Les opérateurs e Hecke T n 5 Bibliographie 8 i

3 1 INTRODUCTION 1 1 Introuction Dans ce séminaire on va s intéresser aux formes moulaires entières. En particulier, ce sont es propriétés communes aux séries Eisenstein G k (k 3) et au iscriminant qui nous ont amenées à l étue e telles formes. Après avoir analysé l espace es formes moulaires entières un certain pois k, on va introuire les opérateurs e Hecke T n. Cette présentation se base principalement sur [1]. L autre source [2] a été utilisée en complément. 2 Formes moulaires entières e pois k Définition 2.1. Une fonction f est appelée forme moulaire entière e pois k, k Z, si elle vérifie les conitions suivantes: 1. f est analytique ans H = { τ / I(τ) > 0 }. ( ) 2. f( aτ+b a b cτ+ ) = (cτ + )k f(τ) Γ, où Γ ésigne le groupe c moulaire. 3. Le éveloppement e Fourier e f est e la forme: f(τ) = c(n)e 2πinτ. n=0 Remarque: La conition 3. e la éfinition 2.1 affirme qu une forme moulaire entière est analytique en i. Définition La valeur e f en i, noté f(i ), est éfinie par le terme constant c(0), i.e. f(i ) = lim f(τ) := c(0). I(τ) 2. Une forme moulaire entière qui s annule en i est appelé forme parabolique (en anglais: cusp form). 3. Le plus petit entier r tel que c(r) 0 est appelé l orre u zéro e f en i. Remarque: Dans la suite on va ésigner par M k l ensemble es formes moulaires entières e pois k et par M k,0 l ensemble es formes paraboliques e pois k. Exemples: 1. La fonction f 0 est une forme moulaire e pois k k. 2. Les séries Eisenstein G 2k (k 2) sont es formes moulaires entières e pois 2k. 3. Le iscriminant est une forme parabolique e pois 12 avec un zéro orre 1 en i.

4 2 FORMES MODULAIRES ENTIÈRES DE POIDS K 2 Remarque importante: Comme E Γ, on éuit u point a) e la éfinition 2.1 que f(τ) = ( 1) k f(τ), où f M k. Et onc pour k impair, M k = M k,0 = {0}. Théorème 2.3. Soit f une forme moulaire entière e pois k. Supposons que f 0 possèe N zéros ans la fermeture u omaine fonamental R Γ, en excluant les sommets ρ, i, ρ + 1 et i. Alors: k = 12N + 6N(i) + 4N(ρ) + 12N(i ). (2.1) où N(p) ésigne l orre u zéro e f au point p. Convention sur les points u bor e R Γ : 1. Si f a un zéro sur le bor e R Γ alors ce zéro se retrouve sur le bor équivalent. Ainsi un tel zéro n est compté qu une fois. Démonstration. Similaire à celle un théorème vu antérieurement (à savoir qu une fonction moulaire a le même nombre e zéros que e pôles ans la fermeture e R Γ ). Comme f ne possèe pas e pôle, on peut écrire (par le principe e l argument): N = 1 f (τ) 2πi R f(τ) τ, où R ésigne le omaine inférieur formé en écoupant le omaine fonamental R Γ par la roite {τ H / I(τ) = M > 0} e façon à ce que tous les zéros e f se trouvent ans R. Le chemin R se compose es bors u omaine R en introuisant es étours circulaires autour es sommets ρ, i et ρ + 1 et autour autres éventuels zéros sur les bors e R. De la même manière que ans la preuve u théorème mentionné plus haut, on trouve: N = k N(i) 1 N(ρ) N(i ), 3

5 3 REPRÉSENTATION COMME POLYNÔME EN G 4 ET G 6 3 avec la seule ifférence u terme k 12. En effet, ce terme provient u facteur (cτ + ) k ans la formule ( ) aτ + b f = (cτ + ) k f(τ). cτ + L arc e cercle (2) sera transformé en l arc (3) avec changement e irection par l application τ 1 τ. Ainsi: f ( 1/τ) f( 1/τ) = τ 2 f (τ) f(τ) + τk Les intégrales sur les eux chemins (2) et (3) ne s annulent onc pas, si ce n est ans la cas où k = 0. Par conséquent, { } 1 f ( (u) u = lim k D ) 1 2πi f(u) ɛ 0 2πi C τ τ + (2) (3) = k (ln i ln ρ) 2πi = k 2πi (πi 2 2πi 3 ) = k 12 où ɛ > 0 ésigne le rayon es arcs e cercle autour es points ρ, i et ρ+1. Corollaire 2.4. (a) Les seules formes moulaires entières e pois k = 0 sont les fonctions constantes. (b) Si k est impair, si k < 0 ou si k = 2, f 0 est la seule forme moulaire entière e pois k. (c) Toute forme moulaire non constante a un pois k 4, où k est pair. () f 0 est la seule forme parabolique entière e pois k < 12. Démonstration. A l aie e la formule Représentation comme polynôme en G 4 et G 6 Dans ce paragraphe on va montrer que toute forme moulaire entière e pois k peut être exprimée en termes e séries Eisenstein G 4 et G 6. Théorème 3.1. Soit f une forme moulaire entière e pois pair k 0 et soit G 0 (τ) := 1 τ H. Alors f peut s écrire e façon unique comme: f = [k/12] r=0 k 12r 2 a r G k 12r r, a r C. (3.1) Remarque: Pour les formes paraboliques e pois pair k on a: a 0 = 0.

6 4 L ESPACE VECTORIEL M K ET LE SOUS-ESPACE VECTORIEL M K,0 4 Démonstration. Existence (preuve par récurrence): Ancrage: Si k < 12, il y a au plus un terme ans la somme et le théorème peut être vérifié irectement. Hypothèse e récurrence: Supposons le théorème vrai f M p avec p pair et p < k. Démontrons-le pour k ( 12). Preuve: On sait que G k a comme pois k et que G k (i ) 0. Soit c := f(i )/G k (i ). Alors f cg k M k est une forme parabolique. Donc on peut écrire: f cg k = h où h M k 12 (cf. 4.1). En appliquant l hypothèse e récurrence à h, on réussit à montrer que f = cg k + h s écrit sous la forme 3.1. Unicité: Il suffit e montrer que les prouits G k 12r r, r = 0,...,[k/12] avec k 12r 2, sont linéairement inépenants. (Par l absure) Supposons que les f r := G k 12r r sont linéairement épenants. Alors au moins un es f r s écrit comme combinaison linéaire es autres f j où j r, i.e. pour un certain i f i = j i λ j f j, λ j C. (3.2) Notons que f i = G k 12i i a un zéro orre i en i car (i ) = 0 et G k 12i (i ) 0. Or l orre u zéro en i e la partie roite e 3.2 est égal au min{or i (f j ) / j i et λ j 0} = min{j i / λ j 0} i. Contraiction! D où les f r sont linéairement inépenants, ce qui prouve l unicité. Comme et G 2r peuvent être exprimés comme polynômes en G 4 et G 6, il en résulte: Corollaire 3.2. f M k on a: f = a,b c a,b G a 4G b 6 (3.3) avec c a,b C,a,b 0 et 4a + 6b = k. 4 L espace vectoriel M k et le sous-espace vectoriel M k,0 Proposition 4.1. La transformation linéaire éfinie par T : M k 12 M k,0 h h établit un isomorphisme entre M k 12 et M k,0.

7 5 LES OPÉRATEURS DE HECKE T N 5 Théorème 4.2. M k est un C-espace vectoriel e imension finie avec: { [ k im M k = 12 ] si k 2(mo 12) ] + 1 si k 2(mo 12) [ k 12 Démonstration. Il est facile à vérifier que im M k = 1,0,1,1,1,1 si k = 0,2,4,6,8,10 (en utilisant le théorème 3.1). Si k 12 on a, par la proposition 4.1, De plus, par le théorème 3.1 on sait que Finalement, par 4.1 et 4.2, im M k,0 = im M k 12 (4.1) im M k,0 = im M k 1 (4.2) im M k = 1 + im M k 12 (4.3) Remarque: M k amet comme bases (finies): les prouits G k 12r r les prouits G a 4 Gb 6 où a,b 0 et 4a + 6b = k. Le tableau ci-essous onne quelques exemples espaces M k. espace imension base M 2 0 / M 4 1 G 4 M 6 1 G 6 M 8 1 G 2 4 M 10 1 G 4 G 6 M 12 2 G 3 4, G2 6 5 Les opérateurs e Hecke T n Définition 5.1. Un opérateur e Hecke est une application linéaire T n : M k M k, n N, éfinie par: (T n f)(τ) = n k 1 n ( ) nτ + b f k 1 b=0 2 (5.1) Cas particulier: Pour n := p premier, la éfinition se réuit à la formule: (T p f)(τ) = p k 1 f(pτ) + 1 p 1 ( ) τ + b f p p b=0

8 5 LES OPÉRATEURS DE HECKE T N 6 Notons que la formule pour T n f ans la éfinition 5.1 peut s écrire une autre façon: Soient n = a et Aτ = aτ+b. Alors la formule pour T nf s écrit sous la forme: (T n f)(τ) = 1 a k f(aτ). (5.2) n a 1,a=n 0 b< Dans le théorème suivant, on étuie l action e T n sur le éveloppement e Fourier e f. Théorème 5.2. Si f M k a comme éveloppement e Fourier f(τ) = m=0 c(m)e2πimτ, alors T n f a comme éveloppement e Fourier (T n f)(τ) = où γ n (m) = (n,m) k 1 c( mn 2 ). γ n (m)e 2πimτ, (5.3) m=0 Démonstration. D après la éfinition on a: (T n f)(τ) = n k 1 n = 1 k b=0 m=0 ( n ) k 1 c(m)e 2πimnτ/ m=0 n nτ+b 2πim c(m)e 2 b=0 e 2πimb/ Or, la somme sur b est une somme partielle e la série géométrique, i.e. Donc, on peut écrire: 1 (e 2πim/ ) b = b=0 { si m 0 sinon. (T n f)(τ) = En posant m = q, on obtient: (T n f)(τ) = m=0 n, m ( n ) k 1 c(m)e 2πimnτ/ 2 ( n ) k 1 c(q)e 2πiqnτ/ q=0 n Dans la somme sur,on remplace par n afin obtenir: (T n f)(τ) = ( qn ) k 1 c e 2πiqτ q=0 n

9 5 LES OPÉRATEURS DE HECKE T N 7 Finalement, où x = e 2πiτ et m = q. (T n f)(τ) = m=0 n, m ( mn ) k 1 c 2 x m, Ainsi la troisième conition e la éfinition 2.1 est vérifiée pour T n f où f M k. De plus T n f est analytique ans H. Pour montrer que T n f M k f M k il reste à vérifier la euxième conition e 2.1.

10 RÉFÉRENCES 8 Références [1] T. Apostol Moular Functions an Dirichlet Series in Number Theory. Springer-Verlag, 1976 pp [2] E. Freitag, R. Busam Funktionentheorie 1. Springer-Verlag, 1995 pp