Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes

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1 Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Shuyan LIU Université Paris - SAMM Youri DAVYDOV et Radu STOICA Université Lille - Laboratoire Paul Painlevé 8 mai 04, Maths en mouvement 04, Paris

2 La vente de livres sur Amazon a une longue traîne (Brynjolfsson, Erik et al., Management Science, 49 (), November 003)

3 Divergence d utilisation du terme lois à queue lourde lim x eλx P(X > x) =, λ > 0 p entier positif t.q. E(X n ) =, n > p E(X ) = lim P(X > x + t X > x) =, t > 0 x (Lois à longue traîne/queue) a > 0 t.q. P(X > x) x a pour x suffisamment grand (Lois à queue épaisse)

4 Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Lois à queue régulière Estimation des paramètres 3 Application aux données des perturbations planétaires 4 Conclusion et perspectives

5 Définition de lois à queue régulière Une v.a. X R a la loi à queue régulière d indice α > 0 si p, q 0, et une fonction à variation lente L(x), tels que P(X > x) pl(x)x α et P(X < x) ql(x)x α si x +. (Fonction à variation lente : L(λx) L(x) lorsque x, λ > 0.)

6 Les lois α-stables n ont pas d expression explicite pour la densité Exemple : Lois α-stables Fonction caractéristique : ( exp{ γ α t α iβ( sign t) tan πα E exp itx = exp{ γ t ) + iµt}, α, ( + iβ π ( sign t) ln t ) + iµt}, α =. Paramètres : α (0, ], γ = p + q (0, ), β = p q p+q [, ], µ R. Exemples : α = : lois gaussiennes, p(x) = α = : lois de Cauchy, p(x) = σ α = / : lois de Lévy, p(x) = ( σ π σ x π e 4σ. π(x +σ ). ) / x 3/ exp ( σ x ).

7 La densité de lois stables dépend de quatre paramètres Dépendance de β Dépendance de α, γ et µ

8 Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Lois à queue régulière Estimation des paramètres 3 Application aux données des perturbations planétaires 4 Conclusion et perspectives

9 Un exemple de données simulées Densité de loi S(.5, 0.5,, 0)

10 Un exemple de données simulées Données simulées de loi S(.5, 0.5,, 0), N = 500

11 Un exemple de données simulées Histogrammes

12 Un exemple de données simulées Diviser l échantillon en 80 groupes, chacun contient 8 éléments..

13 Un exemple de données simulées Diviser l échantillon en 80 groupes, chacun contient 8 éléments..

14 Un exemple de données simulées Calculer les valeurs de ˆα N, ˆβ N et ˆγ N :.78, 0.4 et M () m, = 4.6 M () 8.70 = 0.53 m, θ m, = M () m, = 3. M () 3.44 = 0.9 m, θ m, =. M () m,80 M () m,80 = = 0.86 θ m,80 =

15 Algorithme d estimation Soit ξ,..., ξ N des v.a. i.i.d. suivant une loi à queue régulière. Étape On divise l échantillon en n groupes disjoints, chacun contient m éléments, i.e. ξ,..., ξ m, ξ } {{ } m+,..., ξ } {{ m },......, ξ (n )m+,..., ξ nm. } {{ } G m, G m, G m,n En pratique on choisit n = [N r ] et m = [N r ], r (0, ). Étape Notons M () m,i = max{ ξ : ξ G m,i }, ξ m,i : l élément dans G m,i tel que ξ m,i = M () m,i, M () m,i = max{ ξ : ξ G m,i \{ξ m,i }}, i =,..., n. Étape 3 Calculons S n = n M (), θ m,i = ξ m,i m,i i= m,i M () m,i ξ m,i, q m,i = M() m /α, ˆα N = Sn n S n, (.) ˆβ N = n n i= δ θ ()., (.) ( m,i ) α t γ N =, t > 0. (.3) nγ( t α ) n i= qt m,i

16 Consistance des estimateurs Soient ξ, ξ,..., ξ N des v.a. i.i.d. suivant une loi à queue régulière. Si S n et ˆβ N sont défini par (.) et (.) avec n N r, 0 < r <, alors on a et ˆβ N n S n p.s. N α + α. p.s. β quand N. N Si la condition de régularité est satisfaite avec L(x) = et ˆγ N est défini par (.3) avec n N r, 0 < r <, et 0 < t < αr, alors on a ˆγ N γ p.s. N 0.

17 Influence du regroupement d échantillon N = , α =.75 N = , β = 0.5 Fig. Diagrammes des points ( r, ˆα N ) et ( r, ˆβ N ) estimés de loi S(.75, 0.5, ).

18 Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Lois à queue régulière Estimation des paramètres 3 Application aux données des perturbations planétaires 4 Conclusion et perspectives

19 Un jeu de données des perturbations planétaires Les données sont composées d un ensemble des triplets (cos i, q, z), z = /a : l inverse de demi-grand axe, z = z f z i : la marque de perturbation.

20 QQ-plot des données dans une cellule autour de Jupiter 0.0 QQ Plot of Sample Data versus Normal Quantiles of Input Sample Normal Quantiles

21 Comportement de type queue lourde autour des orbites des grandes planètes Calculons dans chaque cellule l indicateur de queue lourde : ẑ 0.99 ˆn Effectuons le test de normalité des quantiles empiriques ẑ e

22 Résultats d estimation des paramètres pour les perturbations α β γ µ x x

23 Le modèle de lois à queue régulière donne un meilleur ajustement a) b) a) α <, H 0 : loi stable, b) α >, H 0 : loi alternative de densité définie par f (z) = C κ,α + κ z ω α+, 0.

24 Statistiques des lois à queue régulière avec l application sur les perturbations des comètes Lois à queue régulière Estimation des paramètres 3 Application aux données des perturbations planétaires 4 Conclusion et perspectives

25 Conclusion et perspectives CONCLUSION Généralisation aux lois à queue régulière Vitesse de convergence des estimateurs optimisée Modélisation des données réelles PERSPECTIVES Choix de r La loi qui ajuste au mieux un jeu de données Simulation...

26 Merci!