Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles

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1 ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 1/10 Chapitre I : Continuité et dérivabilité des fonctions réelles Le cours sera illustré à l'aide du logiciel de calcul formel gratuit Maima. Les commandes en ligne sont précédée de (%i) en police courrier. Ce logiciel est disponible sur internet (google: calcul formel maima) 1/ Définition I - Continuité Définition de la continuité : Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I. La fonction f est continue en a si lim f() = f(a) a Par etension, f est dite continue sur I si elle est continue en tout réel a de I. Remarques : - Si f est continue en a, alors f doit être définie sur un «voisinage» de a de la forme ]a-ε ;a+ε[, ε>0. - f est continue à droite en a si f est définie sur un «voisinage» de a de la forme [a ;a+ε[, ε>0 et lim f() = f(a). + a - On reconnaît graphiquement qu une fonction est continue sur un intervalle I si elle peut être tracée sans lever le crayon. Corollaire 1 : L image d un intervalle fermé borné [a ;b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m ;M]. De plus la fonction atteint ses bornes. Corollaire 2 : - En appliquant les propriétés sur les opérations avec les limites, le produit, la somme de fonctions continues est continue (voir le cours sur les limites). définition. - Les fonctions polynômes, cos et sin, e sont continues sur Ë. - La fonction est continue sur [0 ;+õ[, ln() est continue sur ]0 ;+õ[. - Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de -Les fonctions construites algébriquement à partir des fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de définition.

2 ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 2/10 Eemple : Montrer que la fonction f définie par f()=² ln pour >0 et f(0)=0 est continue en 0 puis sur [0;+õ[. (%i) f():=^2*log(); (%i) limit(f()),, 0, plus); (%i) plot2d([^2*log(),[,0,2]); 2/ Application : Eistence de solutions pour l'équation f() = k Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé [a ;b]. Alors, pour tout réel λ compris entre f(a) et f(b), il eiste au moins un réel c compris dans [a ;b] tel que f(c) = λ. Justification graphique : Remarque : Ce théorème ne montre que l eistence mais pas l unicité. Eemple : Montrer que la fonction f() = cos admet un point fie sur [0; 2 π ] cos() (%i20) plot2d([cos(),],[0,%pi/2]); (%i25) find_root(=cos(),, 0, %pi/2);

3 ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 3/10 II Nombre dérivé Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, un réel a I, et h un réel non nul (a+h I). f est dérivable en a si le tau d accroissement f(a+h)-f(a) admet une limite finie l quand h h tend vers 0. l est appelé le nombre dérivé de f en a et on note f (a)=l. Interprétation géométrique : Tangente Si f est dérivable en a, la tangente (T a ) à C f au point A d abscisse a a pour coefficient directeur f (a). Une équation de (T a ) est : (T a ) y = f (a) (-a) + f(a) Interprétation numérique Si f est dérivable en a, on a f(a+h) = f(a) + f (a) h + h ε(h) avec lim ε(h) =0 h 0 f(a) + f (a) h + h ε(h) est appelé développement limité d ordre 1 de f en a. Si h voisin de 0, on a f(a+h) f(a) + f (a) h, approimation affine de f(a+h) au voisinage de a. Eemple d application : 1/ Démontrer que la fonction f définie par f()=² ln pour >0 et f(0)=0 est dérivable en 0. (%i) limit(f()/,,0,plus); 2/ Déterminer la meilleure approimation affine de (1+) n pour voisin de 0. (%i20) diff((1+)^n,); (%i28) taylor((1+)^n,,0,1);

4 ENIHP1 mathématiques continuité et dérivabilité p 4/10 III Fonction dérivée Définition : Lorsque f est dérivable en tout point de l intervalle I, on dit que f est dérivable sur I et on note f () la fonction qui à tout réel de I associe le nombre dérivé de f en. 1/ Dérivées des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous sera complété au cours de l année f()= f ()= f dérivable sur k n (n N * ) α (α Ë) cos sin tan e ln 2/ Opérations et fonctions dérivées Si u et v sont 2 fonctions dérivables sur I alors u+v, k u (k Ë) et uv le sont aussi et : (u+v) = u + v (ku) =k u (uv) = u v + uv Si u et v sont dérivables sur I et v non nul sur I, 1 v et u v sont dérivables sur I et : ( 1 v ) =v v² ( u v ) = u v-uv v² Conséquence : Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivables sur leur domaine de définition. Eemple : Calculer la dérivée de f()= ln - après avoir précisé D f. (%i29) diff(*log()-,); 3/ Dérivée d une fonction composée Dérivée d une fonction composée (admis): Soit v une fonction dérivable sur J. Soit u une fonction dérivable sur I telle que pour tout de I, u() appartient à J. Alors la fonction f() = v o u () est dérivable sur I et : f ()= v (u()) u () ( (v o u) = (v o u) u )

5 ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 5 Applications de la dérivée d une fonction composée f f' I Eemple : Calculer la dérivée de ln e 2² après avoir précisé D f + 1 ² + 1 et de u(a+b) (%i29) diff(log((+1)/(^2+1)),); sin (a+b) u n, n É α (α Ë) e u ln u 4/ Classe d une fonction Dérivées successives : Soit f une fonction dérivable sur I. f () est appelée dérivée première de f sur I. Si f () est également dérivable sur I alors on définit la fonction dérivée de f () notée f () et appelée fonction dérivée seconde de f : (f ()) =f (). Pour la dérivée d ordre 3, 4, on note f (3) () f (4) () Classe d une fonction : Soit n É. On dit que f est de classe C n sur I ssi : - f est n fois dérivable sur I - f (n) est continue sur I f est de classe C 0 si f est continue sur I et de classe C õ si f est infiniment dérivable (cos ). Propriété : Si f et g sont de classe C n alors : (f+g), fg, f g (g non nulle sur I) g o f sont de classe Cn. Eemple : Calculer la dérivée première, deuième, troisième de ln(1+) et (1+) n (%i40) diff(log(1+),,4); 5/ Notations différentielles. Notation différentielle : En posant = h et y= f(+ ) f(), on obtient : y = f () + ε( ) avec lim ε( ) =0 et au voisinage de : y f () h 0 En physique on note f () = df d f () = d²f d²

6 ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 6 1/ Définition IV Fonction réciproque Théorème fondamental : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I alors, - f(i) est un intervalle dont les bornes sont les limites des bornes de I. - f réalise une bijection de I sur f(i) - La fonction réciproque de f, notée f -1, est strict. monotone et de même sens que f. - La fonction réciproque f -1 est continue sur f(i). Eemple : Déterminer l'image des intervalles suivant par une fonction continue strictement monotone Intervalle [a,b] ]a,b[ [a,b[ ]a,b] f f Application : Résoudre l équation f()=λ Si f est une fonction dérivable sur [a ;b], Si f est strictement monotone sur [a;b], et Si λ est compris entre f(a) et f(b), alors, l équation f()=λ admet une unique solution sur [a ;b]. Théorème fondamental suite : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I. Si de plus f est dérivable en 0 I avec f ( 0 ) non nul alors f -1 est dérivable en y 0 =f( 0 ) et : (f -1 1 ) (y 0 )= f ( 0 ) 1 f ' of En particuliers si f () ne s annule pas sur I, (f -1 ) = 1 2/ Application au fonctions trigonométriques réciproques arc sin et arc tan

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8 ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 8 1/ Sens de variation IV Applications de la fonction dérivée Théorème 1 (admis): Soit f une fonction dérivable sur I, si f () est positive sur I, alors f est croissante sur I si f () est négative sur I, alors f est décroissante sur I si f () est nulle sur I, alors f est constante sur I Remarque : Si f conserve le même sens de variation sur I, f est dite monotone sur I. Application : Résoudre l équation f()=0 Si f est une fonction dérivable sur [a ;b], Si f ()>0 ou f () <0 sur ]a ;b[ Si f(a) et f(b) sont de signes contraires alors f réalise une bijection de [a;b] dans f( [a;b]) et f()=0 admet une unique solution sur [a ;b]. Eemple : Montrer l'eistence et l'unicité d'un point fie pour la fonction ln sur ]0; + õ[. En déduire un encadrement de e à *log() (%i5) solve(*log()-=0,); (%o5) [=%e,=0] 2/ Etremum local Définition : Soit f une fonction définie sur I et c un point de I. On dit que f(c) est un maimum local de f si il eiste un intervalle ouvert J contenant c tel que f(c) soit un maimum de f sur J. Donc pour tout de J on aura f() f(c)

9 ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 9 Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I=]a,b[ et c un réel appartenant à I, Si f admet un etremum local en c, alors f (c)=0 Si f (c)=0 et change de signe, alors f(c) est un etremum local. Remarque : Si f admet un etremum local en c, alors sa courbe C f admet une tangente horizontale au point d abscisse c. Eemple : On découpe un secteur angulaire dont l angle au centre mesure (0 2 π) d un disque de rayon r. On construit alors un cône en ajustant les rayons découpés. Quelle est la valeur qui maimise le volume du cône? V/ Théorème de Rolle et des accroissements finis Théorème de Rolle : Soit deu réels a et b, a<b et f une application de [a ;b] dans Ë. Si f est continue sur [a ;b], dérivable sur ]a ;b[, et f(a)=f(b) alors il eiste un réel c ]a ;b[ tel que f (c)=0. Démonstration :

10 ENIHP1 continuité et dérivabilité p. 10 Théorème des accroissements finis Soit deu réels a et b, a<b, et f une fonction de [a ;b]dans Ë. Si f est continue sur [a ;b] et dérivable sur ]a ;b[ alors il eiste un réel c ]a ;b[ tel que f (c)= f(b)-f(a) b-a Démonstration Interprétation graphique : Application 1 : Démontrer le lien entre sens de variation et signe de la dérivée. Application 2 : Démonstration d'inégalité Eemple: Démontrer que pour tout >0 on a 2 1+ < arctan() < Application 3 : Inégalité des accroissements finis Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I telle que pour tout de I f '( ) M. Alors pour tout couple (,y) de I ( y), on a : f ( y) f ( ) y M. Démonstration