Correction Banque CCP MP MP. Éléments de correction des exercices de la banque CCP MP

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1 -3 Correction Banque CCP MP MP Éléments de correction des exercices de la banque CCP MP Ce document donne des éléments de correction de la totalité des exercices de la banque CCP en section MP. La numérotation des exercices et la retranscription des énoncés sont fidèles à l original. L exercice.6 renvoie à l exercice 6 de la partie algèbre et géométrie alors que l exercice.7 renvoie à l exercice 7 de la partie analyse de la banque CCP. S agissant d une première version, il y a inévitablement dans ce document de nombreuses erreurs typographiques, des maladresses dans les rédactions et sans doute un bon nombre d étourderies. Merci de me les signaler. Pour toutes remarques : Dernière version téléchargeable ici : http ://jnicolas.fr. Pour trouver l énoncé de l exercice 4 d algèbre dans le fichier source Latex, rechercher la chaîne de caractère %4 dans le fichier.. Pour trouver l énoncé de l exercice 4 d analyse dans le fichier source Latex, rechercher la chaîne de caractère %A4 dans le fichier. Table des matières Algèbre et géométrie Analyse 8 Algèbre et géométrie Exercice. Soit θ R et n N. Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C[X] puis dans R[X] le polynôme : P = X n X n cos(nθ)+. Le polynôme X cos(nθ)x + a pour racines e inθ et e inθ donc X n X n cos(nθ)+ = (X n e inθ )(X n e inθ ). Le polynôme X n e inθ a pour racines e iθ+kπi/n avec k,n et celles de X n e inθ s en déduisent par conjugaison.. Si nθ / πz, alors la décomposition en facteurs irréductibles dans C[X] est n X n X n cos(nθ)+ = (X e iθ+kπi/n )(X e iθ kπi/n ). k= Pour la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X], on regroupe les facteurs conjugués entre eux. On obtient n ( X n X n cos(nθ)+ = X Xcos(θ + kπ ) n )+. k= n. Si nθ πz, alors P = (X n ) = (X e ikπ n ) (décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]). Pour k= la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X], on doit discuter selon la parité de n. Si n est pair, en posant n = p, on a en regroupant les facteurs conjugués : p ( ( ) kπ P = (X ) (X +) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p k= Si n est impair, en posant n = p+, on a p ( ( ) kπ P = (X ) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p+ k= n 3. Si nθ π+πz, alors P = (X n +) = k= (X e i(k+)π n ) (décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]). Pour la décomposition dans R[X], on doit discuter selon la parité de n. Si n est pair, en posant n = p, on a en regroupant les facteurs conjugués : p ( ( ) (k +)π P = X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p k= Si n est impair, en posant n = p+, on a p ( ( ) (k +)π P = (X +) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p+ k=

2 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice. On considère les polynômes P = 3X 4 9X 3 +7X 3X + et Q = X 4 3X 3 +3X 3X +.. Décomposez P et Q en facteurs premiers sur R[X], puis sur C[X] (on pourra calculer les valeurs de P et de Q en et en ).. Déterminez le ppcm et le pgcd des polynômes P et Q.. On obtient P() = P() =. Ainsi (X )(X ) P. Il existe donc α,β R tels que P = 3(X )(X )(X + αx+β). On trouve par identification : P = 3(X )(X )(X + ) qui est la décomposition de P en facteurs 3 irréductibles dans R[X]. Dans C[X], on obtient P = 3(X )(X )(X i )(X + i ). 3 3 EnprocédantdelamêmefaçonpourQ,onobtientcommedécompositiondansR[X],Q = (X )(X )(X +). Dans C[X], cela donne Q = Q = (X )(X )(X +i)(x i).. Le pgcd de P et de Q est (X )(X ). Le ppcm de P et de Q est (X )(X )(X +)(3X +). Exercice.3 On considère les polynômes de C[X] suivants : P = X 4 3X + et Q = X 3 +3X +3X +.. Décomposez en facteurs premiers P dans C[X] (on pourra calculer les valeurs de P en et en ).. Décomposez en facteurs premiers Q dans C[X] (on pourra calculer la valeur de Q en ). 3. (a) Déduisez des questions. et. qu il existe U et V tels que PU +QV =. (b) Indiquez une méthode pour déterminez deux polynômes U et V en utilisant l algorithme d Euclide.. Puisque P() = P( ) =, on obtient P = (X )(X +)(X ), c est à dire P = (X )(X +)(X )(X + ).. Puisque Q( ) =, on obtient Q = (X + )(X + X + ), c est à dire Q = (X + )(X + j)(x + j ), où j = e πi/3 = +i 3. (a) On constate que le pgcd de P et de Q est égal à. D après le théorème de Bezout, il exite U,V C[X] tels que PU +QV =. (b) Après calculs des remontées dans l algorithme d Euclide, on trouve U = 63 (8X + 3X + ) et V = 63 (6X3 X 44X +37). Exercice.4 X 5 +X 4 On considère la fraction rationnelle R = (X ) (X +).. Décomposer R en éléments simples.. Déterminer les primitives de la fonction x R(x) sur ],[.. On trouve : R = X +3+ Attention à ne pas oublier la partie entière! 6 3(X ) + 8 9(X ) + 9(X +).. Sur ],[, on obtient les fonctions primitives F de x R(x) (qui est continue) : F(x) = x +3x 6 3(x ) ln x + ln(x+)+c, C R. } {{ } 9 x Exercice.5 Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K (= R ou C) de degré inférieur ou égal à n et f l endormorphisme de E défini par : f(p) = P P.. Démontrez que f est bijectif de deux manières :

3 -3 Correction Banque CCP MP MP (a) sans utiliser de matrice de f, (b) en utilisant une matrice de f.. Soit Q E. Trouvez P tel que f(p) = Q. Indication : si P E, quel est le polynôme P (n+)?. (a) Soit P E tel que P P =. En introduisant le degré de P, on trouve que P =. L endomorphisme f de E est injectif et donc bijectif puisqu on est en dimension finie. (b) Soit (,X,...,X n ) la base canonique de E. On a f() = et pour tout k,n,f(x k ) = X k kx k. La matrice A de f dans la base (,X,...,X n ) est donc donnée par A = () n () La matrice A est triangulaire supérieure et det(a) = donc A GL n+ (K). On retrouve donc que f est bijective.. Soit Q E donné. Puisque f est bijective, il exite un unique P E tel que f(p) = Q. En dérivant la relation P P = Q, on obtient pour tout k,n, P (k) P (k+) = Q (k). Par somme de k = n à n, on obtient P P } (n+) {{ } = Q (k). = k= Exercice.6 Soit la matrice A =. Déterminez ker(f).. f est-il surjectif?. ( ) et f l endomorphisme de M 4 (R) défini par : f(m) = AM. 3. Trouvez une base de ker(f) et une base de Im(f). ( ) ( ) ( ) a b. M = kerf f(m) = (a = c et b = d). Ainsi, ker(f) = Vect, c d, } {{ } } {{ } A A et en particulier dimker(f) =.. L endomorphisme f n est pas surjectif car ker(f) n est pas réduit à la matrice nulle. ( ) a b 3. Si M =, on obtient c d ( ) ( ) f(m) = (a+c) +(b+d). } {{ } } {{ } A 3 A 4 (A,A ) est une base de ker(f) et (A 3,A 4 ) est une base de Im(f). Exercice.7. Démontrez que si A et B sont deux matrices carrées d ordre n alors AB et BA ont même trace.. Déduisez-en qu en dimension finie, toutes les matrices d un même endomorphisme ont même trace. 3. Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k N, A k et B k ont même trace.. Soit A = (a ij ),B = (b ij ) M n (K). On a Tr(AB) = n (AB) kk = k= n k= j= n a kj b jk = n j= k= n b jk a kj = n (BA) jj = Tr(BA). j= 3

4 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit B,B des bases de E espace vectoriel de dimension finie. Alors Mat B (f) = Mat B (B ) Mat B (f)mat B (B). } {{ } } {{ } P P Ainsi, Tr(Mat B (f)) = Tr(P(Mat B (f)p )) = Tr(Mat B (f)p P) = Tr(Mat B (f)). Des matrices semblables ont donc même trace. 3. SiAetB sontsemblables,ilexisteunematriceinversiblep telquea = PBP.Pourtoutk N,A k = PB k P. Donc A k et B k sont aussi semblables et ont donc même trace. Exercice.8 On note M n (C) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients complexes. Pour A = (a ij ) M n (C), on pose A = sup a ij. i,j n. Démontrez que AB n A. B, puis que pour tout entier p, A p n p A p.. Démontrez que, pour toute matrice A M n (C), la série A p est absolument convergente. Est-elle convergente? p!. Soit A = (a ij ),B = (b ij ) M n (C). Pour tout i,j,n, (AB) ij n k= a ik. b kj A. B n k= n A. B. On a donc bien prouvé AB n A. B. Avec en particulier B = A, on obtient A n A et une récurrence immédiate donne le résultat cherché.. Pour tout entier p, Ap p! (n A ) p et la série de nombres réels (n A ) p est convergente (comme série n p! p! p exponentielle) donc A p est absolument convergente. p! Puisque M n (C) est un espace vectoriel de dimension n, on sait qu il est complet et l absolue convergence implique la convergence. Exercice.9 Soit Φ l endomorphisme de R n [X] défini par Φ : P(X) P(X) P(X ). Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de R n [X] et déduisez-en ImΦ et kerφ. Soit A M n+ (R) la matrice de de Φ dans la base canonique de R n [X]. On a Φ() =. La première colonne de A est nulle. k ( ) Pour tout k,n, Φ(X k ) = X k (X ) k = ( ) k j k X j. A est donc une matrice triangulaire strictement j j= ( ) j supérieure (tous les termes de la diagonale sont nuls) de coefficients a ij = ( ) j i+ si j > i et sinon. i On obtient ainsi kerφ = Vect{} = {λ.,λ R}. On a aussi ImΦ = Vect(Φ(X),...,Φ(X n )) = R n [X]. Exercice. Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f,g deux endomorphismes de E tels que : f g = Id.. Démontrer que : ker(g f) = ker(f).. Démontrer que : Im(g f) = Im(g). 3. Démontrer que : E = ker(f) Im(g). Bien noter qu on ne suppose pas E de dimension finie ce qui exclu l utilisation du théorème du rang et que f et g ne sont pas supposés commuter.. On a l inclusion triviale ker(f) ker(g f) toujours vraie pour deux endomorphismes f et g. On va montrer l inclusion inverse. Soit x ker(g f). On a alors f (g(f(x))) = f() =. Mais l hypothèse f g = Id permet d écrire f (g(f(x))) = } {{ } = f(x). Ainsi f(x) = et x ker(f). On a bien ker(f) = ker(g f) par double inclusion. 4

5 -3 Correction Banque CCP MP MP. On a cette fois l inclusion triviale Im(g f) Im(g) toujours vraie. Soit y Im(g). Il existe x E tel que y = g(x). Mais puisque f g = Id, on a aussi x = f(g(x)) et alors y = g(f(g(x))) Im(g f). On a bien Im(g f) = Im(g) par double inclusion. 3. Soit on remarque que (g f) = g (f g) f = g f, donc g f est un projecteur ce qui implique E = ker(g f) Im(g f), d où le résultat voulu d après les questions précédentes. Soit on redémontre à la main la propriété du projecteur : Soit x ker(f) Im(g). On a alors f(x) = et il existe z E tel que x = g(z). Cela implique = f(x) = f(g(z)) = z car f g = Id. Puisque z =, on a ausi x = g() =. Ainsi ker(f) Im(g) = {}. Pour tout x E, on a x = (x g(f(x)))+g(f(x)). } {{ } Im(g) On vérifie aisément que x g(f(x)) ker(f). En effet f(x g(f(x))) = f(x) (f g)(f(x)) = f(x) f(x) =. Puisque E = ker(f)+im(g) et ker(f) Im(g) = {}, on a bien E = ker(f) Im(g) Exercice. Soit un entier n. On considère la matrice carrée d ordre n à coefficients réels : Pour n, on désigne par D n le déterminant de A.. Démontrez que D n+ = D n+ D n.. Déterminez D n en fonction de n A = Justifiez que la matrice A est diagonalisable. Le réel est-il valeur propre de A?. En développant par rapport à la première ligne, on obtient la relation voulue.. On est en présence d une suite récurrente linéaire d ordre. L équation caractéristique associée r r + = admet r = pour racine double. Pour tout n, on a donc D n = (λn + µ) n = (λn + µ). Pour n =, on a D = = λ + µ. Pour n =, on a D = 3 = λ + µ. On obtient λ = et µ =. Ainsi, pour tout n, D n = n+. 3. A est une matrice symétrique réelle donc elle est diagonalisable. Pour tout n, D n donc n est pas dans le spectre de A. Exercice. Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, (e i ) une base de E et v,v,...,v n n vecteurs de E.. Démontrez qu il existe un unique endomorphisme f de E tel que, i {,...,n},f(e i ) = v i.. On note L(E) l espace vectoriel des endomorphismes de E, et M n (R) l espace vectoriel des matrices carrées n n à coefficients réels. Pour tout u L(E), on pose : ϕ(u) = Mat (ei)u (Mat (ei)u désignant la matrice de u dans la base (e i )). (a) Démontrez que l application ϕ de L(E) dans M n (R) est linéaire et bijective. (b) Déterminez la dimension de l espace vectoriel L(E).. Existence : pour tout x E tel que x = convient. n x i e i, on pose f(x) = i= n x i v i. L application f est linéaire et i= 5

6 -3 Correction Banque CCP MP MP Unicité : Soit f,f deux endomorphismes de E vérifiant la condition. Puisque f et f sont égaux sur une base de E, ils le sont sur E en entier.. (a) La linéarité de ϕ est triviale et ne pose aucun problème. Montrons que ϕ est bijective. Soit M M n (R) dont on note C,C,...C n les colonnes. On appelle v i le vecteur de coordonnées dans la base (e i ) la colonne C i. En utilisant la question., on trouve qu il existe un unique endomorphisme f de E tel que ϕ(f) = M. (b) Puisque ϕ : L(E) M n (R) est un isomorphisme d espaces vectoriels, M n (R) étant de dimension n, on a aussi dim(l(e)) = n. Exercice.3 Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R. On note L(E) l ensemble des endomorphismes de E et M n (R) l ensemble des matrices carrées n n à coefficients réels. On admet que L(E) muni des lois + et est un anneau, et que M n (R) muni des lois + et est un anneau.. Précisez l élément neutre pour la loi dans L(E) et l élément neutre pour la loi dans M n (R).. (e i ) désignant une base de E, on pose, pour tout u L(E), on pose : ϕ(u) = Mat (ei)u (Mat (ei)u désignant la matrice de u dans la base (e i )). (a) Démontrez que ϕ est un isomorphisme d anneau de L(E) dans M n (R). (b) Démontrez que, pour tout u L(E), Mat (ei)(u u... u } {{ } ) = (Mat (ei)u) n. n fois. L élément neutre pour la loi dans L(E) est l application id E définie pour tout x E par id E (x) = x. L élément neutre pour la loi dans M n (R) est I n = Diag(,,...,).. (a) ϕ est un isomorphisme d espaces vectoriels (voir exercice.). Puisque pour u,v L(E), on a la relation Mat (ei)(u v) = Mat (ei)(u)mat (ei)(v), on a ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v). Enfin ϕ(id E ) = I n. ϕ est donc bien un isomorphisme d anneaux. (b) On a pour tout u L(E), Mat (ei)(u u... u } {{ } ) = ϕ(u u... u) = ϕ(u)ϕ(u)...ϕ(u) = (Mat (ei)u) n par n fois la propriété ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v) appliquée à v = u et itérée. Exercice.4 Soit E un espace vectoriel de dimension n.. Soit {e,...,e n } une base de E. Démontrez que pour tout i =,3,...,n, {e +e i,e,...,e n } est une base de E.. Déterminez tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale dans toute base de E.. La famille {e,...,e n } est libre et puisque pour tout i =,3,...,n, e / Vect{e,...,e n }, {e +e i,e,...,e n } est une base de E en tant que famille de libre de n vecteurs dans une espace de dimension n. On peut aussi remarquer que pour i, det (e +e i,e,...,e n ) = det (e,e,...,e n )+ det (e i,e,...,e n ) = + =, (e,...,e n) (e,...,e n) (e,...,e n) car e i Vect(e,...,e n ). On retrouve le fait que {e +e i,e,...,e n } est une base de E en tant que famille de libre de n vecteurs dans une espace de dimension n.. SoituunendomorphismedeE dontlamatriceestdiagonaledanstouteslesbasesdee.posonsmat {e,...,e n}(u) = Diag(λ,...,λ n ). Pour i fixé, dans la base {e,...,e n }, la matrice de u est aussi diagonale. Il existe donc un scalaire α tel que u(e + e i ) = α(e + e i ). On a donc λ e + λ i e i = α(e + e i ), soit par identification puisque {e,e i } est libre, α = λ = λ i. En faisant varier i de à n, on obtient λ = λ =... = λ n. Il existe donc un sclaire λ tel que u = λi E. Les homothéties sont donc les seuls endomorphismes vérifiant cette propriété. Exercice.5 Soit f un endormphisme d un espace vectoriel E de dimension n. 6

7 -3 Correction Banque CCP MP MP. Démontrez que E = Imf kerf = Imf = Imf.. (a) Démontrez que Imf = Imf kerf = kerf. (b) Démontrez que Imf = Imf = E = Imf kerf. Notons que pour tout endomorphisme u d un espace vectoriel (de dimension quelconque), on a toujours les inclusions Imu Imu et keru keru.. Supposons E = Imf kerf et montrons Imf = Imf. Soit y Imf et x E tel que f(x) = y. Par hypothèse, x s écrit x = x + x avec x Imf et x kerf. Il existe donc z E tel que x = f(z) et x = f(z) + x. D où y = f(f(z))+f(x ) = f (z) Imf. On a donc Imf Imf et finalement Imf = Imf puisque l autre inclusion est toujours vérifiée.. (a) En dimension finie, les conditions kerf = kerf et Imf = Imf sont équivalentes puisque d après le théorème du rang dim(kerf)+dim(imf) = dim(kerf )+dim(imf ) = dim(e). (b) Supposons donc Imf = Imf, c est à dire kerf = kerf et montrons E = Imf kerf. Soit y Imf kerf. Il existe x E tel que y = f(x). Comme f(y) =, on a f (x) = et x kerf = kerf. Ainsi y = f(x) =. Donc Imf et kerf sont en somme directe et le théorème du rang permet de conclure que E = Imf kerf. Exercice.6 N.B : Les deux questions sont indépendantes.. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E. On note L(E) l ensemble des endomorphismes de E. Démontrez que, dans L(E), la famille {Id,f,f,...,f n } est liée et déduisez-en que f admet un polynôme annulateur non identiquement nul.. Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie et λ une valeur propre de f. Démontrez que, si P est un polynôme annulateur de f alors : P(λ) =.. La famille {Id,f,f,...,f n } comporte n + vecteurs de l espace L(E) qui est de dimension n. Cette famille est donc liée. Une relation de liaison (à coefficients non tous nuls) sur les éléments de {Id,f,f,...,f n } fournit un polynôme annulateur non nul de f.. Soit x un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a f(x) = λx et par récurrence immédiate, pour tout n N, f n (x) = λ n x. Par linéarité, on obtient pour tout P K[X], P(f)(x) = P(λ)x. Si P est annulateur pour f, alors P(λ)x = et puisque x, on obtient P(λ) =. Exercice.7 Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E sur le corps K(= R ou C). On note K[X] l ensemble des polynômes à coefficients dans K.. Démontrez que : (P,Q) K[X] K[X],(PQ)(u) = P(u) Q(u).. (a) Démontrez que : (P,Q) K[X] K[X],P(u) Q(u) = Q(u) P(u). (b) Démontrez que pour tout (P,Q) K[X] K[X] : (P polynôme annulateur de u) = (PQ polynôme annulateur de u). ( ) 3. Soit A =. Écrivez le polynôme caractéristique de A, puis déduisez-en que le polynôme R = X4 + X 3 +X 4X est un polynôme annulateur de A.. On définit pour k N le polynôme e k K[X] par e k (X) = X k. On a clairement pour j,k N, (e k e j )(X) = X k X j = X k+j. Puisque toutes les puissances de u commutent entre elles, on a (e k e j )(u) = (e k )(u) e j (u). La relation s étend à tout couple de polynômes (P, Q) K[X] K[X] par linéarité. Autrement dit, l application ϕ u : K[X] P P(u) L(E) est un morphisme de K-algèbres.. (a) Soit (P,Q) K[X] K[X]. On a PQ=QP donc P(u) Q(u) = (PQ)(u) = (PQ)(u) = Q(u) P(u). 7

8 -3 Correction Banque CCP MP MP (b) Soit P un polynôme annulateur de u et Q K[X]. Alors : (PQ)(u) = (QP)(u) = Q(u) P(u) = Q(u) L(E) = L(E). PQ est donc aussi un polynôme annulateur de u. 3. Le polynôme caractéristique χ A de A est χ A = X(X ). Par le théorème de Cayley-Hamilton, on sait que χ A (A) =. On remarque que R() = R() =, donc χ A R. On trouve R = X 4 +X 3 +X 4X = χ A (X + 3X +4). Ainsi R est aussi un polynôme annulateur de A d après la question précédente. Exercice.8 Soit E l ensemble des matrices de la forme M(a,b) = ( ) a b où a et b sont des nombres réels. b a. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M (R). Quelle est sa dimension?. On pose ϕ(a + ib) = M(a,b). Démontrer que ϕ est un isomorphisme d espaces vectoriels de C sur E, C étant considéré comme un espace vectoriel de dimension sur R. Est-il un isomorphisme d anneaux. Éléments de correction ( ) :. Soit A = = M(,). On a clairement E = Vect(Id,A) donc E est un sev de M (R) (remarquer que Id = M(,) E). Puisque {Id,A} est une base de E, on( sait que dim(e) ) =. ai b (E,+) est un sous-groupe de M (R) et Id E. Soit M i = i pour i {,}. Alors b i a i E est donc bien un sous-anneau de M (R). ( ) a a M M = b b a b +b a E. (a b +b a ) a a b b. ϕ : C E est linéaire (au sens des espaces vectoriels) et injective. Puisque dim R (C) = dim(e) =, c est un isomorphisme. ( ) ai b On vérifie sans peine que si M i = i avec i {,}, alors b i a i ϕ((a +ib )(a +ib )) = ϕ(a +ib )ϕ(a +ib ). On a déjà vu que ϕ((a +ib )+(a +ib )) = ϕ(a +ib )+ϕ(a +ib ), et ϕ(+i) = Id. On a donc bien un isomorphisme d anneaux. Exercice.9 p désigne un entier naturel non nul. On considère dans Z la relation d équivalence R définie par : xry k Z tel que x y = kp. On note Z/pZ l ensemble des classes d équivalence pour cette relation R.. Quelle est la classe d équivalence de? Quelle est celle de p?. Donner soigneusement la définition de l addition usuelle et de la multiplication usuelle dans Z/pZ. 3. On admet que muni de ces opérations, Z/pZ est un anneau. Démontrer que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier.. On obtient immédiatement Cl() = Cl(p) = pz, où Cl(.) dénote la classe d équivalence relative à la relation R. Pour x,x Z, on pose : Cl(x + x ) = Cl(x) + Cl(x ) et Cl(xx ) = Cl(x)Cl(x ). On doit s assurer que les opérations sont bien définies (c est à dire qu elles ne dépendent pas des représentants des classes). 3. On peutsans effortmontrerun peumieuxàsavoir pour p entiernaturelnon nul:cl(x) inversibledans Z/pZ x et p sont premiers entre eux. En effet, soit x Z. On a : Cl(x) inversible dans Z/pZ α Z tel que Cl(αx) = Cl(). Cette dernière proposition est équivalente à l existence de β Z tel que αx+βp =. D après le théorème de Bézout : Cl(x) inversible dans Z/pZ x et p sont premiers entre eux. On obtient p est premier si et seulement si Z/pZ est un corps. 8

9 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice. Soit S n l ensemble des permutations de l ensemble constitué par les n premiers entiers non nuls {;;...;n}.. Démontrez que, muni de la loi, S n est un groupe.. On note σ l élément de S 8 défini de la manière suivante : ( ) l image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous. (a) Démontrez que la permutation σ est égale à la composée de deux cycles que l on précisera. (b) On note σ n la permutation } σ σ {{... σ }. n fois Déterminez σ,σ 4,σ 4, et σ 6.. Toutélémentσ des n estuneapplicationbijectivede{;;...;n}dans{;;...;n}.lacomposéededeuxbijections est une bijection, donc est une loi interne de S n. La composition des applications étant associative, est donc une loi associative sur S n. L application identité id n de {;;...;n} dans {;;...;n} est un élement de S n. Tout élement de S n admet un inverse dans S n (sa bijection réciproque). (S n, ) est donc un groupe.. (a) Tout élément de S n s écrit façon unique (à l ordre près des cycles) comme une composée de cycles à supports disjoints (qui commutent donc entre eux). On a ainsi : σ = (,5,8,3) (,4,7) = c c. } {{ } } {{ } c c (b) On a c 4 = id 8 et c 3 = id 8. Ainsi, l ordre de σ dans S n est le ppcm de c et c. On a donc σ = id 8 et est le plus entier ayant cette propriété. On a donc σ = σ 4 = id 8 et σ 4 = c 4 c 4 = id 8 c = c. Puisque 6 = 68, on a σ 6 = id 8. Exercice.. u est un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie n et I désigne l application identité de E. Rappelez la définition d une valeur propre puis démontrez que : (λ valeur propre de u) = (det(u λi) = ). Déduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.. Trouvez un endormophisme de R admettant comme valeurs propres et.. Un scalaire λ K est valeur propre de u si et seulement s il existe x E non nul tel que u(x) = λx. Puisque u λi est un endomorphisme de E (en dimension finie) on a donc (λ valeur propre de u) (ker(u λi) {}) (u λi n est pas injective ) (u λi n est pas inversible ) (det(u λi) = ) (). On pourra proposer f définie par (x,y) R, f(x,y) = (x,) correspondant à la projection (orthogonale) sur la première coordonnée. Exercice. a c Soit la matrice M = b c où a,b,c sont des réels. b a. M est-elle diagonalisable dans M 3 (R)?. M est-elle diagonalisable dans M 3 (C)?. Le polynôme caractéristique χ A de A est donné par χ A = X(X +ca ba bc). Si ca ba bc < alors A est diagonalisable dans M 3 (R) car χ A est scindé à racines simples. Si ca ba bc = alors χ A = X 3 et est la seule valeur propre de A. A est diagonalisable si, et seulement si, elle est semblable à la matrice nulle c est à dire si, et seulement si, a = b = c =. Si ca ba bc > alors est la seule valeur propre réelle et A n est donc pas diagonalisable dans M 3 (R). 9

10 -3 Correction Banque CCP MP MP. Si ca ba bc alors A est diagonalisable dans M 3 (C) car χ A est scindé à racines simples. Si ca ba bc = alors A est diagonalisable dans M 3 (C) si et seulement si a = b = c =. Exercice.3 Soit la matrice A =.. Démontrez que A est diagonalisable de quatres manières : (a) sans calculs, (b) en calculant directement le déterminant det(a λi 3 ), où I 3 est la matrice identité d ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres, (c) en utilisant le théorème du rang, (d) en calculant A. On suppose que A est la matrice d un endomorphisme u d un espace euclidien dans une base orthonormée. (a) Que peut-on dire de l endomorphisme u? (b) Trouvez une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.. (a) La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable. (b) Le polynôme caractéristique est donné par χ A = det(a λi 3 ) = λ (λ 3). De plus, E 3 (A) = Vect(,,) et E (A) = {(x,y,z) R 3 : x y +z = }. Puisque dime (A)+dimE 3 (A) = 3, A est diagonalisable. (c) Les colonnes de A étant proportionnelles, dimim(a) = et par le théorème du rang, dimker(a) =. est donc valeur propre de A au moins double de A. Puisque Tr(A) = 3 = λ Sp(A) λ = 3, on sait que A admet 3 comme troisième valeur propre simple. Par un argument de dimension comme ci-dessus, on conclut que A est diagonalisable. (d) On obtient A = 3A donc A est annulée par X 3X qui est un polynôme scindé à racines simples. A est donc diagonalisable.. L endomorphisme est autoadjoint. 3. On forme une base orthonormée de E 3 (A) et E (A). Par exemple, on prend u = 3 ( i j + k), u = ( i+ j), w = 6 ( i j k), où ( i, j, k) est la base canonique de R 3. Exercice.4 On considère la matrice A = a où a est un nombre réel. a. Quel est le rang de A? La matrice A est-elle inversible?. A est-elle diagonalisable?. Si a = alors rga =. A n est donc pas inversible Si a alors rga = 3 car det(a) = a. A est donc inversible.. Si a R\{,} alors A est diagonalisable avec 3 valeurs propres distinctes, et a. Si a = alors dimker(a I 3 ) = 3 rg(a I 3 ) = et la valeur propre est de multiplicité donc A n est pas diagonalisable. Si a = alors dimker(a I 3 ) = 3 rg(a I 3 ) = et puisque dimker(a I 3 ), la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut au moins 3. A est donc diagonalisable. Exercice.5 Soit A = M 3 (C).

11 -3 Correction Banque CCP MP MP. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagonalisable?. Soit (a,b,c) C 3 et B = ai 3 +ba+ca, où I 3 désigne la matrice identité d ordre 3. Déduisez de la question. les éléments propres de B.. On remarquera que A est la matrice d une permutation. On obtient comme valeurs propres : λ =, λ = e iπ/3 = j, λ 3 = j = j. Les vecteurs propres respectivement associés à λ,λ et λ 3 sont : u = (,,),u = (j,j,),u 3 = (j,j,). La matrice A est donc diagonalisable puisqu elle admet trois valeurs propres distinctes.. On remarquera que A u = u,a u = j u et A u 3 = j 4 u 3 = ju 3. On a donc Bu = (a+b+c)u, Bu = (a+bj +cj )u, Bu 3 = (a+bj +cj)u 3. Exercice.6 On considère dans l espace vectoriel R 3 la projection vectorielle f sur le plan d équation x+y +z =, parallélement à la droite d d équation x = y = z 3.. Trouvez simplement une base de R 3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.. Désuisez-en la matrice de f dans la base canonique de R 3.. d est la droite passant par le point A(,,) et de vecteur directeur u(,,3). De plus le plan P d équation x+y +z = admet pour base {(,,),(,, )}. } {{ } } {{ } v w Dans la base ( u, v, w) de R 3, f a pour matrice D =.. La matrice P de passage de la base canonique de R 3 à la base ( u, v, w) est donnée par P = 3 et admet pour inverse P = PDP = La matrice de f dans la base canonique est donc donnée par Exercice.7 Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n, et soit {e,...,e n } une base de E. On suppose que f(e ) = f(e ) =... = f(e n ) = v, où v est un vecteur donné de E. f est-il diagonalisable? (discutez en fonction du vecteur v). Si v =, alors f = donc f est diagonalisable. Supposons donc v. On a alors Im(f) = Vect(v) et dimim(f) =. Par le théorème du rang, on trouve dimker(f) = n. On a donc Sp(A) et dime (f) = dimker(f) = n. Supposons qu il existe une autre valeur propre λ. Soit x un vecteur propre associé. On aura alors f(x) = λx soit x Im(f) = Vect(v). Ainsi, x est colinéaire à v. Dans le cas où f(v) =, c est absurde. Car on aurait aussi f(x) = et λx. f n est donc pas diagonalisable lorsque f(v) = ( est alors la seule valeur propre et dime (f) = n < dime = n) Dans le cas où f(v), f admet donc bien une autre valeur propre non nulle et v est alors un vecteur propre associé à cette valeur propre. f est alors diagonalisable avec dime (f) = n et dime λ (f) =.

12 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.8 ( ). On pose A =. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 4 ( ) 3. Déterminez toutes les matrices qui commutent avec la matrice et déduisez-en l ensemble des matrices qui commutent avec A.. Le polynôme caractéristique χ A de A est χ A = (X 3)(X + ). Il y a donc deux valeurs propres : λ = 3 et µ =. ( ) ( ) On a ker(a 3I ) = Vect et ker(a+i ) = Vect 4 ( ) ( ) a b 3. Soit M = et D =. On a MD = DM si, et seulement si, b = c =, c est à dire M est c d ( ) diagonale. Avec P =, on a A = PDP 4. Pour X M (R), on pose M = P XP. On a alors : AX = XA DM = MD. L ensemble K[A] des matrices qui commutent avec A est donc donné par ( ) a K[A] = {P P : a,d R}. d Puisque dimk[a] =, on a K[A] = Vect(I,A). Exercice.9. On considère la matrice A =. 3 (a) Déterminez les valeurs propres de A puis une base de vecteurs propres associés. (b) Déterminez la matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres, puis sa matrice inverse P. x = x+y z +t. On considère le système différentiel y = y +z +, x,y,z désignant trois fonctions de la variable t, z = 3z dérivables sur R. Résolvez ce système différentiel en utilisant la question.. (a) Aadmettroisvaleurspropresdistinctes(Aesttriangulairesupérieure)donnéesparλ =,λ = etλ 3 = 3. Les vecteurs propres respectivement associés à λ,λ et λ 3 sont u = (,,),u = (,,),u 3 = (,,). (b) La matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres (u,u,u 3 ) est donnée par P =. La matrice inverse de P est donnée par P =.. Avec X = x y et B = t, le système donné est équivalent à X = AX +B. On est donc en présence d un z système différentiel linéaire du premier ordre avec second membre. On pose pour tout t R,Y(t) = P X(t), le système X = AX + B est équivalent au système Y = DY +P ( ) B où D = P ( ) AP. y (t) En notant pour tout t R, Y(t) = y (t), on obtient y 3 (t) y (t) = y (t)+t y (t) = C e t t y (t) = y (t)+ = y (t) = C e t, y 3(t) = 3y 3 (t) y 3 (t) = C 3 e 3t où C,C,C 3 sont des constantes d intégrations fixées par les conditions initiales.

13 -3 Correction Banque CCP MP MP On revient aux coordonnées initiales en utilisant X = PY. Cela donne x(t) = C e t t+c e t y(t) = C e t +C 3e 3t. z(t) = C 3 e 3t Exercice.3 On considère la matrice A = ( ) Démontrez que A n est pas diagonalisable.. On note f l endomorphisme de ( R ) canoniquement associé à A. Trouvez une base (v,v ) de R dans laquelle la a b matrice de f est de la forme. c { x = x 4y 3. Déduisez-en une méthode de résolution du système différentiel y = x+3y.. Le polynôme caractéristique de A est χ A = (X ). La matrice A a donc pour seule valeur propre. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice identité ce qui n est pas. A n est donc pas diagonalisable (on a donc dime (A) = < ).. A a un polynôme caractéristique scindé sur R donc elle est trigonalisable en tant que matrice de M 3 (R). Puisque E () = Vect( ( ) ), on prend v = (, ) et on a donc a =. On cherche v tel que f(v ) = bv + cv. Avec le choix ( b ) = c =, on trouve v = (,). Dans la base (v,v ) de R, la matrice de f est donc donnée par D =. ( ) ( ) ( ) ( ) x u 3. Posons X = et Y = P y X = avec P = et P v =. Le système différentiel X { = AX est équivalent à Y = DY. Ce dernier étant triangulaire, on obtient aisément u(t) = λe t +µte t les solutions données par v(t) = µe t, avec λ,µ R. On revient aux coordonnées initiales en calculant { x(t) = (λ µ+µt)e t X = PY pour obtenir y(t) = (λ+µt)e t. Exercice.3 On considère la matrice A = Démontrez que λ = est valeur propre de A et que V = est un vecteur propre associé. On admet que A admet deux autres valeurs propres et 4 avec comme vecteurs propres respectivement et.. On considère les suites (a n ) n N,(b n ) n N,(c n ) n N définies par leurs premiers termes a,b,c et : a n+ = b n +c n n N, b n+ = 3a n +b n +3c n. c n+ = a n +b n +3c n On suppose que a =,b = et c =. Calculez a n,b n et c n en fonction de n.. On trouve AV = V donc V est bien vecteur propre de A associé à la valeur propre λ =. 3

14 -3 Correction Banque CCP MP MP a n. On introduit pour n N,X n = b n. On obtient alors le système matriciel récurrent X n+ = AX n. Avec c n P =, et P =. u n En posant Y n = P X n = v n, on obtient comme relation de récurrence pour les nouvelles coordonnées w n u n+ = u n n N, v n+ = v n. w n+ = 4w n Pour tout n N, on a donc : u n = n u = n (a b +c ) = v n = ( ) n v = ( ) n n (a +b c ) = ( ) n n+. w n = 4 n w = 4n ( a +b +c ) = On revient aux suites initiales en utilisant X n = PY n pour obtenir n N, a n = b n = ( ) n n+ et c n =. Exercice.3 Soit E un R-espace vectoriel de dimension E et e = (e,e,e 3 ) une base de E. On considère la forme quadratique q définie sur E par : où v est le vecteur de coordonnées (x,y,z) dans la base e.. Quelle est la matrice A de q dans la base e. q(v) = x +y +z +xz. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 3. Indiquez une méthode pour trouver une base e telle que si v a pour coordonnées (X,Y,Z) dans la base e, alors q(v) soit de la forme αx +βy +γz.. A est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable. On obtient A =.. Aadmetpourvaleurspropresλ =,λ =,λ = etpourvecteurspropresrespectivementu = (,, ),u = (,,) et u 3 = (,,). X x 3. Dans la base e = (u,u,u 3 ) de E, on aura avec Y = P y avec P = et P = Z z. On obtient alors q(v) =.X +.Y +.Z = Y + Z. Pour K >, l équation réduite q(v) = K est celle d un cylindre elliptique d axe (O, u ). Exercice.33. Démontrez l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace vectoriel réel muni d un produit scalaire. Indication : on considérera x+λy.. Dans quel cas a-t-on égalité?. On veut donc démontrez que : (x,y) E, (x,y) x. y. Supposons y =, c est à dire y = alors l inégalité est vraie. 4

15 -3 Correction Banque CCP MP MP Soit x,y E,y,λ R. On pose h(λ) = x + λy = λ y + λ(x,y) + x (bilinéarité du produit scalaire). On remarque que : λ R,h(λ). La fonction polynôme h de degré est donc de signe constant. Son discriminant réduit associé est donc négatif ou nul. Ainsi, = (x,y) x. y. Par croissance de la fonction racine carrée sur R +, on obtient (x,y) x. y.. Montrons qu il y a égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz si, et seulement si x et y sont colinéaires. Si x et y sont colinéaires, l égalité est vraie. Si l égalité est vraie, alors : ou bien y = et x et y sont colinéaires, ou bien y et h est donc un polynôme de dégré de discriminant nul. Il existe donc une racine double λ telle que h(λ ) =, soit x + λ y =, c est à dire x + λ y =. Les vecteurs x et y sont donc bien colinéaires. Remarquons que l inégalité de cauchy-schwarz reste vraie pour une forme quadratique seulement positive (pas obligatoirement définie positive). Le cas d égalité nécessite par contre d avoir une forme quadratique définie positive. Exercice.34 Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.. Démontrez que E = A A. Indication : on admettra le fait que toute famille orthonormale de E peut-être complétée en une base orthonormale de E.. Démontrez que (A ) = A.. Puisque E est euclidien, il est de dimension finie. Posons n = dime et k = dima. Soit (e,...,e k ) une base orthonormale de A. On peut la compléter d après l indication en une base orthonormale (e,...,e k,e k+,...,e n ) de E. Remarquons que A = Vect(e,...,e k ). On a de plus : x A l {,..,k}, (e l x) =. Puisque (e,...,e k,e k+,...,e n ) est une base orthonormale de E, A = Vect(e k+,...,e n ). On a donc bien E = A A.. D une part on sait que dim((a ) ) = dima = k car dim(a ) = n k. D autre part, on a l inclusion triviale A dim((a ) ) donc (A ) = A par le théorème d inclusion des sousespace vectoriels de même dimension. Exercice.35 Soit E un espace euclidien et F,G des sous-espaces vectoriels de E.. Démontrer que (F +G) = F G.. Démontrer que (F G) = F +G. Pour A,B partie de E, on rappelle que A B A B.. On a F F+G donc F (F+G). De même G F+G donc G (F+G). Ainsi, F G (F+G). Réciproquement, soit x F G. Alors : f F, g G,< x,f >= et < x,g >=. Pour tout h F +G, il existe (f,g) F G tel que h = f +g, et donc < x,h >=< x,f > + < x,g >=. D où x (F +G). Par double inclusion, on a bien F G (F +G). Cela reste vrai dans un espace préhilbertien réel quelconque.. Puisque F G F et F G G, on a (F G) F et (F G) G, soit (F G) F +G. (Cela est vraie en toute généralité que E soit euclidien ou non). Pour montrer l inclusion réciproque, on va se servir du fait que E est de dimension finie car E est euclidien. On saitdoncquepourtoutsevw dee,w estunsupplémentairedew danse appelésupplémentaireorthogonal de W dans E. En particulier dim(w ) = dim(e) dim(w). On a déjà démontré que (F G) F +G. On a de plus dim((f G) ) = dim(e) dim(f G) = dim(e)+dim(f +G) dim(f) dim(g) = dim(f )+dim(g ) dim((f +G) ) = dim(f +G ). 5

16 -3 Correction Banque CCP MP MP Pour cette question, on pouvait aussi utiliser le fait que pour toute partie A de E, (A ) = A (voir exercice 34 de ce document). On pouvait alors écrire F +G = (F +G ) = (F G ) = (F G). Exercice.36 Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x y) le produit scalaire de x et de y.. Soit u un endomorphisme de E tel que : x E, u(x) = x. (a) Démontrez que : (x,y) E,(u(x) u(y)) = (x y). (b) Démontrez que u est bijectif.. Démontrez que l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni de la loi est un groupe.. Soit x,y E. D une part d après la propriété vérifiée par u : D autre part par linéarité de u : u(x+y) = x+y = x +(x y)+ y. u(x+y) = u(x)+u(y) = u(x) +(x y)+ u(y) = x +(x y)+ y. On obtient donc (u(x) u(y)) = (x y) et u conserve donc le produit sclaire. (a) Supposons x ker(u). Alors u(x) = = x. On a donc ker(u) = {} et puisque u est un endomorphisme d un espace de dimension finie, on obtient u bijectif d après le théorème du rang.. Soit O(E) l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E. On sait que (GL(E), ) est un groupe. Montrons que (O(E), ) en est un sous-groupe (on a bien O(E) GL(E)). O(E) est non vide car Id E O(E). La composition est clairement une loi interne sur O(E) car si u,v O(E) alors : x E, (u v)(x) = u(v(x)) = v(x) = x. Si u O(E), alors u O(E), en effet x = (u u )(x) = u (x). Exercice.37. Soit h une fontion continue et positive de [a,b] dans R. Démontrer que : b a h(x) dx = h =.. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a,b] dans R. On pose, pour tout f et tout g de E, (f g) = 3. Majorer b a f(x)g(x) dx. Démontrer que l on définit un produit scalaire sur E. x e x dx en utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz.. Soit H une primitive de h sur [a,b] (H est bien définie puisque h est continue). Puisque h est positive, H est croissante. Si l intégrale de h sur [a,b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H implique que H est constante. On en déduit que sa dérivée h est nulle.. Vérifier qu on a bien une forme bilinéaire, symétrique et définie positive. 3. On a e x e x dx x dx e x dx =. Exercice.38 Soit E l espace vectoriel des applications continues et π-périodiques de R dans R.. Démontrez que (f g) = π π f(t)g(t)dt est un produit sclaire sur E. 6

17 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x cosx et g : x cos(x). Déterminez le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x sin x.. Le caractère symétrique et positif de (..) est clair. Sa bilinéarité découle de la linéarité de l intégrale. Le seul problème éventuel est le caractère définie. Soit donc f E tel que (f f) =. On obtient immédiatement par continuité et positivité de f sur R (et donc en particulier sur [,π]), f [,π] =. Par π-périodicité, on a f = R.. Pour tout x R, on a sin x = cos(x). Les fonctions constantes appartiennent à l orthogonal de f. Puisque F est de dimension finie, on a donc E = F F. Par unicité de l écriture dans la décomposition de E en somme directe on trouve immédiatement que le projeté orthogonal de u sur F est x cos(x). (Le vérifier par calcul si vous n êtes pas convaincu) Exercice.39 Soitent F(R, R) l espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendré par les cinq applications : f : x, f : x cosx, f 3 : x sinx, f 4 : x cos(x), f 5 : x sin(x), et F le sous-espace vectoriel engendré par f,f,f 3 : F = Vect(f,f,f 3 ).. Démontrez que < f g >= π π f(x)g(x)dx définit un produit scalaire sur E. π. Vérifier que f 4 et f 5 sont unitaires et orthogonaux. On admettra pour la suite que B = (f i ) i=,...,5 est une base orthonormale de E. 3. Déterminez le sous-espace vectoriel F orthogonal de F pour ce produit scalaire. Remarquons que E est un espace de fonctions π-périodiques.. <.,. > est clairement une forme bilinéaire symétrique et postitive. Seul le caractère définie est à vérifier. Soit donc f E telle que < f f >=. Par continuité et positivité de f sur R (donc en particulier sur [ π,π]), on obtient f ] π,π[ =. Par π-périodicité, f = R.. On vérifie sans peine que f 4 = f 5 = en utilisant les formules : a R,cos a = +cos(a) et sin a = cos(a) avec a = x ou de façon moins calculatoire en remarquant que f 4 + f 5 = π π π (cos (x) + sin (x))dx = et f 4 = f 5 par translation. Il reste à montrer que < f 4,f 5 >=. Mais cela est évident puisque f 4 f 5 est une fonction impaire et qu on intégre sur [ π, π]. 3. On admet d après l indication que B = (f i ) i=,...,5 est une base orthonormale de E. Puisque E = F F avec F = Vect(f,f,f 3 ), on obtient F = Vect(f 4,f 5 ). Exercice.4 On définit dans M (R) M (R) l application ϕ(a,a ) = Tr( t A,A ) =, où Tr( t A,A ) désigne la trace du produit de la matrice t A par la matrice A. On note {( ) } a b F =,(a,b) R. b a On admet que ϕ est un produti scalaire sur M (R).. Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M (R).. Déterminez une base de F. 3. Déterminez la projection orthogonale de J = ( ) sur F.. On obtient F = Vect(I,E) avec I la matrice identité et E = est un sous-espace vectoriel de M (R). ( ) (remarquez que I,E F). Donc F 7

18 -3 Correction Banque CCP MP MP ( ) a b. Puisque dimf = et dimm (R) = 4, on a dimf = 4 =. On remarquera que si M = M b a (R) ( ) a et M b = b a M (R), alors ϕ(a,a ) = aa +bb +cc +dd. ( ) ( ) On prend alors par exemple F = et F =. (F,F ) est une base orthogonale de dimf. (Attention elle n est pas orthonormée car F = F = ). 3. On a J = I +F donc puisque M (R) = F F, d après l unicité ( de ) l écriture dans la décomposition en somme directe de M (R), le projeté orthogonal de J sur F est F =. Exercice.4 Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie n >. On admet que pour tout x E, il existe élément unique y de F tel que x x soit orthogonal à F et que la distance de x à F soit égale à x y. Si A = ( a b c d ) ( a et A b = c d ), alors on pose < A A >= aa +bb +cc +dd.. Démontrez que <.. > est un produit scalaire sur M (R). ( ). Calculez la distance de A = au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures.. <.. > est clairement ( ) une forme bilinéaire symétrique positive. Seul le caractère définie mérite une vérification. a b Soit donc A = M c d (R) telle que < A A >=. Alors a +b +c +d = ce qui implique a = b = c = d = donc <.. > est définie.. Avec les notations usuelles E ij pour les matrices de la base canonique de M (R), on a F = Vect(E,E,E ). On remarque que E F. Ainsi (E,E,E ) est une base orthonormée de F et (E ) est une base orthonormée de F. On remarque que A = (E +E ) +( E ). D après l unicité de l écriture dans la décomposition } {{ } } {{ } F F de M (R) en somme directe M (R) = F F, on trouve que le projeté orthogonal de A sur F est E +E. Ainsi, la distance de A à F est donnée par E =. Exercice.4 E désigne un espace euclidien. On note x y le produit scalaire de x et de y.. Démontrez que si f est une forme linéaire sur E, il existe un unique élément a de E tel que, pour tout x de E, f(x) = x a.. x est un élément non nul de E, tel que x =. On note [x ] la droite vectorielle engendrée par x et [x ] l orthognal de [x ]. (a) Donnez la définition de la projection orthogonale p sur [x ]. (b) Si p(x) = λx, on pose g(x) = λ. Démontrez que g est une forme linéaire sur E et indiquez l élément b de E tel que, pour tout x de E, g(x) = x b.. Unicité de l élémént a : Soit a,b E vérifiant : x E,f(x) = x a = x b. On a donc : x E,x (a b) = et en particulier pour x = a b, a b = ce qui implique a = b. Existence de a : Puisque E est de dimension finie, l application linéaire de E dans son dual E qui a x E associex. E estinjective(d aprèsl unicitédiscutéeaupremierpoint)doncsurjective(cardime = dime ). Il existe donc a E tel que x E,f(x) = x a. (a) Avec les notations de l énoncé, on sait que E = [x ] [x ]. Ainsi : x E, il existe un unique couple (u,v) [x ] [x ] tel que x = u+v. La projection orthogonale p sur [x ] est alors définie par p(x) = u (c est la projection sur [x ] parallèlement à [x ] ). De plus puisque u [x ], il existe un unique λ R tel que u = λx. On a ainsi, p(x) = λx. (b) On doit vérifier que l application g : E R qui a x associe λ est linéaire. Soit donc x,y E tels que p(x) = λx et p(y) = µx. On se donne aussi deux scalaires m,n R. Puisque p est linéaire, on a p(mx+ny) = mp(x)+np(y) = (mλ+nµ)x. Ainsi, g(mx+ny) = mλ+nµ = mg(x)+ng(y). g est bien une forme linéaire sur E. D après la question., il existe un unique élément b tel que pour tout x de E, g(x) = x b. Puisque x x = λ, on a g(x) = x x. 8

19 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.43 E désigne un espace euclidien. On note x y le produit scalaire de x et de y. Si u est un endomorphisme de E, on note u l endomorphisme adjoint de u.. (a) Si u est un endomorphisme de E, précisez, en justifiant votre réponse, l endomorphisme (u ). (b) Si u et v sont deux endomorphismes de E, précisez, en justifiant votre réponse, l endomorphisme (u v).. (a) Soit (e i ) une base orthonormale de E. On note A la matrice d un endomorphisme u de E dans la base (e i ) et B la matrice de u dans la base (e i ). En justifiant votre réponse, donnez la relation qui existe entre A et B? (b) Retrouvez le résultat de la question.(a) à l aide de la question.(a).. (a) On sait qu il existe un unique endormophisme u tel que : x,y E,u(x) y = x u (y). On a alors pour tout x,y de E : u (x) y = y u (x) = u(y) x = x u(y), où on a utilisé successivement la symétrie du produit scalaire pour la première égalité, la définition de u pour la deuxième égalité, puis enfin de nouveau la symétrie du produit scalaire dans la troisième égalité. On a donc (u ) = u d après la définition de l adjoint de u.. (a) Soit A = (a ij ) et B = (b ij ). Puisque (e i ) est orthonormale, on sait que pour tous i,j, a ij = e i u(e j ) et b ij = e i u (e j ) = u(e i ) e j = e j u(e i ) = a ji. Ainsi B = t A. (b) La matrice de (u ) dans la base (e i ) est d après la question précente donnée par t ( t A) = A d après la propriété de la transposée des matrices. On retrouve ainsi (u ) = u. Exercice.44 On considère la matrice A =.. Justifiez que A est diagonalisable.. Déterminez P et D dans M 3 (R) telles que : t P = P, D est diagonale, t PAP = D.. A est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable.. Le polynôme caractéristique de A est donné par χ A = (X+3) (X 3). Les valeurs propres sont donc λ = 3 de multiplicité et λ = 3 de multiplicité. On a de plus SEP(A, 3) = {(x,y,z) R 3 : x y +z = } = Vect((,, ),(,,)), SEP(A,3) = Vect(,,). Avec P = { Exercice.45 x = u Étudiez la courbe définie paramétriquement par u y = u u+ Puis, donnez l allure de cette courbe. O 3 (R), on a bien t PAP = D avec D = Diag( 3, 3,3) M 3 (R).. u x(u) est C sur R{, u y(u) est C sur R\{ }. Aucune symétrie particulière ne permet de réduire le u R,x (u) = u u, domaine d étude. On a 3 u R\{ },y (u) = u(u+). (u+). 9

20 -3 Correction Banque CCP MP MP u x (u) + + x(u) y(u) y (u) Figure Allure de la courbe Les deux dérivées ne s annulent jamais simultanément, il n y a donc pas de point singulier. La droite d équation x = est asymptote verticale lorsque u ±. La droite d équation y = est asymptote horizontale lorsque u ±. La droite d équation x = est asymptote verticale lorsque u ±. Exercice.46 On considère la courbe d équation définie en coordonnées polaires par : r = cosθ.. Étudiez les symétries éventuelles de cette courbe.. Donner l allure de cette courbe. 3. Précisez la tangente au point de paramètre θ = π 4. On cherche déjà sur quel ensemble θ r(θ) est bien définie. Pour cela, il faut que cos(θ). Ainsi le domaine de définition de r est D r = k Z[ π 4 +kπ, π 4 +kπ]. Puisque : θ D r,r(θ +π) = r(θ), il y a une symétrie centrale de centre l origine. Puisque θ D r,r( θ) = r(θ), il y a une symétrie d axe (Ox). On retient donc l intervalle d étude I = [, π 4 ]. ( π. Sur I, θ r(θ) est décroissante avec r() = et r =. 4) On remarque que r () = donc la tangente est orthoradiale en θ =. ( π 3. Puisque r =, la première bissectrice est tangente à la courbe à l origine pour le paramètre θ = 4) π 4. Exercice.47 Étudiez au voisinage du point de paramètre t = la courbe définie par : x = t u u + du, y = Indication : on pourra calculer les dérivées successives de x et de y. t u u 3 + du.

21 -3 Correction Banque CCP MP MP On peut bien sûr suivre l indication, mais au lieu de dériver et de calculer les développements limités, on peut aussi primitiver les dévelopements limités. Pour mémoire, on rappelle le théorème de primitivation des DL : Si f est dérivable au voisnage d un point a d un intervalle I et si f possède un DL à l ordre n en a, donné par f (t) = α +α (t a)+...+α n (t a) n +o((t a) n ) alors f possède le DL suivant, à l ordre n+ en a : f (t) = f(a)+α t+ α (t a) α n n+ (t a)n+ +o((t a) n+ ). On trouve ainsi : { x(t) = (t ) 6 (t )3 +o((t ) 3 ), y(t) = (t ) 3 (t )3 +o((t ) 3 ). Le plus petit entier p non nul tel que OM (p) (t = ) est p =. Le plus petit entier q non nul tel que OM (q) (t = ) ne soit pas colinéaire à OM (p) (t = ) est q = 3. On a donc un point de rebroussement de première espèce. En ce point la tangente est dirigée par (,). Exercice.48 Dans un repère orthonormé (, i, j), on considère la courbe d équation. (a) Précisez la nature de cette courbe. (b) Tracez cette courbe. x +4y +x 8y + =.. Calculez la pente de la tangente en chacun des points d intersection de la courbe et de l axe (, j).. (a) On a x +4y +x 8y + = (x+) (y ) + =. La conique étudiée est donc une ellipse de centre Ω(ω =,ω = ) de paramètres a = et b =. (b) Dessin (c) On paramètre l éllipse en coordonnées cartésiennes : { x(t) = +cost, avec t [ π,π[. L ellipse et y(t) = +sint l axe des ordonnées sont sécants aux points M de paramètre t = ± π. La pente de la tangente en ces points ( 3 est m t = π ) = y ( π 3 ) 3 x ( π 3 ) = ± 3. Pour mémoire, on rappelle qu une équation de la tangente en M(x,y ) à l ellipse est : (x ω )(x ω ) a + (y ω )(y ω ) b =. { Exercice.49 x = cos 3 t On considère la courbe paramétrée, définie par : y = sin 3 t.. Étudier les symétries de cette courbe.. Donner l allure de cette courbe. 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe, au point de paramètre t = π 6.. On se place dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (, i, j). Les fonctions x et y sont π-périodiques et l on peut réduire l étude à un intervalle d amplitude π. Comme x est paire et y impaire, les points M(t) et M( t) sont symétriques par rapport à x et l on peut réduire l étude à [, π]. On a aussi x(π t) = x(t) et y(π t) = y(t). Les points M(π t) et M( t) sont symétriques par rapport à (y) et l on peut réduire l étude à [, π ].

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