Correction Banque CCP MP MP. Éléments de correction des exercices de la banque CCP MP

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1 -3 Correction Banque CCP MP MP Éléments de correction des exercices de la banque CCP MP Ce document donne des éléments de correction de la totalité des exercices de la banque CCP en section MP. La numérotation des exercices et la retranscription des énoncés sont fidèles à l original. L exercice.6 renvoie à l exercice 6 de la partie algèbre et géométrie alors que l exercice.7 renvoie à l exercice 7 de la partie analyse de la banque CCP. S agissant d une première version, il y a inévitablement dans ce document de nombreuses erreurs typographiques, des maladresses dans les rédactions et sans doute un bon nombre d étourderies. Merci de me les signaler. Pour toutes remarques : [email protected] Dernière version téléchargeable ici : http ://jnicolas.fr. Pour trouver l énoncé de l exercice 4 d algèbre dans le fichier source Latex, rechercher la chaîne de caractère %4 dans le fichier.. Pour trouver l énoncé de l exercice 4 d analyse dans le fichier source Latex, rechercher la chaîne de caractère %A4 dans le fichier. Table des matières Algèbre et géométrie Analyse 8 Algèbre et géométrie Exercice. Soit θ R et n N. Décomposez en produit de polynômes irréductibles dans C[X] puis dans R[X] le polynôme : P = X n X n cos(nθ)+. Le polynôme X cos(nθ)x + a pour racines e inθ et e inθ donc X n X n cos(nθ)+ = (X n e inθ )(X n e inθ ). Le polynôme X n e inθ a pour racines e iθ+kπi/n avec k,n et celles de X n e inθ s en déduisent par conjugaison.. Si nθ / πz, alors la décomposition en facteurs irréductibles dans C[X] est n X n X n cos(nθ)+ = (X e iθ+kπi/n )(X e iθ kπi/n ). k= Pour la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X], on regroupe les facteurs conjugués entre eux. On obtient n ( X n X n cos(nθ)+ = X Xcos(θ + kπ ) n )+. k= n. Si nθ πz, alors P = (X n ) = (X e ikπ n ) (décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]). Pour k= la décomposition en facteurs irréductibles dans R[X], on doit discuter selon la parité de n. Si n est pair, en posant n = p, on a en regroupant les facteurs conjugués : p ( ( ) kπ P = (X ) (X +) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p k= Si n est impair, en posant n = p+, on a p ( ( ) kπ P = (X ) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p+ k= n 3. Si nθ π+πz, alors P = (X n +) = k= (X e i(k+)π n ) (décomposition en facteurs irréductibles dans C[X]). Pour la décomposition dans R[X], on doit discuter selon la parité de n. Si n est pair, en posant n = p, on a en regroupant les facteurs conjugués : p ( ( ) (k +)π P = X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p k= Si n est impair, en posant n = p+, on a p ( ( ) (k +)π P = (X +) X Xcos +) (décomposition en facteurs irréductibles dans R[X]). p+ k=

2 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice. On considère les polynômes P = 3X 4 9X 3 +7X 3X + et Q = X 4 3X 3 +3X 3X +.. Décomposez P et Q en facteurs premiers sur R[X], puis sur C[X] (on pourra calculer les valeurs de P et de Q en et en ).. Déterminez le ppcm et le pgcd des polynômes P et Q.. On obtient P() = P() =. Ainsi (X )(X ) P. Il existe donc α,β R tels que P = 3(X )(X )(X + αx+β). On trouve par identification : P = 3(X )(X )(X + ) qui est la décomposition de P en facteurs 3 irréductibles dans R[X]. Dans C[X], on obtient P = 3(X )(X )(X i )(X + i ). 3 3 EnprocédantdelamêmefaçonpourQ,onobtientcommedécompositiondansR[X],Q = (X )(X )(X +). Dans C[X], cela donne Q = Q = (X )(X )(X +i)(x i).. Le pgcd de P et de Q est (X )(X ). Le ppcm de P et de Q est (X )(X )(X +)(3X +). Exercice.3 On considère les polynômes de C[X] suivants : P = X 4 3X + et Q = X 3 +3X +3X +.. Décomposez en facteurs premiers P dans C[X] (on pourra calculer les valeurs de P en et en ).. Décomposez en facteurs premiers Q dans C[X] (on pourra calculer la valeur de Q en ). 3. (a) Déduisez des questions. et. qu il existe U et V tels que PU +QV =. (b) Indiquez une méthode pour déterminez deux polynômes U et V en utilisant l algorithme d Euclide.. Puisque P() = P( ) =, on obtient P = (X )(X +)(X ), c est à dire P = (X )(X +)(X )(X + ).. Puisque Q( ) =, on obtient Q = (X + )(X + X + ), c est à dire Q = (X + )(X + j)(x + j ), où j = e πi/3 = +i 3. (a) On constate que le pgcd de P et de Q est égal à. D après le théorème de Bezout, il exite U,V C[X] tels que PU +QV =. (b) Après calculs des remontées dans l algorithme d Euclide, on trouve U = 63 (8X + 3X + ) et V = 63 (6X3 X 44X +37). Exercice.4 X 5 +X 4 On considère la fraction rationnelle R = (X ) (X +).. Décomposer R en éléments simples.. Déterminer les primitives de la fonction x R(x) sur ],[.. On trouve : R = X +3+ Attention à ne pas oublier la partie entière! 6 3(X ) + 8 9(X ) + 9(X +).. Sur ],[, on obtient les fonctions primitives F de x R(x) (qui est continue) : F(x) = x +3x 6 3(x ) ln x + ln(x+)+c, C R. } {{ } 9 x Exercice.5 Soit E l espace vectoriel des polynômes à coefficients dans K (= R ou C) de degré inférieur ou égal à n et f l endormorphisme de E défini par : f(p) = P P.. Démontrez que f est bijectif de deux manières :

3 -3 Correction Banque CCP MP MP (a) sans utiliser de matrice de f, (b) en utilisant une matrice de f.. Soit Q E. Trouvez P tel que f(p) = Q. Indication : si P E, quel est le polynôme P (n+)?. (a) Soit P E tel que P P =. En introduisant le degré de P, on trouve que P =. L endomorphisme f de E est injectif et donc bijectif puisqu on est en dimension finie. (b) Soit (,X,...,X n ) la base canonique de E. On a f() = et pour tout k,n,f(x k ) = X k kx k. La matrice A de f dans la base (,X,...,X n ) est donc donnée par A = () n () La matrice A est triangulaire supérieure et det(a) = donc A GL n+ (K). On retrouve donc que f est bijective.. Soit Q E donné. Puisque f est bijective, il exite un unique P E tel que f(p) = Q. En dérivant la relation P P = Q, on obtient pour tout k,n, P (k) P (k+) = Q (k). Par somme de k = n à n, on obtient P P } (n+) {{ } = Q (k). = k= Exercice.6 Soit la matrice A =. Déterminez ker(f).. f est-il surjectif?. ( ) et f l endomorphisme de M 4 (R) défini par : f(m) = AM. 3. Trouvez une base de ker(f) et une base de Im(f). ( ) ( ) ( ) a b. M = kerf f(m) = (a = c et b = d). Ainsi, ker(f) = Vect, c d, } {{ } } {{ } A A et en particulier dimker(f) =.. L endomorphisme f n est pas surjectif car ker(f) n est pas réduit à la matrice nulle. ( ) a b 3. Si M =, on obtient c d ( ) ( ) f(m) = (a+c) +(b+d). } {{ } } {{ } A 3 A 4 (A,A ) est une base de ker(f) et (A 3,A 4 ) est une base de Im(f). Exercice.7. Démontrez que si A et B sont deux matrices carrées d ordre n alors AB et BA ont même trace.. Déduisez-en qu en dimension finie, toutes les matrices d un même endomorphisme ont même trace. 3. Démontrez que si A et B sont semblables alors, pour tout k N, A k et B k ont même trace.. Soit A = (a ij ),B = (b ij ) M n (K). On a Tr(AB) = n (AB) kk = k= n k= j= n a kj b jk = n j= k= n b jk a kj = n (BA) jj = Tr(BA). j= 3

4 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit B,B des bases de E espace vectoriel de dimension finie. Alors Mat B (f) = Mat B (B ) Mat B (f)mat B (B). } {{ } } {{ } P P Ainsi, Tr(Mat B (f)) = Tr(P(Mat B (f)p )) = Tr(Mat B (f)p P) = Tr(Mat B (f)). Des matrices semblables ont donc même trace. 3. SiAetB sontsemblables,ilexisteunematriceinversiblep telquea = PBP.Pourtoutk N,A k = PB k P. Donc A k et B k sont aussi semblables et ont donc même trace. Exercice.8 On note M n (C) l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients complexes. Pour A = (a ij ) M n (C), on pose A = sup a ij. i,j n. Démontrez que AB n A. B, puis que pour tout entier p, A p n p A p.. Démontrez que, pour toute matrice A M n (C), la série A p est absolument convergente. Est-elle convergente? p!. Soit A = (a ij ),B = (b ij ) M n (C). Pour tout i,j,n, (AB) ij n k= a ik. b kj A. B n k= n A. B. On a donc bien prouvé AB n A. B. Avec en particulier B = A, on obtient A n A et une récurrence immédiate donne le résultat cherché.. Pour tout entier p, Ap p! (n A ) p et la série de nombres réels (n A ) p est convergente (comme série n p! p! p exponentielle) donc A p est absolument convergente. p! Puisque M n (C) est un espace vectoriel de dimension n, on sait qu il est complet et l absolue convergence implique la convergence. Exercice.9 Soit Φ l endomorphisme de R n [X] défini par Φ : P(X) P(X) P(X ). Donnez la matrice de Φ dans la base canonique de R n [X] et déduisez-en ImΦ et kerφ. Soit A M n+ (R) la matrice de de Φ dans la base canonique de R n [X]. On a Φ() =. La première colonne de A est nulle. k ( ) Pour tout k,n, Φ(X k ) = X k (X ) k = ( ) k j k X j. A est donc une matrice triangulaire strictement j j= ( ) j supérieure (tous les termes de la diagonale sont nuls) de coefficients a ij = ( ) j i+ si j > i et sinon. i On obtient ainsi kerφ = Vect{} = {λ.,λ R}. On a aussi ImΦ = Vect(Φ(X),...,Φ(X n )) = R n [X]. Exercice. Soit E un espace vectoriel sur R ou C et f,g deux endomorphismes de E tels que : f g = Id.. Démontrer que : ker(g f) = ker(f).. Démontrer que : Im(g f) = Im(g). 3. Démontrer que : E = ker(f) Im(g). Bien noter qu on ne suppose pas E de dimension finie ce qui exclu l utilisation du théorème du rang et que f et g ne sont pas supposés commuter.. On a l inclusion triviale ker(f) ker(g f) toujours vraie pour deux endomorphismes f et g. On va montrer l inclusion inverse. Soit x ker(g f). On a alors f (g(f(x))) = f() =. Mais l hypothèse f g = Id permet d écrire f (g(f(x))) = } {{ } = f(x). Ainsi f(x) = et x ker(f). On a bien ker(f) = ker(g f) par double inclusion. 4

5 -3 Correction Banque CCP MP MP. On a cette fois l inclusion triviale Im(g f) Im(g) toujours vraie. Soit y Im(g). Il existe x E tel que y = g(x). Mais puisque f g = Id, on a aussi x = f(g(x)) et alors y = g(f(g(x))) Im(g f). On a bien Im(g f) = Im(g) par double inclusion. 3. Soit on remarque que (g f) = g (f g) f = g f, donc g f est un projecteur ce qui implique E = ker(g f) Im(g f), d où le résultat voulu d après les questions précédentes. Soit on redémontre à la main la propriété du projecteur : Soit x ker(f) Im(g). On a alors f(x) = et il existe z E tel que x = g(z). Cela implique = f(x) = f(g(z)) = z car f g = Id. Puisque z =, on a ausi x = g() =. Ainsi ker(f) Im(g) = {}. Pour tout x E, on a x = (x g(f(x)))+g(f(x)). } {{ } Im(g) On vérifie aisément que x g(f(x)) ker(f). En effet f(x g(f(x))) = f(x) (f g)(f(x)) = f(x) f(x) =. Puisque E = ker(f)+im(g) et ker(f) Im(g) = {}, on a bien E = ker(f) Im(g) Exercice. Soit un entier n. On considère la matrice carrée d ordre n à coefficients réels : Pour n, on désigne par D n le déterminant de A.. Démontrez que D n+ = D n+ D n.. Déterminez D n en fonction de n A = Justifiez que la matrice A est diagonalisable. Le réel est-il valeur propre de A?. En développant par rapport à la première ligne, on obtient la relation voulue.. On est en présence d une suite récurrente linéaire d ordre. L équation caractéristique associée r r + = admet r = pour racine double. Pour tout n, on a donc D n = (λn + µ) n = (λn + µ). Pour n =, on a D = = λ + µ. Pour n =, on a D = 3 = λ + µ. On obtient λ = et µ =. Ainsi, pour tout n, D n = n+. 3. A est une matrice symétrique réelle donc elle est diagonalisable. Pour tout n, D n donc n est pas dans le spectre de A. Exercice. Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R, (e i ) une base de E et v,v,...,v n n vecteurs de E.. Démontrez qu il existe un unique endomorphisme f de E tel que, i {,...,n},f(e i ) = v i.. On note L(E) l espace vectoriel des endomorphismes de E, et M n (R) l espace vectoriel des matrices carrées n n à coefficients réels. Pour tout u L(E), on pose : ϕ(u) = Mat (ei)u (Mat (ei)u désignant la matrice de u dans la base (e i )). (a) Démontrez que l application ϕ de L(E) dans M n (R) est linéaire et bijective. (b) Déterminez la dimension de l espace vectoriel L(E).. Existence : pour tout x E tel que x = convient. n x i e i, on pose f(x) = i= n x i v i. L application f est linéaire et i= 5

6 -3 Correction Banque CCP MP MP Unicité : Soit f,f deux endomorphismes de E vérifiant la condition. Puisque f et f sont égaux sur une base de E, ils le sont sur E en entier.. (a) La linéarité de ϕ est triviale et ne pose aucun problème. Montrons que ϕ est bijective. Soit M M n (R) dont on note C,C,...C n les colonnes. On appelle v i le vecteur de coordonnées dans la base (e i ) la colonne C i. En utilisant la question., on trouve qu il existe un unique endomorphisme f de E tel que ϕ(f) = M. (b) Puisque ϕ : L(E) M n (R) est un isomorphisme d espaces vectoriels, M n (R) étant de dimension n, on a aussi dim(l(e)) = n. Exercice.3 Soit E un espace vectoriel de dimension n sur R. On note L(E) l ensemble des endomorphismes de E et M n (R) l ensemble des matrices carrées n n à coefficients réels. On admet que L(E) muni des lois + et est un anneau, et que M n (R) muni des lois + et est un anneau.. Précisez l élément neutre pour la loi dans L(E) et l élément neutre pour la loi dans M n (R).. (e i ) désignant une base de E, on pose, pour tout u L(E), on pose : ϕ(u) = Mat (ei)u (Mat (ei)u désignant la matrice de u dans la base (e i )). (a) Démontrez que ϕ est un isomorphisme d anneau de L(E) dans M n (R). (b) Démontrez que, pour tout u L(E), Mat (ei)(u u... u } {{ } ) = (Mat (ei)u) n. n fois. L élément neutre pour la loi dans L(E) est l application id E définie pour tout x E par id E (x) = x. L élément neutre pour la loi dans M n (R) est I n = Diag(,,...,).. (a) ϕ est un isomorphisme d espaces vectoriels (voir exercice.). Puisque pour u,v L(E), on a la relation Mat (ei)(u v) = Mat (ei)(u)mat (ei)(v), on a ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v). Enfin ϕ(id E ) = I n. ϕ est donc bien un isomorphisme d anneaux. (b) On a pour tout u L(E), Mat (ei)(u u... u } {{ } ) = ϕ(u u... u) = ϕ(u)ϕ(u)...ϕ(u) = (Mat (ei)u) n par n fois la propriété ϕ(u v) = ϕ(u)ϕ(v) appliquée à v = u et itérée. Exercice.4 Soit E un espace vectoriel de dimension n.. Soit {e,...,e n } une base de E. Démontrez que pour tout i =,3,...,n, {e +e i,e,...,e n } est une base de E.. Déterminez tous les endomorphismes de E dont la matrice est diagonale dans toute base de E.. La famille {e,...,e n } est libre et puisque pour tout i =,3,...,n, e / Vect{e,...,e n }, {e +e i,e,...,e n } est une base de E en tant que famille de libre de n vecteurs dans une espace de dimension n. On peut aussi remarquer que pour i, det (e +e i,e,...,e n ) = det (e,e,...,e n )+ det (e i,e,...,e n ) = + =, (e,...,e n) (e,...,e n) (e,...,e n) car e i Vect(e,...,e n ). On retrouve le fait que {e +e i,e,...,e n } est une base de E en tant que famille de libre de n vecteurs dans une espace de dimension n.. SoituunendomorphismedeE dontlamatriceestdiagonaledanstouteslesbasesdee.posonsmat {e,...,e n}(u) = Diag(λ,...,λ n ). Pour i fixé, dans la base {e,...,e n }, la matrice de u est aussi diagonale. Il existe donc un scalaire α tel que u(e + e i ) = α(e + e i ). On a donc λ e + λ i e i = α(e + e i ), soit par identification puisque {e,e i } est libre, α = λ = λ i. En faisant varier i de à n, on obtient λ = λ =... = λ n. Il existe donc un sclaire λ tel que u = λi E. Les homothéties sont donc les seuls endomorphismes vérifiant cette propriété. Exercice.5 Soit f un endormphisme d un espace vectoriel E de dimension n. 6

7 -3 Correction Banque CCP MP MP. Démontrez que E = Imf kerf = Imf = Imf.. (a) Démontrez que Imf = Imf kerf = kerf. (b) Démontrez que Imf = Imf = E = Imf kerf. Notons que pour tout endomorphisme u d un espace vectoriel (de dimension quelconque), on a toujours les inclusions Imu Imu et keru keru.. Supposons E = Imf kerf et montrons Imf = Imf. Soit y Imf et x E tel que f(x) = y. Par hypothèse, x s écrit x = x + x avec x Imf et x kerf. Il existe donc z E tel que x = f(z) et x = f(z) + x. D où y = f(f(z))+f(x ) = f (z) Imf. On a donc Imf Imf et finalement Imf = Imf puisque l autre inclusion est toujours vérifiée.. (a) En dimension finie, les conditions kerf = kerf et Imf = Imf sont équivalentes puisque d après le théorème du rang dim(kerf)+dim(imf) = dim(kerf )+dim(imf ) = dim(e). (b) Supposons donc Imf = Imf, c est à dire kerf = kerf et montrons E = Imf kerf. Soit y Imf kerf. Il existe x E tel que y = f(x). Comme f(y) =, on a f (x) = et x kerf = kerf. Ainsi y = f(x) =. Donc Imf et kerf sont en somme directe et le théorème du rang permet de conclure que E = Imf kerf. Exercice.6 N.B : Les deux questions sont indépendantes.. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n et soit f un endomorphisme de E. On note L(E) l ensemble des endomorphismes de E. Démontrez que, dans L(E), la famille {Id,f,f,...,f n } est liée et déduisez-en que f admet un polynôme annulateur non identiquement nul.. Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie et λ une valeur propre de f. Démontrez que, si P est un polynôme annulateur de f alors : P(λ) =.. La famille {Id,f,f,...,f n } comporte n + vecteurs de l espace L(E) qui est de dimension n. Cette famille est donc liée. Une relation de liaison (à coefficients non tous nuls) sur les éléments de {Id,f,f,...,f n } fournit un polynôme annulateur non nul de f.. Soit x un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ. On a f(x) = λx et par récurrence immédiate, pour tout n N, f n (x) = λ n x. Par linéarité, on obtient pour tout P K[X], P(f)(x) = P(λ)x. Si P est annulateur pour f, alors P(λ)x = et puisque x, on obtient P(λ) =. Exercice.7 Soit u un endomorphisme d un espace vectoriel E sur le corps K(= R ou C). On note K[X] l ensemble des polynômes à coefficients dans K.. Démontrez que : (P,Q) K[X] K[X],(PQ)(u) = P(u) Q(u).. (a) Démontrez que : (P,Q) K[X] K[X],P(u) Q(u) = Q(u) P(u). (b) Démontrez que pour tout (P,Q) K[X] K[X] : (P polynôme annulateur de u) = (PQ polynôme annulateur de u). ( ) 3. Soit A =. Écrivez le polynôme caractéristique de A, puis déduisez-en que le polynôme R = X4 + X 3 +X 4X est un polynôme annulateur de A.. On définit pour k N le polynôme e k K[X] par e k (X) = X k. On a clairement pour j,k N, (e k e j )(X) = X k X j = X k+j. Puisque toutes les puissances de u commutent entre elles, on a (e k e j )(u) = (e k )(u) e j (u). La relation s étend à tout couple de polynômes (P, Q) K[X] K[X] par linéarité. Autrement dit, l application ϕ u : K[X] P P(u) L(E) est un morphisme de K-algèbres.. (a) Soit (P,Q) K[X] K[X]. On a PQ=QP donc P(u) Q(u) = (PQ)(u) = (PQ)(u) = Q(u) P(u). 7

8 -3 Correction Banque CCP MP MP (b) Soit P un polynôme annulateur de u et Q K[X]. Alors : (PQ)(u) = (QP)(u) = Q(u) P(u) = Q(u) L(E) = L(E). PQ est donc aussi un polynôme annulateur de u. 3. Le polynôme caractéristique χ A de A est χ A = X(X ). Par le théorème de Cayley-Hamilton, on sait que χ A (A) =. On remarque que R() = R() =, donc χ A R. On trouve R = X 4 +X 3 +X 4X = χ A (X + 3X +4). Ainsi R est aussi un polynôme annulateur de A d après la question précédente. Exercice.8 Soit E l ensemble des matrices de la forme M(a,b) = ( ) a b où a et b sont des nombres réels. b a. Démontrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M (R). Quelle est sa dimension?. On pose ϕ(a + ib) = M(a,b). Démontrer que ϕ est un isomorphisme d espaces vectoriels de C sur E, C étant considéré comme un espace vectoriel de dimension sur R. Est-il un isomorphisme d anneaux. Éléments de correction ( ) :. Soit A = = M(,). On a clairement E = Vect(Id,A) donc E est un sev de M (R) (remarquer que Id = M(,) E). Puisque {Id,A} est une base de E, on( sait que dim(e) ) =. ai b (E,+) est un sous-groupe de M (R) et Id E. Soit M i = i pour i {,}. Alors b i a i E est donc bien un sous-anneau de M (R). ( ) a a M M = b b a b +b a E. (a b +b a ) a a b b. ϕ : C E est linéaire (au sens des espaces vectoriels) et injective. Puisque dim R (C) = dim(e) =, c est un isomorphisme. ( ) ai b On vérifie sans peine que si M i = i avec i {,}, alors b i a i ϕ((a +ib )(a +ib )) = ϕ(a +ib )ϕ(a +ib ). On a déjà vu que ϕ((a +ib )+(a +ib )) = ϕ(a +ib )+ϕ(a +ib ), et ϕ(+i) = Id. On a donc bien un isomorphisme d anneaux. Exercice.9 p désigne un entier naturel non nul. On considère dans Z la relation d équivalence R définie par : xry k Z tel que x y = kp. On note Z/pZ l ensemble des classes d équivalence pour cette relation R.. Quelle est la classe d équivalence de? Quelle est celle de p?. Donner soigneusement la définition de l addition usuelle et de la multiplication usuelle dans Z/pZ. 3. On admet que muni de ces opérations, Z/pZ est un anneau. Démontrer que Z/pZ est un corps si et seulement si p est premier.. On obtient immédiatement Cl() = Cl(p) = pz, où Cl(.) dénote la classe d équivalence relative à la relation R. Pour x,x Z, on pose : Cl(x + x ) = Cl(x) + Cl(x ) et Cl(xx ) = Cl(x)Cl(x ). On doit s assurer que les opérations sont bien définies (c est à dire qu elles ne dépendent pas des représentants des classes). 3. On peutsans effortmontrerun peumieuxàsavoir pour p entiernaturelnon nul:cl(x) inversibledans Z/pZ x et p sont premiers entre eux. En effet, soit x Z. On a : Cl(x) inversible dans Z/pZ α Z tel que Cl(αx) = Cl(). Cette dernière proposition est équivalente à l existence de β Z tel que αx+βp =. D après le théorème de Bézout : Cl(x) inversible dans Z/pZ x et p sont premiers entre eux. On obtient p est premier si et seulement si Z/pZ est un corps. 8

9 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice. Soit S n l ensemble des permutations de l ensemble constitué par les n premiers entiers non nuls {;;...;n}.. Démontrez que, muni de la loi, S n est un groupe.. On note σ l élément de S 8 défini de la manière suivante : ( ) l image de chaque terme de la première ligne étant écrit juste en dessous. (a) Démontrez que la permutation σ est égale à la composée de deux cycles que l on précisera. (b) On note σ n la permutation } σ σ {{... σ }. n fois Déterminez σ,σ 4,σ 4, et σ 6.. Toutélémentσ des n estuneapplicationbijectivede{;;...;n}dans{;;...;n}.lacomposéededeuxbijections est une bijection, donc est une loi interne de S n. La composition des applications étant associative, est donc une loi associative sur S n. L application identité id n de {;;...;n} dans {;;...;n} est un élement de S n. Tout élement de S n admet un inverse dans S n (sa bijection réciproque). (S n, ) est donc un groupe.. (a) Tout élément de S n s écrit façon unique (à l ordre près des cycles) comme une composée de cycles à supports disjoints (qui commutent donc entre eux). On a ainsi : σ = (,5,8,3) (,4,7) = c c. } {{ } } {{ } c c (b) On a c 4 = id 8 et c 3 = id 8. Ainsi, l ordre de σ dans S n est le ppcm de c et c. On a donc σ = id 8 et est le plus entier ayant cette propriété. On a donc σ = σ 4 = id 8 et σ 4 = c 4 c 4 = id 8 c = c. Puisque 6 = 68, on a σ 6 = id 8. Exercice.. u est un endomorphisme d un K-espace vectoriel E de dimension finie n et I désigne l application identité de E. Rappelez la définition d une valeur propre puis démontrez que : (λ valeur propre de u) = (det(u λi) = ). Déduisez-en que u admet au plus n valeurs propres distinctes.. Trouvez un endormophisme de R admettant comme valeurs propres et.. Un scalaire λ K est valeur propre de u si et seulement s il existe x E non nul tel que u(x) = λx. Puisque u λi est un endomorphisme de E (en dimension finie) on a donc (λ valeur propre de u) (ker(u λi) {}) (u λi n est pas injective ) (u λi n est pas inversible ) (det(u λi) = ) (). On pourra proposer f définie par (x,y) R, f(x,y) = (x,) correspondant à la projection (orthogonale) sur la première coordonnée. Exercice. a c Soit la matrice M = b c où a,b,c sont des réels. b a. M est-elle diagonalisable dans M 3 (R)?. M est-elle diagonalisable dans M 3 (C)?. Le polynôme caractéristique χ A de A est donné par χ A = X(X +ca ba bc). Si ca ba bc < alors A est diagonalisable dans M 3 (R) car χ A est scindé à racines simples. Si ca ba bc = alors χ A = X 3 et est la seule valeur propre de A. A est diagonalisable si, et seulement si, elle est semblable à la matrice nulle c est à dire si, et seulement si, a = b = c =. Si ca ba bc > alors est la seule valeur propre réelle et A n est donc pas diagonalisable dans M 3 (R). 9

10 -3 Correction Banque CCP MP MP. Si ca ba bc alors A est diagonalisable dans M 3 (C) car χ A est scindé à racines simples. Si ca ba bc = alors A est diagonalisable dans M 3 (C) si et seulement si a = b = c =. Exercice.3 Soit la matrice A =.. Démontrez que A est diagonalisable de quatres manières : (a) sans calculs, (b) en calculant directement le déterminant det(a λi 3 ), où I 3 est la matrice identité d ordre 3, et en déterminant les sous-espaces propres, (c) en utilisant le théorème du rang, (d) en calculant A. On suppose que A est la matrice d un endomorphisme u d un espace euclidien dans une base orthonormée. (a) Que peut-on dire de l endomorphisme u? (b) Trouvez une base orthonormée dans laquelle la matrice de u est diagonale.. (a) La matrice A est symétrique réelle donc diagonalisable. (b) Le polynôme caractéristique est donné par χ A = det(a λi 3 ) = λ (λ 3). De plus, E 3 (A) = Vect(,,) et E (A) = {(x,y,z) R 3 : x y +z = }. Puisque dime (A)+dimE 3 (A) = 3, A est diagonalisable. (c) Les colonnes de A étant proportionnelles, dimim(a) = et par le théorème du rang, dimker(a) =. est donc valeur propre de A au moins double de A. Puisque Tr(A) = 3 = λ Sp(A) λ = 3, on sait que A admet 3 comme troisième valeur propre simple. Par un argument de dimension comme ci-dessus, on conclut que A est diagonalisable. (d) On obtient A = 3A donc A est annulée par X 3X qui est un polynôme scindé à racines simples. A est donc diagonalisable.. L endomorphisme est autoadjoint. 3. On forme une base orthonormée de E 3 (A) et E (A). Par exemple, on prend u = 3 ( i j + k), u = ( i+ j), w = 6 ( i j k), où ( i, j, k) est la base canonique de R 3. Exercice.4 On considère la matrice A = a où a est un nombre réel. a. Quel est le rang de A? La matrice A est-elle inversible?. A est-elle diagonalisable?. Si a = alors rga =. A n est donc pas inversible Si a alors rga = 3 car det(a) = a. A est donc inversible.. Si a R\{,} alors A est diagonalisable avec 3 valeurs propres distinctes, et a. Si a = alors dimker(a I 3 ) = 3 rg(a I 3 ) = et la valeur propre est de multiplicité donc A n est pas diagonalisable. Si a = alors dimker(a I 3 ) = 3 rg(a I 3 ) = et puisque dimker(a I 3 ), la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut au moins 3. A est donc diagonalisable. Exercice.5 Soit A = M 3 (C).

11 -3 Correction Banque CCP MP MP. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. A est-elle diagonalisable?. Soit (a,b,c) C 3 et B = ai 3 +ba+ca, où I 3 désigne la matrice identité d ordre 3. Déduisez de la question. les éléments propres de B.. On remarquera que A est la matrice d une permutation. On obtient comme valeurs propres : λ =, λ = e iπ/3 = j, λ 3 = j = j. Les vecteurs propres respectivement associés à λ,λ et λ 3 sont : u = (,,),u = (j,j,),u 3 = (j,j,). La matrice A est donc diagonalisable puisqu elle admet trois valeurs propres distinctes.. On remarquera que A u = u,a u = j u et A u 3 = j 4 u 3 = ju 3. On a donc Bu = (a+b+c)u, Bu = (a+bj +cj )u, Bu 3 = (a+bj +cj)u 3. Exercice.6 On considère dans l espace vectoriel R 3 la projection vectorielle f sur le plan d équation x+y +z =, parallélement à la droite d d équation x = y = z 3.. Trouvez simplement une base de R 3 dans laquelle la matrice de f est diagonale.. Désuisez-en la matrice de f dans la base canonique de R 3.. d est la droite passant par le point A(,,) et de vecteur directeur u(,,3). De plus le plan P d équation x+y +z = admet pour base {(,,),(,, )}. } {{ } } {{ } v w Dans la base ( u, v, w) de R 3, f a pour matrice D =.. La matrice P de passage de la base canonique de R 3 à la base ( u, v, w) est donnée par P = 3 et admet pour inverse P = PDP = La matrice de f dans la base canonique est donc donnée par Exercice.7 Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel E de dimension n, et soit {e,...,e n } une base de E. On suppose que f(e ) = f(e ) =... = f(e n ) = v, où v est un vecteur donné de E. f est-il diagonalisable? (discutez en fonction du vecteur v). Si v =, alors f = donc f est diagonalisable. Supposons donc v. On a alors Im(f) = Vect(v) et dimim(f) =. Par le théorème du rang, on trouve dimker(f) = n. On a donc Sp(A) et dime (f) = dimker(f) = n. Supposons qu il existe une autre valeur propre λ. Soit x un vecteur propre associé. On aura alors f(x) = λx soit x Im(f) = Vect(v). Ainsi, x est colinéaire à v. Dans le cas où f(v) =, c est absurde. Car on aurait aussi f(x) = et λx. f n est donc pas diagonalisable lorsque f(v) = ( est alors la seule valeur propre et dime (f) = n < dime = n) Dans le cas où f(v), f admet donc bien une autre valeur propre non nulle et v est alors un vecteur propre associé à cette valeur propre. f est alors diagonalisable avec dime (f) = n et dime λ (f) =.

12 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.8 ( ). On pose A =. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 4 ( ) 3. Déterminez toutes les matrices qui commutent avec la matrice et déduisez-en l ensemble des matrices qui commutent avec A.. Le polynôme caractéristique χ A de A est χ A = (X 3)(X + ). Il y a donc deux valeurs propres : λ = 3 et µ =. ( ) ( ) On a ker(a 3I ) = Vect et ker(a+i ) = Vect 4 ( ) ( ) a b 3. Soit M = et D =. On a MD = DM si, et seulement si, b = c =, c est à dire M est c d ( ) diagonale. Avec P =, on a A = PDP 4. Pour X M (R), on pose M = P XP. On a alors : AX = XA DM = MD. L ensemble K[A] des matrices qui commutent avec A est donc donné par ( ) a K[A] = {P P : a,d R}. d Puisque dimk[a] =, on a K[A] = Vect(I,A). Exercice.9. On considère la matrice A =. 3 (a) Déterminez les valeurs propres de A puis une base de vecteurs propres associés. (b) Déterminez la matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres, puis sa matrice inverse P. x = x+y z +t. On considère le système différentiel y = y +z +, x,y,z désignant trois fonctions de la variable t, z = 3z dérivables sur R. Résolvez ce système différentiel en utilisant la question.. (a) Aadmettroisvaleurspropresdistinctes(Aesttriangulairesupérieure)donnéesparλ =,λ = etλ 3 = 3. Les vecteurs propres respectivement associés à λ,λ et λ 3 sont u = (,,),u = (,,),u 3 = (,,). (b) La matrice de passage P de la base initiale à la base de vecteurs propres (u,u,u 3 ) est donnée par P =. La matrice inverse de P est donnée par P =.. Avec X = x y et B = t, le système donné est équivalent à X = AX +B. On est donc en présence d un z système différentiel linéaire du premier ordre avec second membre. On pose pour tout t R,Y(t) = P X(t), le système X = AX + B est équivalent au système Y = DY +P ( ) B où D = P ( ) AP. y (t) En notant pour tout t R, Y(t) = y (t), on obtient y 3 (t) y (t) = y (t)+t y (t) = C e t t y (t) = y (t)+ = y (t) = C e t, y 3(t) = 3y 3 (t) y 3 (t) = C 3 e 3t où C,C,C 3 sont des constantes d intégrations fixées par les conditions initiales.

13 -3 Correction Banque CCP MP MP On revient aux coordonnées initiales en utilisant X = PY. Cela donne x(t) = C e t t+c e t y(t) = C e t +C 3e 3t. z(t) = C 3 e 3t Exercice.3 On considère la matrice A = ( ) Démontrez que A n est pas diagonalisable.. On note f l endomorphisme de ( R ) canoniquement associé à A. Trouvez une base (v,v ) de R dans laquelle la a b matrice de f est de la forme. c { x = x 4y 3. Déduisez-en une méthode de résolution du système différentiel y = x+3y.. Le polynôme caractéristique de A est χ A = (X ). La matrice A a donc pour seule valeur propre. Si A était diagonalisable, elle serait semblable à la matrice identité ce qui n est pas. A n est donc pas diagonalisable (on a donc dime (A) = < ).. A a un polynôme caractéristique scindé sur R donc elle est trigonalisable en tant que matrice de M 3 (R). Puisque E () = Vect( ( ) ), on prend v = (, ) et on a donc a =. On cherche v tel que f(v ) = bv + cv. Avec le choix ( b ) = c =, on trouve v = (,). Dans la base (v,v ) de R, la matrice de f est donc donnée par D =. ( ) ( ) ( ) ( ) x u 3. Posons X = et Y = P y X = avec P = et P v =. Le système différentiel X { = AX est équivalent à Y = DY. Ce dernier étant triangulaire, on obtient aisément u(t) = λe t +µte t les solutions données par v(t) = µe t, avec λ,µ R. On revient aux coordonnées initiales en calculant { x(t) = (λ µ+µt)e t X = PY pour obtenir y(t) = (λ+µt)e t. Exercice.3 On considère la matrice A = Démontrez que λ = est valeur propre de A et que V = est un vecteur propre associé. On admet que A admet deux autres valeurs propres et 4 avec comme vecteurs propres respectivement et.. On considère les suites (a n ) n N,(b n ) n N,(c n ) n N définies par leurs premiers termes a,b,c et : a n+ = b n +c n n N, b n+ = 3a n +b n +3c n. c n+ = a n +b n +3c n On suppose que a =,b = et c =. Calculez a n,b n et c n en fonction de n.. On trouve AV = V donc V est bien vecteur propre de A associé à la valeur propre λ =. 3

14 -3 Correction Banque CCP MP MP a n. On introduit pour n N,X n = b n. On obtient alors le système matriciel récurrent X n+ = AX n. Avec c n P =, et P =. u n En posant Y n = P X n = v n, on obtient comme relation de récurrence pour les nouvelles coordonnées w n u n+ = u n n N, v n+ = v n. w n+ = 4w n Pour tout n N, on a donc : u n = n u = n (a b +c ) = v n = ( ) n v = ( ) n n (a +b c ) = ( ) n n+. w n = 4 n w = 4n ( a +b +c ) = On revient aux suites initiales en utilisant X n = PY n pour obtenir n N, a n = b n = ( ) n n+ et c n =. Exercice.3 Soit E un R-espace vectoriel de dimension E et e = (e,e,e 3 ) une base de E. On considère la forme quadratique q définie sur E par : où v est le vecteur de coordonnées (x,y,z) dans la base e.. Quelle est la matrice A de q dans la base e. q(v) = x +y +z +xz. Déterminez les valeurs propres et les vecteurs propres de A. 3. Indiquez une méthode pour trouver une base e telle que si v a pour coordonnées (X,Y,Z) dans la base e, alors q(v) soit de la forme αx +βy +γz.. A est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable. On obtient A =.. Aadmetpourvaleurspropresλ =,λ =,λ = etpourvecteurspropresrespectivementu = (,, ),u = (,,) et u 3 = (,,). X x 3. Dans la base e = (u,u,u 3 ) de E, on aura avec Y = P y avec P = et P = Z z. On obtient alors q(v) =.X +.Y +.Z = Y + Z. Pour K >, l équation réduite q(v) = K est celle d un cylindre elliptique d axe (O, u ). Exercice.33. Démontrez l inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace vectoriel réel muni d un produit scalaire. Indication : on considérera x+λy.. Dans quel cas a-t-on égalité?. On veut donc démontrez que : (x,y) E, (x,y) x. y. Supposons y =, c est à dire y = alors l inégalité est vraie. 4

15 -3 Correction Banque CCP MP MP Soit x,y E,y,λ R. On pose h(λ) = x + λy = λ y + λ(x,y) + x (bilinéarité du produit scalaire). On remarque que : λ R,h(λ). La fonction polynôme h de degré est donc de signe constant. Son discriminant réduit associé est donc négatif ou nul. Ainsi, = (x,y) x. y. Par croissance de la fonction racine carrée sur R +, on obtient (x,y) x. y.. Montrons qu il y a égalité dans l inégalité de Cauchy-Schwarz si, et seulement si x et y sont colinéaires. Si x et y sont colinéaires, l égalité est vraie. Si l égalité est vraie, alors : ou bien y = et x et y sont colinéaires, ou bien y et h est donc un polynôme de dégré de discriminant nul. Il existe donc une racine double λ telle que h(λ ) =, soit x + λ y =, c est à dire x + λ y =. Les vecteurs x et y sont donc bien colinéaires. Remarquons que l inégalité de cauchy-schwarz reste vraie pour une forme quadratique seulement positive (pas obligatoirement définie positive). Le cas d égalité nécessite par contre d avoir une forme quadratique définie positive. Exercice.34 Soit E un espace euclidien et A un sous-espace vectoriel de E.. Démontrez que E = A A. Indication : on admettra le fait que toute famille orthonormale de E peut-être complétée en une base orthonormale de E.. Démontrez que (A ) = A.. Puisque E est euclidien, il est de dimension finie. Posons n = dime et k = dima. Soit (e,...,e k ) une base orthonormale de A. On peut la compléter d après l indication en une base orthonormale (e,...,e k,e k+,...,e n ) de E. Remarquons que A = Vect(e,...,e k ). On a de plus : x A l {,..,k}, (e l x) =. Puisque (e,...,e k,e k+,...,e n ) est une base orthonormale de E, A = Vect(e k+,...,e n ). On a donc bien E = A A.. D une part on sait que dim((a ) ) = dima = k car dim(a ) = n k. D autre part, on a l inclusion triviale A dim((a ) ) donc (A ) = A par le théorème d inclusion des sousespace vectoriels de même dimension. Exercice.35 Soit E un espace euclidien et F,G des sous-espaces vectoriels de E.. Démontrer que (F +G) = F G.. Démontrer que (F G) = F +G. Pour A,B partie de E, on rappelle que A B A B.. On a F F+G donc F (F+G). De même G F+G donc G (F+G). Ainsi, F G (F+G). Réciproquement, soit x F G. Alors : f F, g G,< x,f >= et < x,g >=. Pour tout h F +G, il existe (f,g) F G tel que h = f +g, et donc < x,h >=< x,f > + < x,g >=. D où x (F +G). Par double inclusion, on a bien F G (F +G). Cela reste vrai dans un espace préhilbertien réel quelconque.. Puisque F G F et F G G, on a (F G) F et (F G) G, soit (F G) F +G. (Cela est vraie en toute généralité que E soit euclidien ou non). Pour montrer l inclusion réciproque, on va se servir du fait que E est de dimension finie car E est euclidien. On saitdoncquepourtoutsevw dee,w estunsupplémentairedew danse appelésupplémentaireorthogonal de W dans E. En particulier dim(w ) = dim(e) dim(w). On a déjà démontré que (F G) F +G. On a de plus dim((f G) ) = dim(e) dim(f G) = dim(e)+dim(f +G) dim(f) dim(g) = dim(f )+dim(g ) dim((f +G) ) = dim(f +G ). 5

16 -3 Correction Banque CCP MP MP Pour cette question, on pouvait aussi utiliser le fait que pour toute partie A de E, (A ) = A (voir exercice 34 de ce document). On pouvait alors écrire F +G = (F +G ) = (F G ) = (F G). Exercice.36 Soit E un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On note (x y) le produit scalaire de x et de y.. Soit u un endomorphisme de E tel que : x E, u(x) = x. (a) Démontrez que : (x,y) E,(u(x) u(y)) = (x y). (b) Démontrez que u est bijectif.. Démontrez que l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E, muni de la loi est un groupe.. Soit x,y E. D une part d après la propriété vérifiée par u : D autre part par linéarité de u : u(x+y) = x+y = x +(x y)+ y. u(x+y) = u(x)+u(y) = u(x) +(x y)+ u(y) = x +(x y)+ y. On obtient donc (u(x) u(y)) = (x y) et u conserve donc le produit sclaire. (a) Supposons x ker(u). Alors u(x) = = x. On a donc ker(u) = {} et puisque u est un endomorphisme d un espace de dimension finie, on obtient u bijectif d après le théorème du rang.. Soit O(E) l ensemble des endomorphismes orthogonaux de E. On sait que (GL(E), ) est un groupe. Montrons que (O(E), ) en est un sous-groupe (on a bien O(E) GL(E)). O(E) est non vide car Id E O(E). La composition est clairement une loi interne sur O(E) car si u,v O(E) alors : x E, (u v)(x) = u(v(x)) = v(x) = x. Si u O(E), alors u O(E), en effet x = (u u )(x) = u (x). Exercice.37. Soit h une fontion continue et positive de [a,b] dans R. Démontrer que : b a h(x) dx = h =.. Soit E le R-espace vectoriel des fonctions continues de [a,b] dans R. On pose, pour tout f et tout g de E, (f g) = 3. Majorer b a f(x)g(x) dx. Démontrer que l on définit un produit scalaire sur E. x e x dx en utilisant l inégalité de Cauchy-Schwarz.. Soit H une primitive de h sur [a,b] (H est bien définie puisque h est continue). Puisque h est positive, H est croissante. Si l intégrale de h sur [a,b] est nulle alors H(a) = H(b) et la croissance de H implique que H est constante. On en déduit que sa dérivée h est nulle.. Vérifier qu on a bien une forme bilinéaire, symétrique et définie positive. 3. On a e x e x dx x dx e x dx =. Exercice.38 Soit E l espace vectoriel des applications continues et π-périodiques de R dans R.. Démontrez que (f g) = π π f(t)g(t)dt est un produit sclaire sur E. 6

17 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit F le sous-espace vectoriel engendré par f : x cosx et g : x cos(x). Déterminez le projeté orthogonal sur F de la fonction u : x sin x.. Le caractère symétrique et positif de (..) est clair. Sa bilinéarité découle de la linéarité de l intégrale. Le seul problème éventuel est le caractère définie. Soit donc f E tel que (f f) =. On obtient immédiatement par continuité et positivité de f sur R (et donc en particulier sur [,π]), f [,π] =. Par π-périodicité, on a f = R.. Pour tout x R, on a sin x = cos(x). Les fonctions constantes appartiennent à l orthogonal de f. Puisque F est de dimension finie, on a donc E = F F. Par unicité de l écriture dans la décomposition de E en somme directe on trouve immédiatement que le projeté orthogonal de u sur F est x cos(x). (Le vérifier par calcul si vous n êtes pas convaincu) Exercice.39 Soitent F(R, R) l espace vectoriel des applications de R dans R, E le sous-espace engendré par les cinq applications : f : x, f : x cosx, f 3 : x sinx, f 4 : x cos(x), f 5 : x sin(x), et F le sous-espace vectoriel engendré par f,f,f 3 : F = Vect(f,f,f 3 ).. Démontrez que < f g >= π π f(x)g(x)dx définit un produit scalaire sur E. π. Vérifier que f 4 et f 5 sont unitaires et orthogonaux. On admettra pour la suite que B = (f i ) i=,...,5 est une base orthonormale de E. 3. Déterminez le sous-espace vectoriel F orthogonal de F pour ce produit scalaire. Remarquons que E est un espace de fonctions π-périodiques.. <.,. > est clairement une forme bilinéaire symétrique et postitive. Seul le caractère définie est à vérifier. Soit donc f E telle que < f f >=. Par continuité et positivité de f sur R (donc en particulier sur [ π,π]), on obtient f ] π,π[ =. Par π-périodicité, f = R.. On vérifie sans peine que f 4 = f 5 = en utilisant les formules : a R,cos a = +cos(a) et sin a = cos(a) avec a = x ou de façon moins calculatoire en remarquant que f 4 + f 5 = π π π (cos (x) + sin (x))dx = et f 4 = f 5 par translation. Il reste à montrer que < f 4,f 5 >=. Mais cela est évident puisque f 4 f 5 est une fonction impaire et qu on intégre sur [ π, π]. 3. On admet d après l indication que B = (f i ) i=,...,5 est une base orthonormale de E. Puisque E = F F avec F = Vect(f,f,f 3 ), on obtient F = Vect(f 4,f 5 ). Exercice.4 On définit dans M (R) M (R) l application ϕ(a,a ) = Tr( t A,A ) =, où Tr( t A,A ) désigne la trace du produit de la matrice t A par la matrice A. On note {( ) } a b F =,(a,b) R. b a On admet que ϕ est un produti scalaire sur M (R).. Démontrez que F est un sous-espace vectoriel de M (R).. Déterminez une base de F. 3. Déterminez la projection orthogonale de J = ( ) sur F.. On obtient F = Vect(I,E) avec I la matrice identité et E = est un sous-espace vectoriel de M (R). ( ) (remarquez que I,E F). Donc F 7

18 -3 Correction Banque CCP MP MP ( ) a b. Puisque dimf = et dimm (R) = 4, on a dimf = 4 =. On remarquera que si M = M b a (R) ( ) a et M b = b a M (R), alors ϕ(a,a ) = aa +bb +cc +dd. ( ) ( ) On prend alors par exemple F = et F =. (F,F ) est une base orthogonale de dimf. (Attention elle n est pas orthonormée car F = F = ). 3. On a J = I +F donc puisque M (R) = F F, d après l unicité ( de ) l écriture dans la décomposition en somme directe de M (R), le projeté orthogonal de J sur F est F =. Exercice.4 Soit E un espace préhilbertien et F un sous-espace vectoriel de dimension finie n >. On admet que pour tout x E, il existe élément unique y de F tel que x x soit orthogonal à F et que la distance de x à F soit égale à x y. Si A = ( a b c d ) ( a et A b = c d ), alors on pose < A A >= aa +bb +cc +dd.. Démontrez que <.. > est un produit scalaire sur M (R). ( ). Calculez la distance de A = au sous-espace vectoriel F des matrices triangulaires supérieures.. <.. > est clairement ( ) une forme bilinéaire symétrique positive. Seul le caractère définie mérite une vérification. a b Soit donc A = M c d (R) telle que < A A >=. Alors a +b +c +d = ce qui implique a = b = c = d = donc <.. > est définie.. Avec les notations usuelles E ij pour les matrices de la base canonique de M (R), on a F = Vect(E,E,E ). On remarque que E F. Ainsi (E,E,E ) est une base orthonormée de F et (E ) est une base orthonormée de F. On remarque que A = (E +E ) +( E ). D après l unicité de l écriture dans la décomposition } {{ } } {{ } F F de M (R) en somme directe M (R) = F F, on trouve que le projeté orthogonal de A sur F est E +E. Ainsi, la distance de A à F est donnée par E =. Exercice.4 E désigne un espace euclidien. On note x y le produit scalaire de x et de y.. Démontrez que si f est une forme linéaire sur E, il existe un unique élément a de E tel que, pour tout x de E, f(x) = x a.. x est un élément non nul de E, tel que x =. On note [x ] la droite vectorielle engendrée par x et [x ] l orthognal de [x ]. (a) Donnez la définition de la projection orthogonale p sur [x ]. (b) Si p(x) = λx, on pose g(x) = λ. Démontrez que g est une forme linéaire sur E et indiquez l élément b de E tel que, pour tout x de E, g(x) = x b.. Unicité de l élémént a : Soit a,b E vérifiant : x E,f(x) = x a = x b. On a donc : x E,x (a b) = et en particulier pour x = a b, a b = ce qui implique a = b. Existence de a : Puisque E est de dimension finie, l application linéaire de E dans son dual E qui a x E associex. E estinjective(d aprèsl unicitédiscutéeaupremierpoint)doncsurjective(cardime = dime ). Il existe donc a E tel que x E,f(x) = x a. (a) Avec les notations de l énoncé, on sait que E = [x ] [x ]. Ainsi : x E, il existe un unique couple (u,v) [x ] [x ] tel que x = u+v. La projection orthogonale p sur [x ] est alors définie par p(x) = u (c est la projection sur [x ] parallèlement à [x ] ). De plus puisque u [x ], il existe un unique λ R tel que u = λx. On a ainsi, p(x) = λx. (b) On doit vérifier que l application g : E R qui a x associe λ est linéaire. Soit donc x,y E tels que p(x) = λx et p(y) = µx. On se donne aussi deux scalaires m,n R. Puisque p est linéaire, on a p(mx+ny) = mp(x)+np(y) = (mλ+nµ)x. Ainsi, g(mx+ny) = mλ+nµ = mg(x)+ng(y). g est bien une forme linéaire sur E. D après la question., il existe un unique élément b tel que pour tout x de E, g(x) = x b. Puisque x x = λ, on a g(x) = x x. 8

19 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.43 E désigne un espace euclidien. On note x y le produit scalaire de x et de y. Si u est un endomorphisme de E, on note u l endomorphisme adjoint de u.. (a) Si u est un endomorphisme de E, précisez, en justifiant votre réponse, l endomorphisme (u ). (b) Si u et v sont deux endomorphismes de E, précisez, en justifiant votre réponse, l endomorphisme (u v).. (a) Soit (e i ) une base orthonormale de E. On note A la matrice d un endomorphisme u de E dans la base (e i ) et B la matrice de u dans la base (e i ). En justifiant votre réponse, donnez la relation qui existe entre A et B? (b) Retrouvez le résultat de la question.(a) à l aide de la question.(a).. (a) On sait qu il existe un unique endormophisme u tel que : x,y E,u(x) y = x u (y). On a alors pour tout x,y de E : u (x) y = y u (x) = u(y) x = x u(y), où on a utilisé successivement la symétrie du produit scalaire pour la première égalité, la définition de u pour la deuxième égalité, puis enfin de nouveau la symétrie du produit scalaire dans la troisième égalité. On a donc (u ) = u d après la définition de l adjoint de u.. (a) Soit A = (a ij ) et B = (b ij ). Puisque (e i ) est orthonormale, on sait que pour tous i,j, a ij = e i u(e j ) et b ij = e i u (e j ) = u(e i ) e j = e j u(e i ) = a ji. Ainsi B = t A. (b) La matrice de (u ) dans la base (e i ) est d après la question précente donnée par t ( t A) = A d après la propriété de la transposée des matrices. On retrouve ainsi (u ) = u. Exercice.44 On considère la matrice A =.. Justifiez que A est diagonalisable.. Déterminez P et D dans M 3 (R) telles que : t P = P, D est diagonale, t PAP = D.. A est une matrice symétrique réelle donc diagonalisable.. Le polynôme caractéristique de A est donné par χ A = (X+3) (X 3). Les valeurs propres sont donc λ = 3 de multiplicité et λ = 3 de multiplicité. On a de plus SEP(A, 3) = {(x,y,z) R 3 : x y +z = } = Vect((,, ),(,,)), SEP(A,3) = Vect(,,). Avec P = { Exercice.45 x = u Étudiez la courbe définie paramétriquement par u y = u u+ Puis, donnez l allure de cette courbe. O 3 (R), on a bien t PAP = D avec D = Diag( 3, 3,3) M 3 (R).. u x(u) est C sur R{, u y(u) est C sur R\{ }. Aucune symétrie particulière ne permet de réduire le u R,x (u) = u u, domaine d étude. On a 3 u R\{ },y (u) = u(u+). (u+). 9

20 -3 Correction Banque CCP MP MP u x (u) + + x(u) y(u) y (u) Figure Allure de la courbe Les deux dérivées ne s annulent jamais simultanément, il n y a donc pas de point singulier. La droite d équation x = est asymptote verticale lorsque u ±. La droite d équation y = est asymptote horizontale lorsque u ±. La droite d équation x = est asymptote verticale lorsque u ±. Exercice.46 On considère la courbe d équation définie en coordonnées polaires par : r = cosθ.. Étudiez les symétries éventuelles de cette courbe.. Donner l allure de cette courbe. 3. Précisez la tangente au point de paramètre θ = π 4. On cherche déjà sur quel ensemble θ r(θ) est bien définie. Pour cela, il faut que cos(θ). Ainsi le domaine de définition de r est D r = k Z[ π 4 +kπ, π 4 +kπ]. Puisque : θ D r,r(θ +π) = r(θ), il y a une symétrie centrale de centre l origine. Puisque θ D r,r( θ) = r(θ), il y a une symétrie d axe (Ox). On retient donc l intervalle d étude I = [, π 4 ]. ( π. Sur I, θ r(θ) est décroissante avec r() = et r =. 4) On remarque que r () = donc la tangente est orthoradiale en θ =. ( π 3. Puisque r =, la première bissectrice est tangente à la courbe à l origine pour le paramètre θ = 4) π 4. Exercice.47 Étudiez au voisinage du point de paramètre t = la courbe définie par : x = t u u + du, y = Indication : on pourra calculer les dérivées successives de x et de y. t u u 3 + du.

21 -3 Correction Banque CCP MP MP On peut bien sûr suivre l indication, mais au lieu de dériver et de calculer les développements limités, on peut aussi primitiver les dévelopements limités. Pour mémoire, on rappelle le théorème de primitivation des DL : Si f est dérivable au voisnage d un point a d un intervalle I et si f possède un DL à l ordre n en a, donné par f (t) = α +α (t a)+...+α n (t a) n +o((t a) n ) alors f possède le DL suivant, à l ordre n+ en a : f (t) = f(a)+α t+ α (t a) α n n+ (t a)n+ +o((t a) n+ ). On trouve ainsi : { x(t) = (t ) 6 (t )3 +o((t ) 3 ), y(t) = (t ) 3 (t )3 +o((t ) 3 ). Le plus petit entier p non nul tel que OM (p) (t = ) est p =. Le plus petit entier q non nul tel que OM (q) (t = ) ne soit pas colinéaire à OM (p) (t = ) est q = 3. On a donc un point de rebroussement de première espèce. En ce point la tangente est dirigée par (,). Exercice.48 Dans un repère orthonormé (, i, j), on considère la courbe d équation. (a) Précisez la nature de cette courbe. (b) Tracez cette courbe. x +4y +x 8y + =.. Calculez la pente de la tangente en chacun des points d intersection de la courbe et de l axe (, j).. (a) On a x +4y +x 8y + = (x+) (y ) + =. La conique étudiée est donc une ellipse de centre Ω(ω =,ω = ) de paramètres a = et b =. (b) Dessin (c) On paramètre l éllipse en coordonnées cartésiennes : { x(t) = +cost, avec t [ π,π[. L ellipse et y(t) = +sint l axe des ordonnées sont sécants aux points M de paramètre t = ± π. La pente de la tangente en ces points ( 3 est m t = π ) = y ( π 3 ) 3 x ( π 3 ) = ± 3. Pour mémoire, on rappelle qu une équation de la tangente en M(x,y ) à l ellipse est : (x ω )(x ω ) a + (y ω )(y ω ) b =. { Exercice.49 x = cos 3 t On considère la courbe paramétrée, définie par : y = sin 3 t.. Étudier les symétries de cette courbe.. Donner l allure de cette courbe. 3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe, au point de paramètre t = π 6.. On se place dans le plan euclidien rapporté à un repère orthonormé direct (, i, j). Les fonctions x et y sont π-périodiques et l on peut réduire l étude à un intervalle d amplitude π. Comme x est paire et y impaire, les points M(t) et M( t) sont symétriques par rapport à x et l on peut réduire l étude à [, π]. On a aussi x(π t) = x(t) et y(π t) = y(t). Les points M(π t) et M( t) sont symétriques par rapport à (y) et l on peut réduire l étude à [, π ].

22 -3 Correction Banque CCP MP MP Enfin, x( π t) = y(t) et y(π t) = x(t). Les points M(π t) et M(t) sont symétriques par rapport à la première bissectrice et l on peut réduire à I = [, π 4 ].. Sur cet intervalle x (t) = 3sintcos t et y (t) = 3costsin t. Pour t, on a y (t) x = tan(t). Ce rapport a une limite nulle en, et en raison de la symétrie, le point (t) M() = (,) est un point de rebroussement de première espèce. Par symétrie, les points pour t = kπ/ avec k Z sont singuliers. Tout le monde aura reconnu une astroïde! Figure Allure de la courbe 3. D une façon générale, en un point non singulier, on a OM (t) = x (t) i+y (t) j = 3sintcostT avec T = cost i+ sint j. Si P = (X,Y) est un point de la tangente à la courbe en M(t), on écrit que les vecteurs M(t)P et T sont colinéaires, ce qui se traduit par exemple par ( ) X cos det 3 t cost Y sin 3 =. t sint On obtient comme équation de la tangente Xsint+Y cost = sintcost. Il suffit de prendre t = π/6 ensuite. On peut aussi faire remarquer que pour t = π 6, on a : y (t) x (t) = tan(t) = 3. Une équation cartésienne de la tangente au point de paramètre t = π 6 est donc y = x 3 +. { Exercice.5 x = u On considère la courbe C définie paramétriquement par u,u >. y = u + u+ Donnez l allure de la courbe C, et précisez la (ou les) asymptotes éventuelles. x et y sont des fonctions C sur ],+ [. Il n y a pas de symétrie particulière qui permette une réduction de l intervalle d étude. Pour u >, on a x (u) = u + u, y (u) = (u+ +)(u +) (u+).

23 -3 Correction Banque CCP MP MP u x (u) x(u) y(u) ( ) + y (u) Figure 3 Allure de la courbe Il n y a pas de points singuliers car les deux dérivées ne s annulent pas simultanément. La droite d équation y = est asymptote horizontale lorsque u + (la courbe est en dessous de la droite). y(u) On a lim = et lim (y(u) x(u)) =. Ainsi la droite d équation y = x est asymptote en + u + x(u) u + (la courbe est au dessus de l asymptote au voisinage de l infini). Exercice.5 Donnez l allure de la courbe définie en coordonnées polaires par : r = (cosθ cosθ). Précisez la tangente à cette courbe au point de paramètre θ = π. La fonction θ r(θ) est définie sur R et de classe C. Par π-périodicité, on peut se ramener à une étude sur ] π,π]. Par parité de r (symétrie d axe (x)), on se restreint à étudier la courbe sur [,π]. Pour θ [,π], on a : r (θ) = (sinθ sinθ). On alors r (θ) = sinθ( 4cosθ) puisque sinθ = sinθcosθ. θ θ = arccos 4 π r (u) r(u) Il y a un passage par l origine pour les paramètres θ = et θ = π 3. On a : r (π) = r (θ ) =, r(π) et r(θ ). Aux points de paramètres θ = θ et θ = π, les tangentes sont donc orthoradiales. { Exercice.5 x = f(t) On considère la courbe paramétrée C : y = g(t), f et g étant deux fonctions C sur un intervalle ouvert I.. Expliquez comment on peut étudier la position de C par rapport à sa tangente au voisinage du point M de paramètre t, avec t I. 3

24 -3 Correction Banque CCP MP MP. Appliquez les résultats précédents aux deux courbes suivantes au voisinage du point de paramètre : { { x = t 3 x = t C : y = t 6 et C : y = t 4. Retrouvez ces résultats simplement sabs utiliser la question.. On recherche le plus petit entier p non nul tel que M (p) (t ), puis le plus entier q non nul tel que M (q) (t ) ne soit pas colinéaire à M (p) (t ).. Pour C, on a p = 3 et q = 6. Puisque p est impair et q pair, on a donc un point ordinaire (méplat). Pour C, on a p = et q = 4. Puisque p et q sont pairs, on a un point de rebroussement de seconde espèce. Sans utliser le critère, on remarque que (x,y) C est équivalent à y = x avec x R. On reconnait la parabole usuelle. De même (x,y) C est équivalent à y = x avec x. On a donc seulement le morceau de parabole correpondant à x. Les morceaux de la courbe correpondant à t et t sont confondus (tous les points sont des points doubles). Exercice.53. Donnez une représentation paramétrique, dans un repère orthonormé, du cercle de centre O et de rayon a >. Puis, déterminez le repère de Frenet en chaque point de ce cercle. Précisez la valeur du rayon de courbure. { x = u. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé, on considère l arc paramétré défini par y = u, pour u [,+ [. Déterminez, au point M de cette courbe correspondant au paramètre u =, le repère de Frénet, ainsi que le rayon de courbure.. On peut prendre comme représentation paramétrique dans le repère (O, i, j) : { x = acost, avec t ] π,π]. y = asint Le repèrede Frénet en M(t) est donné par (M(t), T(t), N(t)), où T(t) = sint i+cost j et N(t) = cost i sint j. La fonction angulaire associée à l arc paramétré étudié est l identité. Une abscisse cruviligne est donnée dans ce cas par s : t at. Le rayon de courbure R(s) est bien constant est égal à a, la courbure γ(s) étant elle aussi constante et égale à a.. En un point M(u) régulier de paramètre u, on rappelle que le repère de Frénet (M(u), T(u), N(u)) est donné par T(u) OM (u) = OM (u), et N(u) tel que ( T(u), N(u)) soit une base orthonormale directe de R. Ici, on trouve : T(u) = +4u i+ u j, u N(u) +4u +4u i+ +4u j. Si s est une abscisse curviligne, on a s (u) = OM (u) et d T courbure en M(u). Ici on a s (u) = +4u et d T du = 4u (+4u ) 3/ i+ ds = du ds (+4u ) 3/ j. On identifie alors les deux expressions : dt ds = du dt ds du = 4u (+4u ) i+ (+4u ) j dt ds = ( R(u) N(u) = u R(u) +4u i+ ), +4u j pour trouver un rayon de courbure R(u) = (+4u ) 3/. On peut ensuite prendre u =. d T du R(u) N(u), où R(u) est le rayon de 4

25 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.54 Soit l intégrale curviligne I = Γ ω où : ω = ydx+xydy Γ est la courbe fermée composée des portions de courbes comprises entre les deux points d intersection des courbes C et C d équations respectives y = x et y = x, dans un repère orthonormé. La courbe Γ étant décrite dans le sens trigonométrique, calculez l intégrale I.. directement. en utilisant la formule de Green-Riemann. Les points d intersection de C et C sont l origine O(,) et A(,).. Un calcul direct donne I = (ydx+xydy) = Γ (t +t 4 )dt (t+t )dt =.. Soit D une partie fermée du plan délimitée par un arc de classe C sans point double. Soit ω = Pdx+Qdy une forme différentielle de classe C sur l ouvert U contenant D. On appelle D la frontière de D parcourue dans le sens direct. Alors ( Q ω = x P ) dxdy, (Formule de Green-Riemann). y D La forme ω étant bien de classe C, on a Γ D I = (ydx+xydy) = D (y )dxdy = ( x ) (y )dy dx = x. Exercice.55 On considère la quadrique (S) d équation xy +yz = dans un repère orthonormé (, i, j, k).. On note q la forme quadratique associée à (S). (a) Déterminez la matrice de q dans la base ( i, j, k). On la notera A. (b) Déterminez une base orthonormée ( u, v, w) constituée des vecteurs propres de A.. (a) On note P la matrice de passage de la base ( i, j, k) à la base ( u, v, w). Expliquez pourquoi la matrice de q dans la base ( u, v, w) est égale à P AP. (b) Quelle est la nature de la quadrique (S)?. (a) On a : A =. (b) A a pour polynôme caractéristique χ A = X(X )(X+ ). Il y a donc trois valeurs propres distinctes, λ =, λ = et λ 3 =. On trouve comme vecteurs propres respectivement associés à λ,λ et λ 3 : u = (,, ), v = (,, ), w = (,, ).. (a) La matrice P est orthogonale car elle correspond à une matrice de passage entre bases orthonormées. La formule de changement de base pour une forme quadratique donne comme matrice dans la nouvelle base ( u, v, w) : A = t PAP = P AP. (b) Dans la base ( u, v, w), l équation devient X + Z =. On reconnait l équation d un cylindre hyperbolique d axe R v. 5

26 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.56 Dans R, on considère les trois normes p,p,p définies ainsi, pour tout (x,y) R : : p (x,y) = x +y, p (x,y) = x + y, p 3 (x,y) = max( x, y ).. Démontrez que ces trois normes sont équivalentes, sans utiliser le fait que R est un espace vectoriel de dimension finie.. On note, pour i {,,}, B i ((,),), la boule ouverte de centre (,) et de rayon pour la norme p i. (, i, j) désigne un repère orthonormal du plan. Pour chaque i {,,}, déterminez l ensemble E i des points M du plan dont les coordonnées (x,y) dans le repère (, i, j) sont telles que (x,y) B i ((,),).. On a clairement pour tout (x,y) R : p (x,y) p (x,y) p (x,y). Donc p est équivalente à p. p (x,y) p (x,y) p (x,y). Donc p est équivalente à p. L équivalence des normes étant une relation d équivalence, on a aussi p est équivalente à p par transitivité.. p correspond à la norme euclidienne (notée souvent. ), p correspond à la norme (notée souvent. ) et p correspond à la norme infini (notée souvent. ). Les boules unités pour ces trois normes sont : B B B Exercice.57 On considère la similitude directe s d écriture complexe, dans un repère orthonormal (, i, j) : z = (i )z + i.. Déterminez le centre, le rapport et l angle de cette similitude.. On considère dans le plan complexe les points A d affixe i, B d affixe, et C d affixe i. (a) Déterminez les points A,B et C, images respectives de A,B et C par la similitude s. (b) Quel est la valeur de l angle A B C? de la longueur A C? de l aire du triangle A B C.. La similitude a pour : centre le point Ω d affixe, pour rapport, pour angle 3π 4 [π].. (a) On trouve A d affixe i, B d affixe 3 i et C d affixe 3. (b) On a A B C = ÂBC, A C = AC et l aire du triangle A B C est le double de celle du triangle ABC. x+y +z = Exercice.58 x+y +z =. On considère le système, où m est un paramètre réel. x y z = x y +z = m Démontrez qu il existe une unique valeur m de m pour laquelle ce système admet une solution unique et donnez cette solution. 6

27 -3 Correction Banque CCP MP MP x = u. Dansl espacerapportéàunrepère(, i, j, k),onconsidèreladroiteddereprésentationparamétrique y = +u z = +u x = t et la droite d de représentation paramétrique y = t. z = (a) Démontrez que d et d sont concourantes. (b) Démontrezqued peut-êtredéfiniecommeintersectiondesdeuxplansd équationsx+y+z = etx+y+z = etquedpeut-êtredéfiniecommeintersectiondesdeuxplansd équationsx y z = etx y+z = 5. Déduisez-en le résultat de la question.. On a après calculs : x+y +z = x = x+y +z = y =. x y z = z = x y +z = m = m+5 Il y a une solution au système si, et seulement, m = 5 et dans ce cas cette solution est unique et est donnée par (x,y,z) = (,, ).. (a) Une équation paramétrique d une droite permet d identifier immédiatement un point appartenant à cette droite ainsi qu un vecteur directeur. La droite d passe par le point A(,, ) (et admet pour vecteur directeur u = (,,)). La droite d passe par le même point A(,, ) (et admet pour vecteur directeur u = (,,)). Les droites d et d sont concourantes en A(,, ). (b) Considérons maintenant les deux plans donnés dans l enoncé pour la droite d : { { x+y +z = (L ) x+y +z = (L ) x+y +z = (L ) x = t z = (L L ) y = t, z = qui est bien une équation paramétrique de la droite d. Considérons les deux plans donnés dans l enoncé pour la droite d : { { x y z = (L ) x y +z = 5 (L ) x y z = (L ) x = u x y = (L +L ) y = +u, z = +u qui est bien une équation paramétrique de la droite d. Onretrouvequelesystèmedonnéen.admetuneuniquesolutionsi,etseulement,sim = 5(équation(L ) du système caractérisant d ci-dessus). La solution de ce système correpond au point A(,, ) intersection de d et d. Exercice.59 On considère dans le plan une droite d et un point F non situé sur d. On suppose que la distance du point F à d est égale à. Déterminez, en utilisant un repère orthonormé judicieusement choisi, que l ensemble des points M du plan tels que MF MH = est une conique, H désignant le projeté orthogonal de M sur d. Déterminez la nature et une équation réduite de cette conique et donnez l allure de cette courbe. On peut immédiatement trouver la nature de la conique avec la caractérisation monofocale d une conique de foyer F, de directrice d et d excentricité e qui permet de trouver une excentricité e =. Il s agit donc d une ellipse. On travaille dans le repère (F, i, j), avec : F projeté orthogonal de F sur d, 7

28 -3 Correction Banque CCP MP MP F F i = F F, j est choisi tel que ( i, j) soit une base orthonormée directe. Dans ce repère on a F(,), F (,), et si M(x,y) alors H(,y). Alors MF MH = 4MF = MH 4(x +y ) = (x+) ( ) x 3 ) + ( y ) =. 3 ( 3 On a donc une ellispe de centre Ω( 3,) dans le repère introduit et de demi axes a = 3 et b = 3. Exercice.6 Soit dans l espace une sphère de centre O et de rayon R, et un point A non situé sur la sphère. On note d la distance OA. Une droite passant par A coupe la sphère en P et Q. Exprime le produit AP AQ en fonction de d et de R, en utilisant, dans un repère orthonormé judicieusement choisi, une équation et une représentation paramétrique de. On choisit un repère orthonormé (, i, j, k) avec OA = d i. Soit u = (a,b,c) un vecteur x = at+d directeur unitaire de (donc a +b +c = ). L intersection de la sphère et de : y = bt,t R est donnée z = ct par les solutions du système x +y +z = R (at+d) +(bt) +(ct) = R x = at+d x = at+d y = bt y = bt z = ct z = ct t +adt+d = R (t+ad) = R +(a )d x = at+d x = at+d. y = bt y = bt z = ct z = ct Si R +(a )d <, l intersection est vide. Si R +(a )d =, l intersection est réduite à un point. Si R +(a )d >, il y a deux points d intersection qui sont donnés par le paramètre t ± = ad± R +(a )d. On a donc AP = t + u et AQ = t u. Puisque u est unitaire, on a AP AQ = t + t = ( ad) (R +(a )d ) = d R. Analyse Exercice.. On considère deux suites numériques (u n ) n N et (v n ) n N telles que u n v n. Démontrer que u n et v n ont même signe à partir d un certain rang.. Déterminer le signe au voisinage de l infini de : u n = sh( n ) tan( n ). Quelques rappels : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites à valeurs réelles. (u n ) n N et (v n ) n N sont équivalentes si et seulement si (ε n ) n N telle que lim n ε n =. N N tel que n N,u n = v n (+ε n ). On note alors u n v n. u Remarque : Si v n à partir d un certain rang (APCR), alors u n v n si et seulement si lim n n vn =. Cette relation n a pas de sens si on suppose que v n ne s annule pas APCR (et ce n est pas n écessaire que v n ne s annule pas pour définir la notion de suites équivalentes). On peut aussi remarquer que u n v n ssi u n v n = o(v n ). 8

29 -3 Correction Banque CCP MP MP. Venons-en à l exercice. Supposons donc u n v n. Il existe alors (ε n ) n N telle que lim n ε n = et N N tel que pour n N,u n = v n ( + ε n ). On choisit N N tel que n N, ε n. Pour n max(n,n ), le terme +ε n est toujours positif. On a donc bien APCR u n et v n de même signe.. Attention à ne pas soustraire d équivalents pour cette question. L utilisation de développements limités s impose. On rappelle que : Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x I. On dit que f possède un développement limité d ordre n en x, s il existe n + réels a,a,...,a n et une fonction R : I R tels que x I : f(x) = n i= a i (x x ) i +R(x), avec R(x) = o((x x ) n ). On a en particulier les DL() suivants : sh(x) = x+ x3 3! + x5 xn ! (n+)! +o(xn+ ) tan(x) = x+ x3 3 + x x B n( 4) n ( 4 n ) x n +o(x n ), (n)! où les B n sont les nombres de Bernoulli (le terme général n est bien sûr pas à connaître!). On obtient sans effort : u n = sh( n ) tan( n ) = ( 3! 3 ) ( ) n 3 +o n 4 = ( ) 6n 3 +o n 4. On applique alors la question. en remarquant que u n 6n 3. Au voisinage de l infini, u n est donc négative. Exercice. On considère dans R les deux suites (u n ) et (v n ) définies par : u n = n i=. Démontrez que ces deux suites sont adjacentes. i! et v n = u n + n!.. On admet que lim n + u n = e. Démontrez que e est irrationnel. Indication : on pourra raisonner par l absurde et supposer que e = p q où p et q sont deux entiers naturels.. Pour tout n N, on a u n+ u n = (n+)! >, donc (u n) n est (strictement) croissante. Pour tout n N, on a v n+ v n = n (n+)!. La suite (v n) n est donc décroissante (Remarquer que v v = v et que (v n ) n est strictement décroissante). Pour tout n N, on a v n u n = n! n +. Les suites (u n ) n et (v n ) n sont donc adjacentes.. Supposons donc que e = p q où p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux. Pour tout n, on a u n < e < v n car (u n ) n et (v n ) n sont strictement monotones. En particulier pour n =, cela donne u < e < v, soit 5 < e < 3. On sait donc déjà que e n est pas un entier et cela implique que q >, soit q. n On remarque que pour tout n, il existe K N tel que u n = i! = K. En particulier pour n = q (donc n! i= n car q ), on obtient K < p(n )! < K +. C est absurde puisque K, p(n )! et K + sont entiers et K et K + sont consécutifs. Ainsi e / Q. Exercice.3. Pour une suite de réels (u n ), énoncez le critère de Cauchy.. Soit f une fonction dérivable de ],] dans R telle que (: x) [,], f (x). On pose, pour tout entier naturel n non nul, U n = f. Démontrez, en utilisant le critère de Cauchy, que n cette suite converge. 9

30 -3 Correction Banque CCP MP MP. La suite de réels (u n ) est une suite de Cauchy si, et seulement si : ε >, N N, m,n N,(m,n N = u m u n ε). Puisque f est dérivable sur ],], en introduisant la suite (x n ) ],] N définie pour n par x n =, on a pour n tout n,m : u m u n = f(x m ) f(x n ) x m x n = m n. Puisque (x n ) n est convergente vers, elle est de Cauchy (toute suite convergente est de Cauchy). La suite (u n ) n est donc elle-même de Cauchy. Puisque R est complet, toute suite de Cauchy de réels est convergente. Ainsi, (u n ) n converge. Exercice.4. Déterminez le développement limité à l ordre 5 en de la fonction f : x cosx x.. Donnez, pour k {,,,3,4,5}, la valeur de f (k) ().. En utilisant les développements limités de x x et x cos(x), on trouve par produit le DL 5() de f suivant : f(x) = +x+ x + x3 + 3x x5 4 +o(x5 ).. La fonction f est C au voisinage de. Par unicité du développement limité d une fonction, on a donc à l aide de la formule de Taylor-young : k {,,,3,4,5}, f (k) () = k!a k, où a k est le coefficient du terme en x k dans le développement limité de f. On a de plus, f () =, f () =, f (3) () = 3, f (4) () = 3, f (4) () = 65. Exercice.5 On pose f(x) = (x+)(3 x).. Décomposez f(x) en éléments simples et déduisez-en les primitives de f sur l intervalle ]3, + [.. Déterminez le développement en série entière en de la fonction f et précisez son rayon de convergence. 3. Déterminez le développement limité à l ordre 5 en de la fonction f.. On a f(x) = ( 4 x+ 4 ln x 3 ( x+ x 3 ) +k, k R.. On écrit f sous la forme f(x) = 4 ). Les primitives de f sur l intervalle ]3,+ [ sont les fonctions F k : x + ( = ( ) n + ) +x x/3 4 3 } {{ } } {{ } n+ x n. n= Rayon de convergence= Rayon de convergence=3 Le rayon de convergence d une somme de série entière étant supérieure ou égale au minimum des rayons de convergence des séries de la somme, on sait que le rayon de convergence R f de f est tel que R f. Puisque lim f(x) = +, on a R f = (ou alors dire que le rayon de convergence d une somme de séries entières x + est égal au minimum des rayons de convergence des séries de la somme lorsque les deux séries ont des rayons différents). 3. Par unicité du développement en série entière (correspondant à la série de Taylor), on obtient le DL 5 () en tronquant la série entière à l ordre voulu. On a donc : f(x) = 3 x 9 + 7x 7 x x4 43 8x5 79 +o(x5 ). 3

31 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.6. Donnez l idée de la démonstration de la formule de Leibniz, concernant la dérivée nème d un produit de fonctions.. On pose f(x) = ex +x pour x >. Calculez f(n) (x) pour tout n N.. Sousleshypothèsesadéquates(fonctionsassezdérivables),elleestbaséesurunerécurrenceàpartirde(fg) (n+) (x) = n ( ((fg) (n) ) n (x) = (f k) (k) g (n k) ) (x)obtenuegrâceàlalinéaritédeladérivée.onécritensuite(f (k) g (n k) ) = k= f (k+) g (n k) +f (k) g (n k+). Après séparation des deux sommes, on effectue un changement d indice qui permet de conclure grâce à la formule de Pascal sur les coefficients binômiaux.. Pour x >, La fonction f est de classe C comme quotient de fonctions C dont le dénominateur ne s annule jamais. Pour x >, avec g(x) = e x et h(x) = +x, on a pour tout k N : Ainsi pour tout x > et k N : (g) (k) (x) = k e x, et h (k) (x) = ( )k k! (+x) k+. f (k) (x) = n! n k= ( ) k n k (n k)! e x (+x) k+. Exercice.7 I désigne un intervalle de R.. Donnez la définition d une fonction convexe sur I, à valeurs réelles.. Soit f une fonction convexe de I dans R. Démontrez la propriété suivante, où n désigne un entier supérieur ou n égal à 3 : Si λ,λ,...,λ n sont des nombres positifs tels que λ i = et si x,x,...,x n appartiennent à I, alors Indication : on pourra remarquer que ( n ) f λ i x i i= ( n λ i x i = i= i=3 i= n λ i f(x i ). i= ) n λ x +λ x λ i n i=3 λ i + n λ i x i. 3. Déduisez de ce qui précède, en utilisant la fonction ln, que pour tout entier n et pour tous x,...,x n R +, on a l inégalité : (x x...x n ) x +x +...+x n n. n. La fonction f est convexe sur I si, et seulement si : (a,b) I, λ [,],f(( λ)a+λb) ( λ)f(a)+λf(b).. (Pourquoi donner la condition n 3...?) On raisonne par récurrence sur l indice k N. Soit H(k) la propriété : ( k ( k ) (x,...,x k ) I k, (λ,...,λ k ) [,] k, λ i = = f λ i x i i= i= i=3 ) k λ i f(x i ). Pour k =, la propriété est triviale. Pour k =, elle est vraie puisqu elle correspond exactement à la définition de la convexité. Supposons la propriété H(k) vraie au rang k = n et montrons qu elle est vraie au rang k = n +. Soient n+ x,...,x n+ I et λ,...,λ n+ [,] tels que λ i =. i= Si λ =... = λ n = l inégalité voulue est vraie. i= 3

32 -3 Correction Banque CCP MP MP Supposons donc (λ,...,λ n ) (,...,). On pose alors µ = n i= λ i = λ n+ >. et x = n λ i x i. µ i= Puisque x,...,x n I et que I est un intervalle de R, il est clair que x I. En appliquant la définition de la convexité de f, on a : λ i x i ) = f(µx +( µ)x n+ ) µf(x )+( µ)f(x n+ ) = µf(x )+λ n+ f(x n+ ). n+ f( i= En appliquant l hypothèse de récurrence : ( n f(x ) = f ( car i {,...,k}, λ ) i µ et On déduit : f ( n+ n i= ) n+ λ i x i λ i f(x i ). i= i= i= λ i µ =. λ i µ x i ) n i= λ i µ f(x i) = µ n λ i f(x i ), 3. Soit donc n et x,...,x n R +. En prenant pour i {,...,n}, λ i =, on a d après la concavité de la n fonction ln, ( n ) ( ) ln n x i n n ln(x i ) = ln ( x i ) n. n i= Puisque la fonction ln est strictement croissante sur ], + [, on a l inégalité voulue. i= i= i= Exercice.8 Soit f une fonction de [a,b] dans R, continue sur [a,b]. On suppose que f est dérivable sur ]a,b[ sauf peut-être en un point x de [a,b].. Démontrez que si la fonction f admet une limite en x, alors la fonction f est dérivable en x et f (x ) = lim x x f (x).. Démontrez que la réciproque de la propriété de la question. est fausse. Indication : on pourra considérer la fonction g définie par : g(x) = x sin x si x et g() =.. On nous demande de redemontrer le théorème de la limite de la dérivée. Soit h tel que x +h [a,b]. On applique le théorème des accroissements finis entre x et x + h. Il existe donc c h ]x,x + h[ tel que f(x +h) f(x ) = f (c h )h. Lorsque h, il s ensuit que c h x. Par passage à la limite h, on a donc f(x +h) f(x ) lim = lim f (c h ) = lim f (x). h h h x x On a bien vérifié que f est dérivable en x et que f (x ) = lim x x f (x).. g est continue sur R (seul problème éventuel en mais g() = lim x g(x)). Pour la dérivabilité, le seul problème éventuel est aussi en x = mais g(x) g() = O(x) en x =, donc g x est dérivable sur R. Pour x, g (x) = xsin x cos x. Le terme en xsin tend vers lorsque x tend vers, mais le terme en x cos x n a pas de limite lorsque x tend vers (considérer par exemple la suite définie pour n par x n = nπ ). La fonction R x g (x) n a donc pas de limite en. On a bien démontré que la réciproque du théorème de la limite de la dérivée n est pas vraie en général. Exercice.9 Soit f une fonction numérique continue sur [,+ [ telle que f a une limite finie l quand x +.. Écrivez la définition de : lim f(x) = l et de : f uniformément continue sur [,+ [. x + 3

33 -3 Correction Banque CCP MP MP. Démontrez que f est uniformément continue sur [, + [.. lim f(x) = l ( l R, ε >, A, x R,(x A = f(x) l ε)). x + f est uniformément continue sur R si, et seulement si : ε >, η > / (x,y) R R, ( x y < η f(x) f(y) < ε).. Soit ε >. Puisque lim f(x) = l, A, x R,(x A = f(x) l ε). x + Sur [,A], f est uniformément continue d après le théorème de Heine (car [,A] est un compact de R.). Si x,y A, on a f(x) f(y) f(x) l + f(y) l ε. Donc f est aussi uniformément continue sur [A,+ [. La fonction f est bien uniformément continue sur R + (l uniforme continuité passse à la réunion d intervalles non disjoints deux à deux). Exercice.. Démontrez que, dans un espace vectoriel normé complet, toute série absolument convergente est convergente.. M n (R) est-il complet?. Soit u n une série absolument convergente d un espace vectoriel normé complet (E,. ) vers S. Soit (S n ) la suite des sommes partielles de la série u n. Soit ε >. Puisque u n est une série absolument convergente par hypothèse : N N tel que n N, u k ε. k n Soit p > q N. Alors S p S q S S p + S S q k p u k + k qu q ε. La suite (S n ) est donc une suite de Cauchy. Puisque E est complet, toute suite de cauchy est convergente et on a bien démontré que u n est convergente.. M n (R) étant de dimension finie, il est complet (pour n importe quelle norme puisqu elles sont toutes équivalentes). Exercice. Étudiez la série de terme général u n = n(lnn) α, où n et α R. Indication : on distingurea le cas α et le cas α >. Soit α. Si n 3, alors lnn, soit (lnn) α. Ainsi pour n 3, u n n. Par comparaison à une série divergente et à termes positifs, u n diverge. Soit α >. On procède par comparaison série-intégrale (ou avec la règle du n α u n ). La fonction f : x x(lnx) α est positive et décroissante sur [,+ [. La série n sont de même nature. Par le changement de variable t = lnx, on a : X f(x)dx = intéragle de Riemann en +. Celle-ci est convergente si, et seulement, si α >. La série u n converge donc si, et seulement, si α >. f(n) et l intégrale lnx ln + f(x)dx dt tα. On reconnait une Exercice. Soit (u n ) n N une suite de réels strictement positifs et l un réel positif strictement inférieur à.. Démontrez que si lim n + Indication : u n+ = l, alors la série converge. u n Écrivez judicieusement la définition de lim n + terme dénéral s une suite géométrique.. Quelle est la nature de la série n (3n+)!? 33 u n+ u n = l puis majorez, pour n assez grand, u n par le

34 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit q tel que l < q <, par exemple prendre q = +l. A partir d un certain rang (APCR) N, u n+ q. Par itérations, APCR N, on a u n u N q n N. La série de u n géométrique de terme général q n, par comparaion de séries à termes positifs, on obtient u n converge. n. On pose pour n, u n =. On obtient (3n+)! Donc n (3n+)! converge. u n+ u n 7n 3 n +. Exercice.3. Soit (u n ) et (v n ) deux suites de nombres réels positifs. Montrer que : u n v n u n et v n sont de même nature.. Étudier la convergence de la série (i )sin ( ) n, i est ici le nombre complexe de carré égal à. n Quelques rappels : Soit (u n ) n N et (v n ) n N deux suites à valeurs réelles. (u n ) n N et (v n ) n N sont équivalentes si et seulement si (ε n ) n N telle que lim n ε n =. N N tel que n N,u n = v n (+ε n ). On note alors u n v n. u Remarque : Si v n à partir d un certain rang (APCR), alors u n v n si et seulement si lim n n vn =. Cette relation n a pas de sens si on suppose que v n ne s annule pas APCR (et ce n est pas n écessaire que v n ne s annule pas pour définir la notion de suites équivalentes). On peut aussi remarquer que u n v n ssi u n v n = o(v n ).. Venons-en à l exercice. Supposons donc u n v n avec (u n ) et (v n ) positives. On a : N N, n N, u n v n v n. Donc : n N, u n v n (autrement dit, on vient de justifier que : u n v n u n = O(v n ) et v n = O(u n )). Par comparaison à une serie à termes positifs, on sait que u n et v n sont de même nature (s assurer de savoir justifier ce point!). (i )sin ( ) n. En posant u n =, on obtient u n n n n n3/. Par comparaison à une série de Riemann convergente, on en déduit que (i )sin ( ) n est absolument convergente donc convergente. n Exercice.4 Soit (u n ) n N une suite décroissante positive de limite nulle.. Démontrez que la srie ( ) k u k est convergente. Indication : On pourra considérer (S n ) n N et (S n+ ) n N avec S n =. Indiquez un majorant du reste de cette série. Démontrez le résultat. n ( ) k u k.. Pour n, on a : S n+ S n = u n+ u n+, donc (S n ) n N est décroisssante. S n+3 S n+ = u n+3 u n+, donc (S n+ ) n N est croisssante. lim (S n S n+ ) =. n + Les suites (S n ) n N et (S n+ ) n N sont donc adjacentes et convergent donc vers une même limite S. De plus (S n ) n N converge vers cette même limite S.. Le reste d ordre n est donné par R n = k=n+ k= ( ) k u k. On a R n u n+. En effet pour n, S n+ S S n. Ainsi pour n, R n = S S n S n+ S n u n+ = u n+. 34

35 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.5 Soit X un ensemble, (f n ) n N une suite de fonctions de X dans C et f une fonction de X dans C.. On suppose :( x X)( n N), f n (x) f(x) α n où (α n ) n N est une suite de réels tels que lim α n =. n + Démontrez que la suite (f n ) n N converge uniformément vers f sur X. (. La suite (z n ) n N converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D O, ) de centre O et de rayon? Converge-t-elle uniformément dans le disque ouvert D(O,) de centre O et de rayon?. Soit ε >. Puisque lim n + α n =, il existe n N tel que : n N, x X, f n (x) f(x) ε. La suite (f n ) n N converge donc bien uniformément vers f sur X.. Pour z D(O,/), z < et (z z n ) n N converge simplement sur D(O,/) vers la fonction nulle. De plus : sup z n = z D(O,/) n n +. La suite de fonctions (z z n ) n N converge donc uniformément sur D(O,/) vers la fonction nulle. Sur D(O,), on a sup z n = qui ne tend pas vers donc la suite de fonctions (z z n ) n N ne converge z D(O,/) donc pas uniformément sur D(O, ). Exercice.6 On pose f n (x) = n π e n x.. Étudiez la convergence simple de la suite de fonctions (f n ) n N.. (a) Démontrez que, pour tout a >, cette suite converge uniformément sur les intervalles ], a] et [a,+ [. (b) Converge-t-elle uniformément sur ], + [? Indication : on pourra considérer f n ( n ).. Pour x =, pour tout n N, f n () = n π. Donc (f n ) n N ne converge pas simplement en. Pour x, lim n + f n(x) =. Donc (f n ) n N converge simplement sur R vers la fonction nulle.. (a) Par parité de f n, il suffit d étudier l intervalle [a,+ [. Soit donc x [a,+ [. On a : sup x a f n (x) = supf n (x) = n e n a n +. x a π Il y a donc convergence uniforme de (f n ) n N sur ], a] et [a,+ [ (avec a > ). Remarque : On retrouve que (f n ) n N converge simplement sur R car a>(], a] [a,+ [) = R et la convergence simple passe aux réunions (quelconques). (b) Puisque f n ( n ) = n π e qui ne tend pas vers lorsque n +, il n y a pas convergence uniforme sur ], + [. (Il n y a pas de contradiction, puisque la convergence uniforme ne passe pas obligatoirement aux réunions). Exercice.7 On pose f n (x) = (x +) nex +xe x. n+x. Démontrez que la suite de fonctions (f n ) n N converge uniformément sur [,].. Calculez lim n + (x +) nex +xe x dx. n+x. Soit x [,]. On a lim f n(x) = (x +)e x. n + La suite de fonctions (f n ) n N converge simplement sur [,] vers f : x (x +)e x. Pour tout x [,], f n (x) f(x) = (x +) xe x xe x (x +) e +e e +e n+x n n La suite de fonctions (f n ) n N converge donc aussi uniformément sur [,] vers f. n +. 35

36 -3 Correction Banque CCP MP MP. Puisqu il y a convergence uniforme sur [,] de (f n ) n N vers f et que [,] est un compact de R, On calcule lim n + f n (x)dx = f(x)dx par intégrations par parties pour trouver f(x)dx. f(x)dx = [e x (x x+3)] = e 3. Exercice.8. Soit X une partie de R, (f n ) n N une suite de fonctions de X dans R convergeant simplement vers une fonction f. On suppose qu il existe une suite (x n ) n N d éléments de X telle que la suite ((f n (x n ) f(x n )) n N ne tend pas vers. Démontrez que la suite (f n ) n N ne converge pas uniformément vers f sur X.. Pour tout x R, on pose f n (x) = sin(nx) +n x. (a) Étudiez la convergence simple de la suite (f n) n N. (b) Étudiez la convergence uniforme de la suite (f n) n N sur [a,+ [ (avec a > ) puis sur ],+ [.. On a f n (x n ) f(x n ) f n f. Par contraposée, (f n ) n N ne converge donc donc uniformément vers f.. (a) Toutes les fonctions f n sont impaires. Si x =, alors pour tout n N, f n () =. Si x > (ou x < par imparité), la suite numérique (f n (x)) n N converge vers. La suite de fonctions (f n ) n N converge simplement sur R vers la fonction nulle. (b) Soit a > et x a. On a pour tout n N, f n (x) +a x n +. Il y a donc convergence uniforme de (f n ) n N sur [a,+ [ vers la fonction nulle. On pose pour n N, x n = π n. La suite (x n) n N converge vers et f n (x n ) f(x n ) = f n (x n ) = qui ne tend pas vers lorsque n +. Il n y a donc pas convergence uniforme sur ],+ [. + π 4, Exercice.9. Soit (f n ) n N une suite d applications de [a,b] dans R. On suppose que la suite (f n ) n N converge uniformément sur [a,b] vers une application f, et que, pour tout n N, f n est continue en x, avec x [a,b]. Démontrez que f est continue en x.. On pose, pour tout x [,], g n (x) = x n. La suite (g n ) n N converge-t-elle uniformément sur [,].. On procède par un argement en 3ε. Pour x [a,b] et n N, f(x) f(x ) f(x) f n (x) + f n (x) f n (x ) + f n (x ) f(x ) f f n + f n (x) f n (x ). Le terme f n (x) f n (x ) se contrôle grâce à la continuité des f n en x et tend vers lorsque x tend vers x. Cela prouve la continuité de f en x.. La suite (g n ) n N converge simplement sur [,] vers g : [,] R définie par g(x) = {,si x [,[,si x =. Les fonctions g n sont toutes continues sur [,] et g est discontinue en x =. Il ne peut pas y avoir convergence uniforme de (g n ) n N sur [,]. Exercice.. On note E l espace vectoriel des applications bornées de X dans C, X désignant un ensemble non vide quelconque. On pose, pour tout f de E, f = sup f(x). x X Démontrez succintement que l application f f est une norme sur E.. Soit (g n ) n N une suite d applications de X dans C, X désignant un ensemble non vide quelconque. On suppose que, pour tout n N, g n est bornée et que la suite (g n ) n N converge uniformément sur X vers g. Démontrez que l application g est bornée. 36

37 -3 Correction Banque CCP MP MP. Le faire... C est sans aucune difficulté. La positivité est évidente. L inégalité triangulaire provient de celle de la valeur absolue sur R, et le caractère défini est trivial.. Par hypothèse, il existe N N tel que pour tout n N, g n g. Pour tout x X, on a : Ce qui démontre que g est bornée sur X. g(x) g(x) g n (x) + g n (x) g g n + g n. Exercice.. Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues sur [a,b], à valeurs réelles. Démontrez que si la suite (f n ) n N ( ) converge uniformément vers f, alors la suite f n (x) dx converge vers f(x) dx.. Justifiez comment ce résultat peut être utilisé dans le cas des séries de fonctions puis démontrez que ( + ) x n dx = n n.. Par définition de la convergence uniforme : n= n N n= lim f n f = lim sup f n (x) f(x) =. n + n + x [a,b] On a ainsi : b f n (x) dx b a a f(x) dx (b a) f n f n +.. Soit (f n ) n N une suite de fonctions continues sur [a,b], à valeurs réelles telle que la série de fonctions f n converge uniformément sur [a, b] vers S. Alors on obtient le théorème d intégration terme à terme sur un segment à savoir : S est continue, La série entière n= b n= a f n (x) dx converge et de plus b n= a f n (x) dx = b a S(x) dx. x n converge uniformément sur [,/] donc par le théorème d intégration terme à terme : ( + ) x n dx = n= n= x n = n= + (n+) n+ = n n. n= n= Exercice.. Démontrez que toute série de fonctions normalement convergente sur X est uniformément convergente sur X.. La série de fonctions n R R +? n! zn est-elle normalement convergente sur le disque fermé de centre O et de rayon. Par définition de la convergence normale de d une série de fonctions f n sur X, on a pour tout n N, f n est bornée et f n <. Ainsi pour tout n N et x X, f n (x) f n. Par comparaison de série numérique à termes positifs, f n (x) converge. La série f n est donc absolument convergente sur X. Puisque les f n sont à valeurs réelles, R étant complet, la série f n converge simplement sur X (voir exercice.a.). On a ainsi pour tout x X, + k=n f n(x) + k=n f n(x) + k=n f n, soit sup x X k=n f n (x) k=n La série f n est donc uniformément convergente sur X. f n n +. 37

38 -3 Correction Banque CCP MP MP. La série entière n n! zn a un rayon de convergence infini. Il y a donc convergence normale sur tout compact de C en particulier sur le disque fermé de centre O et de rayon R R +. Exercice.3. On considère la série de fonctions de terme général u n défini par : ( n N, x [,],u n (x) = ln + x ) x n n. On pose, lorsque que la série converge, S(x) = (a) Démontrez que S est dérivable sur [, ]. n= [ ( ln + x ) x ]. n n (b) Calculer S (). Indication : pensez à décomposer une fraction rationnelle en éléments simples.. Soit x [,]. ( ) Un développement limité pour n + donne : u n (x) = x n +o n. A partir d un certain rang, u n (x) estdonc de signe constantet par comparaisonàunesériede Riemannconvergente, n u n convergesimplement sur [,]. Toutes les fonction u n sont de classe C sur [,] et pour n : x [,],u n(x) = x+n n = x n(x+n) = u n n. Ainsi la série de fonctions n u n converge normalement et donc uniformément sur [,]. Le théorème de dérivation permet alors de conclure que S est de classe C, donc en particulier dérivable sur [,].. Le théorème de dérivation permet aussi de conclure que S () = u n() = ( +n ) n }{{} =. n n par somme télescopique Exercice.4 Soit A C et (f n ) n N une suite de fonctions de A dans C.. Démontrez l implication : (la série de fonctions f n converge uniformément sur A) (la suite de fonctions (f n) n N converge uniformément vers sur A).. La série entière z n est-elle uniformément convergente sur le disque ouvert de centre O et de rayon?. Supposons que la série de fonctions n f n converge uniformément vers S sur A, c est à dire la suite des sommes partielles (S n ) n N de la série n f n converge uniformément vers S sur A. Alors pour tout n N, on a f n = S n S n qui converge uniformément vers S S = sur A.. La série entière z n n est pas uniformément convergente sur le disque ouvert de centre O et de rayon car la suite de fonctions (z z n ) n N n est pas uniformément convergente vers sur le disque ouvert de centre O et de rayon. Exercice.5 On considère la série de fonctions ( ) n n xn, x désignant un réel.. Étudiez la simple convergence de cette série. On note D l ensemble des x où cette série converge, S(x) la somme de cette série.. (a) Étudiez la convergence normale puis la convergence uniforme de cette série sur D. 38

39 -3 Correction Banque CCP MP MP (b) La fonction S est-elle continue sur D.. La série entière ( ) n n xn a un rayon de convergence R égal à (on a de plus pour x ],[, S(x) = n ln(x+)). On trouve donc que ],[ D. En x =, la série converge comme série numérique alternée. En x = la série diverge comme série numérique harmonique. On a donc D =],].. (a) On a : sup ( ) n x ],] n xn = n, et n diverge. Ainsi, la série ( ) n n xn ne converge pas normalement sur D =],]. On sait d après le cours que la série entière ( ) n n xn converge normalement donc uniformément sur tout compact inclus dans ],[. Il n y a donc pas de convergence uniforme sur ],] car si c était le cas le théorème de la double limite donnerait l existence de ( ) ( ) n lim x n xn = ce qui n est pas le cas. n (b) S est continue sur ],[ comme somme d une série entière réelle sur son intervalle intervalle ouvert de convergence. De plus pour x [,], la série numérique ( ) n n xn relève du critère spécial des séries alternées donc : ( ) k R n (x) = x k ( ) n+ x n+ k n+ = xn+ n+ n+. k=n+ et donc R n. La série ( ) n n xn converge donc uniformément sur [,]. S est donc continue en x =. S est donc continue sur D tout entier. Exercice.6. Démontrez que la série z n n! est absolument convergente pour tout z C. z n. On pose, pour tout z C, f(z) = n!. n= Démontrez que : f(z) f(z ) = f(z +z ), sans utiliser le fait que f(z) = e z. 3. Déduisez-en que : z C,f(z) et f(z) = f( z).. Pour tout z C, on a z n converge en tant que série exponentielle réelle vers e z. La série z n est donc n! n! absolument convergente sur C.. Pour z,z C, les séries numériques f(z) = z n n! et f(z ) = z n sont absolument convergentes. Leur série n! produit de Cauchy n z k z n k ω n, où ω n = k! (n k)! est absolument convergente et a pour somme f(z)f(z ). Mais, d autre part On a donc f(z)f(z ) = n= k= n N,ω n = n! ω n = f(z +z ). n k= ( ) n z k z n k = k n! (z +z ) n. 3. Supposons qu il existe z C tel que f(z) =. Alors = f(z)f( z) = f() =. C est absurde, donc pour tout z C, f(z) et f(z) = f( z). Exercice.7 Soit a n z n une série entière de rayon R >.. Démontrez que cette série converge uniformément sur tout disque fermé de centre O et de rayon r tel que < r < R. 39

40 -3 Correction Banque CCP MP MP. Démontrez que la fonction z n= a n z n est continue en tout point du disque ouvert de convergence.. Soit r tel que < r < R. Pour tout n N et z C tel que z r, on a sup a n z n = a n r n. Puisque a n r n z r converge, a n z n est normalement (donc aussi uniformément) convergente sur le disque fermé de centre O et de rayon r.. Soit z C tel que z < R. On choisit r tel que z < r < R par exemple r = z +R. On sait alors d après la première question que la série a n z n est uniformément convergente sur le disque fermé D f (,r) de centre O et de rayon r. Puisque toutes les fonctions z a n z n sont continues sur D f (,r), la série l est également. On a donc en particulier la continuité au z choisi initialement. Exercice.8 Calculez le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes :. n α z n, (α R).. ( ) nπ cos z n. 3. En fait le rayon de convergence R de la série n α z n, (α R) est égal au rayon R de convergence de z n, soit R = R = puisque R =. Pour α =, c est bon. Pour α >, à partir d un certain rang, n α donc R R, soit R puisque R =. Soit z C tel que z < et r tel que z < r <. On a : n α z n = n α r n ( z r ) n = o(r n ) car lim n + nα ( ) n z = r. Donc n α z n converge et R =. Pour α <, à partir d un certain rang, n α donc R R, soit R puisque R =. Soit z alors n α z n = e n(ln z +αlnn n ) tend vers lorsque n tend vers + si et seulement si z <. Donc R =. On peut aussi appliquer la règle de d Alembert pour z : (n+) α z n+ ( lim n+ n α = lim + α z = z. z n + n) Pour tout α, si z <, la série n α z n converge. Si z >, cette série diverge. Pour z =, on ne peut rien dire, mais de toute façon, on sait que son rayon de convergence est égal à.. Par comparaison à une série géomértique, le rayon de convergence R de ( ) nπ cos z n vérifie R. Puisque 3 la série numérique ( ) nπ cos diverge, on a R =. 3 Exercice.9. Démontrez que si a n b n alors les séries entières a n z n et b n z n ont même rayon de convergence.. Quel est la rayon de convergence de la série entière i n n n + zn (où i = )?. Puisque a n b n on a a n = O( b n ) et b n = O( a n ), donc R a R b et R b R a soit R a = R b.. i n n n + = n n +. La série entière z n a un rayon de convergence égal à un donc le rayon de convergence de la série entière i n n n + zn est aussi égal à un. Exercice.3. Soit (a n ) n N une suite bornée telle que la série a n diverge. Quel est le rayon de convergence de la série entière an z n? 4

41 -3 Correction Banque CCP MP MP. Quel est le rayon de convergence de la série entière ( cos n π ) z n?. Puisque (a n ) n N est bornée, a n = O() et le rayon de convergence R de a n z n vérifie R. Mais puisque la série numérique a n diverge, on a R =. ( (. la suite cos n π )) est bornée et la série ( cos n π ) diverge (car son terme général ne tend pas ) donc n N d après la question., on en déduit que le rayon de convergence de la série entière ( cos n π ) z n est égal à un. Exercice.3. Que savez-vous du rayon de convergence de la somme de deux séries entières (on ne demande pas de démonstration)?. Développez en série entière au voisinage de, en précisant le rayon, la fonction f : x ln(+x) ln( x). La série obtenue converge-t-elle pour x = 4? x =? Si oui quelle est sa somme?. Soit deux séries entières a n z n et b n z n de rayons de convergencerespectifsr et R. Le rayon de convergence R de la série entière somme (a n +b n )z n est tel que : R = min(r,r ) si R R, R R si R = R, et si z < min(r,r ), on a alors. D une part, ln(+x) = k= n= (a n +b n )z n = n= a n z n + n= b n z n. ( ) k+ x k est de rayon de convergence R =. D autre part, ln( x) = k est de rayon de convergence R =. La fonction f admet donc un développement en série entière S de rayon R f =. De plus pour x < +, S(x) = f(x) = ( ) k+ k x k. k k= Si x = 4, puisque x < R f, la série entière associée à f converge et sa somme est continue en x = ( ) ( ) 4 donc S = f = ln(5) ln(). 4 4 Pour x =, la série entière S diverge comme série harmonique. k= k k zk Exercice.3 ( ) an+ Soit (a n ) n N. une suite complexe telle que la suite admet une limite. a n n N. Démontrez que les séries entières a n x n et na n x n ont le même rayon de convergence. On le note R.. Démontrez que la fonction x n= a n x n est dérivable sur l intervalle ] R,R[. ( ) an+. Pour x, si L désigne la limite de la suite a n lim u n+ n + u n = lim, en posant u n = a n x n et v n = na n x n, on a : n N n + v n+ v n = L x. Les deux séries entières a n x n et na n x n ont donc toutes les deux le même rayon de convergence égale à avec les règles habituelles d opérations étendues à et +. L. On rappelle que lorsque R > une série entière converge normalement (donc uniformément) sur tout segment inclus dans ] R,R[. La série entière a n x n converge donc en particulier simplement sur ] R,R[. La série entière des dérivées na n x n converge uniformément sur tout segment inclus dans ] R,R[. 4

42 -3 Correction Banque CCP MP MP La fonction x n= a n x n est donc de classe C sur ] R,R[. Exercice.33 ( ) +x Déterminez le développement en série entière à l origine de la fonction f(x) = ln en précisant son rayon de x convergence. La fonction f est bien définie pour x ], [ et pour tout x ], [, f(x) = ln(+x) ln( x). En utilisant les développements en série entière au voisonage de de x ln(+x) et x ln( x), on a f(x) = k= x n+ n+ qui admet un rayon de convergence égal à. Exercice.34. Déterminez le rayon de convergence de la série entière x n (n)!. On note S(x) = n= x n (n)!.. Déterminez le développement en série entière en de la fonction x ch(x), et précisez le rayon de convergence. 3. (a) Déterminez S(x). (b) On considère la fonction f définie sur R par : f() =, f(x) = ch( x) pour x >, f(x) = cos( x) pour x <. Démontrez que f est de classe C sur R.. Pourx,posonsu n = xn u n+.ona lim =.Lasérieentière x n (n)! n + u n (n)! adoncunrayondeconvergence R tel que R = +.. La série entière ch(x) = k= x n (n)! (partie paire de ex ) a un rayon de convergence infini. 3. (a) Pour x, on peut écrire x n = ( x) n. Ainsi : S(x) = ch( x). Pour x <, on peut écrire x n = ( ) n ( x) n. Ainsi : S(x) = cos( x). (b) La fonction f est égale à la fonction S sur R, elle est donc C sur R en tant que série entière de rayon de convergence infini. Exercice.35 On considère la fonction f de R dans R, de période π, définie ainsi : f(x) = x sur ] π,+π[, et f( π) =.. La série de Fourier de f converge-t-elle vers f(x) en tout point x de R?. Déterminez la série de Fourier de f.. La fonction f est continue par morceaux sur R et de classe C par morceaux sur R, donc par le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement sur R vers la régularisée de f. Puisque f est régularisée, c est à dire pour tout x de R, f(x + )+f(x ) = f(x), la série de Fourier de f converge simplement vers f sur R.. La fonction f est impaire donc pour tout n de N, a n =. De plus pour n, b n = xsin(nx) dx = π ( ) n+ + n.lasériedefourierdef estdoncdonnéepourtoutx RparS(f)(x) = f(x) = ( ) n+ n sin(nx). Exercice.36 Soit f la fonction π-périodique sur R telle que : t [,π[,f(t) = t.. Expliquez pourquoi, pour tout réel t, la série de Fourier de f converge, et précisez sa limite. n= π 4

43 -3 Correction Banque CCP MP MP. Déterminez la série de Fourier de f, puis déduisez-en la somme de la série : n. La fonction f est continue par morceaux sur R et de classe C par morceaux sur R. D après le théorème de Dirichlet, la série de Fourier de f converge simplement sur R vers la régularisée f de f définie par : { f(t), si t ]kπ,(k +)π[,k Z, f(t) = π. si t = kπ, k Z. La fonction f n est ni paire, ni impaire, on a : a = π π t dt = 8 3 π. Pour n, a n = π π π t cos(nt) dt = 4 n. Pour n, b n = t sin(nt) dt = 4π π n. La série de Fourier de f est donc donnée pour tout t de R par S(f)(t) = f(t) = 4 3 π + En t =, on obtient, f() = π = 4 3 π + n= n= n. ( cos(nt) 4 n πsin(nt) ). n + 4 n, soit n = π 6. Exercice.37 Soit f la fonction π-périodique sur R telle que : x [ π,π[,f(t) = x.. (a) Expliquez pourquoi la série de Fourier de f converge sur R. Précisez la somme de cette série. n= (b) La série de Fourier de f converge-t-elle normalement sur R?. (a) Déterminez la série de Fourier de f. (b) Déduisez-en la somme de la série n ( ) n n.. (a) La fonction f est continue sur R et de classe C par morceaux sur R. D après le théorème de convergence normale, la série de Fourier de f converge normalement(et en particulier simplement) sur R vers la fonction f. (b) Voir.(a). (a) La fonction f est paire donc pour tout n, b n =. On a : a = π π x dx = 3 π. Pour n, on a : a n = π π x cos(nx) dx = ( ) n 4 n. Pour tout x R, on a donc S(f)(x) = f(x) = 3 π + n ( ) n 4 n cos(nx). (b) En x =, on obtient f() = = 3 π + ( ) n 4 n, soit n n ( ) n n = π. Exercice.38. Démontrez que pour tout entier n, la fonction t +t +t n est intégrable sur [,+ [. e t +. On pose u n = +t +t n dt. Calculez lim e t u n. n + 43

44 -3 Correction Banque CCP MP MP. Soit f n la fonction définie sur R + par f n (t) = +t +t n e t. Pour tout n, et t R+, on a f n (t) +t et t +t est intégrable sur R+ donc f n est intégrable sur R +.. Pour tout n, f n est continue sur R +. (f n ) n converge simplement sur R + +t si t [,[ vers la fonction f définie par f(t) = +e si t =. si t > La fonction f est continue par morceaux sur R +. Pour tout n, et t R +, on a f n (t) +t et t +t est intégrable sur R+. D après le théorème de convergence dominée : lim u n = lim n + n + + f n (t) = + lim f n(t) = n + +t = π 4. Exercice.39 Pour tout n, on pose I n = +. Justifiez que I n est bien définie. ( ) n +t dt.. Démontrez que ( ) n I n décroît et déterminez sa limite. 3. La série I n est-elle convergente? ( ) n. Pour tout n, la fonction f n définie sur R + par f n (t) = +t et continue sur R + et pour tout t R +, f n (t) +t + t. Par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, f n est donc intégrable sur R On a pour tout n : ( ) n I n = (+t ) n dt. Puisque pour tout t de R+, (+t ) n+ (+t ) n, on obtient par intégration de l inégalité ( ) n+ I n+ ( ) n I n. La suite (( ) n I n ) n est donc décroissante. La suite (f n ) n converge simplement sur ],+ [ vers la fonction nulle. On a déjà vu que pour tout n et pour tout t R +, f n (t) avec t intégrable sur ],+ [. +t +t Le théorème de convergence dominée permet de conclure que ( ) n I n tend vers lorsque n tend vers La série I n = ( ) n (( ) n I n ) relève du critère spécial des séries alternées. Elle est donc convergente. Exercice.4 On pose f n (x) = e x +n x et pour tout n N, u n = f n (x) dx.. Étudiez la convergence simple sur [,] de la suite de fonctions (f n ) n N, puis l uniforme convergence sur [,].. Trouvez la limite de la suite (u n ) n N. {. Soit x [,]. On a lim f si x = n(x) =. Donc (f n ) n N converge simpelment sur [,] vers f définie n + sinon { si x = par f(x) =. sinon Les fonctions f n sont toutes continues sur [,], mais f est discontinue sur [,] donc (f n ) n N ne converge pas uniformément sur [, ]. Soit a ],]. Pour tout x dans [a,] et n N, on a f n (x) +n a. Il y a donc convergence uniforme de (f n ) n N sur tout segment [a,] inclus dans [,] avec a >.. On a : Pour tout n, f n est continue sur [,]. (f n ) n N converge simplement sur [,] vers f et f est continue par morceaux sur [,]. Pour tout n et pour tout x de [,], f n (x) et x est intégrable sur [,]. 44

45 -3 Correction Banque CCP MP MP Le théorème de convergence dominée permet d écrire : lim u n = lim n + n + f n (t) dt = lim f n(t) =. n + Remarque : On peut aussi bien sûr faire une étude de convergence de la suite (u n ) n N de façon élémentaire en remarquant que n N : u n +n x dx = n ( n) dx, +x n [narctan(nx)] = n arctan(n) π n. Exercice.4 N.B. : les deux questions sont indépendantes.. La fonction f : x lnx est-elle intégrable sur ],+ [? +x. La fonction g : x e x x est-elle intégrable sur ],+ [?. On remarque que f est continue sur ],+ [. Étude en + : On a f(x) ln(x) lorsque x + car +x. On sait que x ln(x) est intégrable sur ],]. Donc f est intégrable ( sur ],]. ) Étude en + : On a lim x + x3/ f(x) = donc f(x) = x + o et f est positive sur [,+ [. Par x 3/ comparaison à une intégrale de Riemann convergente, f est intégrable au voisinage de l infini. Conclusion : f est intégrable sur ],+ [.. On remarque que g est continue et positive sur ],+ [. ( ) Étude en + : On a lim x + x g(x) = donc g(x) = x + o x. Par comparaison à une intégrale de Riemann convergente, g est intégrable en +. Étude en : On sait que h est intégrable sur ],]. Par le changement de variable x = +h avec h +, h on obtient g intégrable sur ],]. Conclusion : g est intégrable sur ],+ [. Exercice.4 On pose, pour tout x de ];+ [ et pour tout t de ],+ [ : f(t,x) = e t t x.. Démontrez que la fonction t f(t,x) est intégrable sur ],+ [. On pose, pour x ];+ [, Γ(x) = + e t t x dt.. Démontrez que, pour tout x de ];+ [, Γ(x+) = xγ(x). 3. Démontrez que Γ est de classe C et exprimez Γ (x) sous forme d intégrale.. Pour tout x ];+ [,t f(x,t) est continue sur ];+ [. On a f(x,t) t t x, et t f(t,x) est intégrable sur ],] puisque x > (car x > ). ( ) De plus pour tout x ];+ [, lim t + t f(x,t) =, ainsi f(x,t) = o t + t. La fonction t f(t,x) est donc intégrable sur [; + [. On vient bien de démontrer que t f(t,x) est intégrable sur ];+ [.. Soit x > et < ε < A. On a par intégrations par parties A ε t x e t dt = [t x e t ] A ε +x A ε t x e t dt. En faisant tendre ε vers et A vers +, on obtient pour tout x de ];+ [, Γ(x+) = xγ(x). 45

46 -3 Correction Banque CCP MP MP 3. Pour tout x >, t f(x,t) = t x e t = e (x )ln(t) e t est continue et intégrable sur ];+ [. Pour tout t >, x f(x,t) est de classe C sur ];+ [ et f (x,t) = (lnt)f(x,t). x Soit [a;b] ];+ [. On a pour tout x [a,b] et pour tout t ];+ [ : f (x,t) lnt ϕ(t), où x { t a e t si t ],] ϕ(t) := t b e t. si t > La fonction t ln(t) ϕ(t) est continue par morceaux sur ];+ [ (elle est même continue sur ];+ [,) et ϕ est aussi intégrable sur ]; + [ d après la question. Le théorème de dérivation montre que Γ est de classe C sur ];+ [ et Γ (x) = + f (x,t) dt = x + ln(t)t x e t dt. Exercice.43. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale.. Démontrez que la fonction f : x + e t cos(xt) dt est de classe C sur R. 3. Trouvez une équation différentielle linéaire d ordre dont f est solution. { A I R. Soit A et I deux intervalles de R et h : (x,t) h(x,t). Si pour tout x A,t h(x,t) est continue par morceaux et intégrable sur I, pour tout t I,x h(x,t) est de classe C sur A, pour tout x A,t h x (x,t) est continue par morceaux et intégrable sur I, il existe une fonction ϕ définie, continue par morceaux et intégrable sur I telle que (x,t) A I, h x (x,t) ϕ(t), { A R alors l application f : x I h(x,t) est de classe C sur A et pour tout x A, f h (x) = (x,t) dt. I x. Pour tout x R et t [,+ ], on pose h(x,t) = e t cos(xt) Pour tout x R, t h(x,t) est continue (par morceaux) sur [,+ [. De plus pour tout x R et t [,+ ], e t cos(xt) e t donc t h(x,t) est aussi intégrable sur [,+ [. Pour tout t [,+ [,x h(x,t) est de classe C sur R. Pour tout x R et t [,+ [, t h (x,t) = te t sin(xt) est continue (par morceaux) et intégrable sur x [,+ [ (car te t = o t + ( t )). l hypothèse de domination est vérifiée avec ϕ : t te t. D après le théorème de dérivation sous le signe intégrale, f est C sur R et pour tout x R, f (x) = + te t sin(xt) dt. 3. En intégrant par parties avec A, on obtient : A te t sin(xt) dt = [ A e t sin(xt)] A x e t cos(xt) dt. En passant à la limite A tend vers +, on obtient pour tout x R : f (x)+ x f(x) =. Exercice.44 Calculez l intégrale double I = D x +y dxdy où D est défini par : x +y y ;x +y ;x ;y. 46

47 -3 Correction Banque CCP MP MP Un passage en coordonnées polaire s impose. L équation de cercle x +y y = est équivalente à r = r θ soit r = sinθ. On a D = {(rcosθ,rsinθ) : θ π, sinθ r }. On a : 6 y A I = π 6 ( ) r dr θ dθ = π sinθ O x Exercice.45. Démontrez que la fonction x e x est intégrable sur [;+ [.. Pour chaque nombre r >, on note C r le carré [;r] [;r] et D r l ensemble défini par : x +y r,x,y. r (a) Quelle relation y a-t-il entre e (x +y ) dxdy et e t dt? C r (b) Calculez en fonction de r l intégrale double +y ) dxdy. (c) Déduisez de ce qui précède la valeur de l intégrale e (x D r + Indication : on pourra remarquer que D r C r D r. e x dx.. La fonction x e x est continue positive sur [, [ et lim x + x e x = donc x e x est intégrable sur [,+ [ (car e x = o x + ( x )).. (a) On a d après le théorème de Fubini : C r e (x +y ) dxdy = (b) En passant en coordonnées polaires : D r e (x r +y ) dxdy = ( r π ) ( r e x dx e y dy = e dx) x. ( r ρe )dθ ρ = π 4 ( e r ). (c) L intégrale préservant l ordre, on a puisque (x,y) e (x +y ) est positive et D r C r D r : π 4 ( e r ) +y ) dxdy π 4 ( e 4r ). C r e (x En passant à la limite r tend vers +, on obtient : ( + Exercice.46 Résolvez sur l intervalle ],+ [ l équation différentielle : y + x xy = x. ) e x dx = π 4, soit +. Sur ],+ [ l équation homogène y + x x y = a pour solutions x K x,k R. Une variation de la constante donne comme solution particulière x (x ). L ensemble des solutions de l équation générale est donc {x K x +(x ),K R}. e t dt = π. 47

48 -3 Correction Banque CCP MP MP Exercice.47 Résolvez sur R l équation différentielle : y +y = cos(x) en utilisant la méthode de variation des constantes. On reconnait une équation différentielle linéaire d ordre à coefficients constants. L équation homogène y +y = a pour solution x Acosx+Bsinx,A,B R. Pour trouver une solution particulière, on suppose que A et B sont des fonctions dérivables telles que { A (x)cosx+b (x)sinx = A (x)sinx+b (x)cosx = cosx = { A (x) = sinxcosx B (x) = cos x. Une solution particulière est donnée par x xsinx+ cosx. Les solutions de l équation générale sont donc x Acosx+Bsinx+ xsinx+ cosx,a,b R. Exercice.48 Toute fonction f de C dans C peut-être écrite, pour tout z = x+iy C, sous la forme f(z) = u(x,y)+iv(x,y), u et v désignant deux fonctions de R dans R. On se propose de trouver, s il en existe, des fonctions f satisfaisant aux conditions suivantes : C. Les fonctions u et v sont de classe C sur R. C. Pour tout (x,y) de R, u x (x,y) = v y u (x,y) et (x,y) = v y x (x,y).. Démontrez que, si u et v existent, alors, pour tout (x,y) de R : u u x (x,y)+ y (x,y) = et v v x (x,y)+ y(x,y) =.. On suppose que u(x,y) = x 3 3xy +x y +3x. (a) Trouvez les fonctions v telles que les conditions C et C soient satisfaites. (b) Démontrez qu il existe une fonction f = u+iv unique telle que f() = et explicitez f(z) en fonction de z. (c) Pour cette fonction f, construisez dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, le point A d affixe f(i).. Supposons que u et v existent. Alors pour tout (x,y) R d après C et C, on a : u u x (x,y)+ y (x,y) = x ( ) v (x,y)+ ( v ). y y x ( ) v = y y Puisque u et v sont C, le théorème de Schwarz implique que x u x + u y = sur R. On procède de même pour montrer que v x + v y = sur R.. (a) La fonction v doit vérifier { v x v y (x,y) = u y = 6xy +4y (x,y) = u x = 3x 3y +4x+3 On obtient des fonctions v de la forme v : (x,y) 3x y y 3 +4xy +3y +K, K R. (b) La condition f() = implique K =. On a donc f(z) = z 3 +z +3z. (c) On a : f(i) = i 3 +i +3i = i.. ( ) v sur R. On a donc bien x Exercice.49 Soit l équation différentielle : x(x )y +3xy +y =.. Trouvez les solutions de cette équation développables en série entière à l origine. Déterminez la somme des séries entières obtenues. 48

49 -3 Correction Banque CCP MP MP. Indiquez une méthode pour trouver toutes les solutions de l équation différentielle sur chacun des intervalles ],[,],[ et ],+ [.. Soit S : x a n x n une série entière de rayon de convergence R >. Pour tout x tel que x < R, on a : S (x) = n= na n x n et S (x) = + n= n(n )a nx n. On on alors : x(x )S (x)+3xs (x)+s(x) = n= ((n+) a n n(n+)a n+ )x n. Par uncité du développement en série entière, S est solution de l équation si et seulement si : n N,na n+ = (n+)a n ce qui donne par itération : n N,a n = na (la relation est encore vraie pour n = puisque a =.). On a donc S(x) = a nx n = a x ( x), x <. n. On cherche les solutions sur chaque intervalle sous la forme y(x) = A(x)x ( x), avec x A(x) deux fois dérivable. Exercice.5 xy On pose f(x,y) = et f(,) =. x +y. Démontrer que f est continue sur R.. Démontrer que f admet des dérivées partielles en tout point de R.. La fonction f est continue sur R /{(,)} par les théorèmes usuels de continuité. Étude en (,) : soit M(x,y) avec (x,y) (,). Puisque x +y x, on a f(x,y) xy xy = y. x x Puisque y tend vers lorsque M(x,y) tend vers (,), on obtient La fonction f est bien continue sur R. lim f(x,y) = = f(,). (x,y) (,). On rappelle que f admet une dérivée partielle première par rapport à x en M(a,b) si et seulement si pour h, f(a+h,b) f(a,b) lim h h existe et est finie. On note alors sa valeur par f x (a,b). La fonction f est clairement de classe C sur R /{(,)} par les théorèmes usuels de différentiabilité et admet donc des dérivées partielles premières en tout point de R /{(,)}. f(h,) f(,) Étude en (,) : soit h, alors =, donc f admet une dérivée partielle première par h rapport à x en (,) et f (,) =. Par symétrie, la dérivée partielle première par rapport à y existe et vaut x. La fonction f admet des dérivées partielles premières en tout point de R. Exercice.5. Étudiez les extrêma de la fonction définie par :f(x,y) = 4 x y en utilisant la méthode générale de recherche d extrêma d une fonction de variables.. Retrouvez géométriquement le résultat précédent. Indication : quelle est la surface d équation z = 4 x y.. La fonction f est définie sur le disque fermée D = {(x,y) R : x +y 4}. Sur la frontière de D (le cercle C de centre O et de rayon ), f est identiquement nulle. 49

50 -3 Correction Banque CCP MP MP Sur l intérieur de D, la fonction f est strictement positive. Tout point de C est donc un minimum absolu. Sur l intérieur de D, f est C et les conditions nécessaires du premier ordre donne pour seul point critique l origine. Puisque f(,) = et (x,y) D, f(x,y) f(,). L origine est donc un maximum absolu.. On a : z = 4 x y { x +y +z = 4 (x,y) D La surface z = 4 x y est donc la demi-calotte sphérique d altitude positive basée sur la shère de centre l origine et de rayon. On retrouve l infinité de minima absolus correpondant à z = et le maximum absolu correspondant à z = ( le pôle nord ).. Exercice.5. Soit A une partie non vide d un espace vectoriel normé E. Démontrez que : x A (x n ) n N telle que n N,x n A, et lim n + x n = x.. Démontrez que si A est un sous-espace vectoriel de E, alors A est un sous-espace vectoriel de E.. Soit x A. Pour tout n N, la boule ouverte de centre x et de rayon r n = n vérifie : B(x,r n) A. Cela permet bien de construire une suite (x n ) n d éléments de A et qui soit convergente vers x. Réciproquement si x est limite d une suite (x n ) n d élements de A, alors pour tout r >, il existe un rang N N tel que n N,x n B(x,r). Cela implique bien B(x,r) A.. On a : A A E. Soit (x n ) n,(y n ) n A N deux suites convergeant respectivement vers x et y. Alors pour tout λ,µ R, la suite (λx n +µy n ) n A N (car A est un sous-espace vectoriel de E) converge vers λx+µy. On a bien montré que λx+µy A. Exercice.53 E et F désignent deux espaces vectoriels normés.. Soient f une application de E dans F et a un point de E. Démontrez que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : P. f est continue en a. P. Pour toute suite (x n ) d éléments de E telle que lim x n = a, on a lim f(x n) = f(a). n + n +. Soit A une partie dense d un sous-espace vectoriel normé E, et soient f et g deux applications continues de E dans F, F désignant un espace vectoriel normé. Démontrez que si, pour tout x A, f(x) = g(x) alors f = g.. Supposons P vérifiée. Soit (x n ) une suite d éléments de E qui converge vers a. Soit ε >. L application f étant continue en a, il existe r > tel que pour tout x de la boule ouverte B(a,r) de centre a et de rayon r, on ait f(x) f(a) ε. A partir d une certain N, on a pour n N, x n B(a,r) ce qui montre que la suite (f(x n )) converge vers f(a). Pour montrer que (P = P), on raisonne par contraposée. Supposons donc que P n est pas vérifiée et montrons que cela implique que P n est pas non plus vérifiée. Il existe donc ε > tel que pour tout r >, B(a,r) contient un élément x tel que f(x) f(a) ε. On prend alors pour tout n N, r n = n. Cela permet de contruire une suite (x n) déléments de E qui converge vers a (puisque pour tout n N, x n B(a, n ) ) mais telle que pour tout n N, f(x n ) f(a) ε. Cela démontre que P n est pas vérifiée.. Soit x A = E. Il existe une suite (x n ) n A N qui converge vers x. Pour tout n N, puisque x n A, on a f(x n ) = g(x n ) et par unicité de la limite et la caractérisation séquentielle de la continuité, on a f(x) = g(x). Les applications f et g sont égales sur E tout entier. Exercice.54 E et F désignent deux espaces vectoriels normés. 5

51 -3 Correction Banque CCP MP MP. A est un sous-ensemble compact de E, et f une application de E dans F. Démontrez que si f est continue sur A, alors f(a) est un sous-ensemble compact de F.. On suppose que g est est une fonctions continue de E dans C. Démontrez que si A est un sous-ensemble compact de E, alors : (a) g(a) est une partie bornée de C; (b) x A tel que sup g(x) = g(x ). x A. Soit (y n ) n (f(a)) N. Pour tout n N, soit x n A tel que f(x n ) = y n. Comme A est compact par hypothèse, on peut extraire de la suite (x n ) n A N une sous-suite (x ϕ(n) ) n convergente vers un certain x A. Par continuité de f en x et caractérisation séquantielle de la continuité (voir exercice d analyse numéro 53), on sait que la suite (y ϕ(n) = f(x ϕ(n) )) n convergente vers f(x) f(a). On a donc pu extraire de la suite (y n ) n une sous-suite convergente. Cela prouve la compacité de f(a).. (a) D après la question précédente, puisque g(a) est une partie compacte de C, c est une partie bornée de C. (b) L ensemble E = { g(x),x A} est un compact de R. Si A est non vide, E est non vide. En tant que compact non vide de R, E admet un plus grand élément. Exercice.55 Soit E un espace normé complet et soit A un sous-ensemble de E.. Démontrez que : A complet A fermé.. Pour chacun des sous-ensembles suivants de R, dites s il est complet ou non, en justifiant votre réponse : (a) ],] (b) [,] [3,+ [ (c) [,[ ],].. Supposons A complet (donc toute suite de Cauchy d éléments de A est convergente vers un élement de A). Soit x A et (x n ) n A N tels que (x n ) n converge vers A. Puisque la suite (x n ) n converge, elle est de Caucy et x A. On a donc A = A. Supposons A fermé. Soit (x n ) n A N une suite de Cauchy. Puisque A N E N, (x n ) n est aussi une suite de Cauchy d éléments de E supposé complet. Donc (x n ) n est convergente (dans E) vers un élement x. Comme lim n + x n = x,onax A = A.OnabienmontréquetoutesuitedeCauchyd élémentsdeaestconvergente vers un élément de A.. (a) ],]n estpasferméedansr(doncn estpasnonpluscomplet).onpeutconsidérerlasuite(x n ) n N ],] N définie pour tout n N par x n = n. (b) [,]sup[3,+ [ est fermé (docn complet) en tant que réunion de deux fermés R. (c) [,[ ],] =],] est fermé dans R (donc complet) en tant que complémentaire de l intervalle ouvert ],+ [. Exercice.56 Soient E,F deux espaces vectoriels normés sur le corps R.. Démontrez que si f est une application linéaire de E dans F, alors les propriétés suivantes sont deux à deux équivalentes : P. f est continue sur E. P. f est continue en. P3. k > tel que x E, f(x) k x. Soit E l espace vectoriel des applications continues de [,] dans R muni de la norme définie par : f = sup On considère l application ϕ de E dans R définie par : ϕ(f) = Démontrez que ϕ est linéaire et continue. f(t) dt. x [,] f(x). 5

52 -3 Correction Banque CCP MP MP. (P = P) : C est clair. (P = P3) : Supposons donc f continue en. Il existe r > tel que pour tout élément x E, x r = f(x). Pour y E non nul, on a par linéarité de f puisque ry y r : f( ry y ) = r f(y) = f(y) y y r. L inégalité est encore vérifiée pour y =. On peut donc prendre k = r. (P3 = P) : Par linéarité de f, on a d après P3 : x,y E, f(x) f(y) = f(x y) k x y. L application f est donc Lipschitzienne de rapport k sur E, elle est donc continue sur E.. L application ϕ est une forme linéaire sur E (linéarité de l intégrale) et pour f E, ϕ(f) = f(t) dt f(t) dt f L application ϕ est donc bien aussi continue pusique P3 = P dt = f. Exercice.57 On note E l espace vectoriel des applications continues de [,] dans R. On pose, pour tout f de E : p (f) = sup f(x) et p (f) = x [,]. (a) Démontrez succintement que p et p sont deux normes sur E. f(x) dx. (b) Démontrez qu il existe k > tel que, pour tout f de E, p (f) kp (f). (c) Démontrez que tout ouvert pour la norme p est un ouvert pour la norme p.. Démontrez que les normes p et p ne sont pas équivalentes.. (a) Les application p et p sont bien définies. L homogénéité ne pose aucun problème. La sous-additivité résulte presque directement de l inégalité triangulaire. La propriété de séparation est claire pour p. Pour p, elle provient du fait qu on travail sur un espace de fonctions continues. (b) Pour f E, p (f) p (f) dx = p (f). On peut donc prendre k =. (c) Soit O un ouvert de E pour p et f O. Il existe r > tel que si g E, p (f g) < r = g O. Pour g E, p (f g) < r = p (f g) < r (car p (f g) p (f g)). Autrement dit la boule ouverte pour p de centre f et de rayon r est incluse dans la boule ouverte pour p de centre f et de même rayon r. Tout ouvert pour la norme p est bien un ouvert pour la norme p.. Pour n N, soit f n E définie par f n (x) = x n. On a clairement pour tout n N, p (f n ) = n+ et p (f n ) =. La suite numérique (p (f n )) n converge vers alors que la suite numérique numérique (p (f n )) n est constante égale à. Les deux normes ne sont donc pas équivalentes. Exercice.58 On note R[X] l espace vectoriel des polynômes à coefficients réels. Pour tout polynôme P = degré de P, on pose : p (P) = n i= a i et p (P) = max i n a i.. (a) Démontrer succintement que p et p sont des normes sur R[X]. (b) Démontrer que tout ouvert pour la norme p est un ouvert pour la norme p. (c) Démontrer que les normes p et p ne sont pas équivalentes. n a i X i, n désignant le. On note R k [X] le sous-espace vectoriel de R[X] constitué des polynômes de degré inférieur ou égal à k. On note p la restriction de p à R k [X] et p la restriction de p à R k [X]. Les normes p et p sont-elles équivalentes? Quelques rappels : i= 5

53 -3 Correction Banque CCP MP MP Un K-espace vectoriel E est dit normé E lorsqu il est muni d une norme, c est-à-dire d une application N : E R + satisfaisant les hypothèses suivantes : séparation (ou caractère défini) : x E, N(x) = x = E, homogénéité : (λ,x) K E, N(λ x) = λ N(x), sous-additivité : (x,y) E, N(x+y) N(x)+N(y). Deux normes N et N sur un evn E sont dites équivalentes si et seulement s il existe deux nombres réels c et C strictement positifs tels : x E cn (x) N (x) CN (x). Toutes les normes d un espace vectoriel réel ou complexe de dimension finie sont équivalentes. Un ensemble O d un evn E est dit ouvert si et seulement si pour tout x élément de O, il existe une boule ouverte de centre x et non vide contenue dans O Deux normes équivalentes sur un evn E définissent les mêmes ouverts.. (a) L homogénéité ne pose aucun problème. La sous-additivité résulte presque directement de l inégalité triangulaire. Seule la séparation mérite un peu de détail. Soit donc P = n i= a ix i R[X] tel que p (P) = p (P) =. On remarque que k [,n ], a k p (P) p (P) =. Ainsi P = et p et p sont bien des normes. (b) Soit O un ouvert de (R[X],p ). Pour x O, il existe r > telle que la boule ouverte B p (x,r) = {P R[X],p (P x) < r} de centre x et de rayon r pour la norme p soit incluse dans O. Soit Q B p (x,r) = {P R[X],p (P x) < r} (boule ouverte pour la norme p de même centre x et même rayon r que B p (x,r)). On a donc p (Q x) < r et puisque p (Q x) p (Q x) < r, on a Q B p (x,r). Autrement dit B p (x,r) B p (x,r) O, et O est aussi un ouvert de (R[X],p ). (c) Attention ici à ne pas utiliser le fait P R[X],p (P) p (P) (deg(p)+)p (P) pour conclure que les normes p et p sont équivalentes. La double inégalité est vraie mais le terme (deg(p)+) dépend de P est tend éventuellement vers l infini. On considère la suite (P n ) de polynômes de R[X] définie pour n N par P n = n i= Xi (tous les coefficients valent ). On a clairement p (P n ) = et p (P n ) = n+. La suite (P n ) est bornée pour p mais ne l est pas pour p donc les deux normes ne sont pas équivalentes.. R k [X] étant un espace vectoriel de dimension finie, on sait que toutes les normes sont équivalentes. Donc p et p sont équivalentes. Sans faire usage du théorème d équivalence des normes d un evn de dimension finie, on peut aussi revenir à la définition de normes équivalentes et faire remarquer que : donc p et p sont bien équivalentes. P R k [X],p (P) p (P) (deg(p)+)p (P) (k+)p (P), Exercice.59 On note l l ensemble des suites x = (x n ) de nombres complexes telles que la série x n converge.. Démontrez que l est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des suites de nombres complexes.. (a) Démontrez que pour x = (x n ) l et y = (y n ) l, la série x n y n converge. On pose x y = n= x n y n (b) Démontrez que l on définit ainsi un produit scalaire dans l 3. On suppose que l est muni de ce produit scalaire et de la norme associée. Soit n N. Pour tout x = (x n ) l, on pose ϕ(x) = x n. Démontrez que ϕ est une application linéaire et continue de l dans C et calculez ϕ, où ϕ désigne la norme usuelle dans l espace vectoriel des applications linéaires et continues de l dans C.. On a bien sûr l C N. De plus l est non vide puisque la suite nulle est un élément de celui-ci. Soit x = (x n ) l, y = (x n ) l et λ C. On a bien sûr λx = (λx n ) l. De plus pour tout n N x n +y n x n + x n y n + y n ( x n + y n ), (où on a utilisé ab a +b pour a et b réels), on a aussi x+y = (x n +y n ) l.. (a) Si x = (x n ) l, y = (x n ) l, on a vu que x n y n = x n y n x n + y n ce qui montre que la série xn y n converge absolument donc converge. (b) L application l l (x,y) x y = + n= x ny n est sesquilinéaire hermitienne et positive. De plus si x x = alors x = car pour tout n N, x n. Donc on a bien un produit scalaire dans l. 53

54 -3 Correction Banque CCP MP MP 3. L application ϕ est claireemnt linéaire et pour tout x = (x i ) l, ( + ) / ϕ(x) = x n x i = x, i= où. désigne la norme associé au produit scalaire considéré. L application ϕ est donc continue sur l et ϕ. Pour x = (δ k,n ) k N l, on a ϕ(x) = et x =. Donc ϕ =. Exercice.6 Soit A une algèbre normée de dimension finie ayant e pour élément unité.. Soit u un élément de A tel que u <. (a) Démontrez que la série u n est convergente. (b) Démontrez que (e u) est inversible et que (e u) =. Démontrez que, pour tout u de A, la série u n n! converge.. (a) L algèbre A étant de dimension finie, c est en particulier un espace vectoriel normé complet. Puisque pour tout n N, u n u n, on conclut que pour u A tel que u <, u n converge absolument donc converge (car A est complet). N (b) Soit N N, on a (e u) = e u N+ et u N+ u N+ N +. On procède de même avec ( N n= n= un )(e u). Par passage à la limite N + (remarquer que x (e u)x est linéaire sur A donc continue puisque A est de dimension finie), (e u) est inversible (à droite et à gauche) et (e u) =. Pour tout n N, u n n! u n, donc la série u n converge absolument (car la série numérique u n n= n! n! n! converge en tant que série exponentielle réelle vers e u ) n= u n. n= u n. 54