Produit scalaire en dimension 3

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1 3-ème année, Mathématiques nieau aancé Produit scalaire en dimension 3 Liens hypertextes Produit ectoriel et déterminant: Supports de cours de mathématiques, nieau secondaire II (page mère): Norme d'un ecteur en dim. (réision) Par rapport à une base orthonormée, considérons le ecteur OP P O P 1 Le triangle O P 1 P étant rectangle en P 1 ; 0, d'après le théorème de Pythagore, on a OP OP 1 P 1 P Par exemple, calculons la norme de la différence de deux ecteurs u, : u Cette expression ne doit pas être confondue aec la différence des normes u

2 ProduitScalaire3D.nb Norme d'un ecteur en dim. 3 Par rapport à une base orthonormée, considérons le ecteur OP Notons P ; ; 0 la projection orthogonalede P sur le plan horizontal Oxy. z P x O y P Le triangle O P P étant rectangle en P, d'après le théorème de Pythagore, on a OP O P P P Par exemple, calculons la norme de la différence de deux ecteurs u, : u Cette expression ne doit pas être confondue aec la différence des normes u

3 ProduitScalaire3D.nb 3 Version ectorielle du théorème du cosinus (réision) Considérons deux ecteurs u, et notons φ l'angle entre les deux ecteurs. u u φ Appliqué à cette situation, le théorème du cosinus s'écrit u u u cosφ Dans le cas particulier où l'angle φ est droit, le terme u cos φ est nul. Ce terme représente la correction à apporter au théorème de Pythagore pour le généraliser au triangle quelconque. En isolant ce terme (au facteur - près), on obtient la ersion ectorielle du théorème du cosinus : u cosφ 1 u u Produit scalaire de deux ecteurs en dim. (réision) Par rapport à une base orthonormée, considérons les ecteurs u, On peut alors simplifier l'expression du théorème du cosinus: u cosφ 1 u u Cette grandeur est appelée "produit scalaire des ecteurs u, " et est notée u. On obtient donc deux façons d'exprimer le produit scalaire dans le plan : u u cosφ u Produit scalaire de deux ecteurs en dim. 3

4 4 ProduitScalaire3D.nb Produit scalaire de deux ecteurs en dim. 3 Par rapport à une base orthonormée, considérons les ecteurs u, Ces deux ecteurs de l'espace sont nécessairement dans un même plan. On peut donc leur appliquer le théorème du cosinus : u cosφ 1 u u Cette grandeur est appelée "produit scalaire des ecteurs u, " et est notée u. On obtient donc deux façons d'exprimer le produit scalaire dans l'espace : u u cosφ u Les proprétés suiantes du produit scalaire sont les mêmes en dimensions et 3 : u w u w w Λ u Λ u u u u Démontrons la première propriété en déeloppant par rapport à une base orthonormée de l'espace. u w w w w w w u w w w w u1 w1 uw u3w3 1w1 w 3w3 Démontrons la deuxième propriété en déeloppant par rapport à une base orthonormée de l'espace.

5 ProduitScalaire3D.nb 5 Démontrons la deuxième propriété en déeloppant par rapport à une base orthonormée de l'espace. Λ u Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ Λ u Λ Λu1 1 u u33 Λ u1 1 Λ u Λ u33 Démontrons la troisième propriété en déeloppant par rapport à une base orthonormée de l'espace. u u Démontrons la quatrième propriété en déeloppant par rapport à une base orthonormée de l'espace. le carré scalaire aut u u 1 le carré de la norme aut u 1 3 1