3D Compléments de cours. Guy GREISEN

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1 3D Compléments de cours Guy GREISEN 14 septembre 2009

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3 3D 3 Table des matières 1 SECOND DEGRÉ Introduction Formule générale Produit des racines Somme des racines Factorisation Simplification des fractions et résolution d équations avec fractions Équations bicarrées Signe du trinôme du second degré Résolution d inéquations Équations et Inéquations irrationnelles DISTANCES Distances Équation cartésienne d un cercle Paraboles Manipulations Application au trinôme du second degré TRIGONOMÉTRIE Cercle trigonométrique Repérer un point sur le cercle trigonométrique Conversion Radians Degrés Fonctions trigonométriques Angles remarquables Angles associés Démonstration des formules trigonométriques Relation du sinus et du cosinus dans le triangle quelconque FONCTIONS Relation, fonction, application, injection, surjection, bijection Fonctions usuelles Parité, périodicité et variations Manipulations de fonctions

4 3D Fonction homographique Composition de fonctions Relation, fonction et bijection réciproque DROITES, PARALLÉLISME, PERPENDICULARITÉ Vecteurs Définition et notations Vecteurs égaux Opérations et propriétés Base orthonormée et composantes Vecteurs colinéaires et critère Vecteurs orthogonaux et critère Équations d une droite Équation d une droite passant par un point et de direction donné Équation d une droite passant par un point et de direction perpendiculaire donnée Critères de droites parallèles Critères de droites perpendiculaires Probabilités Introduction Exemple Univers et événements Opérations sur les événements Probabilités Exemple Définition Disjonction Evénement contraire Probabilité conditionnelle Événements indépendants Suites Introduction au suites Définition Exemple Notations Suites arithmétiques Définition Formule du n-ième terme Formule de la somme des n premiers termes Exemple Suites géométriques Définition

5 3D Formule du n-ième terme Formule de la somme des n premiers termes Exemple STATISTIQUES Introduction Activité 1 page Activité 3 page Exercice 539/340/a)

6 Chapitre 1 SECOND DEGRÉ 1.1 Introduction x 2 2x 3 = 0 (x 1) 2 4 = 0 (x 3)(x + 1) = 0 x 2 2x + 1 = 0 (x 1) 2 = 0 x 1 = 0 x 2 2x + 4 = 0 (x 1) = 0 x 1.2 Formule générale Equation du second degré : Discriminant : ax 2 + bx + c = 0 = b 2 4ac { b + > 0 = S = ; b } 2a 2a = 0 = S = { } b 2a < 0 = S = 1.3 Produit des racines p = αβ = c a 1.4 Somme des racines s = α + β = b a

7 3D Factorisation ax 2 + bx + c = a(x α)(x β) = a(x 2 sx + p) 1.6 Simplification des fractions et résolution d équations avec fractions Simplifier : domaine d existence factoriser numérateur et dénominateur simplifier par les facteurs communs Résoudre une équation : domaine d existence multiplier par le plus petit commun multiple terminer la résolution sans dénominateurs 1.7 Équations bicarrées Poser t = x n ax 2n + bx n + c = 0 avec n N, a R Signe du trinôme du second degré Discriminant : > 0 ax 2 + bx + c = b 2 4ac = α = b + β = b 2a 2a = ax 2 + bx + c = a(x α)(x β) Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a, sauf entre les racines α et β = 0 = α = b = ax 2 + bx + c = a(x α) 2 2a Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a, et il s annule en α [ ( < 0 = ax 2 + bx + c = a x + b ) ] 2 + 2a 4a 2 } {{ } >0 Règle : Le signe du trinôme du second degré est celui du coefficient de x 2, c est à dire le signe de a 1.9 Résolution d inéquations Domaine d existence ou de définition Dénominateur commun Comparer à 0 Tableau des signes

8 3D Équations et Inéquations irrationnelles L inconnue se trouve sous un ou plusieurs radicaux. Si les deux membres sont positifs alors on obtient une (in)équation équivalente en élevant au carré les deux membres. Exemple x 4 < x 2 4 (I) Conditions d existence: x ], 2] [2, + [ si x 4 0 c est à dire si x 4 alors (I) est équivalente à : (x 4) 2 < x 2 4 x 2 8x + 16 < x 2 4 8x + 20 < 0 x > 5 2 S 1 = [4, + [ si x 4 < 0 c est à dire si x < 4 alors (I) est vérifié de façon évidente car un nombre strictement négatif est inférieur à un nombre positif. S 2 =], 2] [2, 4[ Solution : S = S 1 S 2 =], 2] [2, + [

9 3D 9 Chapitre 2 DISTANCES 2.1 Distances Les points A(x A, y A ) et B(x B, y B ) sont donnés par leurs coordonnées dans un repère orthonormé d(a, B) = (x B x A ) 2 + (y B y A ) Équation cartésienne d un cercle Soient Ω(α, β) le centre et r le rayon du cercle. Soit M(x, y) un point quelconque du cercle : d(ω, M) = r d(ω, M) 2 = r 2 (x α) 2 + (y β) 2 = r 2 x 2 2αx + α 2 + y 2 2βy + β 2 r 2 = 0 On en déduit la proposition : Proposition L équation cartésienne d un cercle est de la forme : x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Les trois nombres a, b et c renseignent sur le centre et le rayon du cercle C(Ω(α, β), r) Réciproquement, une équation du type n est pas nécessairement un cercle. Condition : α = a 2 β = b 2 r 2 = α 2 + β 2 c x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 α 2 + β 2 c > 0 ou ( a 2 ) 2 + ( b 2 ) 2 c > 0

10 3D Paraboles Soient p un réel strictement positif F (0, p 2 ) un point et d y = p 2 une droite dans un repère orthonormé (O, ı, j) L ensemble des point équidistants du point fixe F et de la droite fixe d est une parabole P de foyer F, de paramètre p et de directrice d. Si M(x, y) est un point de la parabole et P la projection orthogonale de M sur d son équation cartésienne est obtenu par : (x 0) 2 + d(f, M) = d(m, d) d(f, M) = d(m, P ) d 2 (F, M) = d 2 (M, P ) ( y p 2 ( = (x x) 2) 2 + y + p ) 2 2 x 2 + y 2 2 p 2 y + p2 4 = y2 + 2 p 2 y + p2 4 x 2 py+ = py x 2 = 2py y = 1 2p x2 Le nombre positif p est appelé paramètre de la parabole et mesure la distance du Foyer à la directrice de la parabole. exemple : y = 1 4 x2 est la parabole de paramètre 2, son foyer est le point F (0, 1) et sa directrice à pour équation y = Manipulations Soit une fonction usuelle f 0 : R R : x f(x) et k ou a un réel non nul. Soit f 1 la fonction définie par f 1 (x) = f 0 (x + k) On passe du graphe de f 0 au graphe de f 1 par une translation de vecteur v ( ) k 0. Soit f 2 la fonction définie par f 2 (x) = af 0 (x). On passe du graphe de f 0 au graphe de f 2 par une affinité de base Ox, de direction Oy et de rapport a. Soit f 3 la fonction définie par f 3 (x) = f 0 (x) + k. On passe du graphe de f 0 au graphe de f 3 par une translation de vecteur u ( 0 k). Soit f 4 la fonction définie par f 4 (x) = f 0 (ax). On passe du graphe de f 0 au graphe de f 4 par une affinité de base Ox, de direction Oy et de rapport 1 a. 2.5 Application au trinôme du second degré La forme générale du trinôme du second degré est : f(x) = ax 2 + bx + c a 0 On peut mettre le trinôme f(x) sous forme a(x x S ) 2 + y S et les manipulations précédentes permettent de passer du graphe de la fonction usuelle f 0 : R R : x x 2 au graphe de la fonction f.

11 3D 11 Chapitre 3 TRIGONOMÉTRIE 3.1 Cercle trigonométrique Le plan est muni d un repère orthonormé (O, ı, j) Rayon 1 Centre origine du repère Sens de rotation positif 3.2 Repérer un point sur le cercle trigonométrique 1. degrés 2. radians 3. coordonnées cartésiennes 3.3 Conversion Radians Degrés La conversion radians vers degrés se fait en multipliant par 180 π Exemple : 1 rad correspond à 180 π 57, Fonctions trigonométriques 3.5 Angles remarquables 3.6 Angles associés 3.7 Démonstration des formules trigonométriques 3.8 Relation du sinus et du cosinus dans le triangle quelconque

12 3D 12 Chapitre 4 FONCTIONS 4.1 Relation, fonction, application, injection, surjection, bijection 4.2 Fonctions usuelles 4.3 Parité, périodicité et variations 4.4 Manipulations de fonctions 4.5 Fonction homographique 4.6 Composition de fonctions 4.7 Relation, fonction et bijection réciproque

13 3D 13 Chapitre 5 DROITES, PARALLÉLISME, PERPENDICULARITÉ 5.1 Vecteurs Définition et notations Vecteurs égaux Opérations et propriétés Base orthonormée et composantes Vecteurs colinéaires et critère Vecteurs orthogonaux et critère 5.2 Équations d une droite Équation d une droite passant par un point et de direction donné Équation d une droite passant par un point et de direction perpendiculaire donnée Critères de droites parallèles Forme implicite d ax + by + c = 0 et d a x + b y + c = 0 d d n d n d det(a, b, a, b ) = 0 Forme explicite d y = px + q et d y = p x + q d d p = p

14 3D Critères de droites perpendiculaires

15 3D 15 Chapitre 6 PROBABILITÉS 6.1 Introduction N importe quel processus où intervient le hasard, comme lancer en l air une pièce de monnaie, lancer un dé, tirer une carte d un jeu de cartes ou mesurer la tension artérielle d un individu, est une expérience. La conséquence d une expérience est une issue. Nous n allons considérer que des expériences dont les issues sont équiprobables. Par exemple si un dé est jeté nous supposons que le dé n est pas pipé Exemple Considérons l expérience "Jeter un dé" et désignons par Ω l ensemble des cas possibles. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L événement "Jeter un nombre pair" se représente par l ensemble A = {2, 4, 6}. L événement "Jeter un nombre inférieur à 4" se représente par l ensemble B = {1, 2, 3}. L événement "Jeter le plus grand nombre 6" se représente par l ensemble C = {6}. L événement "Jeter un nombre impair" se représente par l ensemble D = {1, 3, 5}. On dit que les événements A et D sont incompatibles Univers et événements Pour une expérience donnée on appelle univers l ensemble Ω de tous les résultats possibles. (Ω ne peut être ) On appelle événement tout sous-ensemble de Ω. On appelle événement élémentaire tout élément de Ω. Ω est l événement certain (probabilité de 100% ou 1) est l événement impossible (probabilité de 0% ou 0) Opérations sur les événements A et B sont des sous-ensembles de Ω La disjonction : A ou B A B La conjonction : A et B A B contraire de A C Ω A = Ω\A A et B incompatibles A B =

16 3D Probabilités Exemple Soit l expérience : "Jeter un dé" et l événement A "Jeter un nombre supérieur ou égal à 4" et désignons par P (A) la probabilité de l événement A, alors : On a : A = {4, 5, 6} et card A = 3 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et card Ω = 6 p(a) = card A card Ω Définition P (A) = 3 = 0, 5. 6 Pour une expérience ou tous les événements élémentaires sont équiprobables on appelle probabilité d un événement A le nombre : P (A) = card A card Ω = # A # Ω. On dit encore nombre de cas favorables divisé par nombre de cas possibles. Conséquences : P (Ω) = 1 (premier axiome de Kolmogorov) P ( ) = 0 A Ω 0 P (A) Disjonction Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6} B = {3, 4, 5, 6} P (A B) = 5 6 P (A) = 3 6 P (B) = 4 6 P (A B) = 2 6 On a : P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Démonstration Cas particulier d événements incompatibles : (Deuxième axiome de Kolmogorov) P (A B) = card (A B) card Ω = card A + card B card (A B) card Ω = card A card Ω + card B card (A B) card Ω card Ω = P (A) + P (B) P (A B) A B = = P (A B) = P (A) + P (B) En général : Soit (A n ) n 0 une suite d événements deux à deux incompatibles : P ( A n ) = P (A n ) n 0 n 0 (Troisième axiome de Kolmogorov)

17 3D Evénement contraire Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter le 6" B "ne pas jeter le 6" A = {6} B = {1, 2, 3, 4, 5} P (A) = 1 6 P (B) = 5 6 On a : Démonstration : P (B) = 1 P (A) P (Ω) = 1 P (A C Ω A) = 1 P (A) + P (C Ω A) = 1 P (C Ω A) = 1 P (A) Probabilité conditionnelle Exemple : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter un nombre pair". B "jeter un nombre inférieur ou égal à trois". B/A "jeter un nombre inférieur ou égal à trois sachant que l événement A a eu lieu". A = {2, 4, 6} B = {1, 2, 3} A B = {2} P (B/A) = 1 3 P (A) = 3 6 P (A B) = 1 6 On a pour A : P (A B) P (B/A) = P (A) Démonstration : P (B/A) = Événements indépendants card (A B) card A = card (A B) card Ω card A card Ω = P (A B) P (A) Exemple : On jette un dé deux fois de suite : il est clair que le résultat du premier jet n influence pas le résultat du second jet. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} A "jeter la première fois un nombre égal à 6". B "jeter la deuxième fois un nombre égal à 6". A B "jeter la première et la deuxième fois un nombre égal à 6". A = {6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} {6} A B = {(6, 6)} P (A) = #A #Ω =...

18 3D 18 P (B) = #B #Ω =... P (A B) = #(A B) #Ω =... On a : Démonstration : P (A/B) = P (A B) P (B) prob. cond. P (A/B) = P (A) év.indépendants P (A B) = P (A) P (B) } = P (A B) P (B) = P (A) P (A B) = P (A)P (B) Ne confondez pas incompatibles A B = et indépendants P (A B) = P (A)P (B)

19 3D 19 Chapitre 7 SUITES 7.1 Introduction au suites Définition Une suite est une application de N 0 ou N dans R Exemple s : N 0 R : n 1 n f : R R : x 1 x fonction associée à la suite s Notations u 1 = 1 est le premier terme de la suite

20 3D 20 u 3 = 1 3 est le troisième terme de la suite u n est le terme général de la suite (u n ) est la suite Exemples : 1. (1 + (n 1)2) n N 0 ( 2. 3 ( ) ) 1 n 1 2 n N 0 3. ( ) 1 n n N 0 4. ( ) n 1 n n N 0 5. ( 2 + Σ n 1 ) i=1 n N Suites arithmétiques Définition Étant donné un réel u 1 et un réel non nul r on appelle suite arithmétique la suite de terme général : u n = u n 1 + r avec n R Formule du n-ième terme u n = u 1 + (n 1)r avec n R 0 Démonstration : u 2 = u 1 + r u 3 = u 2 + r u 4 = u 3 + r u 5 = u 4 + r. u n = u n 1 + r ajouter les membres de gauche et les membres de droite u 2 + u 3 + u 4 + u u n = u 1 + r + u 2 + r + u 3 + r + u 4 + r + + u n 1 + r Le tableau a n 1 lignes donc u 2 + u 3 + u 4 + u u n = u 1 + u 2 + u 3 + u u n 1 + (n 1)r u n = u 1 + (n 1)r Formule de la somme des n premiers termes Σ n i=1u i = S n = u 1 + u n n 2

21 3D 21 Démonstration : S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n = u n + u n u 3 + u 2 + u 1 ajouter les membres de gauche et les membres de droite 2S n = u 1 + u n + u 2 + u n u n 1 + u 2 + u n + u 1 2S n = (u 1 + u n ) + (u 2 + u n 1 ) + + (u n 1 + u 2 ) + (u n + u 1 ) Chaque parenthèse vaut u 1 + u n et il y en a n u i +u n i+1 = u 1 +(i 1)r +u 1 +(n i+1 1)r = u 1 +u 1 +(n i+1 1+i 1)r = u 1 +u 1 +(n 1)r = u 1 +u n Donc 2S n = (u 1 + u n )n S n = (u 1 + u n ) n Exemple 7.3 Suites géométriques Définition S 20 = (1 + u 20) 2 1, 4, 7, 10,... u 1 = 1 et r = 3 u 2 0 = = = = Étant donné un réel u 1 et un réel non nul q on appelle suite géométrique la suite de terme général : u n = u n 1 q avec n R Formule du n-ième terme u n = u 1 q n 1 avec n R 0 Démonstration : u 2 = u 1 q u 3 = u 2 q u 4 = u 3 q u 5 = u 4 q. u n = u n 1 q

22 3D 22 multiplier les membres de gauche et les membres de droite u 2 u 3 u 4 u 5 u n = u 1 q u 2 q u 3 q u 4 q u n 1 q Le tableau a n 1 lignes donc u 2 u 3 u 4 u 5 u n = u 1 u 2 u 3 u 4 u n 1 q n 1 u n = u 1 q n Formule de la somme des n premiers termes Démonstration : D une part Σ n i=1u i = S n = u 1 1 q n 1 q S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n = u 1 + u 1 q + u 1 q u 1 q n 1 D autre part : S n = u 1 + u 2 + u u n 1 + u n S n q = u 1 q + u 2 q + u 3 q + + u n 1 q + u n q S n q = u 1 q + u 1 q 2 + u 1 q u 1 q n 1 + u 1 q n retrancher membres de gauche et les membres de droite S n S n q = u 1 u 1 q n (1 q)s n = u 1 (1 q n ) S n = u 1 1 q n 1 q Exemple 1 + 0, 1 + 0, u 1 = 1 et q = 10 1 S 9 = (1 (10 1 ) = 1,

23 3D 23 Chapitre 8 STATISTIQUES 8.1 Introduction

24 3D 24

25 3D Activité 1 page Activité 3 page 221

26 3D Exercice 539/340/a)