Les Mathématiques Financières

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1 Les Mathématiques Financières Yosra BEJAR Maître de Conférences Mél : yosra.bejar@it-sudparis.eu

2 Les principes d actualisation et de capitalisation 1- les opérations à plusieurs flux - les principes d actualisation et la valeur présente 3- Le taux de rentabilité interne 4- Quel taux d actualisation? Page Y. BEJAR

3 Les Opérations à plusieurs flux 1 Principes de base Dans l'analyse des opérations à plusieurs flux : Le temps est décomposé en périodes de même durée (mois, trimestre, année, ). Chacune des périodes donne lieu à une rentrée ou une sortie d argent nette unique (égale à la somme algébrique des rentrées et sorties de cette période). Page 3

4 Les définitions de base 1 Opérations à plusieurs flux Cas de l emprunt, du prêt ou encore du financement C 0 1 n t F1 F Fn Page 4

5 Les définitions de base 1 Opérations à plusieurs flux Cas du placement ou encore de l investissement F1 F Fn 0 1 n t C Page 5

6 Les principes d actualisation et la valeur présente Comparer les opérations à plusieurs flux Comparons deux investissements différents caractérisés par des flux distincts aux différentes périodes. Instants A B Lequel des deux est préférable à l autre? Page 6

7 Les principes d actualisation et la valeur présente Principe d actualisation Une méthode de choix consiste à "actualiser" les deux séries de flux A et B : Pour simplifier les calculs, supposons que l investisseur puisse prêter et emprunter à sa guise à un taux unique r (nous l appellerons taux d actualisation). La méthode consiste à Remplacer les différents flux des différentes périodes par des flux se produisant tous aujourd hui (ils seront tous "en euros d'aujourd'hui") Calculer la somme algébrique de ces flux se produisant tous à la date initiale et caractériser chaque investissement par le résultat ainsi obtenu (qui pourra être positif ou négatif). Page 7

8 Les principes d actualisation et la valeur présente Principe d actualisation a t Disposer de a t à l'instant t équivaut à disposer de à l instant r ( ) t Démonstration a t * ( 1+ r ) t t ( 1+ r ) t = a a ( 1+ r ) t t n Page 8

9 Les principes d actualisation et la valeur présente Valeur présente a t ( 1+r ) t est appelée la "valeur actuelle" (ou "valeur présente" ou encore "valeur actualisée à l'instant 0") du flux a t Où r est le taux d actualisation. Selon le même principe, on peut démontrer que payer a t a t à l'instant t équivaut à payer l instant 0 1+ r ( ) t Page 9

10 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple Nous sommes le premier juillet 005. Un particulier a souscrit un emprunt qui lui impose de rembourser 000 le 1 er juillet 007. Il souhaite se débarrasser dès aujourd'hui de cette dette en remboursant de façon anticipée son emprunt. Sachant que le taux annuel d'emprunt et de prêt en vigueur est de 3%, à combien devrait s élever le montant du remboursement anticipé? Réponse : On actualise le montant emprunté; le particulier devra rembourser : 000 (1+3%), soit 1885,19 au premier juillet 005. Page 10

11 Les principes d actualisation et la valeur présente La Valeur Présente d une séquence Considérons maintenant un investissement générant une séquence de flux {F0, F1,, Fn}* ; La VP (valeur présente) de cette séquence de flux est donnée par la formule : VP = F 0 F r + F ( 1+r ) F n ( 1+r ) n (F 0 étant le flux de la période 0, n a pas à être actualisé). *rappelons que les Ft sont positifs ou négatifs selon qu ils représentent des encaissements ou des décaissements (dans le cas d un investissement F0 est négatif, et représente la mise de fonds initiale). Page 11

12 Les principes d actualisation et la valeur présente Simplification par la suite géométrique Dans certains cas, le calcul peut être simplifié en utilisant les propriétés des suites géométriques Considérons en effet le cas particulier d une séquence de flux qui ont tous la même valeur. Supposons que cette valeur soit de 1. La valeur présente de la séquence de flux de 1 reçus de la période 1 à la période n est alors égale à la somme des : 1/(1+r) S n = t correspondant chacun à une période, soit: 1 1+ r + 1 ( 1+r ) ( 1+r ) n 1- = ( 1+r ) r -n Page 1

13 Les principes d actualisation et la valeur présente La Valeur capitalisée ou acquise La valeur acquise (ou valeur capitalisée ou valeur actualisée à l'instant final) d une séquence de flux est égale à la somme des valeurs capitalisées jusqu'à l'instant final de chacun des flux composant la séquence. Vaq = F n n * ( 1+ r ) + F1 * ( 1+ r ) Fn - 1 * ( 1+ r ) + Fn Page 13

14 Les principes d actualisation et la valeur présente VNP ou VAN Dans le cas d un investissement, on emploie le terme de : VNP (valeur nette présente) ou VAN (valeur actuelle nette) Le premier flux est négatif Le taux d actualisation est souvent approximé par le coût du capital Page 14

15 Les principes d actualisation et la valeur présente VNP ou VAN Exemple : Calculer la VNP de l investissement suivant, en utilisant un taux d actualisation de 10%: Périodes 0 1 Flux de trésorerie Réponse : En actualisant les flux nous obtenons : VNP = = , = 56, 1+ 0,1 ( 1+0,1) Page 15

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18 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple Exemple Considérons un investissement caractérisé par la série de flux de trésorerie {F0, F1,, F10} suivante : Instants 0 1 à 9 10 Flux de trésorerie ,4 +8,8 Calculez la VAN avec un taux d actualisation de 10% Page 18

19 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple Réponse : Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K reçus pendant les périodes 1 à 9 (VP(F 1,, F 9 ) ) et celle du flux de 8,8 reçu à la période 10 (VP(F 10 )). VP(F 1,, F 9 ) peut être obtenu à partir de la table financière 1 : VP(F,...,F ) 1 9 =89,4 x 1- ( 1+0,1 ) 0,1-9 Page 19

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21 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple Réponse : Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K reçus pendant les périodes 1 à 9 (VP(F 1,, F 9 ) ) et celle du flux de 8,8 reçu à la période 10 (VP(F 10 )). VP(F 1,, F 9 ) peut être obtenu à partir de la table financière 1 : VP(F,... 1,F ) = 89,4x ( 1+0,1) 0,1 VP (F 10 ) peut être obtenu à partir de la table financière : 1 VP(F10 ) =8,8 x 10 ( 1+0,1) -9 = 89,4 5,759 =514,8 Page 1

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23 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple Réponse : Calculons séparément la valeur présente des flux de 89,4 K reçus pendant les périodes 1 à 9 (VP(F 1,, F 9 ) ) et celle du flux de 8,8 reçu à la période 10 (VP(F 10 )). VP(F 1,, F 9 ) peut être obtenu à partir de la table financière 1 : VP(F,...,F ) = 89,4x ( 1+0,1) 0,1 VP(F 10 ) peut être obtenu à partir de la table financière : -9 = 89,4 5,759 = 514,8. 1 VP(F10 ) = 8,8 x 10 ( 1+0,1) = 8,8 0,3855= 88,. Page 3

24 Les principes d actualisation et la valeur présente Exemple F 0 =- 380 ( 1 0,1) VP ( F1,..., F9 ) = 89,4 = 89,4 5,759 = 0,1 1 VP(F10 ) = 8,8 10 = 8,8 0,3855= 88,. 1+0,1 ( ) 514,8. VNP= ,8 + 88, = 3 K Page 4

25 Les principes d actualisation et la valeur présente VAN et critères de choix Un investissement ne sera retenu que s il produit une VNP positive et entre deux investissements on préfèrera celui dont la VNP est la plus élevée. Cela permet d énoncer les deux règles suivantes qui constituent le critère de la valeur nette présente: 1. Règle 1 : un investissement ne doit être retenu que si sa valeur nette présente est positive.. Règle : Entre plusieurs investissements mutuellement exclusifs on doit retenir celui dont la valeur nette présente est la plus grande. Page 5

26 Le Taux de rentabilité interne 3 Introduction Nous avons déjà défini le taux de rentabilité actuariel, dans le cas d un prêt-investissement de durée T générant deux flux { C, F } : c est le taux d intérêt qui, pour un capital placé égal à C, donne un flux terminal F en T. C est donc r* tel que F = C (1+r*) T ou encore : F C + = 0 T (1+r*) Le taux de rentabilité actuariel r* est donc le taux d actualisation particulier qui annule la valeur présente de l échéancier à deux flux. Généralisation à plusieurs flux Page 6

27 Le Taux de rentabilité interne 3 Introduction Exemple : Commençons par considérer l investissement suivant : Instant 0 1 Flux de trésorerie Si r est le taux d actualisation, nous pouvons écrire l expression de sa valeur présente, quelle que soit la valeur de r : VNP ( r ) = r ( 1+r ) La VNP est une fonction du taux d actualisation r Page 7

28 Le Taux de rentabilité interne 3 Introduction Par exemple si : r =10% : VNP= 104. ; r = 0 : VNP = 160 ; r = 40% : VNP = , TRI 0 0% 10% 40% La courbe représentative de VNP(r) coupe l axe des r en un point et un seul : une valeur de r unique annule donc la VNP ; nous appellerons cette valeur particulière de r, le taux de rentabilité interne (TRI) de l investissement. Page 8

29 Le Taux de rentabilité interne 3 Définition: Définition Nous définirons le TRI (taux de rentabilité interne) d un investissement générant la séquence de flux annuels (F 0, F 1,, F n ) par la relation : 0 = F 0 + F 1 1+ TRI + F F ( 1+ TRI) ( 1+ TRI) n n Le TRI d un investissement est donc le taux d actualisation particulier qui annule sa VNP. Page 9

30 Le Taux de rentabilité interne 3 Approximation du TRI par interpolation linéaire Quand on ne dispose pas d une calculatrice ni d un tableur, le calcul du TRI se fait par approximations successives : on encadre le TRI par deux valeurs proches, l une trop grande (VNP < 0) et l autre trop petite (VNP > 0), puis l on effectue une interpolation linéaire. r 1 VAN (r 1 ) > 0 TRI r VAN (TRI) = 0 VAN (r ) < 0 r r * ou TRI= VNP(r 1) - r1 VNP(r VNP(r ) - VNP(r ) 1 ) Page 30

31 Le Taux de rentabilité interne 3 Approximation du TRI par interpolation linéaire r 1 TRI VAN (r 1 ) > 0 VAN (TRI) = 0 r VAN (r ) < 0 r1 - TRI = r - r 1 VNP(r1) - VNP(TRI) VNP(r ) - VNP(r ) 1 r * ou TRI = r VNP VNP ( r ( r 1 1 ) ) - - r1 VNP VNP ( r ( r ) ) Page 31

32 Le Taux de rentabilité interne 3 TRI de séquences Type / opération à deux flux Le TRI d un investissement de séquence { S, S + is } où is représente les intérêts est égal au taux d intérêt i 1+i S + S = 0 ; soit TRI= i 1+TRI Plus généralement (deux flux) : ( x, y) Le TRI de cette séquence est y - x x Page 3

33 Le Taux de rentabilité interne 3 TRI de séquences Type / rente perpétuelle Dans le cas d une rente perpétuelle ( x, y, y,, y, à l infini). Le TRI de cette séquence est y x Démonstration On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce taux en résolvant l équation 0 = x +, d où TRI = i=1 y = -x+ y i ( 1+TRI ) TRI y x Page 33

34 Le Taux de rentabilité interne 3 TRI de séquences Type / remboursement in fine Dans le cas d un remboursement in fine ( x, y, y,, y+x). Le TRI de cette séquence est Démonstration y x On peut vérifier que le TRI de cette séquence coïncide bien avec ce taux en résolvant l équation 0 = x + n i=1 y i ( 1+TRI ) ( 1+TRI ) y =- x+ TRI + x n d où TRI = =-x(1- (1+TRI ) y x -n 1- (1+TRI ) ) +y TRI -n Page 34

35 Le Taux de rentabilité interne 3 Exemples Exemple : -100, 6 à l infini donne un TRI de 6% ; un prêt de 100 au taux de 6 % dont le capital n est jamais remboursé engendre bien la séquence considérée. Exemple : -00, 10, 10, 10, 10 donne un TRI de soit 5% ; un prêt in fine sur quatre ans, d un montant de 00, au taux de 5 %, engendre bien la séquence considérée. Page 35

36 Le Taux de rentabilité interne 3 VAN versus TRI VAN F (k) VAN > 0 Creation de valeur 0 k 1 TRI k VAN < 0 k Destruction de valeur I 0

37 Le Taux de rentabilité interne 3 VAN versus TRI / conflits

38 Le Taux de rentabilité interne 3 VAN versus TRI /conflits

39 Le Taux de rentabilité interne 3 La solution au conflit : la VAN globale -F 0 F 1 F F (n-1) F n F n-1 (1+i) n-(n-1) VANG=- F+ 0 n 1 F k (1+i) (1+r) n n-k n F (1+i) n- F 1 F (1+i) n-1 1 k n-k (1+i)

40 Le Taux de rentabilité interne 3 La solution au conflit : la VAN globale TIR et VAN globaux sont plus économiquement réalistes puisqu ils distinguent le taux de rendement du projet du coût du capital. VAN globale et TIR global permettent toujours de déterminer le meilleur investissement de projets mutuellement exclusifs.

41 Quel taux d actualisation? 4 Cout du capital Dans les précédents exemples, le taux d actualisation est toujours une donnée Dans la pratique, les managers doivent estimer ce taux. D une manière générale ce taux doit être égale au coût du capital.

42 Quel taux d actualisation? 4 Cout du capital Il s'agit de déterminer le TRI mini à exiger de l'investissement ce TRI mini servira de taux d'actualisation En absence D aléas Coût du financement Rentabilité des investissements alternatifs? En présence D aléas Coût moyen pondéré CMPC = WACC = k E V e + D (1- V Référence au marché? coût = r f + β(r m -r f ) k d t) Le TRI minimum à exiger Croît avec le risque de l'investissement Traduit l exigence des bailleurs de fonds (actionnaires et prêteurs)

43 Quel taux d actualisation? 4 Cout du capital Cout moyen pondéré du capital (CMPC) /Weighted average cost of capital (WACC): est le taux de rentabilité annuel moyen attendu, par les actionnaires et les créanciers, en retour de leur investissement. Le CMPC mesure ce que l'entreprise doit à tous ceux qui lui ont apporté des capitaux. WACC = k K e : cout des fonds propres K d : cout de la dette avant impôt t: taux d imposition E: Fonds propres D: Dettes V: Capitaux engagés (D+E) E e + V k d D V (1 - t)

44 Quel taux d actualisation? 4 Cout du capital Modèle de marché (MEDAF / CAPM) K e = k rf + ß i (k m - k rf ) - K e : rendement attendu pour l entreprise - K rf : Cout sans risque sur le marché (estimé par le rendement d une obligation) - ß i : coefficient de risque - K m : rendement du marché - MEDAF : Modèle d évaluation des actifs financiers - CAPM : Capital asset princing model * Capital Asset Pricing Model

45 Quel taux d actualisation? 4 Cout du capital ß i = Cov( R i,r m ) σ (R m ) La valeur de ß dépend donc de la façon dont bouge le rendement du titre i par rapport au rendement du marché.

46 Quel taux d actualisation? 4 Exemples de cout du capital