Séance. Séquence 1. Exercice 38. Exercice 39. b) Les trois médianes semblent concourantes.

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1 Séane Ce que tu devais faire Les ommentaires du professeur Exerie 38 On ommene par bien lire le sommet duquel est issu la médiane : ii, est F. La médiane issue de F est la droite qui passe par F et qui oupe le segment opposé, soit [EG] en son milieu. On herhe don le milieu de [EG]. On peut mesurer le segment [EG] à l aide d une règle graduée. On trouve : EG = 4 m. Le milieu de [EG] se trouve sur e segment, à 2 m de E. On trae ensuite la droite qui passe par F et e milieu. On fait de même pour les 2, 3 et 4 (la moitié de 4,6 est 2,3 ; de 3,6 est 1,8 ; de 3,4 est 1,7). Remarque : l existe une méthode plus préise que elle utilisée préédemment pour onstruire le milieu d un segment. Reprenons la question 1 : On peut en effet onstruire le milieu de [EG] à l aide du ompas (en traçant la médiatrie de [EG]. On a vu ette méthode en 6è, dans la séane 6 de la séquene 5, exeries 38 et 39. Exerie 39 a) a) On rappelle que la moitié de 6,3 est 3,15 ; de 5,6 est 2,8 ; de 4,8 est 2,4. On n oublie pas de oder sur la figure les égalités de longueur. b) Les trois médianes semblent onourantes. b) Les trois médianes semblent de ouper en un même point ( est-à-dire semblent onourantes). En fait, e résultat est vrai pour n importe quel triangle. Nous apprendrons à la démontrer en 4e. Cned, mathématiques 5e,

2 Séquene 1 Exerie 40 On peut ommener par traer un segment [BC] de 5,4 m. On herhe à plaer le point A On sait que AC = 3,6 m, on en déduit que le point A est sur le erle de entre C et de rayon 3,6 m. On trae un grand ar de e erle. On sait que la médiane [A] relative à [BC] a pour longueur 4,2 m. On plae le point : est le milieu de [BC], il se trouve don sur [BC] à 2,7 m de B. On sait ensuite que le point A se trouve à 4,2 m du point, on trae don un ar de erle de entre et de rayon 4,2 m. Ces deux ars de erles se oupent en A. Exerie 41 a) une médiane : (CD) est la médiane issue de C dans le triangle ABC. b) des hauteurs : (DE) est la hauteur issue de D dans le triangle DCB. (B) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC. ) des médiatries : (FK) est la médiatrie de [AC]. (GK) est la médiatrie de [DC]. d) une bissetrie : (BC) est la bissetrie de l angle AB du triangle BA. K est le point d intersetion de deux médiatries du triangle ADC, est don le entre du erle ironsrit au triangle ADC 3) (FK) est perpendiulaire à (A). (B) est perpendiulaire à (A). Deux droites perpendiulaires à une même troisième sont parallèles. Les droites (FK) et (B) sont don parallèles. On n oublie pas dans la question 2 et 3, de démontrer e que l on affirme. Même s il n est pas érit «Justifie-le» ou «Prouve-le», il est sous-entendu qu on attend une démonstration. Cette année, il va falloir s y habituer. 28 Cned, mathématiques 5e, 2008

3 Exerie 42 Si un quadrilatère possède 3 angles droits, alors est un retangle. ABCD est don un retangle. On onnaît la propriété suivante : «Si un quadrilatère est un retangle, alors ses diagonales ont le même milieu et la même longueur». [AC] et [BD] sont les diagonales du retangle ABCD, don (AC) oupe [BD] en son milieu. La droite (AC) est don la médiane issue de A du triangle ABD. Exerie 43 y Cet exerie est diffiile. On ommene par bien lire la onsigne. On herhe à onstruire le point M. La donnée : «(d) est la bissetrie de LKM» est diretement exploitable : on onnaît le ôté [KL) de LKM, on peut alors onstruire le deuxième ôté de et angle, ar on sait que (d) est sa bissetrie. On retrouve alors la onstrution demandée dans l exerie 9 de ette séquene. Appelons [Ky) e deuxième ôté. On ne sait toujours pas où se trouve M sur ette demi-droite. Voilà omment on onstruit M : Appelons le point d intersetion de (d ) et de [Ky). D après la donnée : «(d ) est la médiane issue de L», nous savons que est le milieu de [KM]. On a don K = M. On trae don le erle de entre passant par K. Ce erle oupe [Ky) en M. Cned, Mathématiques 5e,

4 Séquene 1 Ce que tu devais faire Exerie 44 a) b) Séane 7 Les ommentaires du professeur a) On a déjà effetué e type de onstrution (question a) dans l exerie. b) Pour onstruire le symétrique d un point par rapport à une droite, on utilise de préférene la méthode au ompas. Cette méthode est dérite dans le «Je omprends la méthode» qui suit l exerie 40, séane 6, séquene 5, livret de 6e. D après l énoné, le triangle ABC a deux angles égaux : ABC et ACB. Un triangle qui a deux angles de même mesure est un triangle isoèle. On peut don onlure que ABC est isoèle (en A). 3) a) Par rapport à (AC) : A a pour symétrique A, B a pour symétrique D (d après l énoné). La symétrie entrale onserve les longueurs. Par onséquent : AB = AD. b) D après le 2, le triangle ABC est isoèle en A. D après la définition d un triangle isoèle en A, on a : AB = AC. 4) a) D après le 3, on a : AD =AB = AC. b) A est équidistant des sommets du triangle BCD. On en déduit que A est le entre du erle ironsrit au triangle BCD. Á Propriété vue en 6e dans le «Je retiens» qui suit l exerie 48, séane 7, séquene 5. 4) b) D après le «Je retiens» qui suit l exerie 24 de ette séquene, il existe un seul point à égale distane de trois points non alignés B, C et D : est le entre du erle ironsrit au triangle BCD. Remarque : On a traé le erle ironsrit au triangle BCD sur la figure : est le erle de entre A qui passe par le point B. 30 Cned, mathématiques 5e, 2008

5 Exerie 45 Je trae un triangle EG tel que : EG = 7,4 m G = 6,2 m E = 8 m. Je trae le entre J du erle ironsrit au triangle EG. Je trae à l aide d un ompas : le point F tel que EJGF soit un losange, le point H tel que GJH soit un losange, le point D tel que JED soit un losange. Pour ommener, on observe la figure à main levée. On remarque qu on onnaît EG, G et E. On peut don onstruire le triangle EG. On remarque que J est équidistant de E, et G. J est don le entre du erle ironsrit au triangle EG. On trae don deux médiatries du triangle EG, par exemple elles de [E] et [EG].On obtient ainsi le point J. Les quadrilatères EJGF, GJH, JED ont leurs quatre ôtés de même longueur. Ce sont don des losanges. On peut onstruire les points F, H puis D, à l aide d un ompas. Pour onstruire F, par exemple, on pointe le ompas en E, on prend pour ouverture de ompas EJ, puis, sans hanger d ouverture, on trae suessivement un ar de erle de entre E puis un ar de erle de entre G qui se oupent en F. Exerie 46 Hoine, Djamila et Mohamed sont à égale distane du puits, le puits est don le entre du erle ironsrit au triangle HDM. Je onstruis le entre du erle ironsrit et je trae le erle ironsrit C à e triangle. La maison de Yasmina est à égale distane des maisons d Hoine et Mohamed. Elle est don sur la médiatrie (d) de [HM]. La maison de Yasmina se trouve aussi à la même distane du puits que elles d Hoine, Djamila et Mohamed : elle est don aussi sur le erle C. Elle se trouve don à l intersetion de (d) et de C. (d) et C se oupent en deux points, mais omme Yasmina habite plus près de la maison de Djamila que de elle de Mohamed, on peut déterminer où se trouve la maison de Yasmina. Cned, Mathématiques 5e,

6 Séquene 1 Exerie 47 Le triangle EFG est isoèle en E don EF = EG. Le point E est don équidistant de F et G, il est don sur la médiatrie de [FG]. 3) a) (d) est la médiatrie de [FG], elle est don perpendiulaire à (FG). De plus, (d) passe par E. (d) est don la hauteur issue de E. b) (d) est la médiatrie de [FG], elle oupe don [FG] en son milieu. De plus, (d) passe par E. (d) est don la médiane issue de E. 4) On sait depuis la 6e que dans un triangle isoèle, la médiatrie de la base est aussi bissetrie de l angle au sommet. La médiatrie (d) de [FG] est don également la bissetrie de FEG. 5) Dans un triangle EFG isoèle en E, la médiatrie de la base est aussi la bissetrie de l angle opposé à la base, la médiane et la hauteur issues du sommet prinipal. On retiendra le résultat démontré dans et exerie, à savoir que : «Dans un triangle EFG isoèle en E, la médiatrie de la base est aussi la bissetrie de l angle opposé à la base, la médiane et la hauteur issues du sommet prinipal.». Exerie 48 (D) est la hauteur issue de E et (Δ) est la médiane issue de E : es deux droites se oupent don en E. (d) est la médiatrie de [EF], le point F est don le symétrique de E par rapport à (d). (D) est la hauteur issue de E don (FG) est perpendiulaire à (D). Le point G se trouve sur la droite (m) perpendiulaire à (D) passant par le point F. La droite (m) oupe (D) en. (Δ) est la médiane issue de E : le point G est don sur (m) et tel que F = G. On trae don le erle de entre. l reoupe (m) en G. 32 Cned, mathématiques 5e, 2008

7 Séane 8 Ce que tu devais faire Exerie 49 Les ommentaires du professeur On ommene par faire une figure à main levée. A 4,5 m Le triangle ABC est isoèle en A don la hauteur issue de A est aussi la médiatrie de [BC]. Le point H est don le milieu de [BC]. Exerie 50 B H 3,2 m On onnaît la longueur du ôté [BC], on peut don ommener par onstruire e ôté. Le triangle ABC est isoèle en A don la hauteur issue de A est aussi la médiatrie de [BC]. Le point H est don le milieu de [BC]. On onstruit H. On trae ensuite la droite perpendiulaire à (BC) passant par H. Le point A se trouve sur ette droite à 4,5 m de H. On trae don un ar de erle de entre H et de rayon 4,5 m qui oupe ette droite en A. C LM = LK = KM = 4,4 m Dans le triangle équilatéral KLM : la bissetrie de KLM est la médiatrie de [KM], elle de LMK est la médiatrie de [KL]. est don le point d intersetion de deux médiatries du triangle KLM. est don le entre du erle ironsrit au triangle KLM. On trae le triangle KLM à l aide d une règle non graduée et d un ompas. On a vu ette onstrution en 6è ou enore dans le d) de l exerie 5). On trae les deux bissetries à l aide d un ompas et d une règle non graduée. On a vu omment onstruire ainsi une bissetrie en 6e, séquene 5, séane 8. On sait que dans un triangle équilatéral, la bissetrie d un angle est aussi la médiatrie de son ôté opposé. Les deux bissetries sont don également deux médiatries du triangle. Leur point d intersetion est don le entre du erle ironsrit au triangle. Cned, Mathématiques 5e,

8 Séquene 1 Exerie 51 Pour résoudre e type d exerie, il faut bien lire et déortiquer la onsigne : le erle C ironsrit au triangle JK a pour entre O. Les points J et K, qu il reste à trouver sont don sur e erle. On le trae : est le erle de entre O qui passe par. Les points J et K sont sur e erle, mais où? On sait que la hauteur relative à [J] est (d), la droite (J) est don perpendiulaire à (d). En d autre termes, le point J est sur la droite perpendiulaire à (d) et passant par. On trae ette droite. Le point J est don le point d intersetion de ette droite et du erle C. l nous reste à trouver le point K.On sait que la hauteur relative à [J] est (d), est-à-dire la hauteur issue de K est (d). Le point K est don sur (d). l est de plus sur le erle C. Le point K est don un des deux points d intersetion du erle C et de la droite (d). Comment savoir lequel? D après la onsigne, l angle KJ est obtus. l n y a don plus qu une possibilité! Exerie 52 La droite (K) est perpendiulaire à (LM) et passe par le milieu de [LM]. C est don par définition sa médiatrie. Le triangle a deux angles égaux. D après la propriété : «Si un triangle a deux angles égaux, alors il est isoèle», on peut déduire que e triangle est isoèle. 3) a) D après le, (K) est la médiatrie de [LM], don : KL = KM. b) D après le, Le triangle KMN est isoèle en K, don : KM = KN. 4) D après le a) et le b) préédents, on a : KL = KM = KN. Le point K est don à égale distane de L, M et N. C est don le entre du erle ironsrit au triangle LMN. l suffit de bien lire les odages de la figure et d utiliser la définition de la médiatrie d un segment. On applique une propriété vue en 6e qui permet de reonnaître un triangle isoèle. 3) a) Tout point de la médiatrie de [LM] est équidistant de L et de M. b) C est la définition d un triangle isoèle en K. 4) Le seul point qui se trouve à égale distane de trois points non alignés est le entre du erle ironsrit au triangle ayant es trois points omme sommets. 34 Cned, mathématiques 5e, 2008

9 Exerie 53 Maïs Eglise W U V T R Habitation Pins J fs Chêne Sierie Abri hemin Traé de R : on ommene par traer la hauteur du triangle APC relative à [AC], est-à-dire la droite qui passe par P et qui est perpendiulaire à (AC).Le point d intersetion de ette droite ave (AC) est par définition le pied R de la hauteur relative à [AC] du triangle APC. Traé de U : le point U du hemin tel que MEU soit isoèle en U est le point d intersetion du hemin ave la médiatrie de [ME]. Traé de T : UT + TR = UR don T [UR]. (ST) est une médiane du triangle HS don T appartient à la droite qui passe par S et par le milieu J de [H]. T [UR] et T (SJ) don T est le point d intersetion de [UR] et (SJ). Traé de W : Avant de le ommener, on essaie de visualiser où va être W. l va être sur [EV] «au-dessus» de (TV). Pour faire le traé, on utilise le «Je omprends la méthode» de la séane 2. Pour traer un angle de même mesure que ST, on peut utiliser, le point de [S) et le point J de [ST). l est inutile d introduire un nouveau point sur [S) et sur [ST). On trae à l aide du ompas : le point de [TV) tel que T = S, puis, «au-dessus» de (TV) un ar de entre T et de rayon SJ et un ar de entre et de rayon J qui se oupent en J. Par onstrution, on a : SJ = ' TJ '. W est le point d intersetion de [EV] et [TJ ). Cned, Mathématiques 5e,

10 Séquene 1 Séane 9 Ce que tu devais faire Exerie 54 Les ommentaires du professeur On sait reproduire à l identique un triangle onnaissant la longueur de ses trois ôtés. Pour reproduire la figure donnée, on peut don, par exemple, reproduire suessivement à l identique les triangles ACE, ACB et CED. Exerie 55 ( ) x ( ) On ommene par plaer le point F. Méthode : (d) est la hauteur issue de F don F appartient à (d). (d ) est la bissetrie de EFG don F appartient à la droite (d ). F (d) et F (d ) don F est le point d intersetion des droites (d) et (d ). On plae F. On herhe à plaer G. (d) est la hauteur issue de F don (d) est perpendiulaire à (EG). On trae la perpendiulaire à (d) qui passe par E. Je la nomme (Δ). On a : G (Δ) (d ) est la bissetrie de EFG don (d ) partage EFG en deux angles de même mesure. On trae don à l aide d un ompas et d une règle non graduée la demi-droite [Fx) telle que (d ) partage EFx en deux angles de même mesure. Méthode : Je prends un point H (autre que F) sur la demi-droite représentée en bleu sur la figure i-ontre. Je trae E tel que : FE = FE et HE = HE. Par onstrution, les triangles HEF et HE F sont superposables, d où EFH = HFE '. [Fx) est la demi-droite d origine F qui passe par E. G (Δ) et G [Fx) don G est le point d intersetion de (Δ) et [Fx). 36 Cned, mathématiques 5e, 2008

11 Exerie 56 a) b) Deux triangles répondent à l énoné : JK et JK. ' On onstruit un segment [JK] de 3 m. Comment onstruire le point? Le triangle JK est isoèle en don J = K. Le point est don sur la médiatrie de [JK]. On trae ette médiatrie. Le point O (entre du erle ironsrit à JK) est également sur la médiatrie de [JK], et on a OJK = 58. On peut don onstruire le point O. On peut traer le erle ironsrit au triangle JK : est le erle de entre O qui passe par J. Le point est sur la médiatrie de [JK] et le erle ironsrit au triangle, est don un de leur deux points d intersetion (on a le hoix). Exerie 57 Je herhe à trouver l emplaement de M sur la droite (d) tel que CM + MR est le plus petit possible. Je trae C le symétrique de C par rapport à (d). M appartient à (d). Son symétrique par rapport à (d) est don lui même. Comme la symétrie orthogonale onserve les distanes, on déduit de e qui préède que : CM = C M. On a don : CM + MR = C M + MR. Je onlus que la position de M pour laquelle CM + MR est la plus petite possible est elle pour laquelle C M + MR est la plus petite possible. On sait que le plus ourt hemin d un point à un autre est la ligne droite. Je déduis que C M + MR est la plus petite possible lorsque M est à l intersetion de (C R) et de (d). Cet exerie est très diffiile, ne t inquiète pas si tu n as pas réussi à trouver la solution. La solution proposée ii est basée sur deux prinipes : la propriété de onservation des longueurs par une symétrie axiale le fait que le hemin le plus ourt pour aller d un point à un autre est la ligne droite. Remarque : Pour avoir une idée de la réponse, au départ, il ne faut pas hésiter à effetuer des essais de différentes positions de M. On pouvait par exemple traer les figures i-dessous. A partir de là, on pouvait par intuition, se dire «J ai l impression que le trajet est le plus ourt quand les points R, M et C sont alignés». On doit alors ensuite herher à démonter e résultat, ar de simples onstatations par des mesures ne suffisent pas. Cned, Mathématiques 5e,

12 Séquene 1 Je m évalue KL = 13,7 m LM = 4,85 m KM = 8,95 m KL = 3,4 m LM = 7,8 m KM = 4,35 m KL = 8,7 m LM = 6,9 m KM = 15,6 m KL = 94 mm LM = 1,3 dm KM = 3,6 m 4,3 ; 4,9 ; 9,3 3,4 ; 7,1 ; 3,4 4,3 ; 7,9 ; 9,3 3,8 ; 1,4 ; 9,3 3) RPQ = 35 PRQ = 90 QR = 5 m RP = 3,5 m PQR = 35 QR = 5 m QP = 3,5 m PQR 35 RPQ = 23 PQ = 5,2 m RQP = 95 4) [KL] [KM] [LM] [MK] 5) la hauteur issue de A la médiane relative à [BC] la médiatrie de [BC] la bissetrie de BAC Si tu n as pas bien ompris, revois l exerie 15 de ette séquene. 94 mm = 9,4 m 1,3 dm = 13 m Si tu n as pas bien ompris, revois l exerie 14 de ette séquene. Si tu n as pas bien ompris, revois le «Je retiens» qui suit l exerie 3 de ette séquene. Si tu n as pas bien ompris, revois le «Je retiens» qui suit l exerie 3 de ette séquene. Si tu n as pas bien ompris, revois dans ton ahier de ours le paragraphe «droites remarquables». 38 Cned, mathématiques 5e, 2008

13 6) 7) 8) 9) 10) la hauteur issue de C la médiane relative à [AB] la médiatrie de [AB] la bissetrie de BCA la hauteur relative à [AC] la médiane relative à [AC] la médiatrie de [AC] la bissetrie de A µ la bissetrie de A µ la bissetrie de B µ la médiane issue de B la hauteur issue de C quelonque isoèle en O équilatéral retangle en O les hauteurs et les médianes sont onfondues les médianes et les médiatries sont onfondues les médiatries et les bissetries sont onfondues les médiatries et les hauteurs sont onfondues Si tu n as pas bien ompris, revois dans ton ahier de ours le paragraphe «droites remarquables». On rappelle que la médiatrie d un segment est la droite perpendiulaire à e segment qui passe par son milieu. On rappelle que la bissetrie d un angle est la droite qui oupe et angle en deux angles adjaents de même mesure. O est le entre du erle ironsrit au triangle KLM don OK = OL. Le triangle OKL est don isoèle en O. Si tu n as pas bien ompris, revois le «Je retiens» qui suit l exerie 47 de ette séquene. Cned, Mathématiques 5e,

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