1 Géométrie analytique

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1 MATH-F MATHEMATIQUES (E. Lami Dozo et S. Fiorini) Tutorat Année académique Géométrie analytique 1. Trouver l équation cartésienne du plan qui contient le point p et a le vecteur n comme vecteur normal : (a) p = ( 1,,3), n = ( 4,15, 1/) (b) p = (π,0, π), n = (,3, 4) (c) p = (9,17, 7), n = (,0, 3) (d) p = ( 1, 1, 1), n = 1 (1,1 1) (e) p = (,3, 5), n = (0,1,0). Trouver des équations paramétriques ainsi qu une équation cartésienne du plan contenant les points (, 1,4), (5,3,5) et (,4,3). 3. Trouver des équations paramétriques ainsi qu une équation cartésienne du plan qui contient le point (1, 1,) et la droite dont les équations cartésiennes sont x + = y + 1 = z Trouver l équation cartésienne du plan contenant les deux droites dont les équations cartésiennes sont : x 1 3 = y + 1 = z 5 4 et x + 3 = y 4 = z Trouver l équation cartésienne du plan contenant le point (, 1/, 1/3) et qui est perpendiculaire à la droite dont les équations paramétriques sont x = π + t y = π + 5t z = 9t

2 6. Trouver les équations paramétriques de la droite passant par le point (, 1,0) et qui est perpendiculaire au plan d équation x 3y + 4z = Soit D l intersection des deux plans dont les équations cartésiennes sont x 3y + 4z = et x z = 1. (a) Donner une équation vectorielle pour D. (b) Donner l équation cartésienne du plan qui est perpendiculaire à D et qui contient le point ( 9, 1, 14). 8. Soit D la droite d équations et soit Π le plan d équation x + 1 = y = z, 3x y + 4z = 1. (a) Trouver le point d intersection de D et Π, soit p. (b) Donner l équation cartésienne du plan passant par p et perpendiculaire à D. (c) Donner les équations cartésiennes de la droite passant par p et perpendiculaire à Π. 9. Trouver la distance entre le point (3, 1,4) et le plan x y + z = Trouver la distance entre le point (, 0, 4) et le plan x + y + 4z 3 = L ensemble des points équidistants de (3,1,5) et (5, 1,3) est un plan. Trouver l équation cartésienne de ce plan. 1. Représenter dans un système d axes les plans dont les équations cartésiennes sont les suivantes : (a) x + y + z = 4 (b) 1 x y z = 1 (c) x z = 1 (d) 4y + 3z = 6

3 13. Soient a, b, c trois réels non nuls. Montrer que l équation du plan passant par les points (a, 0, 0), (0, b, 0) et (0, 0, c) est x a + y b + z c = Montrer que les points (,3,), (1, 1, 3), (1,0, 1) et (5,9,5) sont coplanaires. 15. Soit D la droite d équations et Π le plan d équations x 1 = y = z (x 1) + (y + 3) z = 0. Trouver les deux points de D se trouvant à distance 3 de Π. 16. Soient Π 1 et Π deux plans qui ont une intersection non vide. Soient a, b deux vecteurs parallèles à Π 1, et c, d deux vecteurs parallèles à Π. Montrer que ( a b) ( c d) est parallèle à l intersection de Π 1 et Π. 17. Lesquels des plans suivants sont identiques, lesquels sont parallèles et lesquels sont perpendiculaires? (a) x + y 3z = (b) 15x 9y + z = (c) x 4y + 6z + 4 = 0 (d) 5x 3y z 1 = Trouver l équation cartésienne du plan qui contient les points (,1,4) et (0,3,1) et est parallèle au vecteur (, 4,6). 19. Pour les vecteurs a, b, c ci-dessous, donner a + b 3 c, a b, a b, ( a b) c et ( a b) c. (a) a = (, 3,1), b = (1, 1,0), c = (0,1, 3). (b) a = (1/, 1,), b = (, 4,6), c = (1, 5, 6). (c) a = (3,,1), b = (5,,1), c = (0,1, 1).

4 0. Trouver le cosinus de l angle entre les vecteurs (3, 4,1) et (1,0, 1). 1. Soient p = (1,,3) et a = (,,1). Trouver un point q tel que les vecteurs pq et a soient identiques.. Trouver la surface du triangle de sommets (1,1,1), (,3,5) et ( 1,3,1) 3. Montrer que les points (1/,1/3,0), (1,1, 1) et (, 3,5) sont collinéaires. Donner des équations paramétriques ainsi que des équations cartésiennes de la droite qui les contient. 4. Soient p = (,5, 7) et q = (4,3,8). (a) Calculer pq. (b) Calculer pq. (c) Soit D la droite contenant p et q. Donner une équation vectorielle, des équations paramétriques, ainsi que des équations cartésiennes de D. 5. Trouver une équation vectorielle pour la droite qui contient ( 3, 3,1) et qui est perpendiculaire au plan x 3y + 4z = Montrer que la droite d équations x = y 11 9 est parallèle au plan d équation 9x y z = 0. = z Déterminer la distance du point (1,,5) à la droite d équations x = 1 + 3t y = 4t z = 1t

5 Nombres complexes 1. Mettre les nombres complexes suivants sous la forme a + bi. (a) ( 3i) ( 5 1i) 4 + 5i (b) 4 + 5i (c) 9 1 (d) i 31 (e) 3 i. Trouver toutes les solutions complexes des équations suivantes : (a) x + x + 5 = 0 (b) 3x 3x + 1 = 0 (c) z 4 + 3z 4 = 0 (d) z z + 18 = 0 3. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : (a) (1 + i)(3 3 3i) (b) i (1 i) 3 4. Mettre les nombres complexes suivants sous la forme a + bi. ( ) i (a) ( ) i (b) (1 3i) 17 ( 3 + i) Trouver toutes les racines n-èmes du nombre z C : (a) z = 1, n = 5 (b) z = 4i, n = (c) z = 16, n = 4 (d) z = 3 ( 1 + i), n = 6

6 3 Suites et séries 1. Les séries suivantes sont-elles convergentes? absolument convergentes? (a) (b) (c) (d) n! n n ( 1) n n + n + 1 n + 1 ( ) n n 3 + n + 3 n Donner les polynômes de Taylor d ordre 3 des fonctions f suivantes, autour de la valeur de a donnée : (a) f (x) = x 4 = x +, a = 1 (b) f (x) = x, a = 1 (c) f (x) = x, a = 4 (d) f (x) = lnx, a = 1 (e) f (x) = cosx, a = π/4 (f) f (x) = arctgx, a = 1 3. Donner les séries de Taylor des fonctions f suivantes, autour de a = 0. (a) f (x) = arctgx (b) f (x) = 1 x +