Géométrie analytique et équation de droite

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1 Géométrie analtique et équation de droite ) Géométrie analtique.. Généralités. Définitions : Dire que ( ; ) sont les coordonnées du point M dans le repère (O ; i ; j ) signifie que : OM = i + j et on note M( ; ) Les coordonnées d un vecteur u sont celles du point M tel que OM = u. On note u ( ; ). insi, dire que les coordonnées de u dans le repère (O ; i ; j ) sont ( ; ) signifie que : u = i + j. M u j O i Théorème : Dans un repère (O ; i ; j ), on place deu points et de coordonnées : ( ; ) et ( ; ). Le vecteur a alors pour coordonnées : ;. ( ) Théorème : Dans un repère (O ; i ; j ), on place deu points et de coordonnées : ; ; et ( ) ( ) Le théorème de Pthagore permet d établir cette formule : La distance de à est donnée par la formule : = ( ) ( ) +. j O i Lcée Français de DOH nnée nde

2 Théorème : Dans un repère (O ; i ; j ), on place deu points et de coordonnées : ( ; ) et ( ; ). Soit I le milieu du segment [] on a alors : + I = + + et donc I ;. + = I = I + I j O i + I = Eercice n : Dans le repère (O ; i ; j ), ci-dessous, lire les coordonnées des points,, C, D, E et F puis calculer les coordonnés des vecteurs, C, F et DE. Vérifier la cohérence de vos résultats sur la figure. Eercice n : Dans cet eercice on travaillera avec les points de l eercice précédent. ) Calculer les coordonnées des vecteurs :, C,, 3C puis 3C. ) En déduire les coordonnées du point M défini par : M = 3C. Lcée Français de DOH nnée nde

3 Eercice n 3 : Donner les coordonnées des points,, et C dans les deu repères (O ; I ; J) ci-dessous : er Cas ème Cas Eercice n 4 : On considère le plan muni d un repère (O; I, J). ) Déterminer graphiquement les coordonnées des points,, C et D. ) Calculer les coordonnées des milieu F de [] et G de [C]. 3) Déterminer les coordonnées du point E smétrique du point par rapport à J. 4) Calculer les coordonnées des vecteurs : C ; CE et E. 5) Calculer les distances C, CE et E. 6) Quelle est la nature du triangle CE? Eercice n 5 : Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j ). L'unité de mesure est le cm. On considère les points (6 ; 5) ( ; 3) et C( 4 ; 0) ) Calculer C, et C. ) Montrer que le triangle C est rectangle (précisez le sommet de l'angle droit). 3) Calculer le périmètre du triangle C. Donner le résultat sous la forme a b. 4) Calculer l'aire du triangle C. 5) Déterminer une valeur arrondie au degré de l angle C. 6) Déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit à C. Lcée Français de DOH nnée nde

4 Eercice n 6 : On munit le plan d un repère orthonormé (O; I, J). On place les points suivants : T (, ;, ) (, ; 3,6) ) Calculer les valeurs eactes des longueurs des trois côtés du triangle TC. ) Démontrer que le triangle TC est rectangle. 3) On appelle K le milieu de [TC]. Calculer les coordonnées de K. 4) Quelles sont les coordonnées du point E tel que ECT soit un rectangle? C ( 6 ; 0,6) Eercice n 7 : Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i ; j ). On donne les points : ( ; 3), ( ; ), C( ; ) et ( ; 3). ) Calculer la longueur, C et C et montrer que C est rectangle. ) Donner les coordonnées de K centre du cercle C circonscrit à C. 3) Donner les coordonnées de D le smétrique de par rapport à K. 4) Le point E(,5 ;,5) est-il sur le cercle circonscrit à C? 5) Construire l image de CD par la translation de vecteur, on note cette image C D.. Colinéarité et opérations sur les vecteurs en géométrie analtique. Théorème : Dans un repère (O ; i ; j ), le vecteur a ;. lors : ) u = v équivaut à = a et = b. ) Les coordonnées de u + v sont ( + a ; + b). 3) Les coordonnées de k ; k. pour coordonnées ( b) ku, avec k réel, sont ( ) u a pour coordonnées ( ) Théorème : Test de colinéarité Dans un repère (O ; i ; j ), dire que : ; et '; ' sont colinéaires équivaut à dire que ' ' = 0. u ( ) v ( ) ; et le vecteur v a Eercice n 8 : Comment faut-il choisir le nombre pour que les vecteurs u et v soient colinéaires? ) u (5 ; ) et v ( ; 5). ) u (4 ; 3) et v ( 5 ; ). Eercice n 9 : Dans un repère (O ; i ; j ), on considère les points : ( ; 3) ; (8 ; 4) et C(3 ; m) Déterminer m pour que les points,, C soient alignés. Eercice n 0 : Dans un repère orthonormal (O ; i ; j ), on considère les points : (6 ; 0) ; ( 4 ; ) ; C( ; 5) et D(3,5 ; 5,5) ) Démontrer que les droites () et (CD) sont parallèles. 4 ) Calculer les coordonnées du point I défini par I = C. 5 3) Démontrer que les points, D et I sont alignés. Lcée Français de DOH nnée nde

5 Eercice n : On considère le triangle C. R est un point de (), S un point de (C) et T un point de (C). Partie : lectures graphiques À partir de la figure, déterminer les valeurs des réels α, β et γ tels que : R = α. S = β C. T = γ C. Dans la suite, on se propose de démontrer que les points R, S et T sont alignés en utilisant deu méthodes. Partie : méthode géométrique Dans cette partie, on utilise des égalités vectorielles. ) Montrer que : RS = + C et 3 3 T = + C. 5 5 ) En déduire une epression du vecteur RT en fonction des vecteurs et C. 5 3) Vérifier que RS = RT. Conclure. 9 Partie C : méthode analtique On considère le repère (;, C). ) Donner les coordonnées des points suivants :,, C, S et R. ) Calculer les coordonnées du point T. 4 3) Montrer que les coordonnées de ST sont ; ) Montrer que les vecteurs ST et SR sont colinéaires. 5) Conclure. ) Equation de droite. ) Vecteurs directeurs. Définition : Un vecteur directeur d une droite (D) est un vecteur non nul aant pour direction celle de la droite. Propriété : Deu droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires. Lcée Français de DOH nnée nde

6 ) Droites parallèles et sécantes. Théorème : Toute droite non parallèle à l ae des ordonnées admet une équation réduite de la forme : = m + p où m est le coefficient directeur et p l ordonnée à l origine de cette droite. Toute droite parallèle à l ae des ordonnées admet une équation réduite de la forme : = p. Propriétés : Soit (d) une droite dont l équation réduite est : Théorème : = m + p. ; et ( ; ) deu points de cette droite, on a alors : m =. u ( ; m) est un vecteur directeur de (d). Soient ( ) 3) Equations de droites et lectures graphiques. Sur les graphiques suivants on peut aisément déterminer l équation de la droite en observant : L intersection de la droite et l ae des ordonnées, on obtient alors : p. Le rapport de la différence des ordonnées sur la différence des abscisses, on obtient alors : m. Lcée Français de DOH nnée nde

7 Eemples : Equations de droites dans un plan est muni d un repère orthonormal (O ; i ; j ). ) Déterminer une équation de la droite ( ) passant par ( ; 3) et de coefficient directeur. ( ) aant pour coefficient directeur, ( ) admet une équation de la forme : = + p (). appartenant à la droite ( ), les coordonnées de vérifient la relation (). D où : = + p et donc 3 = + p c est-à-dire : p = 3 4 = 7. ( ) a donc pour équation : = 7. ) Déterminer une équation de la droite ( ) passant par ( ; ) et de vecteur directeur u ( ; 3). M(, ) appartient à la droite ( ) si et seulement si les vecteurs M et u sont colinéaires. M ( + ; ) et u ( ; 3). D où : 3( + ) = ( ) = = = +, 5. 3 ( ) a donc pour équation : = +, 5. 3) Déterminer une équation de la droite ( 3 ) passant par C( ; ) et D(4 ; ). Comme C D, la droite ( 3 ) n est pas parallèle à l ae des ordonnées. Elle admet une équation de la forme = m + p. D C ( ) 3 Coefficient directeur : m = = = =. D C 4 ( ) 6 ( 3 ) admet une équation de la forme : = + p. C appartenant à la droite ( 3 ) on a : C = C + c est-à-dire : p = + =. ( 3 ) a donc pour équation : =. p et donc = ( ) + p Lcée Français de DOH nnée nde

8 4) Point d intersection de deu droites. Soient (D) et (D ) deu droites d équations respectives Soit I( I ; I ) le point d intersection de ces droites. = m + p et = m' + p'. Pour déterminer les coordonnées du point I, il suffit de résoudre le sstème : Les solutions de ce sstème est le couple ( I ; I ) coordonnées du point I. = m + p. = m' + p' Eercice n : Dans chacun des cas suivants, le point appartient-il à la droite d? ) d : = et (5 ; 3). ) d : = + et ( ; 3). Eercice n 3 : Trouver, dans chacun des cas suivants, une équation cartésienne de la droite d qui : a) passe par ( ; ) et (3 ; ). b) passe par ( 4 ; 3) et a pour vecteur directeur v (5 ; 3). Eercice n 4 : Trouver, dans chacun des cas suivants, un vecteur directeur des droites d et d puis en déduire si ces deu droites sont sécantes, parallèles ou confondues. Si elles sont sécantes donner les coordonnées de leur point d intersection. a) d : = b) d : = + 3 et d : = 5 +. et d : = 0. Eercice n 5 : Dans le même repère, tracer les droites données par leur équation : (D ) : = 3. (D ) : =. (D 3 ) : =. (D 4 ) : = 4. (D 5 ) : = 0, Lcée Français de DOH nnée nde

9 Eercice n 6 : ) Par lecture graphique, donner une équation des droites tracées. ) Déterminer les coordonnées du point d intersection I de ( D ) et ( D 3 ), en résolvant un sstème. Eercice n 7 : On considère les points ( 3 ; 4), (6 ; ), C( ; ) et D(0 ; 3). ) Placer ces points dans un repère orthonormal. ) Donner l équation de (). 3) Le point D appartient-il à ()? 4) La parallèle à (C) passant par D coupe (C) en E. a) Donner une équation cartésienne de (DE). b) Donner une équation réduite de (C). c) En déduire les coordonnées de E. Eercice n 8 : Dans le plan muni d un repère orthonormal (O ; i ; j ), on considère les points : ( 3 ; ) ; ( 5 ; 4) et C(4 ; 5). ) Déterminer une équation de la droite (). ) C appartient-il à la droite ()? Justifier. 3) Déterminer une équation de la médiane issue de du triangle C. Eercice n 9 : Dans un repère (O ; i ; j ), on considère les points (6 ; 9), (3 ; 3), I(6 ;3) et C(9 ;3). ) Placer les points dans un repère. ) Calculer les longueurs I, IC et C et en déduire la nature de IC. 3) Placer le point G milieu de [I]. Déterminer ses coordonnées. 4) Placer le point J tel que : J = C. Déterminer ses coordonnées. 3 5) Montrer que G et J sont colinéaires. 6) En déduire que J est le point d intersection de (G) et (C). 7) Placer le point K tel que KI soit un parallélogramme. Déterminer ses coordonnées. 8) Donner une équation des droites (CG) et (). 9) Déterminer les coordonnées de L point d intersection de (CG) et (). Lcée Français de DOH nnée nde

10 Eercice n 0 : À l aide du graphique ci-dessous, donner, graphiquement, les solutions des sstèmes suivants. ) = + 4. ) = + = +. 3) = = + 4. = Eercice n : u bar de la poste, 5 amis profitent de la terrasse au soleil. Ils ont commandé cafés et 3 thés. Le serveur leur demande 0,0. Ils sont rejoints par 4 amis qui commandent 3 cafés et thé. Cette fois-ci, le serveur leur demande 7,0. fin que les amis puissent paer chacun leur part, déterminer le pri d un thé et le pri d un café. Eercice n : Dans un repère orthonormé (O ; i, j ), on considère les points suivants : ( ; 4), (4 ; 9), C(5 ; ), D( ; ) et I( ; 6). ) Placer les points dans le repère sur la page suivante. ) Etude de C. a) Calculer les longueurs, C et C. b) En déduire la nature de C. c) En déduire une valeur arrondie au degré de l angle C. 3) Parallélogramme. a) Placer le point J tel que IDJ soit un parallélogramme. Montrer que J( ; 0). (La simple vérification de ce résultat ne rapporte aucun point). b) Déterminer les coordonnées du centre P de ce parallélogramme. c) Montrer que I et sont colinéaires. d) Que peut-on en déduire pour, I et? 4) Intersections de droites. a) Placer le point E tel que : E 3 6 = C. Montrer que E ; (La simple vérification de ce résultat ne rapporte aucun point). b) Montrer que JD et JE sont colinéaires. c) Déduire des deu questions précédentes que E est le point d intersection des droites (C) et (JD) (on ne calculera pas les équations de ces droites). Lcée Français de DOH nnée nde

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