La fonction logarithme népérien

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1 La fonction logarithme népérien Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 202/203 Table des matières La fonction logarithme népérien 2. Définition Courbe représentative Sens de variation Application Propriétés algébriques Étude de la fonction ln 5 2. Dérivée de la fonction ln Tableau de variations Courbe représentative Table des figures Fonction réciproque de l exponentielle Fonctions réciproques : ln et exp Courbe représentative de la fonction ln Liste des tableaux Tableau de variations de la fonction ln Ce cours est placé sous licence Creative Commons BY-SA

2 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN En préliminaire au cours : Activité : Activité page 00 [TransMath] La fonction logarithme népérien. Définition Courbe représentative Propriété : Pour tout b > 0, il existe un unique nombre a tel que e a = b (voir figure ). Ce nombre a est appelée logarithme népérien de b et est notée ln b. Figure Fonction réciproque de l exponentielle Exemples :. Comme e 0 =, ln = Comme e = e, ln e =. Définition : La fonction logarithme népérien est la fonction définie sur ]0 ; + [ qui, à tout x > 0 associe ln x, c est-à-dire l unique réel dont l exponentielle est x. Théorème : Pour tout x > 0 et tout y R : y = ln x x = e y. Fonction réciproque de l exponentielle. 2

3 LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN.2 Sens de variation Application Démonstration : Si y = ln x, alors, par définition, y est l unique réel dont l exponentielle est x, d où : e y = x. Réciproquement, si x = e y, ln x = ln (e y ), c est donc l unique réel dont l exponentielle est e y. Cet unique réel ne peut être que y. On a donc : ln x = y. Remarques :. En particulier, on a montré que : Pour tout x R, ln (e x ) = x. Pour tout x > 0, e ln x = x. 2. On dit que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont des fonctions réciproques. Leurs courbes sont alors symétriques par rapport à la droite d équation y = x (voir figure 2). Figure 2 Fonctions réciproques : ln et exp Exercices : 20, 2, 22, 24 page 0 2 [TransMath].2 Sens de variation Application Propriété : La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; + [. Démonstration : Soient a et b deux réels strictement positifs, avec a < b. Comme a = e ln a et b = e ln b, on a : e ln a < e ln b et, par suite, ln a < ln b. La fonction logarithme népérien est donc strictement croissante sur ]0 ; + [. 2. Ensembles de définition. 3

4 .3 Propriétés algébriques LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Conséquences :. Pour tout a > 0 et tout b > 0 : ln a = ln b équivaut à a = b. ln a < ln b équivaut à a < b. 2. Pour tout x > 0 : ln x > 0 équivaut à x >. ln x < 0 équivaut à 0 <x <. ln x = 0 équivaut à x =. Remarque : La première partie de cette propriété permet de résoudre des équations ou inéquations comportant des logarithmes. La deuxième partie donne le signe de ln x. Exemples : Résolution d équations et d inéquations. Résoudre l équation ln (5 2x) = : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) = ln e. On en déduit que 5 2x = e, c est-à-dire x = 5 e Cette valeur est bien dans l intervalle ] ; 5 2[ donc S = { 5 e 2 2. Résoudre l inéquation ln (5 2x) < : Il faut que 5 2x > 0, c est-à-dire x < 5 2. Cette équation équivaut à ln (5 2x) < ln e. On en déduit que 5 2x < e, c est-à-dire x > 5 e Comme de plus on doit avoir x ] ; 5 2[, on a S = ] 5 e 2 ; 5 2[. 3. Résoudre l équation e x+2 = 5 : Cette équation équivaut à x + 2 = ln 5, c est-à-dire x = 2 + ln 5. On a donc S = { 2 + ln 5}. Exercices : 43, 44, 46, 48, 50 page 3 5, 52, 53 page et 62 page 2 67, 69, 70, 7 page 2 4 [TransMath] } Propriétés algébriques du logarithme népérien Théorème : Propriété fondamentale Pour tous réels a > 0 et b > 0, on a : ln ab = ln a + ln b Démonstration : e ln ab = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab. On a donc e ln ab = e ln a+ln b et, donc, ln ab = ln a + ln b. Théorème 2 : Soient a, b deux réels strictement positifs et n un entier relatif.. ln a = ln a 2. ln a b = ln a ln b 3. ln (a n ) = n ln a 4. ln a = 2 ln a Démonstration (partielle) :. D après le théorème : ln ( a a) = ln a + ln a. De plus, ln ( a a) = ln = 0 donc ln a + ln a = 0 d où ln a = ln a. 2. D après le théorème : ln a b = ln ( ) a b = ln a + ln b = ln a ln b. 3. Admis. [ 4. ln ( a) 2] [ = ln a et, d après 3.,ln ( a) 2] = 2 ln a. On obtient donc 2 ln a = ln a, soit ln a = 2 ln a. 3. Équations comportant des exponentielles. 4. Inéquations comportant logarithmes ou exponentielles. 4

5 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN Remarque : Ce théorème est souvent utilisé pour simplifier des expressions ou pour résoudre des équations ou inéquations (voir exercices). La partie 3. du théorème 2 peut aussi être utilisée pour des suites géométriques ou arithmético-géométriques. Exercice : Soit (u n ) la suite géométrique de premier terme u 0 = et de raison q = 4 5. A partir de quel indice n a-t-on u n 0 3? On a u n = u 0 q n = ( 4 n. ( 5) On doit donc résoudre l inéquation 4 n 5) 0 3. Comme tous les nombres sont strictement positifs, cette équation est équivalente à ln ( 4 n 5) ln 0 3, c est-àdire : n ln ln 0. Comme de plus 4 5 <, ln 4 3 ln 0 5 < 0 donc on obtient n. ln ln 0 A la calculatrice, on trouve que 30, 96 donc, le plus petit indice est n = 3. ln 4 5 Exercices : 26, 27, 28, 30, 3, 33 page 0 et 34, 35, 37, 38, 40, 42 page 5, 2, 3, 4 page 05 ; 56, 57, 58 page et 60, 6, 72 page , 75, 76 page 2 7 5, 6, 8, 0 page 06 et 77, 79, 80, 82, 83 page 2 8 [TransMath] 2 Étude de la fonction ln 2. Dérivée de la fonction ln Théorème : (admis) La fonction ln est dérivable sur ]0 ; + [ et, pour tout x > 0 : ln (x) = x Exercices : 88, 89, 9, 92 page 3 ; 95, 96, 97 page 4 ; 0 page 5 et 02 page 6 9 [TransMath] 2.2 Tableau de variations Courbe représentative La fonction x ln x est définie sur ]0 ; + [ et sa dérivée est ln (x) = x. Par suite, pour tout x > 0, ln (x) > 0. On retrouve le fait que la fonction ln est donc strictement croissante sur ]0 ; + [. Remarques :. Comme ln = 0 et ln () = = : La courbe représentative de la fonction ln coupe l axe des abscisses en x = et la tangente en x = a comme coefficient directeur. 2. On trouvera le tableau de variations de la fonction ln sur le tableau et sa courbe représentative sur la figure 3. Exercices : 04, 05, 06, 08 page , 24 page 2 [TransMath] Module : exercice 6 page 09 2 [TransMath] 5. Propriétés algébriques du logarithme. 6. Équations et inéquations. 7. Application aux suites géométriques. 8. Équations de la forme x n = k. 9. Étude de fonctions. 0. Fonction ln u.. Type BAC. 2. La fonction logarithme décimal. 5

6 2.2 Tableau de variations Courbe représentative 2 ÉTUDE DE LA FONCTION LN x 0 + ln (x) + + ln x 0 Table Tableau de variations de la fonction ln Figure 3 Courbe représentative de la fonction ln 6

7 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES Références [TransMath] TransMATH Term ES Spécifique / L Spécialité, édition 202 (Nathan) 2, 3, 4, 5 7