La fonction logarithme népérien

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 3 décembre 04 à 0:07 La fonction logarithme népérien Table des matières La fonction logarithme népérien. Définition Représentation Variation de la fonction logarithme Propriétés de la fonction logarithme népérien 4. Relation fonctionnelle Quotient, inverse, puissance et racine carrée Étude de la fonction logarithme népérien 6 3. Dérivée Limite en 0 et en l infini Tableau de variation et courbe Des ites de référence Dérivée de la fonction ln u Applications 9 4. Approimation de e Étude d une fonction Le logarithme décimal 5. Définition Applications Nombre de chiffres dans l écriture décimale En chimie En acoustique Papier semi-logarithmique et logarithmique PAUL MILAN TERMINALE S

2 TABLE DES MATIÈRES Avant propos La création de la fonction logarithme népérien est, à l origine, antérieure à la fonction eponentielle bien que dans notre progression elle suive l étude de la fonction eponentielle. La fonction logarithme a été créée par un drapier écossais du XVII e siècle. Ce drapier, Néper, cherche une fonction pour simplifier les longs calculs des astronomes, des navigateurs et des financiers. Il crée alors une fonction qui transforme le produit en somme. C est à dire que f(ab) = f(a)+ f(b). Il a ensuite passé trente ans de sa vie à créer une table dite «de logarithmes» qui permettait d effectuer les conversions nécessaires. C est cette fonction, qui fait écho à la fonction eponentielle, qui est l objet de ce chapitre. La fonction logarithme népérien. Définition Définition : On appelle fonction logarithme népérien notée ln, la fonction définie de ]0;+ [ sur R telle que : = e y y = ln On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction eponentielle. Remarque : Cette fonction eiste bien car la fonction eponentielle est une fonction continue, strictement croissante à valeur dans ]0; + [, donc d après le théorème des valeurs intermédiaires l équation = e y, d inconue y avec ]0;+ [, admet une unique solution ln. Conséquence On a les relations suivantes : ln = 0 et ln e = ainsi que : R, ln e = et ]0;+ [, e ln = Faire attention au ensembles de définition.. Représentation Théorème : Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction eponentielle sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. Démonstration : On note C ln et C ep les courbes respectives des fonctions logarithme népérien et eponentielle. PAUL MILAN TERMINALE S

3 . LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Soit M(; y) un point de C ln avec ]0;+ [ et y R, donc y = ln. On a alors = e y, donc le point M (y, ) est un point de C ep. Les courbes C ln et C ep sont donc symétriques par rapport à la première bissectrice d équation y =. y = e 5 4 M 3 e y M y = ln 3 O y e Variation de la fonction logarithme Théorème : La fonction ln est strictement croissante sur R + Démonstration : Soit deu réels a et b strictement positifs et a < b alors on peut écrire : a < b e ln a < e ln b comme la fonction eponentielle est strictement croissante, on a : ln a < ln b La fonction logarithme est donc strictement croissante. Propriété : Soit a et b deu réels strictement positifs ln a = ln b a = b ln a = 0 a = ln a < ln b a < b ln a < 0 0 < a < ln a > 0 a > Remarque : Ces propriétés permettent de résoudre des équations et des inéquations. On veillera à mettre l équation ou l inéquation sous la forme ci-dessus et à déterminer les conditions de validité de l équation ou de l inéquation. PAUL MILAN 3 TERMINALE S

4 TABLE DES MATIÈRES Eemples : Résoudre ln( ) =. On met l équation sous la forme : ln( ) = ln e l équation est valide si, et seulement si, > 0 c est à dire < On a alors : < et = e soit = e e e On a < car 0, 36. { } e On conclut alors : S = Résoudre ln(+) < On met l inéquation sous la forme : ln(+) < ln e L inéquation est valide si, et seulement si, + > 0 soit > On a alors : > et + < e soit < e e On a : = e 0, 3 donc e < < e e ] On conclut par : S = ; e [ e Propriétés de la fonction logarithme népérien. Relation fonctionnelle Théorème 3 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ln ab = ln a+ln b Démonstration : D après les propriétés de l eponentielle, on a : e a = e b a = b Or e ln ab = ab et e ln a+ln b = e ln a e ln b = ab On conclut donc que ln ab = ln a+ln b. Remarque : C est cette propriété qui est à l origine de la fonction logarithme. Eemple : ln +ln 3 = ln 6. Quotient, inverse, puissance et racine carrée Théorème 4 : Pour tous réels strictement positifs a et b, on a : ) ln a b = ln a ln b 3) ln a n = n ln a avec n N ) ln b = ln b 4) ln a = ln a PAUL MILAN 4 TERMINALE S

5 . PROPRIÉTÉS DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Démonstration : Pour démontrer la propriété, on revient au propriétés de l eponentielle. On a e ln b a = a et e ln a ln b = eln a b e ln b = a b ln a = ln a ln b b Pour la deuième propriété, on fait a = d où la propriété : La troisième propriété se démontre par récurrence à l aide du produit. Pour la dernière propriété : on a a = a a donc d après la propriété du produit, on a : ln a = ln a+ln a = ln a d où ln a = ln a Eemples : Voici 3 eemples d utilisation de ces propriétés. Eprimer ln 50 avec ln et ln 5 et ln avec ln et ln 3 On a 50 = 5 donc ln 50 = ln + ln 5 On a = 3 donc ln = ( ln +ln 3) = ln + ln 3 Déterminer l entier n tel que n > On a donc : ln n > ln 0 4 soit n ln > 4 ln 0 4 ln 0 4 ln 0 On obtient alors : n > or 3.9 donc n 4 ln ln Résoudre l équation : ln 3 = ln(6 ) ln 3 > 0 > 3 l équation eiste si 6 > 0 < 6 > 0 > 0 ] 3 [ On en déduit l ensemble de définition : D f = ; 6 On a alors [ln( 3)+ln ] = ln(6 ) soit ln ( 3) = ln(6 ) L équation revient à : D f et ( 3) = (6 ) 3 = = 0 On calcule : = 8+44 = 5 = 5 on trouve alors deu solutions = 9+5 = 3 D f et = 9 5 on conclut par : S = {3} = / D f PAUL MILAN 5 TERMINALE S

6 TABLE DES MATIÈRES 3 Étude de la fonction logarithme népérien 3. Dérivée Théorème 5 : La fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+ [ et : (ln ) = Démonstration : On admet que la fonction ln est continue sur ]0;+ [ On revient à la définition de la dérivée, c est à dire on cherche les a ]0;+ [ pour lesquels la ite suivante est finie : ln ln a a a Pour déterminer cette ite, on fait un changement de variable. On pose alors X = ln et A = ln a. On a alors = e X et a = e A et si a, comme la fonction ln est continue sur ]0;+ [, alors X ln a. La ite devient alors : X ln a X A e X e A Or la fonction eponentielle est dérivable sur R et la dérivée en ln a est e ln a : X ln a e X e A X A = eln a = a Cette ite est strictement positive pour a ]0;+ [. On en déduit que la ite suivante eiste pour tout a ]0;+ [ et : X ln a X A e X e A = a Conclusion : la fonction ln est dérivable sur ]0;+ [ et (ln ) =. 3. Limite en 0 et en l infini Théorème 6 : On a les ites suivantes : + ln = + et ln = 0 + Démonstration : Pour montrer la ite en +, on revient à la définition : Pour tout M > 0, si ln > M alors, comme la fonction ep est croissante, > e M. Il eiste donc un réel A = e M tel que si > A alors ln > M. Conclusion : ln = +. + PAUL MILAN 6 TERMINALE S

7 3. ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN Pour la deuième ite, on fait un changement de variable. On pose X =. Donc si 0 + alors X +. On a alors : ln = ln 0 + X + X = ln X = X Tableau de variation et courbe On peut résumer les variations et les ites de la fonction ln, dans un tableau de variation : ln 0 e O y = ln e On a alors la courbe représentative cicontre Des ites de référence Théorème 7 : On a : 0 ln(+ ) = Démonstration : Cela découle de la dérivée de ln en =, en effet, on a : (ln) () = = (ln) () = 0 ln(+ ) ln ln(+ ) = 0 h 0 ln(+h) h = Théorème 8 : Croissance comparée ln + = 0 et 0 + ln = 0 Démonstration : Pour la premère ite, on fait un changement de variable. On pose : X = ln, on a alors = e X. On a alors : Notre ite devient alors : ln + + alors X + = X e = 0 car X + ex + = + PAUL MILAN 7 TERMINALE S

8 TABLE DES MATIÈRES Pour la deuième ite, on fait le changement de variable suivant : X =. On a alors : La deuième ite devient alors : 0 + alors X + ln = 0 + X + X ln X = ln X X + X = 0 Remarque : On peut dire que : «l emporte sur ln en +». Eemple : Déterminer la ite suivante : ln + C est une ite indéterminée, car de la forme «+». On met alors en facteur. ( ln = ln ) On a alors : = + + ln + = 0 Par somme et produit, on a : ln = Dérivée de la fonction ln u Théorème 9 : Soit une fonction u dérivable et strictement positive sur D. La fonction ln u est alors dérivable sur D et : (ln u) = u u Démonstration : La démonstration est la conséquence directe de la dérivée de la composition de fonction. Remarque : Les fonctions u et ln u ont le même sens de variation car comme u > 0, (ln u) a le même signe que u. Eemple : Déterminer la dérivée de la fonction définie sur R par : f() = ln(+ ) On pose la fonction u() = +. u est manifestement strictement positive sur R, donc la fonction f est dérivable sur R et : f () = + PAUL MILAN 8 TERMINALE S

9 4. APPLICATIONS 4 Applications 4. Approimation de e On pose, pour n, u n = ( + n) n. Montrer que la suite (u n ) converge vers e. On pourra poser v n = ln u n. Faire un programme permettant de déterminer n pour une valeur approchée de e à 0 3. Que penser de la vitesse de convergence de la suite? ( Calculons v n : v n = ln + n) n ( = n ln + ) n La fonction f associée à la suite (v n ) définie sur]0;+ [ est : f() = ln ( + ) Sous cette forme, la ite de f en + est une forme indéterminée. On effectue un changement de variable pour lever l indétermination : X =, on a ainsi : On peut ainsi calculer la ite : On en déduit alors que : si + alors X 0 + ln(+ X) f() = + X 0 + X v n = n + On revient alors à la suite (u n ) : v n = ln u n donc u n = e v n, on en déduit que (u n ) est convergente et : + u n = e = On fait une boucle avec un "tant que" pour déterminer l indice n pour avoir la précision demandée. On trouve alors : N= 359 et U, 77 La vitesse de convergence est donc très lente. Cette suite n est donc pas judicieuse pour trouver une approimation de e Variables : I : entier U : réel Entrées et initialisation U I Traitement tant que U e > 0 3 faire I + I ( + I U I) fin Sorties : Afficher : I, U 4. Étude d une fonction Soit la fonction f définie sur ]0;+ [ par : f() = 4 4 ln ) Étudier les ites de f en 0 et + PAUL MILAN 9 TERMINALE S

10 TABLE DES MATIÈRES ) Déterminer f () et dresser le tableau de variation de la fonction f. 3) En déduire, en se justifiant, le nombre de solutions de l équation f() = 0. 4) À l aide d une calculatrice donner la valeur approchée par défaut à 0 3 près des solutions de l équation f() = 0. ) a) La ite en 0 ne pose pas de problème : 0 4 = 0 et ln = Par somme, on a : f() = b) La ite en + est indéterminée du type +. On change alors la forme de f() ( f() = 4 4 ln ) or 4 + = +, + Par produit et somme, on a donc : ) On calcule la dérivée : 0 ln = 0 et + = 0 f() = + + f () = 4 4 = 4 4 f () = 0 = 0 avec > 0 = ( ) On calcule = 4+8 = = ( 3), on obtient comme racines : = + 3 = + 3 et = 3 < 0 non retenu signe de f() = signe de ( ) avec > 0 on obtient alors le tableau de variation suivant : f () f() α , 48 α 0 + 3) D après le tableau de variation, sur les intervalles I =]0; + 3] et I = [+ 3;+ [ la fonction f est continue, strictement monotone et change de signe donc, d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f() = 0 admet deu solutions α et α (une dans chaque intervalle) 4) À l aide du programme sur les valeurs intermédiaires, on obtient les valeurs approchées suivantes : 0, 600 < α < 0, 60 et 5, 6 < α < 5, 6 PAUL MILAN 0 TERMINALE S

11 5. LE LOGARITHME DÉCIMAL À titre indicatif, voici la courbe de la fonction f. 6 4 C f O α α Le logarithme décimal 5. Définition Définition : On appelle logarithme décimal, la fonction, notée log, définie sur ]0;+ [ par : log = ln ln 0 Remarque : On a : log = ln 0 ln. Comme ln 0 variations et les mêmes ites que la fonction ln. La fonction log transforme les produits en sommes y = log = 0 y ainsi : log 0 =, log 0 =,..., log 0 n = n On a la représentation ci-dessous : log = ln 0 > 0, la fonction log a les mêmes log O PAUL MILAN TERMINALE S

12 TABLE DES MATIÈRES 5. Applications 5.. Nombre de chiffres dans l écriture décimale Un nombre N est nécessairement compris entre deu puissances de 0. Soit alors : 0 p N < 0 p+ Dans ce cas, N possède p + chiffres. Comme la fonction log est une fonction croissante, on a : log 0 p log N < log 0 p+ p log N < p+ On a donc : E(log N) = p où E est la fonction partie entière Conclusion : le nombre de chiffres de N est donc : E(log N)+. Application : quel est le nombre de chiffres de 0 0? log 0 0 = 0 log ,465 On en déduit alors que 0 0 possède chiffres! 5.. En chimie L acidité d une solution est mesurée par son ph : ph = log[h + ] Lorsque la concentration en[h + ] est multipliée par 0, le ph diminue de. En effet : log ( 0 [H + ] ) = (log 0+log[H + ]) = log[h + ] = ph Si une étiquette d une eau minérale d eau gazeuse indique ph = 6, 3, on a : ph = log[h + ] donc [H + ] = 0 ph [H + ] = 0 6, mol/l 5..3 En acoustique Le niveau sonore L (en décibels) d un son d intensité I est donnée par : L = 0 log I I 0 où I 0 = 0 W.m correspond au seuil d audibilité en dessous duquel aucun son n est perçu. Par eemple le niveau sonore L d une conversation normale qui correspond à I = 0 5 I 0 est de : L = 0 log 0 5 = 0 5 = 50 décibels PAUL MILAN TERMINALE S

13 5. LE LOGARITHME DÉCIMAL Source sonore db Puissance Seuil Fusée puissante I I I 0 Intolérable (douloureu) I 0 Avion à réaction I 0 Avion au décollage (à 30 m) I 0 Hurlement à 0 cm de l oreille 0 0 I 0 nuisible immédiatement Marteau piqueur 0 0 I 0 nuisible au bout de h Cri (à,5 m) I 0 Klaon d une voiture I 0 Très fort (nuisible au bout de 8 h) Sèche cheveu Intérieur d une voiture I I 0 Bruyant Modéré Conversation normale (à m) I 0 Bureau I 0 Calme Salle de séjour (en ville) I 0 Chambre à coucher I 0 Très calme Studio d enregistrement 0 0 I 0 Frôlements des feuilles d un arbre 0 0I 0 à peine audible Seuil d audibilité 0 I 0 I 0 = 0 W.m Remarque : En sismologie, un même type d échelle est utilisé. La magnitude M d un séisme d intensité I est mesurée sur l échelle de Richter par : M = log I I 0 Par eemple, la magnitude des séismes suivant : Fukushima (0) I = 6, I 0 correspond à M = 8+log 6, 3 8, 8 Californie (99) I = 3, I 0 correspond à M = 7+log 3, 6 7, 5 PAUL MILAN 3 TERMINALE S

14 TABLE DES MATIÈRES 5..4 Papier semi-logarithmique et logarithmique Le papier semi-logarithmique utilise une échelle linéaire sur l ae des abscisses et une échelle logarithmique sur l ae des ordonnées. Sur l ae des ordonnées 0 correspond à unité, 00 à unités, 000 à 3 unités,... Sur le papier semi-logarithmique ci-dessous, on a tracé la fonction eponentielle e Le papier logarithmique utilise une échelle logarithmique sur l ae des abscisses et l ae des ordonnée. Sur le papier logarithmique ci-dessous, on a tracé quelques fonctions du type n ou n PAUL MILAN 4 TERMINALE S